Mais comment on fait pour ... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S
Édition Salut
πaths
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Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ...............................................................................13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?.....................................13 2.Comment montrer qu'une fonction f est paire ?..............................................................14 3.Comment montrer qu'une fonction f est impaire ?..........................................................15 4.Comment étudier la parité d'une fonction f ?..................................................................15 5.Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p ?................................16 6.Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f ?....................................16 7.Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f ?............................17 8.Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?.....................................................................................18 9.Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ? ...................................................................................19 10.Comment interpréter l'égalité f(x)+f(-x)=c ?.................................................................20 11.Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et Cg ?....20 12.Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses ?......................................................................................................21 13.Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et de l'axe des ordonnées ?.............................................................................................................21 2) LIMITES ET ASYMPTOTES...................................................................................................23 1.Comment retenir les limites des fonctions de référence ?...............................................23 f x ?......................................................................23 2.Comment lire graphiquement lim xa 3.Comment calculer une limite lim f x ?.......................................................................24 xa
4.Comment interpréter graphiquement une limite ? ..........................................................34 5.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ? .....................................................................................................35 6.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ?..................................................................................................36 7.Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ?........................................................................................................36 8.Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?. .37 3) CONTINUITÉ...........................................................................................................................39 1.Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ?................................39 2.Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ?................................40 3.Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b] ?..............................................................................................................41 4.Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] ?..............................................................................................................42 5.Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution ? .......43 6.Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution ?.............................................43 7.Comment montrer que g x0 ou g x0 sur I=[;+∞[, où est l'unique solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I ?........................................46 4) DÉRIVATION...........................................................................................................................47 1.Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a∈ℝ ?...........................................47 2.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a∈ℝ ? ...........................................48 3.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ? ................49
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f a h − f a =∞ h ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour Cf ?.........................................50 f a h − f a 5.Comment interpréter graphiquement les résultats suivants : lim = h xa f a h − f a réel et lim = réel, avec ≠ ou quelle conséquence graphique h xa ces résultats ont-ils pour Cf ?.........................................................................................50 6.Comment calculer f '(a) ?................................................................................................50 7.Comment interpréter graphiquement f '(a) ?...................................................................51 8.Comment déterminer graphiquement f '(a) ?..................................................................51 9.Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f '(x) ?.........52 10.Comment calculer f '(x) ?..............................................................................................52 11.Comment calculer une dérivée seconde ? ....................................................................56 12.Comment étudier le signe d'une dérivée ou, plus généralement, comment étudier le signe d'une fonction ?...................................................................................................56 13.Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle I ?...........64 14.Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle I donné (c'est-à-dire g x f xh x sur I) ?...........................................................67 15.Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ?........................68 16.Comment déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a ? ............68 17.Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point A x A ; y A du plan ? .....................................................................................................69 18.Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à Cf parallèles à une droite (D) donnée d'équation y=mx+p ?.......................................................................70 19.Comment étudier la position de Cf par rapport à une tangente T d'équation y=mx+p ?71 20.Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue ?......72
4.Comment interpréter graphiquement le résultat suivant : lim xa
5) FONCTIONS EXPONENTIELLES.........................................................................................73 1.Comment faire des calculs avec les exponentielles ? .....................................................73 2.Comment résoudre une équation exponentielle ? ..........................................................73 3.Comment résoudre une inéquation exponentielle ?........................................................75 4.Comment montrer une égalité de quotients contenant des exponentielles ?...................76 5.Comment calculer des dérivées de fonctions contenant des exponentielles ?.................76 6.Comment étudier le signe de fonctions dérivées contenant des exponentielles ?...........77 7.Comment calculer les limites de fonction contenant des exponentielles ?......................79 8.Comment étudier la fonction exponentielle de base a: a x ?.........................................81 6) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.........................................................................................83 1.Comment montrer qu'une fonction donnée f est solution d'une équation différentielle ? ................................................................................................................83 2.Comment déterminer un ou des réels pour qu'une fonction soit solution d'une équation différentielle ?..................................................................................................84 3.Comment résoudre une équation différentielle ?............................................................85 4.Comment déterminer LA solution d'une équation différentielle qui vérifie une condition donnée ? .........................................................................................................86 5.Comment traiter les questions du type "Démontrer que ... est solution de (E) si, et seulement si, … est solution de (G)" ? Et comment déduire ensuite les solutions de l'équation (E) ?................................................................................................................86 7) FONCTIONS LOGARITHMES...............................................................................................89 1.Comment faire des calculs avec les logarithmes ? .........................................................89 2.Comment résoudre des équations logarithmiques ? .......................................................90 3.Comment résoudre des inéquations logarithmiques ? ....................................................92 4.Comment calculer des limites de fonctions contenant ln ?.............................................94
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5.Comment calculer les dérivées de fonctions contenant ln ? ...........................................97 6.Comment étudier le signe de ln(X) ? .............................................................................98 7.Comment calculer avec log a x ?................................................................................100 8) PRIMITIVES.......................................................................................................................... 101 1.Comment montrer qu'une fonction f est une primitive d'une autre fonction g sur un intervalle I ?..................................................................................................................101 2.Comment montrer qu'une fonction f admet une primitive sur I ?.................................102 3.Comment déterminer une primitive d'une fonction f ?..................................................102 4.Comment déterminer LES primitives d'une fonction f ?...............................................110 5.Comment déterminer LA primitive d'une fonction f, vérifiant une condition donnée ? 111 x
∫ f t d t , définie sur un
6.Comment calculer la dérivée de la fonction F : x
a
intervalle I tel que a∈I ?................................................................................................113 9) INTÉGRATION......................................................................................................................115 b
1.Comment calculer l'intégrale
∫ f x d x ?...................................................................115 a
b
2.Comment calculer
∫ f x d x
à l'aide d'une intégration par partie ? ..........................119
a
b
3.Comment étudier le signe de l'intégrale
∫ f x d x
? ..................................................123
a
b
4.Comment déterminer un encadrement de l'intégrale
∫ f xd x
? ..............................124
a
5.Comment traiter les exercices où interviennent intégrales et suites ?...........................127 6.Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a;b] ?...........130 7.Comment calculer l'aire a du domaine du plan délimité par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'équation x= et x= ? .........................................................................131 b
8.Comment interpréter graphiquement l' intégrale
∫ f xd x
? ....................................133
a b
9.Comment interpréter graphiquement l'intégrale
∫ f x−g x d x
?.........................133
a
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10.Comment donner la valeur d'une aire en cm , m … ?...............................................133 11.Comment calculer l'aire a de la surface entre deux courbes, délimitée par les droites d'équations x=a et x=b ? ................................................................................134 12.Comment calculer le volume engendré par la rotation de la portion de Cf sur l'intervalle [a;b] autour de l'axe des abscisses ? .........................................................135 13.Comment, dans un repère orthonormé de l'espace, calculer le volume V du solide S engendré par S(z) où z∈[a;b] et S(z) l'intersection de S et du plan d'équation z=t ? ..137 10) SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES...........................................................139 1.Comment montrer qu'une suite u n est arithmétique ?.................................................139 2.Comment montrer qu'une suite u n est géométrique ?................................................140 3.Comment exprimer u n en fonction de n ou, plus généralement, comment exprimer un terme d'une suite en fonction d'un autre ?.................................................142 4.Comment compter le nombre de termes dans une somme de termes consécutifs d'une suite ?...................................................................................................................144 5.Comment calculer une somme de termes d'une suite arithmétique ?............................144 6.Comment calculer une somme de termes d'une suite géométrique ?............................145 7.Comment traiter les exercices sur les pourcentages successifs (capital, intérêt composé, évolution de population...) ?.........................................................................145
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11) GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES.....................................................................................147 1.Comment démontrer par récurrence qu'une proposition est vraie ?..............................147 2.Comment déterminer le sens de variation d'une suite ? ..............................................149 3.Comment calculer la limite d'une suite ?......................................................................155 4.Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?................................159 5.Comment montrer qu'une suite u n converge ou comment étudier la convergence d'une suite ?...................................................................................................................162 6.Comment représenter les termes d'une suite de la forme u n 1 = f u n sur l'axe des abscisses ?.....................................................................................................................164 7.Comment montrer que deux suites u n et v n sont adjacentes ?................................165 8.Comment montrer qu'une suite u n est constante ? .....................................................166 un lorsque u n est définie par u n 1 = f u n ?..............168 9.Comment déterminer n lim ∞ n
10. Comment comprendre et utiliser la notation
∑
f k ? ..........................................168
k =0
12) LES NOMBRES COMPLEXES...........................................................................................171 1.Comment placer dans un repère un point dont on connaît l'affixe ?.............................171 2.Comment faire des calculs avec les nombres complexes ?...........................................171 3.Comment résoudre une équation complexe contenant un ou deux quotients ?.............172 4.Comment résoudre une équation complexe contenant z et z ? .................................172 5.Comment résoudre une équation complexe du second degré à coefficients réels ?......173 6.Comment mettre un nombre complexe donné comme quotient sous forme algébrique ? ..................................................................................................................174 7.Comment déterminer graphiquement le module d'un nombre complexe zM ?.............174 8.Comment lire graphiquement un argument d'un nombre complexe zM ?.....................175 9.Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z=a+ib ?................176 10.Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z=a+ib ?.........176 11.Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z = R ei ?...........178 12.Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z = R ei , avec R∈ℂ ?..................................................................................................................179 13.Comment passer de la forme algébrique d'un complexe ( z = a ib ) à sa forme trigonométrique (ou exponentielle) ?..........................................................................179 14.Comment passer de la forme trigonométrique z = r cos isin (ou exponentielle z = r e i ) à la forme algébrique z = a ib ?.......................................180 15.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que ∣z − z '∣ = k ou plus généralement ∣∣ = ∣∣ ?............................................................................................181 16.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que arg z − z A = ? ..........182 17.Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par la translation de vecteur u b ?............................................................................................................183 18.Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par l'homothétie de centre C(c) et de rapport k ?...................................................................................183 19.Comment calculer l'affixe de l'image d'un point par la rotation de centre C(c) et d'angle ? ..................................................................................................................183 20.Comment montrer qu'une transformation donnée est une homothétie ? ....................184 21.Comment montrer qu'une transformation donnée est une rotation ? ..........................185 AM ; BN ? .............................185 22.Comment déterminer la mesure d'un angle orienté 23.Comment calculer la distance AB ?............................................................................185 24.Comment calculer l'affixe z MN ?.................................................186 MN d'un vecteur 25.Comment calculer l'affixe z I du milieu I d'un segment [AB] ?.................................186 26.Comment calculer l'affixe z G du barycentre G de 3 points (M,m), (N,n) et (P,p) ?..187 27.Comment montrer qu'un point M(z) appartient à un cercle c de centre A z A et de rayon r ?.................................................................................................................187 28.Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un réel ? .........................................................................................188
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29.Comment déterminer l'ensemble des points M tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un imaginaire pur ?.........................................................................189 zA − zB zA − zB z − zB =1 ? A = k ?....191 30.Comment interpréter géométriquement ? z C − zD z C − zD z C − zD
∣
31.Comment interpréter géométriquement arg arg
∣ ∣
∣ ∣
∣
z A − zB z A − zB =0[2 ] ? ? arg zC − z D zC − z D
z A − zB = [2 ] ?............................................................................................192 zC − z D 2
32.Comment déterminer le ou les points invariants d'une application f donnée ?..........192 33.Comment calculer l'image d'un point A d'affixe z A par une application f ?............193 34.Comment montrer que 3 points A, B et C sont alignés ?............................................193 35.Comment montrer qu'un triangle EFG est isocèle en F ?............................................194 36.Comment montrer qu'un triangle MNP est équilatéral ?.............................................194 37.Comment montrer qu'un triangle IJK est rectangle en J ?...........................................195 38.Comment montrer que deux vecteurs u z et v z ' sont colinéaires ?.....................195 39.Comment montrer que deux vecteurs u z et v z ' sont orthogonaux ?..................195 40.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un parallélogramme ? ...................196 41.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un losange ?....................................196 42.Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un carré ?........................................196 43.Comment déterminer l'image d'un cercle c(;r) par une application donnée ?.........196 13) PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE...........................................................................197 1.Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?.............................................197 2.Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ? ...........................................200 3.Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan p ?......................................203 4.Comment montrer qu'un point A x A ; y A ; z A appartient à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0 ?..........................................................................................204 5.Comment obtenir un point d'un plan p d'équation connue ?........................................205 6.Comment déterminer un vecteur normal à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0 ?......205 7.Comment vérifier si trois points A, B et C définissent un plan ?..................................206 8.Comment déterminer un vecteur normal au plan (ABC) défini par les points A, B et C ? ...................................................................................................................207 9.Comment calculer la distance AB dans un repère orthonormal ?..................................208 10.Comment calculer la distance entre un point A et un plan p dans un repère orthonormal ? .............................................................................................................208 11.Comment déterminer une équation d'une sphère s de centre (;;) et de rayon r ?......................................................................................................................209 12.Comment déterminer une équation d'une sphère de diamètre [AB], les coordonnées des points A et B étant connues ?...........................................................210 13.Comment montrer qu'un vecteur u est normal à un plan p ?.....................................211 14.Comment montrer que 4 points A, B, C, D sont coplanaires ? ...................................211 15.Comment montrer qu'un point D appartient à un plan p ? ........................................212 16.Comment montrer que deux plans sont parallèles ?....................................................212 17.Comment montrer que deux plans sont perpendiculaires ?.........................................213 18.Comment déterminer l'intersection de deux plans dont on connaît des équations ? ...213 19.Comment déterminer l'intersection de 3 plans dont on connaît des équations ? ........215 20.Comment déterminer l'intersection d'un plan p et d'une sphère s ou comment vérifier si un plan p et une sphère s de centre C et de rayon r sont sécants ?...........219 21.Comment lire les coordonnées d'un point dans l'espace ? ..........................................219 22.Comment montrer qu'un point A appartient au plan médiateur d'un segment [B;C] ? 220 23.Comment faire la différence entre "orthogonal" et "perpendiculaire" ?......................220 24.Comment déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||...||=... ou ||...||=||...|| ? ..................................................................................................................221 25.Comment montrer qu'un point M est barycentre des points N, P et Q ?.....................223
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26.Comment calculer les coordonnées d'un barycentre G de (A;a), (B;b) et (C;c) ?.......223 14) DROITES ET PLANS DE L'ESPACE..................................................................................225 1.Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite dans l'espace ? . . .225 2.Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite de représentation paramétrique connue ? .................................................................................................227 3.Comment trouver un point d'une droite dont on connaît une représentation paramétrique ? ..............................................................................................................228 4.Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan à partir de leurs équations ?....................................................................................................................228 5.Comment montrer qu'une droite est parallèle à un plan ? ............................................230 6.Comment montrer qu'une droite d est perpendiculaire à un plan ? ..............................230 7.Comment déterminer l'intersection de deux droites ?...................................................231 8.Comment montrer qu'un point A appartient à une droite d dont on connaît une représentation paramétrique ?.......................................................................................233 9.Comment montrer que deux droites sont parallèles dans l'espace ?..............................234 10.Comment montrer que deux droites sont orthogonales dans l'espace ? .....................234 15) DÉNOMBREMENT ............................................................................................................235 1.Comment calculer des probabilités quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (événements élémentaires équiprobables) ?....................................235 2.Comment calculer le nombre d'anagrammes que l'on peut former avec un mot donné ? .........................................................................................................................235 3.Comment calculer le nombre de numéros de téléphones (ou de codes...) à p chiffres que l'on peut former avec n chiffres ? (Répétition + ordre)..........................................236 4.Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en tenant compte de l'ordre ? (Pas de répétition + ordre).............................237 5.Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en ne tenant pas compte de l'ordre ? (Pas de répétition + pas d'ordre).........237 6.Comment calculer le nombre de possibilités dans le cas où l'on a plusieurs combinaisons reliées entre elles (mélange de boules rouges, noirs, blanches... Les mains d'un jeu de cartes...) ? ..................................................................................238 7.Comment faire des calculs en présence de factorielles ?..............................................240 8.Comment calculer a bn et a − bn ?......................................................................240 9.Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X ?........................242 10.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X ?...............................242 11.Comment calculer la variance V(X) et l'écart type d'une variable aléatoire X ?......243 16) PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ...............................................................................245 1.Comment déterminer p A B ?.....................................................................................245 2.Comment déterminer p(A∩B) ?...................................................................................246 3.Comment déterminer p(A) ?.........................................................................................248 4.Comment savoir s'il faut utiliser un arbre ?..................................................................251 5.Comment savoir s'il faut utiliser un tableau ?...............................................................251 6.Comment montrer que deux événements A et B sont indépendants ? ..........................252 7.Comment utiliser l'indépendance de deux événements ?..............................................252 17) LOIS DE PROBABILITÉ ...................................................................................................253 A) LOI BINOMIALE..................................................................................................................253 1.Comment montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale ? ......................253 2.Comment "sentir" l'utilisation d'une loi binomiale ?.....................................................253 3.Comment calculer p(X=k) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p ?.....254 4.Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un "succès" ?..............................255 5.Comment calculer p X k ?.....................................................................................255
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6.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?...................................................................................256 7.Comment calculer la variance V(X) et l'écart-type d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?................................................................257 B) LOIS CONTINUES................................................................................................................257 8.Comment montrer qu'une fonction f, définie sur un intervalle [a;b], est une densité de probabilité ?.............................................................................................................257 1 - LOI EXPONENTIELLE........................................................................................................259 9.Comment calculer la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant la loi exponentielle de paramètre , soit comprise entre et ∈ℝ (soit p X ) ? ......258 10.Comment calculer p X t ? p X t ?..................................................................258 11.Comment calculer la probabilité qu'un appareil qui n'est pas tombé en panne au bout de x années ne tombe pas en panne durant les h années suivantes ?.....................259 12.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle ?..............................................................................................................260 2 - LOI UNIFORME...................................................................................................................260 13.Comment calculer pc X d lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b] ?.......................................................................................................260 14.Comment calculer p(X
c) ?.........................................................................261 15.Comment calculer E(X) ?...........................................................................................261 COMMENT CALCULER EFFICACEMENT ?.........................................................................263
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INFORMATIONS IMPORTANTES ...
Comment utiliser ce livre ? 1- Comme un dictionnaire : après avoir cherché un exo pendant 5 mn minimum en faisant des va-et-vient entre le cours et l'exo (c'est une bonne façon de bien comprendre son cours) , cherchez dans ce livre, la ou les méthodes qui peuvent vous dépanner. 2- Comme un livre d'exercices : travaillez sur les exemples du livre pour acquérir les compétences de base, puis attaquez d'autres exos (+ sujets de bac corrigés). 3- Réviser pour un contrôle, un bac blanc ou le bac : s'assurer que l'on maîtrise les compétences en répondant aux différents "comment".
"Voir ch4-c5-m2-e3" signifie "voir chapitre 4, comment 5, méthode 2, exemple 3".
Mise en garde ! 1- Inutile d'essayer d'apprendre les méthodes par cœur. Comprenez-les en vous appuyant sur le cours de votre professeur : les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations y sont clairement exposés. Travaillez aussi sur des exercices variés. Cet entraînement augmentera votre rapidité en contrôle. 2- Ce livre s'intéresse aux "comment ?". Quant aux "pourquoi ?", les réponses sont à trouver auprès de votre professeur ou dans un cours. 3- Pendant un contrôle, on ne vous demandera pas comment faire mais de faire. Il faut donc s'entraîner sur suffisamment d'exos pour que l'utilisation des méthodes devienne naturelle. 4- Dans ce livre, les calculs sont souvent faits sur une ligne (les équivalences aussi). Vous, essayez de faire un calcul par ligne. Sur le site www.salutmaths.com, j'ai mis les méthodes pour les spé maths (sans exemples corrigés), des méthodes et astuces complémentaires, des erreurs à corriger … et beaucoup d'autres informations. Le blog www.devenirbonenmaths.fr contient de nombreux conseils pour devenir bon en maths. Des suggestions ou des erreurs à signaler ? Vous pouvez écrire à [email protected]
Bon courage !
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 1. Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ? Méthode 1 Si l'expression de la fonction contient des quotients, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, le ou les dénominateurs sont différents de 0. La résolution du ou des équations ainsi obtenues conduit à Df. Exemple Déterminer l'ensemble de définition D f de la fonction 3x 4 f: x . 7– 5 x x – 6 Solution Soit x ∈ℝ. f x est définie si, et seulement si, 7−5 x≠0 et x−6≠ 0 ; soit 7 x ≠ et x ≠6 . 5 7 ;6 . On a donc D f = ℝ − 5
{ }
Remarque : l'ensemble de définition est aussi appelé domaine de définition.
Méthode 2 Si l'expression de la fonction contient des racines carrées, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, la ou les expressions sous les racines sont positives ou nulles. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne Df. Exemple Déterminer l'ensemble de définition D g de la fonction g: x 8 – 3 x 45 x . Solution Soit x∈ℝ. g x est définie si, et seulement si, 8−3x0 et 4 5 x 0 ; 8 4 4 8 soit x et x − . On a donc D f = − ; . 3 5 5 3
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Méthode 3 Si l'expression de la fonction contient des ln (logarithmes), on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, les quantités auxquelles s'applique ln sont strictement positives. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne Df. Exemple 1 Quel est l'ensemble de définition Dh de la fonction ln 1−x ? h: x Solution La fonction h est définie si, et seulement si, 1− x0 ; soit x1 . Ainsi, Dh =] – ∞ ;1[ . Exemple 2 Étudier le domaine de définition D f de la fonction f définie par ln x 2 f x = . 9 x – 1 Solution f est définie si, et seulement si, x20, 9 x – 10 et 9x-1≠0 ; c'est-à1 1 dire, x > -2, x et x ≠ . 9 9 1 On conclut que D f = ;∞ . 9
]
[
2. Comment montrer qu'une fonction f est paire ? Méthode - On écrit que pour tout x ∈ D f , −x ∈ D f . - On montre que f −x = f x en calculant f −x . - On conclut alors que f est paire. Exemple Soit f x =3 –
1 définie sur ℝ*. Montrer que f est paire. x2
Solution Pour tout x∈ℝ*, on a (-x)∈ℝ*.
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
13
1 1 3 – 2 = f x . 2 = – x x La fonction f est donc paire. D'autre part, f −x = 3 –
3. Comment montrer qu'une fonction f est impaire ? Méthode - On écrit que tout x ∈ D f , −x ∈ D f
(c'est vrai pour la quasi-totalité
des exercices proposés).
- On montre que f −x =− f x en calculant f −x . - On conclut alors que f est impaire. Exemple Montrer que la fonction g définie par g x = 2 x 3 − xe x est impaire sur ℝ. 2
Solution Pour tout x∈ ℝ, on a (-x)∈ℝ. D'autre part, g −x = 2 – x 3 - −x e– x = – 2 x 3x e x = – 2 x 3 – xe x = −g x . La fonction g est donc impaire. 2
2
2
4. Comment étudier la parité d'une fonction f ? Méthode - On vérifie que pour tout x ∈ Df , − x ∈ D f . - On calcule f −x . - Si f −x = f x , on conclut que f est paire. - Si f −x =− f x , on conclut que f est impaire. - Si f −x est différente des deux résultats précédents, alors f n'est ni paire ni impaire. Exemple Soit h x =ln
x 5 . Étudier la parité de h sur I=]-5;5[. 5– x
Solution Pour tout x∈ I, (-x)∈ I (car
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– 5 x5 ⇔ – 5– x 5 ).
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14
Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Calculons f −x : x 5 f −x = ln −x5 = ln 5−x = ln 1 =− f x . = −ln 5−−x x5 x5 5– x 5− x On peut conclure que f est impaire.
5. Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p ? Méthode - On écrit que pour tout x ∈ D f , on a x p ∈ D f . - On montre que f x p = f x en calculant f x p . - On conclut que la fonction f est périodique de période p. Exemple Soit f x =– 5 cos 2 x 1sin x définie sur ℝ. Montrer que f est périodique de période 2 . Solution Pour tout x∈ℝ, x2 ∈ ℝ . D'autre part : f x2 = – 5 cos 2 x 2 1sin x2 = – 5 cos 2 x 1sinx , (car sin(x+2)=sinx et cos(x+2) = cosx) = f x . La fonction f est donc périodique de période 2 . 6. Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f ? Méthode 1 Si la fonction f est paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe représentative de f . On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou négative) de son domaine de définition. Ainsi, si f est paire sur ℝ, on étudie f sur l'intervalle [0 ;∞[ . Cf, la courbe complète de f , s'obtient par la symétrie d'axe (Oy).
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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
15
Méthode 2 Si la fonction f est impaire, alors l'origine du repère O est centre de symétrie de la courbe représentative de f. On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou négative) de son domaine de définition. 7. Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f ? Méthode Si la fonction f est périodique de période p, les portions de Cf sont les mêmes sur des intervalles successifs de longueurs p. Ou encore, la courbe de f est invariante par la translation de vecteur p i .
On peut donc restreindre l'étude de la fonction f à un intervalle de longueur p. Exemple
x −1 , x ∈ ℝ . 5 a) Étudier la parité de la fonction f . b) Montrer que f est 10 -périodique. c) En déduire qu'il suffit d'étudier f sur l'intervalle [0 ;5 ] . 2 Soit f x =−5cos
Solution a) Pour x ∈ ℝ , on a −x ∈ ℝ et : −x −x f −x =−5 cos 2 −1 = −5 cos 5 5 D'où f −x = f x sur ℝ. La fonction f est donc paire.
2
b) Pour x∈ℝ, on a x10 ∈ℝ et : x10 x10 f x10 =−5 cos 2 −1=−5 cos 5 5
2
−1 .
2
x x = −5 cos 2 −1=−5 cos 5 5 La fonction f est donc 10 -périodique.
2
x −1 = −5 cos 5
−1
2
−1= f x .
c) La parité de la fonction f permet de restreindre son étude à l'intervalle [0 ;∞[ alors que sa 10 -périodicité autorise à ne l'étudier que sur un
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
intervalle de longueur 10 ; choisissons [−5 ;5 ] . La prise en compte simultanée de la parité et la périodicité conduit finalement à étudier f sur l'intervalle [0 ;5 ] . 8. Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ? Méthode 1 - On considère un réel h tel que ah ∈Df et a−h ∈ Df . - On montre que f ah f a – h =b en calculant 2 f ah f a−h . 2 - On conclut. Exemple Soit f x =−x 3x 2 définie sur ℝ. Démontrer que le point A(1;2) est centre de symétrie de C f , la courbe représentative de f . Solution Soit h ∈ ℝ tel que 1h et 1−h appartiennent à Df . Calculons f 1h f 1 – h : 2 f 1h f 1 – h – 1h31h2 – 1 – h3 1 – h2 = . 2 2 f 1h f 1 – h =2 qui est l'ordonnée Après développement, on trouve 2 de A. On peut donc conclure que A1 ;2 est centre de symétrie de C f . Méthode 2 (plus rapide) - On considère un réel x tel que 2 a− x ∈ D f - On montre que f x f 2 a – x =b (on a posé ah= x 2 dans la méthode 1). - On conclut.
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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
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Exemple Soit f x =−x 3x 2 définie sur ℝ. Démontrer que le point A(1;2) est centre de symétrie de C f . Solution Soit x∈ℝ tel que (2+x)∈ℝ. f x f 2 a – x Calculons : 2 f x f 2 a – x = – x 33 x 2 – 2 – x33 2 – x 2 . 2 f x f 2 a – x Après développement, on trouve = 2 qui est l'ordonnée de 2 A. On conclut donc que A(1;2) est centre de symétrie de C f . 9. Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ? Méthode 1 - On prend h∈ℝ tel que ah et a−h ∈ D f . - On montre que f ah= f a−h en calculant séparément f ah et f a−h . - On conclut. Exemple 3 x 2 – 12 x1 définie sur ℝ-{0;4}. Montrer que la x2 – 4 x droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g. Soit g x=
Solution Soit h0 tel que 2h et 2−h appartiennent à D f (ici, a= 2). Montrons que g 2h=g 2−h . 32h2 – 12 2h1 3 h2 – 11 g 2h= = 2 ; 2h2 – 4 2h h –4 2 32−h – 12 2−h1 3 h2 – 11 g 2−h= = 2 . 2 2−h – 4 2−h h –4 On constate que g 2h=g 2−h . La droite d'équation x=2 est donc axe de symétrie de C g .
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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Méthode 2 On montre que f 2 a−x = f x
(on a posé ah=x dans
l'équation précédente).
Exemple 3 x 2 – 12 x1 définie sur ℝ-{0;4}. x2 – 4 x Montrer que la droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g. . Soit g x=
Solution Soit x ∈ D f tel que 4x appartient à D f . Montrons que g 2 a−x =g x avec a=2 . On a g 2 a−x =g 4−x 34−x 2 – 12 4− x1 3 x 2 – 12 x1 = =g x . = = ... 2 4− x – 4 4− x x2 – 4 x On peut conclure que la droite d'équation x=2 est axe de symétrie de C g . 10. Comment interpréter l'égalité f(x)+f(-x)=c ? Méthode Il suffit de voir que f x f −x =c s'écrit aussi f 0 x f 0− x c = . Ce qui signifie que le point 2 2 c A 0; est centre de symétrie de C f . 2
11. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et Cg ? Méthode - On résout l'équation f x =g x pour trouver la ou les abscisses x 0 des points d'intersection. - On calcule f x 0 pour trouver la ou les ordonnées. - On conclut que les points de coordonnées x 0 ; f x 0 sont les points cherchés.
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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
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12. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses ? Méthode - Le ou les points d'intersection ont pour ordonnée 0. - On résout l'équation f x =0 pour trouver la ou les abscisses x 0 (solution de l'équation) des points d'intersection. - Les points de coordonnées x 0 ; 0 sont les points cherchés. Exemple Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = − 6 x 2 x 5 . Déterminer le ou les points d'intersection de C f , la courbe représentative de f , et de l'axe des abscisses. Solution Résolvons l'équation f x = 0 pour déterminer les abscisses des points d'intersection : On a f x = 0 ⇔ − 6 x 2 x 5 = 0 . Après calcul du discriminant de cette équation du second degré, on obtient 5 les deux solutions x 1 = 1 et x 2 = − . 6 5 Les points cherchés ont donc pour coordonnées 1 ; 0 et − ; 0 . 6
13. Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et de l'axe des ordonnées ? Méthode - Le point d'intersection a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0 . - On calcule f(0). - Le point cherché a pour coordonnées 0 ; f 0 . Exemple Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = − 6 x 2 x 5 . Déterminer le point d'intersection de C f , la courbe représentative de f , et de l'axe des ordonnées.
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Chapitre 1 -
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Solution Le point cherché a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0 . Comme f 0 = 5 , on en déduit que le point d'intersection de C f et de l'axe des ordonnées est le point de coordonnées 0 ; 5 .
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
21
Chapitre 2 LIMITES ET ASYMPTOTES 1. Comment retenir les limites des fonctions de référence ? Méthode Inutile de les apprendre par cœur. Il suffit de comprendre. Pour cela, garder en tête que lim f x est le nombre vers x a
lequel se rapproche f(x) lorsque x se rapproche de a. Exemple Donner les limites suivantes: lim
x ∞
3 1 lim x lim x . et x , –∞ x x ∞
Solution
1 = 0. En effet, si x prend des valeurs de plus en plus grandes x ∞ x 1 (tend vers ∞ ), par exemple 10, 100, 10000, 1000000..., vaut tour à tour x 1 0,1, 0,01, 0,0001, 0,000001... D'où plus x grandit, plus se rapproche de x 0 (sa limite). - On a lim x = +∞. Pour le voir, il suffit d'imaginer x qui tend vers +∞, - On a lim
x ∞
prenant successivement les valeurs 4, 9, 16, 100, 10000, … x elle prendra les valeurs 2, 3, 4, 10, 100, … Donc plus x devient grand, plus x grandit. 3 - Pour terminer, lim x = –∞. Ici, si x prend pour valeurs respectivement x – ∞
-10, -100, -1000, -10000, … on constate que x 3 lui prend respectivement les valeurs -1000, -1000000, -1000000000, -1000000000000, ... 3 D'où –∞ comme limite x lorsque x tend vers –∞. 2. Comment lire graphiquement lim f x ? x a
Méthode On prend x de plus en plus proche de a et on regarde vers quelle valeur f x se rapproche. www.salutmaths.com
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
3. Comment calculer une limite lim f x ? x a
Méthode 1 On remplace tous les x par a . Exemple 2 x Calculer lim x −e 5 . x 0
Solution 2 x 2 0 On a lim x −e 5 = 0 −e 5=−15=4 . x 0
Méthode 2 Si f est une fonction polynôme et si x∞, alors on calcule la limite de son terme de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode un peu plus longue qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur).
Exemple 3 Calculer lim −75 x−9 x . x – ∞
Solution On cherche la limite d'un polynôme en –∞. Il suffit de calculer celle de son terme de plus haut degré. On a donc : 3 3 lim −75 x−9 x = lim −9 x = ∞ . x – ∞
x – ∞
Autre méthode (exigible par votre professeur) :
7 5 2 −9 . 3 x – ∞ x−∞ x x 3 7 5 Comme lim x = − ∞ et lim − 3 2 − 9 = − 9 , on en déduit que x − ∞ x − ∞ x x 3 lim −75 x−9 x = ∞ ( − ∞× − 9 ). x – ∞ 3 3 On a lim −75 x−9 x = lim x −
Méthode 3 Si f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) et si x∞, alors on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur au numérateur et au dénominateur) .
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LIMITES ET ASYMPTOTES
23
Exemple 3 2 1−x −x 7− x lim , et 2 x ∞ 26 x −3 x x – ∞ 4−x 2 2−3 x 24 x lim . x∞ 17 x 2
Calculer lim
Solution On cherche les limites de fonctions rationnelles à l'infini. Il suffit donc de calculer les limites des quotients de leurs termes de plus haut degré. 1−x −x −1 Ainsi lim = lim =0. 2 2 = lim x ∞ 26 x −3 x x ∞ 6 x x ∞ 6x −x 37− x 2 −x 3 lim = lim = lim x=– ∞ . Puis 2 x – ∞ x – ∞ −x x – ∞ 4−x 2 2 2−3 x 4 x −3 x 2 −3 lim Et enfin lim = . 2 = 7 x ∞ x ∞ 7 x 17 x 2 Autre méthode (exigible par votre professeur) : 1 1 x −1 −1 x 1−x x lim = lim = lim On a x ∞ 26 x 2−3 x x ∞ 2 2 3 x∞ 2 3 . x 6− x 2 6− 2 x x x x 2 3 1 lim x = ∞ , on − 1 = − 1 , lim 2 6 − = 6 et x Comme lim ∞ x x ∞ x x ∞ x 1−x en déduit que lim =0. 2 x∞ 26 x −3 x De même, 7 1 7 1 x3 − 1 3 − x −1 3 − 3 2 x x x x −x 7− x lim = lim = lim . 4 x – ∞ x− ∞ x −∞ 4−x 2 2 4 −1 x −1 x2 x2 Après calcul des limites du numérateur et du dénominateur, on obtient −x 37− x 2 lim =− ∞ . 2 x – ∞ 4−x
Pour terminer, 2
2−3 x 4 x = lim x∞ x ∞ 17 x 2 lim
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x2
2 4 2 4 −3 − 3 2 2 x x x 3 x = lim = − . 7 1 x ∞ 1 7 x2 2 7 2 x x
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
Méthode 4 En appliquant la méthode 1 à un quotient, si l'on obtient une constante au numérateur et 0 au dénominateur (situation c qui tend toujours vers l'infinie), alors on calcule les limites pour 0 x a et x a− . Exemple a) Calculer lim
x −3
5−2 x x 2x−19 ; b) lim . 2 3x x1 −x 3 x−2
Solution lim x 2 x−19 = −13 et a) En appliquant la méthode 1, on obtient x −3 c lim 3 x =0 d'où la forme . x−3 0 Dans ce cas, on calcule lim 3 x = 0 et lim 3 x = 0− .
x−3
−
x −3
Remarque: pour trouver 0 et 0− , deux techniques peuvent être employées : - Technique 1: x −3 signifie x -3 et x−3 et donc x30 (positif) ; d'où le 0 . - Technique 2: pour x −3 , comme x−3 , on prend un nombre plus grand que −3 , 0 par exemple, et on remplace x par ce nombre dans 3x ; le signe du résultat, +3 pour x=0 , donne 0 . Pour x −3− , on prend x=−4 , et x3 vaut −1 ; d'où 0− .
On en déduit que lim
x −3
x 2x −19 = –∞ 3x
(qui vient de
−13 ) et 0
2
x x −19 = ∞ ( −13 ). 0 3x x −3 b) On a lim 5−2 x =3 et lim −x 23 x−2=0 d'où la forme c . x 1 x1 0 Déterminons le signe de −x 23 x−2 a droite, puis à gauche de 1. Pour cela, il suffit d'étudier le signe du trinôme du second degré comme en première: le calcul de son discriminant conduit aux deux racines 1 et 2. Son tableau de signe est donc : lim
−
−
x
–∞ 2
−x 3 x−2
-
1
2
0 +
0
+∞ -
Comme −x 23 x−20 pour x1 , on en déduit que lim −x 23x−2=0 .
x 1
2 − De même, −x 23 x−20 pour x1 conduit à lim −x 2 3 x −2=0 . x 1 −
En conclusion, lim 5−2 x =3 et lim −x 23x−2=0 donne x1
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x 1
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
25
5−2 x =∞ . 2 x 1 −x 3 x−2 Alors que lim 5−2 x =3 et lim −x 223 x −2=0− donne lim
x1
lim −
x 1
−
x 1
5−2 x =−∞ . 2 −x 3 x−2
Méthode 5 En présence de factorise.
x et de x n , lorsque x tend vers ∞ , on
Exemple Calculer les limites suivantes : 3
2
a) lim −4 x −x 3 x−1 ; b) lim x ∞
x ∞
x−2 x . 5 x −x4 x−2 2
Solution
1 3 2 3 x 1 a) On a lim −4 x −x 3 x−1= lim x −4− 3 3 − 3 . x x ∞ x∞ x x 1 1 x 1 x Or lim =0 , lim 3 = lim 3 = lim 2 =0 et lim 3 =0 . x ∞ x x ∞ x x ∞ x x∞ x x x ∞ x x 1 x 1 On en déduit que lim −4− 3 3 − 3 =−4 . x x ∞ x x 3 Comme lim x =−∞ , on obtient finalement
x ∞ 3 2
lim −4 x −x 3 x−1=−∞ .
x ∞
Remarque: pour faire disparaître la racine au numérateur, on multiplie en haut et en bas par x x × x = x ... Ainsi, 2 = 2 x x × x x 2 x
x−2 x = lim 2 x ∞ 5 x −x4 x−2 x ∞
b) lim
x 1−2
x
1 x 2 x 2 5− 4 2 − 2 x x x
1−2
= lim
x
x x
x .
. 1 x 2 x 5− 4 2 − 2 x x x x = lim x = lim 1 =0 , lim 1 =0 , lim 2 =0 et Or lim 2 x∞ x x ∞ x x ∞ x x ∞ x x x ∞ x x ∞
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lim
Chapitre 2 -
x = lim
x
= lim
LIMITES ET ASYMPTOTES
1
=0 . xx x =1 , lim 5− 1 4 x − 2 =5 et donc On en déduit que lim 1−2 x x∞ x x2 x2 x ∞ 1 x 2 lim x 5− 4 2 − 2 =∞ . x x ∞ x x x−2 x =0 . Ce qui permet de conclure que lim 2 x ∞ 5 x −x4 x−2 x∞
x
2
x∞
x
2
x
x ∞
Méthode 6 En présence de racines carrées, si x tend vers l'infini et que l'on débouche sur la forme indéterminée ∞–∞, alors on utilise la méthode du conjugué en multipliant et divisant par l'expression conjugué. Exemple Soit f x = x 2−1−x et g x= x 2−2−x1 . Calculer les limites suivantes : a) lim f x (faux cas) ; b) lim f x (cas gentil) et c) lim g x x ∞
x – ∞
x ∞
(cas pas sympa).
Solution a) On a lim f x = lim
x 2−1−x . Comme x – ∞
x – ∞
x 2−1 = ∞ x – ∞ lim
et
lim −x = ∞ on peut conclure que lim f x =+∞ (En fait, ici, il n'y a pas de forme
x – ∞
x – ∞
indéterminée).
b) Par contre pour lim f x , en procédant comme précédemment on x ∞
obtient la forme indéterminée ∞ – ∞ . Appliquons la méthode du conjugué : x 2 −1x x 2−1−x 2 −1 2 2 = 2 = 2 . D'où x −1−x= x −1−x 2 x −1x x −1x x −1x −1 2 lim f x = lim . Mais comme lim x −1x =+∞, on peut 2 x ∞ x ∞ x −1x x ∞ conclure que lim f x =0. x ∞
x 2 −2− x1 . On a la x ∞
c) Pour terminer, déterminons lim g x = lim x ∞
forme indéterminée +∞–∞. Appliquons la méthode du conjugué : x 2−2− x1 = x 2−2− x−1 (c'est pour avoir la forme
A−B )
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LIMITES ET ASYMPTOTES
=
27
x 2 −2− x −1 x 2−2 x−1
x 2−2 x−1
2
2
x −2− x −1 = (on a utilisé a−bab=a −b ) x 2−2 x−1 2x−3 = 2 x −2 x−1 3 x 2− x = (on a mis x en facteur sous la racine) 2 1 2 x 1− 2 x 1− x x 3 x 2− x = x 2 1− 22 x 1− 1x x 3 x 2− x = (Attention ! x = ∣x∣ ) 2 1 ∣x∣ 1− 2 x 1− x x 3 x 2− x = (comme x tend vers +∞, x0 ; d'où ∣x∣=x ) 2 1 x 1− 2 x 1− x x 3 x 2− x = (on met x en facteur au dénominateur) 2 1 x 1− 2 1− x x 2
2−
=
1−
2
2
2
3 x
2 1 1− 2 x x
Comme le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 2 quand x tend vers +∞, on en déduit que lim g x = 1. x ∞
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
Méthode 7 Si la fonction est un quotient qui, pour x tendant vers un 0 réel a , donne , alors on utilise la définition du 0 nombre dérivé. Exemple x sin x e −1 ; b) lim ; c) lim x x 0 x x 0 x −3 x8−3 d) lim . x 1 e x −e
Calculer a) lim
x 2−5−4 x3
et
Solution
f x − f a qui, si x−a x a elle existe (ce qui équivaut à f dérivable en a ), est égale à f ' a . f x − f 0 sin x sin x −sin 0 a) On a lim = lim = lim avec x x −0 x−0 x 0 x 0 x 0 f x =sin x . f x − f 0 Comme f est dérivable en 0, alors lim existe et vaut f ' 0 . x−0 x 0 Pour x∈ℝ, f ' x = cos x ; d'où f ' 0 = cos 0 = 1 . sin x On peut donc conclure que lim =1. x x 0 b) De la même façon, on a : e x −1 e x −e0 lim f x − f 0 = lim = avec f x = e x , dérivable sur lim x−0 x 0 x x−0 x 0 x 0 ℝ. f x − f 0 = f ' 0 . Donc lim x−0 x 0 Pour x∈ℝ, f ' x = e x ; ce qui conduit à f ' 0 = 1. e x −1 On peut conclure que lim = 1. x x 0 c) En suivant le même cheminement, on a : f x− f −3 x 2−5−4 = lim = f ' −3 avec f x = x 2−5 , lim x−−3 x −3 x3 x −3 dérivable sur tout I intervalle où x 2 − 5 0 , soit I =] − ∞ ; − 5[∪] 5 ; ∞[ . x −3 Donc pour x∈I, f ' x = et f ' −3 = . 2 4 x −5
On va mettre les limites à calculer sous la forme lim
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
On conclut que lim
x−3
x 2−5−4 = x3
29
−3 . 4
0 . Par contre, on 0 remarque qu'au dénominateur il n'y a pas de x−a . Il va falloir le créer en divisant le numérateur et le dénominateur par x−a . Ici a vaut 1. x8−3 x8−3 x−1 On a lim = lim . x x 1 x 1 e −e e x −e x−1 x8−3 = 1 et En calculant, grâce au procédé précédent, lim 6 x−1 x 1 1 x8−3 = 6 = 1 . e x −e lim =e , on en déduit que lim 6e e x1 e x −e x1 x−1 d) Pour le dernier exemple, on a la forme indéterminée
Méthode 8 Si f est la composée de deux fonctions ( - on calcule lim v x =b ;
f =u °v )
alors :
x a
- ensuite lim u X =c ; X b
- et on conclut, d'après le théorème sur la limite de composés de fonctions, que lim f x=c (méthode utilisée avec x a
cos, sin, ln, exp,
).
Exemple
1x−3 x 2 Calculer a) lim cos x – ∞ x 35 2 c) lim 5−x .
2
−t 2 ; b) lim −6 e et t ∞
x −1
Solution On cherche des limites de composées de fonctions. 1x−3 x 2 a) Pour lim cos , on procède comme suit : x – ∞ x 35 −3 1x−3 x 2 −3 x 2 lim - D'une part, lim = = lim = 0 (limite de fonction 3 3 x – ∞ x x – ∞ x – ∞ x 5 x rationnelle à l'infinie). - D'autre part, lim cos X =1 .
X 0
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30
Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
- D'où, d'après le théorème de composition des limites, 1x−3 x 2 lim cos = 1. x – ∞ x 35 −t 2 b) Appliquons la même démarche à lim −6 e :
2
t ∞
- On a lim −t 22 = lim −t 2 = –∞. t ∞
t ∞
T
- Or lim −6 e = 0 . T −∞
2
−t 2 =0 . - On conclut, par composition des limites, que lim −6 e t ∞
5−x 2 =2 . x −1
c) En procédant comme en a) et b), on obtient lim
Méthode 9 Si l'on peut obtenir un encadrement de f au voisinage de a, c'est-à-dire g x f xh x pour tout x proche de a et g x = lim h x =b, alors on applique le théorème si lim x a x a des gendarmes : lim f x =b. x a
Exemple Calculer lim
t ∞
−5 x−sin 2 x cos t et lim . t 1 x x – ∞
Solution
cos t , on constate que lim cos t n'existe pas. L'approche directe t ∞ t ne fonctionne donc pas. Il va falloir s'y prendre autrement. - Tout d'abord, on a −1cos t1 pour tout t réel. Comme t tend vers +∞, −1 cos t 1 . t0 et donc t t t −1 1 - D'autre part, lim = 0 et lim = 0. t ∞ t t ∞ t cos t - D'après le théorème des gendarmes, on a lim = 0. t t ∞ −5 x−sin 2 x Pour lim aussi, on remarque que lim sin 2 x n'existe 1 x x – ∞ x – ∞ pas. −5 x−sin 2 x Procédons à un encadrement pas à pas de : 1 x −1sin 2 x 1 pour tout x ∈ ℝ . D'où 1−sin 2 x −1 , ∀ x ∈ ℝ et −5 x 1−5 x−sin 2 x −5 x−1 , ∀ x ∈ ℝ . Lorsque x tend vers –∞, on a 1 x0 et donc Pour lim
t ∞
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
31
−5 x1 −5 x−sin 2 x −5 x −1 . x 1 x1 x1 −5 x1 −5 x Pour terminer lim = lim = -5 et x 1 x x – ∞ x – ∞ −5 x−1 −5 x lim = lim = -5. x 1 x x – ∞ x – ∞ Le théorème des gendarmes nous permet de conclure que −5 x−sin 2 x lim = -5. 1 x x – ∞ Méthode 10 Si l'on a f x g x pour tout x proche de a et lim g x =∞ , alors on conclut que lim f x=∞ . x a
x a
(De même si f x g x pour tout x proche de a et lim g x =−∞ , alors on conclut x a
que lim f x=−∞ ). x a
Exemple
cos x 1 2x . Montrer que f x 2 x − pour tout x x lim f x . x0 , puis en déduire
Soit f x =
x – ∞
Solution Procédons par équivalence. 1 cos x 1 cos x −1 2x2x− ⇔ Pour x0 , f x 2 x − ⇔ ⇔ x x x x x cos x−1 , x0 (l'inégalité change de sens lorsqu'on multiplie ses deux membres par x0 ). Comme cos x−1 est vraie pour tout x ∈ℝ, on a donc bien f x 2 x −
1 x
(On pourrait aussi montrer cette inégalité par encadrement de f(x)).
1 Déterminons lim f x . On a montré que f x 2 x − pour x0 . Or x – ∞ x 1 lim 2 x − = –∞ ( lim 2 x = –∞ et lim −1 = 0). x x – ∞ x – ∞ x−∞ x On peut donc conclure, grâce au théorème de comparaison, que lim f x = –∞. x – ∞
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32
Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
4. Comment interpréter graphiquement une limite ? Méthode On l'interprète en terme d'asymptote : - Si lim f x=∞ ou−∞ , où a ∈ ℝ , alors on conclut que x a
C f admet une asymptote verticale d'équation x=a . - Si lim f x =b , où b ∈ ℝ , alors on conclut que C f x∞ −∞
admet une asymptote horizontale d'équation y=b . - Si lim f x − y=0 avec y=axb , alors C f admet x ∞ −∞
une asymptote oblique d'équation y=axb . Exemple Calculer les limites suivantes et donnez-en une interprétation −4 x 25 x5− x 2 graphique: a) lim ; b) lim 2 ; x – ∞ −15 x−x 2x x −2 2 c) lim f x −4x−1 où f x = 4x −9x−5 . x ∞ x2 Solution 2
x5− x , on voit que c'est un cas c . En effet, 2x x −2 0 2 lim 2x = 0. Dans ce cas, on calcule lim x5−x =−1 et
a) Pour lim
x −2
x −2
− lim 2x = 0 et lim 2x = 0 .
x −2 x−2
x −2 x−2
On en déduit que lim
x−2 x−2
x5−x 2 x5−x 2 = –∞ et lim = +∞. 2 x 2 x x −2 x−2
Graphiquement, ces deux résultat indiquent que la droite d'équation x=−2 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction x5− x 2 f : x . 2x b) On cherche la limite d'une fonction rationnelle à l'infinie. −4 x 25 −4 x 2 lim On a donc lim 2 = 2 = 4. x – ∞ −15 x−x x – ∞ −x 2 −4 x 5 Posons g x= 2 . Le résultat précédent s'interprète alors ainsi : −15 x− x C g admet en –∞ une asymptote horizontale d'équation y=4 . www.salutmaths.com
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LIMITES ET ASYMPTOTES
33
c) Pour le dernier exemple, calculons d'abord 2 −3 f x −4x−1 = 4x −9x−5 −4 x−1 = . x2 x2 −3 Ce qui donne lim f x −4x−1 = lim = 0. x∞ x ∞ x2 C f admet donc en +∞ une asymptote oblique d'équation y=4 x−1 . 5. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ? Méthode - On choisit une valeur interdite a ∈ ℝ de f et on calcule lim f x pour trouver ∞ ou – ∞ . x a - On conclut que la droite d'équation x=a est asymptote à Cf. Exemple Soit la fonction f définie sur ] – ∞ ;−4 [ ∪]−4 ;∞[ par −x 3 x−6 . Montrer que f admet une asymptote dont on f x = 4x précisera une équation. Solution Comme -4 annule le dénominateur de f(x), on n'hésite pas : on calcule lim f x . x−4
3 On a lim −x x−6 = -66 et lim 4 x = 0. Donc cas x −4 −
x −4
Or lim 4 x=0 et lim 4 x=0 . x −4 x−4
c . 0
x −4 x−4
D'où lim f x = –∞ et lim f x = +∞. x −4 x−4
x−4 x−4
Des deux derniers résultats, on déduit que la droite d'équation x=−4 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
6. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ? Méthode - On calcule lim f x ou lim f x pour trouver un x ∞
x – ∞
réel b. - On conclut alors que la droite d'équation y=b est asymptote à C f en +∞ ou en – ∞ . Exemple 2 x−x 2 Soit f : x définie sur ℝ. Montrer que C f , la courbe 3 x 27 représentative de f, admet en – ∞ une asymptote dont on précisera une équation. Solution Calculons lim f x . x – ∞
f étant une fonction rationnelle, on a : 2 1 2 x−x 2 −x − . lim lim f x = lim = 2 2 = 3 x – ∞ 3x 7 x – ∞ 3 x x – ∞ 1 On a montré que lim f x = − . On peut donc conclure que C f admet 3 x – ∞ 1 une asymptote verticale en – ∞ d'équation y=− . 3 7. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ? Méthode - On montre que lim f x − y=0 ou lim f x − y=0 , x ∞
x – ∞
avec y=axb . - On conclut alors que la droite d'équation y=axb est asymptote oblique à C f en +∞ ou en –∞. Exemple 2 x 2−6 x5 Soit f la fonction définie sur ℝ-{1} par : f x = . x−1 www.salutmaths.com
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
35
c . x−1 b) En déduire que la courbe représentative C de f admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. a) Déterminer les réels a, b et c tels que f x = axb
Solution a) Pour tout x≠1, on a axb
2 c ax −axbx−bc = = x−1 x−1
ax 2−ab x−bc . x−1 D'où pour x∈ℝ-{1} : c ax 2−ab x−bc 2 x 2−6 x5 axb = f x ⇔ = . x−1 x−1 x−1 Par identification des coefficients des polynômes aux numérateurs, on obtient a=2 a=2 −ab=−6 , ce qui, après résolution, donne b=−4 et donc −bc=5 c=1 1 f x = 2 x −4 . x−1 b) Pour trouver une asymptote oblique, remarquons que 2 x − 4 est de la forme axb . Calculons donc lim f x −2 x−4 et
{
{
lim f x −2 x−4 .
x ∞
x −∞
1 1 , on a f x −2 x−4 = . x−1 x−1 lim f x −2 x−4 = lim 1 = 0 et D'où x ∞ x∞ x−1 1 lim f x −2 x−4 = lim = 0. x−1 x – ∞ x −∞ On conclut alors que C admet en + et –∞ une asymptote oblique d'équation y=2 x−4 . De f x = 2 x −4
8. Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ? Méthode - On calcule f x − y , où y=axb est une équation de la droite D . - On étudie ensuite le signe de f x − y (à l'aide d'un tableau si nécessaire). www.salutmaths.com
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Chapitre 2 -
LIMITES ET ASYMPTOTES
- On conclut que C f est au-dessus de D sur l'intervalle où f x − y0 et que C f est en dessous de (D) sur l'intervalle où f x − y0 . Exemple Dans l'exemple précédent, étudier les positions relatives de C et de . Solution On a montré que pour x≠1, f x − y = f x −2 x−4 =
1 . x−1
1 x−1 x−1 x−10 x1 x−10 qui a le même signe que . Or pour et pour x1 . On peut donc dire que sur [1 ;∞[ , f x − y0 ; c'est-à-dire f x y . Ce qui signifie que sur [1 ;∞[ l'intervalle, C est au-dessus de . Et f x − y0 sur ] – ∞ ;1 ] ⇔ f x y sur ] – ∞ ; 1 ] . D'où C en dessous de sur ] – ∞ ;1 ] . Étudions le signe de f x − y avec x≠1: f x − y est du signe de
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Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
37
Chapitre 3 CONTINUITÉ 1. Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ? Méthode 1 - On calcule lim f x , puis f a . x a
- S'ils sont égaux, on conclut que la fonction f est continue en a. - Sinon, elle ne l'est pas. Exemple 1 Soit f x =
{
sin x x 1
si x ≠0
, f est-elle continue en 0 ?
si x =0
Solution Remarquons que D f =ℝ. Vérifions si lim f x = f a avec a=0 . x a
On a f 0=1 d'après l'énoncé ( f x = 1 si x = 0 ). sin x D'autre part, lim f x = lim =1 (voir méthode calcul de limites : ch2-c2-m7). x x 0 x0 Comme lim f x= f 0 , on peut affirmer que f est continue en 0. x 0
Exemple 2
{
1−x si 2 x 3 x−7 si a) Calculer f 0 , f −3 , f 5 et f −2 . b) Étudier la continuité de f sur ℝ. Soit la fonction f définie par f x =
x − 1 . x−1
Solution a) Comme 0−1 , on utilise la première expression de f pour calculer f(0). Ainsi, f 0=1−0=1 . −3−1 , c'est donc la deuxième expression de f qu'il faut utiliser : 2 f −3=−3 3−3−7=9−9−7=−7 . 5−1 donne f 5=1−5=−4 . Et enfin, −2−1 donc f −2=−223−2−7=−17 . Remarque: la question a) sert à mieux appréhender la fonction f qui peut aussi être définie comme suit:
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38
Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
{
f x =1− x si x ∈ [−1 ;∞[ . 2 f x =x 3 x−7 si x ∈ ]−∞ ;−1[ 1 − x est continue sur ℝ; d'où f est continue sur Le polynôme x ] − 1 ; ∞[ . 2 De même, la continuité de la fonction x x 3 x−7 , également un polynôme, entraîne celle de f sur ]−∞;−1[ . Il ne reste plus qu'à étudier la continuité de f en -1 ("point frontière", à droite et à gauche duquel f à une expression différente) : vérifions si lim f x = f −1 . x−1
Comme −1−1 , c'est l'expression f x =1− x qui sera utilisée pour calculer f −1 ; on a ainsi f −1=1−−1=2 . D'autre part, la fonction f a une expression différente suivant que l'on se trouve à droite ou à gauche de -1; il faut donc calculer les limites à gauche et à droite de -1. 2 On a : lim f x = lim 1−x=2 et lim f x = lim x 3 x−7=−9 . x −1
x −1
x −1
−
x −1
−
On constate que lim f x ≠ lim f x . Ce qui signifie que lim f x x−1
x −1
x −1
−
n'existe pas. La fonction f n'est donc pas continue en -1. On conclut que f est continue sur ]−∞;−1[ ∪ ]−1;∞[ . Méthode 2 Si l'on sait que la fonction f est dérivable en a, alors f est continue en a. 2. Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle ? Méthode 1 On applique le résultat de cours suivant : "Les fonctions polynôme, rationnelle, cosinus, sinus, racine carrée et valeur absolue sont toutes continues sur leurs ensembles de définition. Les fonctions obtenues par addition, multiplication, division ou composition de ces fonctions sont également continues sur leurs ensembles de définition." Exemple Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur I : a) f x =−5 x 4−x 2 4 x−1 , I=ℝ.
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Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
39
−x−2 , I=ℝ\{1;6}. x −7 x6 c) h x =ln 4− x 2 e−x3 , I =]−2 ;2 [ . b) g x=cos
2
Solution a) La fonction f est un polynôme, donc continue sur ℝ. −x−2 b) La fonction x est une fonction rationnelle, donc continue 2 x −7 x 6 sur son domaine de définition I. La fonction cos , elle, est continue sur ℝ. On en déduit que g , composée des deux fonctions précédentes, est continue sur son domaine de définition I. 2 c) La fonction ln est continue sur ]0 ;∞[ . Le polynôme x 4−x l'est sur ℝ. D'où la continuité, par composition, de x ln 4−x 2 sur son domaine de définition I. −x3 sont toutes deux D'autre part, les fonctions exponentielles et x continues sur ℝ. Ce qui assure la continuité de x e−x3 sur ℝ en tant que composée des deux précédentes. Finalement, la fonction h est continue sur son ensemble de définition I 2 comme somme des fonctions x ln 4−x . e−x3 et x Méthode 2 Si la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, alors elle y est continue.
Cette méthode est utilisée lorsqu'après avoir établi le sens de variation d'une fonction g sur un intervalle I, on demande de montrer que l'équation g x = k (en général, g(x)=0) admet une unique solution sur I. La dérivabilité de g , prouvé avant le calcul de g ' x , permet de dire que g est continue sur I. L'intérêt, c'est de ne pas perdre de temps à prouver que g est continue sur I avec la méthode 1.
3. Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b] ? Méthode - On montre que f est continue sur l'intervalle [ a ;b ] . - On calcule f a et f b pour montrer que k est compris entre ces deux nombres. - On conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =k admet au moins une solution sur l'intervalle [ a ;b ] .
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40
Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
Exemple 4 Montrer que l'équation x −x−1=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] . Solution 4 Posons f x =x 4 −x−1 . L'équation x −x−1=0 équivaut à f x =0 . Montrons donc que f x =0 admet au moins une unique solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] . - La fonction f qui est un polynôme est continue sur [0 ; 2 ] . - D'autre part, f 0=−1 et f 2=13 ; −1013 , d'où 0 est compris entre f 0 et f 2 . Ces deux critères étant satisfaits, on peut conclure, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 2 ] . 4. Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] ? Méthode - On montre que la fonction f est continue sur l'intervalle [ a ;b ] . - On montre que f est strictement monotone (c'est-à-dire strictement croissante ou décroissante) sur [ a ;b ] . - On montre que k est compris entre f a et f b en calculant ces deux nombres (si k = 0 , donc équation f x = 0 , alors il suffit de montrer que f a× f b 0 : o est dans ce cas compris entre f(a) et f(b) qui sont de signes contraires).
- On conclut, d'après le théorème de la valeur intermédiaire (ou théorème de la bijection), que l'équation f x =k admet une unique solution dans l'intervalle [ a ;b ] . Exemple 1 Montrer que l'équation −x 33 x 2− x5=0 admet une unique solution sur l'intervalle [ 2; 3] . Solution Posons f x =−x 32 x 2−x5 . L'équation −x 33 x 2− x5=0 est équivalente à f x =0 . Montrons donc que cette dernière admet une unique solution dans l'intervalle [ 2; 3] . - La fonction f , un polynôme, est continue sur l'intervalle [ 2; 3] . - Montrons qu'elle strictement monotone sur cet intervalle. www.salutmaths.com
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Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
41
f est dérivable sur [ 2; 3] et f ' x=−3 x 2 4 x −1 ; le discriminant de f ' , trinôme du second degré, est égal à 4. On en déduit ses deux racines : 1 x 1=1 et x 2= . 3 La règle de signe d'un trinôme du second degré nous permet de dire que f ' x0 sur l'intervalle [1 ;∞[ ; donc f ' x0 sur [ 2; 3] . Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ 2; 3] . - Vérifions que 0 est compris entre f 2 et f 3 . On a f 2=−2 32×2 2−25=3 et f 3=−7 . Comme −703 , on a bien 0 compris entre f 2 et f 3 . Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que l'équation donnée admet une unique solution dans l'intervalle [ 2; 3] . Exemple 2 Soit g la fonction définie sur ]−∞;5 ] par g x= 5−x− x . Montrer que l'équation g x=−2 admet une et une seule solution sur l'intervalle ]−∞;5 ] , puis donner une valeur approchée de à 10−3 près. Solution - La fonction g est dérivable sur tout intervalle où 5− x0 , c'est-à-dire sur 1 1 . ]−∞;5 [ . De plus, pour x∈ ]−∞;5 [ , on a g ' x =− 5− x Comme 5− x0 sur ]−∞;5 [ , on en déduit que g ' x 0 sur l'intervalle ]−∞;5 [ . La fonction g est donc strictement décroissante sur ]−∞;5 ] . - g est continue sur l'intervalle ]−∞;5 ] car dérivable sur cet intervalle. - Enfin, on a g 5=−5 et lim g x=∞ ; -2 est donc compris entre
g 5 et lim g x .
x −∞
x −∞
On peut conclure, d'après le théorème de la bijection, que l'équation g x=−2 admet une et seule solution sur l'intervalle ]−∞;5 ] . La calculatrice donne ≈3,303 (un encadrement de , souvent demandé, d'amplitude 3,3023,303 ).
10− 3 serait
Exemple 3 Soit f la fonction dont le tableau de variation est donnée cidessous. Montrer que l'équation f x =0 admet une unique solution dans ℝ.
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Chapitre 3 -
x
–∞
f '(x) f(x)
–2 –
0
+∞
CONTINUITÉ
4 +
0
+∞ –
-3 –5
–∞
Solution A partir du tableau de variation, on remarque que f x −30 sur l'intervalle [−2 ;∞[ ; d'où f x ≠0 sur cet intervalle. Montrons que l'équation f x =0 admet une unique solution sur ]−∞;−2 ] : Le tableau indique que : - f est continue sur ]−∞;−2 ] ; - f est strictement décroissante sur ]−∞;−2 ] ; - f −2=−5 et lim f x =∞ . x −∞
On en déduit que 0 est compris entre f −2 et lim f x . x −∞
Ces trois critères étant vérifiés, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f x =0 admet une unique solution sur l'intervalle ]−∞;−2 ] . Les deux résultats établis conduisent à l'existence d'une unique solution à l'équation f x =0 sur ℝ ( ]−∞;−2 ] ∪ [−2 ;∞ [ ). 5. Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution ? Méthode - Avec une calculatrice Casio: soit dans Table soit avec graphe+G-solv+root (très rapide mais valable uniquement pour f x =0 pour résoudre f x =k , il suffit de se ramener à f x −k =0 ). - Avec une calculatrice TI: soit dans Table soit avec la fonction Solve du menu Maths (voir notice d'utilisation).
;
6. Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution ? Méthode 1 On déduit le signe de g à partir de son tableau de variation. www.salutmaths.com
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Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
43
Exemple Soit g la fonction définie sur ]−∞;5 ] par g x= 5−x− x . a) Démontrer que l'équation g x=−2 admet une et une seule solution solution sur l'intervalle ]−∞; 4 ] . b) En déduire le signe de g . Solution a) Résolu au c4-e2 b) Les résultats obtenues au a) permettent d'établir le tableau de variation de g :
Et du tableau, on déduit que g x0 sur l'intervalle ]−∞; ] et g x0 sur [ ;∞[ (c'est encore plus évident sur un graphique que vous pouvez dessiner à partir du tableau de variation). Méthode 2 On déduit le signe de g par le calcul, à partir de son sens de variation. Exemple Exemple précédent. Solution Pour x∈ ]−∞; ] , on a x ; comme la fonction g est décroissante sur ]−∞; ] , on déduit que g xg (inversion de l'ordre par la décroissance d'une fonction). Or g =0 . D'où g x0 pour x∈ ]−∞; ] . De même, pour x∈ [ ;∞[ , on a x . La décroissance de g sur l'intervalle [ ;∞[ conduit à g xg . Comme g s'annule en , alors g x0 pour x∈ [ ;∞[ .
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44
Chapitre 3 -
CONTINUITÉ
7. Comment montrer que g x0 ou g x 0 sur I=[;+∞[, où est l'unique solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I ? Méthode On prend x∈I, c'est-à-dire x . On applique la croissance ou la décroissance de g sur I à cette inégalité. On obtient le signe de g en remplaçant g par 0. Exemple (voir exemple précédent). Solution (voir solution de l'exemple précédent).
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
45
Chapitre 4 -
DÉRIVATION 1. Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a∈ℝ ? Méthode - On calcule lim h0
réel l
f ah− f a pour trouver un nombre h
(ou la formule équivalente lim x a
f x− f a , obtenue en remplaçant x −a
a h par x ). - On conclut alors que f est dérivable en a et que f ' a=l .
Exemple Montrer que la fonction f définie sur ℝ par f x =
{
4x 2 sin
1 x
0 valeur de f ' 0 .
si
x≠0
si
x=0
est dérivable en 0 et donner la
Solution On a lim x0
f x − f 0 = lim x−0 x 0
4 x 2 sin
1 −0 x
x
1 4 x sin = lim x = 0. x 0
1 4 x . Mais comme x lim −4 x=0 et lim 4 x=0 , on en déduit, grâce au théorème des gendarmes,
En effet, pour x0 , on a −4 x4 x sin x 0
x 0
que lim 4 x sin x 0 x0
1 = 0. x
1 4 x sin De la même façon, on montre que lim x = 0. x 0 x0
f x − f 0 1 =0 . = 0 ; d'où lim x x−0 x 0 x0 La fonction f est donc bien dérivable en 0 et f ' 0=0 . Ce qui donne lim 4 x sin
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46
Chapitre 4 - DÉRIVATION
2. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a∈ℝ ? Méthode
f ah− f a f x − f a (ou lim ). h x−a h0 x a - Si la limite obtenue est un réel l , alors f est dérivable en a et on note f ' a=l . - Si la limite obtenue est égale +∞ ou −∞ ou encore si la 1 limite n'existe pas (exemple: lim sin x n'existe pas), alors on écrit que f n'est pas dérivable en a . - On calcule lim
x 0
Exemple 1 On considère la fonction g définie sur [−1;∞ [ par : g x=1− x 2 x1 . Étudier la dérivabilité de g en -1. Solution Étudions la dérivabilité de g en -1. Pour x∈ [−1;∞ [ , on a : g x −g −1 1− x 2 x1 1− x x 1 x1 = = = 1−x x1 . x−−1 x1 x1 g x −g −1 lim 1− x x1 = 0. D'où lim = x −1 x−−1 x −1 On conclut que g est dérivable en -1 et que g ' −1 =0. Exemple 2 Soit f x =
]
]
1 1−2 x définie sur – ∞; 2 .
Étudier la dérivabilité de f en
1 . 2
Solution f x − f On a x−
1 2
1 2
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1−2 x 2 1−2 x = = 1 2x−1 −1−2x x− 2 2 2 1−2 x 2 = = . −1−2x 1−2 x − 1−2 x =
1−2 x −0
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
f x− f D'où lim x
1 2
x−
47
1 2
1 2
2 = lim1 − 1−2 x . Or lim −1−2x = 0− ; ce qui x 1 x
2
2
1 f x− f 2 2 donne lim1 − 1−2 x = –∞ et donc lim = –∞. x 1 1 2 x x− 2 2 1 On peut donc conclure que f n'est pas dérivable en . 2 3. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ? Méthode On détermine l'intervalle de dérivabilité de f grâce aux théorèmes généraux et aux conditions de dérivabilité du tableau des dérivées usuelles. Si nécessaire, on complète l'étude par la dérivabilité en un point. Exemple Soit f x =
]
]
1 1−2 x définie sur I= – ∞; 2 .
Étudier la dérivabilité de f sur I. Solution On a f = u avec u x =1−2 x . La fonction f est donc dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u x 0 . La fonction polynôme u est dérivable sur ℝ et u x 0 équivaut à 1 1−2 x0 ou encore x . 2 1 f est donc dérivable sur l'intervalle −∞; . 2 1 Il ne reste plus qu'à vérifier la dérivabilité de f en . 2 Dans l'exemple précédent, nous avons montré que f n'était pas dérivable en 1 f x− f 1 2 en montrant que lim =−∞ . 2 1 1 x x− 2 2
]
[
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
]
On conclut donc que f est dérivable sur l'intervalle −∞;
[
1 . 2
4. Comment interpréter graphiquement le f ah− f a résultat suivant : lim = ∞ h h 0 ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour Cf ? Méthode De ce résultat, on déduit que C f admet une tangente verticale au point d'abscisse a. 5. Comment interpréter graphiquement les f ah− f a = résultats suivants: lim h h 0 h0
f ah− f a lim = réel et h 0 = réel, avec h h0
≠ ou quelle conséquence graphique ces résultats ont-ils pour Cf ? Méthode Ce résultat dit que la dérivée à droite de a est différente de la dérivée à gauche. On en déduit que C f admet deux demi-tangentes au point d'abscisse a (ou encore le point d'abscisse a est un point anguleux de C ). f
6. Comment calculer f '(a) ? Méthode - On calcule f ' x en dérivant f . - On calcule f ' a en remplaçant x par a dans f ' x . Exemple Soit f x = xe −x 6 définie sur ℝ . Calculer f ' −2 . 2
Solution f , produit de fonctions dérivables sur ℝ, est dérivable sur ℝ. www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
49 2
Pour x∈ℝ, on a f ' x = …= e−x 6 1−2 x 2 . D'où f ' −2 = e−−2 6 1−2−22 = −7e 2 . 2
7. Comment interpréter graphiquement f '(a) ? Méthode f ' a est le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a . 8. Comment déterminer graphiquement f '(a) ? Méthode f ' a étant le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a , on utilise les méthodes de détermination d'un coefficient directeur (lecture graphique si possible ou calcul avec f ' a =
y B− y A , A et B étant deux points quelconques de la tangente). x B− x A
Exemple Ci-contre, on a la courbe représentative d'une fonction f et des tangente aux points d'abscisse 1, 3 et 4. Déterminer f ' 1 , f ' 3 et f ' 4 . Solution Par définition, f ' a est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe de f qui a pour abscisse a. La tangente au point d'abscisse 3 étant horizontale, on déduit que f ' 3=0 (prendre deux points sur cette droite et calculer son coefficient directeur pour voir).
Par lecture graphique, la tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 4. D'où f ' 1=4 (ici aussi, on peut calculer le coefficient directeur en prenant deux points de la tangente dont on peut lire les coordonnées exactes).
De même, une lecture graphique donne f ' 4=−2 .
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50
Chapitre 4 - DÉRIVATION
9. Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f '(x) ? Méthode Il suffit d'appliquer les conditions de dérivabilité contenues dans le tableau des dérivées usuelles. Sans oublier que les fonctions polynômes, rationnelles, cosinus, sinus et exponentielles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Mais aussi, la somme et le produit de fonctions dérivables sur un intervalle y sont dérivables. Exemple (voir méthode suivante) 10. Comment calculer f '(x) ? Méthode On explique pourquoi f est dérivable sur I et on utilise l'une des formules suivantes : f est dérivable sur tout intervalle où... uv ' =u 'v '
u et v sont dérivables
ku ' =ku ' , avec k∈ℝ
u est dérivable
uv ' =u ' vuv '
u et v sont dérivables
u et v sont dérivables et v≠0
u u ' v−uv ' '= v v2 n
n −1
u ' =nu ' u n∈ℕ*
,
1 −u ' '= 2 u u
1 −nu ' n '= n1 u u
, n∈ℕ*
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Domaine de dérivabilité de f
n
n−1
u est dérivable
x ' =nx
u est dérivable et u≠0
ℝ*
u est dérivable et u≠0
ℝ*
1 −1 '= 2 x x 1 −n ' = n 1 n x x
ℝ
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
51
u' 2 u
1
]0 ;∞[
u est dérivable et u>0
x ' =
e u '=u ' e u
u est dérivable
e x '=e x
u' u
u est dérivable et u>0
ln x '=
u est dérivable
sin x ' =cos x
ℝ
cos x ' =−sin x
ℝ
u' =
ln u '=
sin u '=u ' cos u
cos u '=−u ' sin u u est dérivable tan u'=
u' = 2 cos u
u est dérivable et
2x ℝ
1 x
ℝ*
1 2 cos x 2 = 1tan x
tan x' =
u x ≠ k ; k ∈ℤ 2
ℝ−
{2 k ; k ∈ℤ}
u °v ' =v '×u ' °v u et v sont dérivables et v x appartient à l'ensemble de dérivabilité de u. Remarques - Les dérivées à droite peuvent être obtenues en remplaçant u par x dans la colonne de gauche. - Attention ! La dérivée de u n est nu ' u n−1 et non nu n −1 . 1 1 −n - Pour obtenir la dérivée de , il suffit de voir que et remplacer n par −n dans n n =u u u u n '=nu ' u n− 1 . - Pour ne plus confondre les dérivées de sin et cos, voici une astuce: sin est simple: sa dérivée donne gentiment cos . Alors que cos, compliqué, a pour dérivée −sin .
Exemples Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables sur un intervalle à déterminer, puis calculer leur dérivée : 2 −x 5 x6 3 2 a) f x =−4 x 5 x −7 x−9 ; b) g x= ; x3 c) h x = x−x ; d) k x= x−1−4 x 2 2 ; 2−x −5 e) m x= 2 ; f) n x = 2 ; g) h x =cos 3 x ; −x 1 x −3 1 h) p x =−4 x 3−x12 ; i) q x = sin x− , x ∈ [ 0 ; ] ; 2 3 j) r x =cos x −x ; k) s x =−2sin −5 x−1 ; −x5 l) v x=ln . x−1
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
Solution a) La fonction f est un polynôme, donc dérivable sur I=ℝ. Comme f est une somme de fonctions, f ' est la somme des dérivées de chacune de ces fonctions, c'est-à-dire, pour tout x∈I : f ' x=−12 x 210 x−7 . b) La fonction g , fonction rationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ*. Pour déterminer g ' , on peut voir g comme un quotient de fonctions; mais en y regardant de plus près, on constate que l'expression de g est simplifiable. −x 25 x6 −x 2 x 6 −1 5 6 = 3 5 3 3 = 2 3 . En effet, pour x∈I : g x= 3 x x x x x x x 1 10 18 On en déduit que g ' x = 2 − 3 − 4 , pour tout x∈I. x x x x et x c) Les fonctions x x sont dérivables sur I= ]0 ;∞[ . On en déduit que h est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur I. 1 −1 . Et, pour tout x∈I, on a h ' x= 2x d) k , produit de deux fonctions polynômes, est dérivable sur I=ℝ. La fonction k est de la forme uv où u x =x−1 et v x=−4 x 22 . Donc k '=u ' vuv ' . Comme u ' x=1 et v ' x =−8 x , on en déduit que pour x∈I, on a : k ' x =1−4 x 2 2 x−1−8 x =−12 x 28 x2 . e) La fonction m , fonction irrationnelle, est dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ\{-1;1}. u 2 m est de la forme où u x =2−x et v x=−x 1 . v u ' v−uv ' Donc m ' = . 2 v Comme u ' x=−1 et v ' x =−2 x , on en déduit que : −1−x 21−2−x −2x 3 x 24 x−1 m ' x = = 2 2 2 2 , x∈I. −x 1 −x 1 f) La fonction n est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition I=ℝ\ { 3;− 3 } . La fonction n peut être vue comme un quotient de fonctions ; ce qui, en procédant comme précédemment, permettrait d'obtenir l'expression de n ' . Mais, pour éviter de longs calculs, il faut remarquer que: −5 1 n x = 2 =−5 2 . x −3 x −3
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n apparaît ainsi sous la forme −5×
53
1 où u x =x 2−3 et donc u
−u ' . u2 Comme u ' x=2 x , on en déduit que : −2 x 10 x n ' x=−5 = 2 , x∈I. 2 2 x −3 x −32 cos x et x g) La fonction h est la composée des fonctions x x3 , toutes deux dérivables sur ℝ. h est donc dérivable sur I=ℝ. Pour x∈I, on a h x =cos 3 x=cos x3 . La fonction h est donc de la forme u n où u x =cos x et n=3 ; ce qui donne h '=nu ' u n−1 . Comme u ' x=−sin x , on en déduit que : h ' x=3 −sin xcos x3−1=−3sin x cos 2 x , x∈I. h) La fonction p est un polynôme donc dérivable sur I=ℝ. p est de la forme u n où u x =−4 x 3− x1 , n=2 et donc p ' =nu ' u n−1 . Comme u ' x=−12 x 2−1 , on en déduit que : 2 3 p ' x=2−12 x −1−4 x − x1 , x∈I. 1 i) La fonction q est de la forme u où u x =sin x− . Elle est donc 2 dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u x 0 . 1 u est dérivable sur ℝ et u x 0 équivaut à sin x− 0 ou encore 2 1 sin x . 2 u' 5 On en déduit que q est dérivable sur I = ; et q ' = . 6 6 2 u cos x Comme u ' x=cos x , pour tout x∈I, on a : q ' x= . 1 2 sin x− 2 3 j) La fonction r est de la forme cos u où u x =x − x . Elle est donc dérivable sur tout intervalle où la fonction polynôme u l'est. C'est-à-dire I=ℝ. De plus, r ' =−u ' sin u . Comme u ' x=3 x 2−1 , on en déduit que : r ' x=−3 x 2−1sin x 3−x , x∈I. k) On remarque que s=−2 sin u où u x =−5 x −1 . La fonction s est donc dérivable sur tout intervalle où la dérivabilité de u est assurée. Le polynôme u est dérivable sur I=ℝ donc s aussi. On a s ' =−2 u ' cos u . Comme u ' x=−5 , on en déduit que : s ' x =−2 −5cos −5 x−1 , x∈I. n '=−5
]
[
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
−x 5 , on a v =ln u . La fonction v est donc dérivable x−1 sur tout intervalle I où u est dérivable et u x 0 . La fonction rationnelle u est dérivable sur ℝ− {1 } et u x 0 sur l'intervalle ]1; 5[ . On en déduit que la fonction v est dérivable sur l'intervalle I =]1; 5[ . −4 u' Comme v ' = et u ' x= , alors, pour x∈I, on a : u x−12 −4 x−12 −4 v ' x = = . −x5 −x 5 x−1 x−1 l) En posant u x =
11. Comment calculer une dérivée seconde ? Méthode On calcule avec la relation f ' '= f ' ' . f ' ' est la dérivée de f ' . Exemple Soit f x = ln x 2−3 définie sur I = [ 2;∞ [ . Calculer f ' ' x . Solution
2x . x 2−3 D'autre part, f ' , fonction rationnelle, est dérivable sur ℝ-{- 3 ; 3 } donc sur I. −3 2x ' = …= 2 D'où, f ' ' x = f ' x' = 2 . 2 x −3 x −3 2 x −30 sur [ 2;∞ [ ; f est donc dérivable sur I et f ' x =
12. Comment étudier le signe d'une dérivée (ou, plus généralement, comment étudier le signe d'une fonction) ? Attention ! On ne résout pas systématiquement l'équation f ' x = 0 ! encore moins f ' x 0 !
Méthode 1 Par déduction, sans aucun calcul. www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
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Exemple Déterminer le signe des dérivées suivantes : −4 x −x −9 h ' x= sur ℝ, g ' x = sur f ' x=e 2 sur ℝ, 2 −x5 1x ] – ∞ ;5[ et k ' x = ln 1x 2 sur ℝ. 2
Solution - Pour f ' , on sait que e A 0 pour tout A∈ℝ; on a donc f ' x0 sur ℝ. - Pour g ' , on a x 210 sur ℝ. On en déduit que g ' x est du signe de −4 donc g ' x 0 sur ℝ. - Pour h ' , on remarque que 2 −x50 sur ] – ∞ ;5[ (la racine-carrée d'un nombre est positif par définition et ici x≠5 ...). Ce qui implique que h ' x a le même signe que x . On conclut que h ' x≥0 sur [0 ;5 [ et h ' x0 sur ] – ∞ ;0 ] . - Pour k ' , comme x 20 pour tout x∈ℝ, on a 1 x 21 ; d'où ln 1x 2 0 et donc k ' x 0 sur ℝ. Méthode 2 - Si f ' x=axb , on résout l'équation f ' x=0 . f ' x est alors du signe de a à droite de la racine et du signe de −a à gauche. - Autre possibilité : on résout directement axb0 pour trouver les valeurs de x pour lesquelles f ' x0 . On en déduit l'intervalle sur lequel f ' x0 . Exemple Étudier le signe de f ' x=−2 x7 sur ℝ. Solution 1 Résolvons l'équation f ' x=0 : f ' x=0 ⇔ −2 x7=0 ⇔ x=
7 . 2
On en déduit le tableau de signe de f ' : x f ' x
7 2
–∞ +
0
+∞ –
]
]
7 , il suffit de prendre un nombre sur cet intervalle et 2 7 ;∞ : de voir le signe de f ' ; ainsi f ' 0=70 ; d'où le signe +. On procède de même sur l'intervalle 2 f ' 4=−10 . Ce qui donne le signe "-". Remarque : pour déterminer le signe de f ' x sur −∞;
[
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[
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
Solution 2 Cherchons les valeurs de x pour lesquelles f ' x0 . 7 On a f ' x0 ⇔ −2 x70 ⇔ x (ne pas oublier de changer le sens de l'inégalité 2 lorsqu'on divise par un nombre négatif). 7 ;∞ et f ' x0 sur On conclut directement que f ' x0 sur 2 7 – ∞; . 2
[
]
[
]
Méthode 3 Si f ' x=ax 2bx c , on calcule son discriminant , puis suivant le signe de , on établie le tableau de variation de f . Si b=0 ou c=0 on peut se passer du calcul de . Exemple 2 Étudier les signes de f ' x = −2 x 3 x −1 sur ℝ, g ' x = x 2−5 x sur ℝ, h ' x = 4 x 2−1 sur ℝ, k ' x =3 x 27 sur ℝ et m ' x =−4 x1 x−5 sur ℝ. Solution - Signe de f ' : résolvons l'équation du second degré −2 x 23 x −1=0 . 1 =10 donc deux solutions : x 1= et x 2=1 . 2 f ' x a le signe de a (ici -2) à l'extérieur des racines et le signe contraire de a à l'intérieur. 1 On en déduit que f ' x0 sur – ∞; ∪ [1 ;∞[ et f ' x0 sur 2 1 ;1 . 2 - Signe de g ' : inutile ici de calculer . En effet, x 2−5 x=0 ⇔ 3 x −2 x 3=0 ⇔ x=0 ou x= . 2 2 g ' x = x −5 x étant un polynôme du second degré, on peut lui appliquer la règle de signe des polynômes du second degré (signe de a à l'extérieur…) utilisée pour f ' . 3 On obtient ainsi, f ' x≥0 sur ] – ∞ ;0 ] ∪ ;∞ et g ' x 0 sur 2 3 0; . 2
]
]
[ ]
[
[
[ ]
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- Signe de h ' : on se passera encore du calcul de ; on a 4 x 2−1=0 ⇔ 1 −1 2 x−12 x1=0 ⇔ x= ou x= . 2 2 1 1 On en déduit que h ' x0 sur – ∞;− ∪ ;∞ et h ' x0 sur 2 2 1 1 − ; . 2 2 - Signe de k ' : sans perdre de temps à calculer , il suffit de remarquer que 2 3 x 70 ∀x∈ℝ. Donc k ' x 0 sur ℝ. - Signe de m ' : plutôt que de développer m ' x = 2 x−1 x5 pour l'avoir sous la forme d'un trinôme du second degré et passer par ou encore étudier le signe de chaque facteur, on peut noter que m ' est un trinôme du 1 second degré, puis résoudre directement m ' x =0 pour obtenir et -5 2 comme racines en faisant 2 x−12 x1=0 ⇔ 2 x −1=0 ou 2 x 1=0 ... Et grâce aux règles de signe des trinômes du second degré (ici a=−4 ), on 1 1 obtient: m ' x 0 sur −5: et m ' x 0 sur ] – ∞ ;−5 ] ∪ ;∞ . 2 2 (Le signe de m' peut être déterminé grâce à un tableau de signes).
]
[
] [
[
]
[
]
[
[
Méthode 4 On factorise f et on étudie le signe de chaque facteur (à essayer en présence d'exponentielles). Exemple On note f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : 1 1 f x = 2 e x . x Calculer f ' x et déterminer son signe sur ]0 ; +∞[. Solution Comme x≠0, f, produit de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[, est dérivable sur 1 1 −2 x 1 x f ' x e − e x0 ]0 ; +∞[. Et pour tout , on a =...= 3 . x x4 Pour étudier le signe de f ' , factorisons f ' x : 1 1 −2 1 −2 x−1 f ' x = e x 3 − 4 = e x , pour x0 . x x x4
1 x
4 On a, pour tout x0 , e 0 , x 0 et −2 x−1=−2 x10. D'où f ' x0 sur ]0 ; +∞[.
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
Méthode 5 Si f ' x=a cos xb (ou a sin xb ), on résout l'inéquation a cos xb≥0 (ou a sin xb≥0 ) en s'aidant du cercle trigonométrique pour déterminer le signe de f ' . Exemple 1
[ 2 [ par : h =2 tan − cos4 .
Soit h la fonction définie sur 0 ;
Déterminer l'expression de h ' , puis son signe. Solution
[ [
4 cos ne s'annule pas sur 0 ; donc est 2 cos dérivable sur 0 ; , de même que h , somme de fonctions dérivables. 2 La fonction
[ [
[ 2 [ , on a h ' = ...= 2−4cossin . Déterminons le signe de h ' : pour ∈ [ 0 ; [ , cos 0 ; h ' est donc 2 du signe de 2−4 sin sur [ 0 ; [ . 2 Pour étudier le signe de 2−4 sin , résolvons, sur [ 0 ; [ , l'inéquation 2 Pour ∈ 0 ;
2
2
2−4 sin ≥0 : On a 2−4 sin ≥0 ⇔ sin ≤
[ ]
1 ⇔ ∈ 0 ; 6 2
(on peut le voir sur un cercle
trigonométrique).
[ 6 ] et
On en déduit que h ' 0 sur 0 ;
h ' 0 sur
[ 6 ; 2 [ .
Exemple 2 Soit la fonction g définie sur [− ; ] par g x=21−sin x sin x . Calculer g ' x et donner son signe sur [− ; ] . Solution g est dérivable sur [− ; ] en tant que produit de fonctions dérivables sur [− ; ] . Pour x ∈ [− ; ] , on a : g ' x = 2 [1−sin x ' ×sin x1−sin x sin x ' ] = 2 [−cos x sin xcos x−cos x sin x ] = 2 cos x−4 cos x sin x = 2 cos x 1−2sin x . www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
59
Étudions le signe de g' : pour cela, il suffit de déterminer ceux des facteurs cos x et 1−2sin x . ; (on peut le On a cos x0 sur − ; et cos x0 sur − ;− ∪ 2 2 2 2 voir sur un cercle trigonométrique). 1 D'autre part, pour x ∈ [− ; ] , on a 1−2sin x0 ⇔ sin x . 2 1 5 1 5 ; et sin x sur J= ; Or sin x sur I= − ; ∪ . 6 2 6 2 6 6 On en déduit que 1−2sin x0 sur I et 1 − 2 sin x0 sur J. Rassemblons les résultats précédents dans un tableau pour terminer l'étude du signe de g ' : x
]
[
] [
–
–
cos x
-
1 − 2sin x
+
Signe de g'(x)
[
2
0 0
-
[
] [ ]
]
− +
[
6
5 6
2 +
+
0
-
+
0
-
0 0
]
-
-
-
0
+
+
0
-
Méthode 6 Lorsque f ' est de la forme f ' x=ae x b , f ' x=a ln xb , f ' x=a sin xb ou f ' x=a cos xb (a et b réels), on résout l'inéquation f ' x0 pour trouver le signe de f ' . Exemple Étudier le signe des dérivées suivantes : a) f ' x=−2 e x 4 , x∈ℝ. b) g ' x =3 ln x−1 , x ∈ ]0 ;∞ [ . c) h ' x=−2 sin x −1 , x ∈ ]− ; ] . d) k ' x =2 cos x− 3 , x ∈ [ 0 ; ] . Solution x x a) Pour x∈ℝ, on a f ' x0 ⇔ −2 e 40 ⇔ e 2 ⇔ xln 2 appliqué la fonction ln, fonction croissante sur ℝ∗ , pour "neutraliser" l'exponentielle). On peut donc conclure que f ' x0 sur l'intervalle ]−∞; ln 2 ] et f ' x0 sur [ln 2;∞ [ . b) Pour x ∈ ]0 ;∞[ , on a : 1 1 3 g ' x 0 ⇔ 3 ln x−10 ⇔ ln x x e ⇔ 3
(on a
(on a appliqué la fonction
exponentielle qui est croissante sur ℝ).
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
[
[
1
] ] 1
D'où, g ' x 0 sur l'intervalle e 3 ;∞ et g ' x 0 sur 0 ;e 3 . c) Pour x ∈ ]− ; ] , on a : 1 5 ;− h ' x0 ⇔ −2 sin x−10 ⇔ sin x− ⇔ x∈ − . 2 6 6 5 ;− On a donc h ' x0 sur l'intervalle − et h ' x0 sur 6 6 5 − ;− ∪ − ; . 6 6 d) Pour x ∈ [ 0 ; ] , on a : 3 k ' x 0 ⇔ 2 cos x− 30 ⇔ cos x ⇔ x ∈ 0 ; 6 . 2 ; . Ainsi, k ' x 0 sur l'intervalle 0 ; et k ' x 0 sur 6 6
[
[
]
][
]
]
]
[ ]
Remarque : on obtient les solutions des inéquations trigonométriques, sin x−
[ ] [ ]
1 3 , sur le cercle et cos x 2 2
trigonométrique.
Méthode 7 On dérive deux ou trois fois f , puis en utilisant les variations, on déduit les signes (à utiliser lorsque f ' x =a cos x u x , a sin xu x , ax b ecx d ou si l'énoncé le demande).
Exemple 1 2 Soit f x = 2 cos xx 6 définie sur [0 ; ] . Étudier le signe de f ' sur [0 ; ] . Solution La fonction f est dérivable sur [0 ; ] et f ' x = −2 sin x2 x . Essayons d'appliquer la méthode précédente: on a −2 sin x2 x≥0 ⇔ sin x x . Impossible d'aller plus loin. Et c'était prévisible : −2 sin x2 x n'est pas de la forme a sin xb , avec a ,b ∈ℝ. Pour obtenir a sin xb ou a cos xb , dérivons une deuxième fois la fonction f : Pour tout x ∈ [0 ; ] f ' ' x = f ' x' = −2 sin x2 x ' = −2 cos x2 . La forme a cos xb apparaît enfin et on sait étudier son signe : −2 cos x20 ⇔ cos x1 . Or cos x1 ∀ x ∈ ℝ donc ∀ x ∈ [0 ; ] . Ainsi, f ' ' x 0 sur [0 ; ] . Ce qui veut dire que f ' est croissante sur [0 ; ] . Pour tout x ∈ [0 ; ] , on a 0x . f ' étant croissante sur [0 ; ] , on en déduit que f ' 0 f ' x f ' ; c'est-à-dire, 0 f ' x2 . En définitive, nous avons montré que f ' x0 sur [0 ; ] . www.salutmaths.com
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61
Exemple 2 Soit f x = e x −
2
x . Déterminer le signe de f ' x pour tout x 2
réel. Solution La fonction f est dérivable sur ℝ en tant que somme de fonctions dérivables sur ℝ et on a, pour tout x∈ℝ, f ' x = e x − x . Essayons de résoudre f ' x0 : On a pour x réel, f ' x0 ⇔ e x x . x On ne peut aller plus loin : e x ne peut être résolue de façon classique. D'où la nécessité "d'alléger" f ' x . Pour cela, dérivons f ' : f ' ' x = e x − 1 , x∈ℝ. Déterminons le signe de f ' ' : f ' ' x 0 ⇔ e x 1 ⇔ xln 1 ⇔ x0 . Ce qui signifie que f ' ' x 0 ⇔ x0 . Établissons le tableau de variation de f ' : x f ' ' x
–∞
0 –
+∞
0 +
f ' x 1 1 est le minimum de f ' sur ℝ. Par suite, f ' x1 sur ℝ et donc f ' x0 pour tout x∈ℝ. Méthode 8 Lorsque f ' s'écrit comme un produit ou quotient de plusieurs facteurs, on étudie le signe de chaque facteur et, si nécessaire, on termine l'étude du signe à l'aide d'un tableau. Exemple 4 3 2 Soit la fonction h définie sur ℝ par h t = −2 t t 2 t t−5 . Déterminer le signe de h ' sur ℝ. Solution La fonction h , fonction polynôme, est dérivable sur ℝ et 3 2 h ' t =−8 t 3 t 4 t1 . Factorisons h ' t pour pouvoir étudier son signe. Dans le cas général, pour factoriser un polynôme de degré supérieur ou égal www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
à 3, on procède comme suit : - On trouve une racine évidente (on teste avec 1, -1, 2, -2, 3 ou -3). - On applique ensuite le résultat suivant : "Si est une racine d'un polynôme P, alors P se factorise en P x = x− où (…) est un polynôme de la forme ax n cx d de degré inférieur de 1 à celui de P." Dans le cas de h ' t = −8 t 33 t 24 t1 qui est un polynôme de degré 3, on remarque que h ' 1=0 ; ce qui signifie que 1 est une racine de h ' . Par conséquent, h ' se factorise en h ' t =t−1at 2bt c sur ℝ. On a t−1 at 2btc =at 3bt 2ct−at 2−bt−c=at 3b−a t 2 c−bt−c . D'où h ' t =t−1at 2 bt c ⇔ −8 t 3 3 t 24 t1=at 3b−at 2c−bt−c . a=−8 a=−8 b−a=3 Par identification des coefficients, on obtient : ⇔ b=−5 . c−b=4 c=−1 −c=1 On peut écrire que pour tout t ∈ ℝ , h ' t = t−1−8 t 2−5 t−1 . Étudions les signes des facteurs t−1 et −8 t 2−5 t−1 . On a t−10 ⇔ t0 . D'autre part, −8 t 2−5 t−1 a pour discriminant =−52 −4×−8×−1=−7 . 0 ; d'après les règles de signe des trinômes du second degré, −8 t 2−5 t−1 a le signe de a=−8 . On a donc −8 t 2−5 t−10 sur ℝ. Le tableau suivant, résumé des deux études de signe précédentes, permet de déterminer le signe de h ' :
{
t
–∞
t–1
1
+∞
-
0 +
−8t −5 t−1
-
-
h ' t
+
0 -
2
{
13. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle I ? Méthode 1 - On explique pourquoi f est dérivable sur I. - On calcule f ' x . www.salutmaths.com
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- On étudie le signe de f ' sur I. - On en déduit le sens de variation de f ou on établit, si cela est explicitement demandé ou si cela s'avère nécessaire, son tableau de variation. Exemple Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par f x = 5−2 x2 . Solution f , fonction polynôme, est dérivable sur ℝ et f ' x = 2 −25−2 x = 8 x−20 . Étudions le signe de 8 x−20 : pour x ∈ ℝ , 8 x−200 ⇔ x On a donc f ' x0 sur
[
[
]
]
5 5 . ;∞ et f ' x0 sur – ∞; 2 2
Du signe de f ' , on déduit que la fonction f est croissante sur
]
décroissante sur – ∞;
5 . 2
[
[
5 ;∞ et 2
]
5 . 2
Attention ! Déterminer le sens de variation d'une fonction ne veut pas dire établir obligatoirement son tableau de −e−x− 1 variation. Si par exemple f ' x = , on déduit que f ' x 0 sur ℝ et donc que f est strictement x2 croissante sur ℝ. Par contre, s'il est explicitement demandé de donner le tableau de variation de f, dans ce cas, on n'a pas le choix, on le fait.
Méthode 2 On écrit f comme la composée de fonctions et on utilise les règles de variation d'une fonction composée (si u et v ont le même sens de variation alors u °v est croissante, si u et v ont des sens de variations contraires alors u °v décroissante).
Exemple Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par f x = 5−2 x2 . Solution La fonction f peut s'écrire f =u ° v avec u x =x 2 et v x=5−2 x . La fonction carrée u est croissante sur [0 ;∞[ et décroissante sur ]−∞; 0 ] . v, fonction affine, est décroissante sur ℝ (en général, une fonction affine f x =axb est croissante sur ℝ si a0 et décroissante sur ℝ si a0 ). On en déduit que f est croissante (u et v décroissantes) sur l'intervalle I tel que 5 v x ∈ ] – ∞ ;0 ] ⇔ 5−2 x0 ⇔ x . 2 www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
[
[
5 ;∞ . 2 De la même façon, on prouve que f est décroissante (u croissante et v décroissante) sur 5 – ∞; . 2 La fonction f est donc croissante sur
]
]
Remarque : attention à la détermination des intervalles de variations de f !
Méthode 3 On utilise la définition de la croissance ou de la décroissance (à n'utiliser que si exigée). Exemple Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par f x = 5−2 x2 . Solution Soit x , y ∈ℝ tel que x y . Comparons f x et f y , c'est-à-dire 2 2 5−2 x et 5−2 y . Or pour comparer le carrée de deux nombres il faut qu'ils soient tous deux positifs ou tous deux négatifs. Ici, il faut donc qu'on ait 5−2 x≥0 et 5 5 5−2 y0 c'est-à-dire x et y . 2 2 5 Considérerons donc deux réels x , y ∈ ;∞ tels que x y . 2 On a x y ⇔ −2 x−2 y ⇔ 5−2 x5−2 y . 2 Comme 5−2 x≥0 et 5−2 y0 et la fonction x x est croissante sur ℝ , c'est-à-dire si 0A B alors A2 B2 , on en déduit que 5−2 x2 > 5−2 y 2 . 5 ;∞ . Par conséquent, f est décroissante sur 2 En procédant de la même façon, on montre que f est croissante sur 5 – ∞; . 2
[
[
[
]
[
]
Méthode 4 On écrit f comme la somme de deux fonctions qui ont le même sens de variation sur I et on en déduit que f a le même sens de variation sur I. Exemple 1 Déterminer sur ] – ∞ ;0 ] le sens de variation de la fonction f x = 5−2 x2 . www.salutmaths.com
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Solution Écrivons f comme la somme de deux fonctions : On a f x = 25−20 x4 x 2 ; d'où f =uv avec u x = 25−20 x et v x = 4 x 2 . u, fonction affine de coefficient directeur négatif, est décroissante sur ℝ et v qui a une dérivée v ' x =8 x négative sur ℝ− , est décroissante sur ] – ∞ ;0 ] . On en déduit que f est décroissante sur ] – ∞ ;0 ] . Remarque : cette méthode ne permet pas de déterminer les variations de f sur ℝ en entier car sur ℝ , u est décroissante et v croissante.
Exemple 2 Soit f x = x 3 x définie sur I = [0 ;∞[ . Déterminer le sens de variation de f sur I . Solution On a f =uv avec = u x = x 3 et v x = x . La fonction cube u est croissante sur I et la fonction racine-carrée v est croissante sur I . On en déduit que f est croissante sur I. 14. Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle donné (c'est-à-dire g xf x h x sur I) ? Méthode - Pour x ∈ I , on pose : x= f x− g x et x = f x −h x . - On détermine le sens de variation de et de pour montrer que x0 et x 0 sur I . Exemple Montrer que pour tout x0 , on a x−
x2 ln1 x x . 2
Solution Remarquons que pour tout x0 , on a : 2 2 x x et ln 1x x x− ln 1 x x ⇔ ln 1x x− 2 2 x2 ⇔ ln 1x −x ≥0 et ln 1x −x0 . 2
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Chapitre 4 - DÉRIVATION 2
x Posons donc, pour tout x ∈ I = [0 ;∞[ , x = ln 1x −x et 2 x = ln 1x −x et étudions leur sens de variation pour montrer que x0 et x 0 . ln 1x est donc dérivable Pour tout x ∈ I , 1 x0 ; la fonction x sur I. étant la somme de deux fonctions dérivables sur I l'est aussi sur I et 2 1 −1 x = x . ' x = 1x 1x Comme x0 , 1 x0 et x 2≥0 . On en déduit que ' x ≥0 sur I et donc que est croissante sur I. Pour tout x ∈ I , on a x0 . La croissance de sur I entraîne x0 2 0 ⇔ xln10−0 ⇔ x0 . 2 La première inégalité est ainsi démontrée. On procède de la même façon pour la deuxième inégalité: est dérivable sur 1 −x −1 = I et ' x = . 1x 1x x0 donne 1 x0 et −x0 . On en déduit que ' x≤0 et donc que est décroissante sur I. Pour tout x ∈ I , on a x0 . décroissante sur I donne x 0 ⇔ x ln 10−0 ⇔ x 0 . La deuxième inégalité est aussi vraie. x2 On conclut que pour tout x0 , on a bien x− ln1 x x . 2 15. Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ? Méthode On montre que f est dérivable sur I et que pour tout x ∈ I , f ' x=0 .
16. Comment déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a ? Méthode 1 On utilise la relation y= f ' a x−a f a .
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
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Exemple h est la fonction définie sur ℝ par h x = −2 x 2−13 . Déterminer une équation de la droite tangente à C h , la courbe représentative de h, au point d'abscisse -1. Solution On sait qu'une équation de est de la forme y=h' a x −a h a . Ici, a vaut -1. D'où a pour équation : y=h' −1 x−−1h −1 . Calculons h −1 et h ' −1 : on a h −1 = −2−12 −13 = −27 . Pour pouvoir calculer h ' −1 , déterminons h ' x . La fonction h, fonction polynôme, est dérivable sur ℝ et est de la forme u 3 avec u x = −2 x 2−1 . On a donc h ' x = 3 u ' x u 2 x =…= −12 x −2 x 2−12 et h ' −1 = 108. On obtient comme équation de : y=h' −1 x−−1h −1 y=108 x1−27 y=108 x81 . Méthode 2 La tangente étant une droite, on peut, si l'énoncé le permet, déterminer son équation comme en classe de seconde, c'esty B− y A à-dire calculer son coefficient directeur m= , puis x B−x A déterminer l'ordonnée à l'origine p : dans l'équation de la tangente y=mx p , on remplace x et y par les coordonnées d'un point quelconque de la tangente et m par sa valeur. 17. Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point A x A ; y A du plan ? Méthode On écrit que si une telle droite existe, elle sera tangente à C f en un point d'abscisse a (à déterminer) et aura pour équation: y= f ' a x−a f a . Comme le point A x A ; y A appartient à cette droite, en remplaçant ses coordonnées dans l'équation précédente, on obtient l'équation: y A= f ' a x A−a f a que l'on résout pour trouver la ou les valeurs de a.
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
Exemple x
e Soit la fonction f définie sur ℝ-{1} par f x = et C f sa 1x courbe représentative. Montrer qu'il existe exactement deux droites tangentes à C f qui passent par le point O(0;0). Solution Si une telle droite existe, elle sera tangente à C f en un point d'abscisse a et aura pour équation: y= f ' a x−a f a . Comme O(0;0) est un point de cette droite, ses coordonnées vérifient l'équation précédente. On obtient ainsi : 0= f ' a0−a f a . x xe f ' x f étant dérivable sur ℝ-{-1}, on a = . 1 x2 ae a ea −a =0 Donc 0= f ' a0−a f a ⇔ 1a 1a2 −a2 e aea ae a ⇔ =0 1a2 ⇔ e a −a 2a1 = 0 avec a ≠−1 . ⇔ −a 2a1=0 , a ≠−1 (car e 0 ). En résolvant cette dernière équation (trinôme du second degré) par le calcul de son −1 5 −1− 5 discriminant , on obtient deux racines et qui peuvent −2 −2 1− 5 1 5 s'écrire et . −2 2 Nous avons trouvé deux valeurs de a , abscisses des points où C f admet des tangentes passant par le point O. En conclusion, il existe deux tangentes à C f passant par l'origine O, l'une au 1− 5 1 5 point d'abscisse et l'autre au point d'abscisse . −2 2 a
18. Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à Cf parallèles à une droite (D) donnée d'équation y=mx+p ? Méthode - On écrit qu'une droite tangente à C f en un point d'abscisse a a pour coefficient directeur f ' a . Cette tangente, parallèle à D , a le même coefficient directeur que (D) ; c'est-à-dire : f ' a=m . www.salutmaths.com
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
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- On résout l'équation obtenue pour trouver la ou les valeurs de a. Exemple 3
2
x 2 x Soit f x = définie sur ℝ -{-1;1}. x 2−1 Déterminé l'abscisse des points de la courbe C f où la tangente est parallèle à la droite D: y=x 2 (la question peut être formulée autrement: « Montrer
qu'il existe des droites tangentes à C f parallèles à la droite D d'équation: y =x 2 . » En effet, montrer l'existence d'une droite tangente à une courbe revient au même que de trouver l'abscisse a du point où cette droite est tangente à la courbe).
Solution Soit T une tangente à C f en un point d'abscisse a . T a pour coefficient directeur f ' a . D'autre part, comme T est parallèle à D dont le coefficient directeur est 1, on a f ' a = 1. f , fonction rationnelle, est dérivable sur ℝ-{-1;1} et x 4−3 x 2−4 x f ' x =...= . x 2−12 a 4−3 a 2 −4 a f ' a On a donc =1⇔ =1 a 2−12 ⇔ a 4 −3 a 2−4 a = a 4 −2 a 21 avec a≠-1 et 1. ⇔ a 24 a1 = 0, avec a≠-1 et 1. Après calcul du discriminant =12 de cette équation du second degré, on −4 12 −4− 12 obtient : a= ou ; ce qui, après simplification, nous 2 2 donne a=−2 3 ou a=−2− 3 . On peut conclure que C f admet des tangentes parallèles à D aux points d'abscisses −2 3 et −2− 3 . 19. Comment étudier la position de Cf par rapport à une tangente T d'équation y=mx+p ? Méthode - On calcule f x − y . - On étudie le signe du résultat obtenu. - On conclut que C f est au-dessus de T sur l'intervalle où f x − y0 et en dessous de T sur l'intervalle où f x − y0 (voir méthode étude position asymptote oblique : ch2-c8).
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Chapitre 4 - DÉRIVATION
20. Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue ? Méthode On écrit la fonction sans la valeur absolue en utilisant le si 0 résultat suivant : ∣∣ = , puis on la dérive − si 0 normalement.
{
Exemple Calculer f ' x où f x = cos x∣−3 x 24 x−1∣ . Solution Occupons-nous de la valeur absolue. −3 x 24 x−1 si −3 x 24 x−10 2 ∣−3 x 4 x−1∣ = . −−3 x 24 x−1 si −3 x 24 x−10 On détermine le signe de −3 x 24 x−1 soit par le calcul de son discriminant, soit en remarquant que 1 en est une racine évidente. Par suite : 1 −3 x 2 4 x−1 si x1 3 . ∣−3 x 24 x−1∣ = 1 2 3 x −4 x1 si x ou x1 3 On peut donc écrire l'expression de f de façon explicite : 1 cos x−3 x 24 x−1 si x 1 3 f x = . 1 2 cos x3 x −4 x1 si x ou x1 3
{
{
{
{
1 −sin x −6 x4 , si x1 3 Par conséquent, f ' x = . 1 −sin x6 x−4 , si x ou x1 3
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