Università degli Studi di Perugia Facoltà di Ingegneria
Corso di Topografia I Prof. Fabio Radicioni Ing. Aurelio Stoppini
Dispensa: COMPLEMENTI DI CARTOGRAFIA - I Parte
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COMPLEMENTI DI CARTOGRAFIA - I Parte
1. PREMESSA: SINTESI DEI CONCETTI BASE DELLA CARTOGRAFIA La Cartografia si pone come obiettivo primario la rappresentazione della superficie fisica della Terra (in planimetria ed altimetria) su di un supporto piano. Limitiamoci inizialmente a considerare la sola planimetria , in quanto l'altimetria del terreno viene poi rappresentata convenzionalmente sulla base planimetrica (a piano quotato, a curve di livello) o trattata a parte mediante modelli numerici - i D.T.M. Si è visto in Geodesia che la planimetria è definita sulla superficie dell'ellissoide (mediante le proiezioni sull'ellissoide di punti del terreno, effettuate lungo la normale). L'ellissoide è però una superficie a doppia curvatura, e non è applicabile al piano, cioè non può essere disteso, sviluppato su un piano senza deformarlo. Ne discende un primo fondamentale concetto: la rappresentazione dell'ellissoide su di un piano comporta sempre deformazioni delle figure su di esso tracciate. Le diverse rappresentazioni cartografiche (ne esistono svariati tipi) sono studiate in modo da rendere piccole (o almeno accettabili per le applicazioni pratiche) queste deformazioni. Il passaggio dall'ellissoide al piano può essere effettuato per via geometrica attraverso proiezioni geometriche, cioè proiettando opportunamente i punti della superficie ellissoidica su di un piano (o su una superficie a semplice curvatura quale un cilindro o un cono, poi sviluppati sul piano). Ai fini pratici, è però necessario poter effettuare analiticamente (e quindi numericamente) questo passaggio. Occorre quindi definire le cosiddette equazioni della carta o formule di corrispondenza, che hanno la seguente struttura formale: x = x ( ϕ ,ω ) y = y ( ϕ ,ω )
(1)
e permettono di passare dalle coordinate geografiche (ϕ, ω) , che esprimono la posizione planimetrica di un punto P sull'ellissoide, alle coordinate piane cartografiche (x, y) che esprimono la posizione del corrispondente punto P' sul piano della carta, riferita ad un sistema d'assi cartesiani Oxy sul piano stesso. 2
E’ evidente che il passaggio da coordinate geografiche a piane cartografiche riguarda solo la planimetria. Da due coordinate si passa a due coordinate; da uno spazio a due dimensioni (ellissoide) a un altro spazio a due dimensioni (piano della carta). La quota dei punti non entra in gioco, dato che si parte dalle loro proiezioni sull’ellissoide. Le equazioni della carta devono essere tali che la corrispondenza tra punti dell'ellissoide e punti della carta sia biunivoca, cioè ad ogni punto dell'ellissoide corrisponda uno ed un sol punto della carta, e viceversa. Il passaggio inverso (dalla carta all'ellissoide) si ottiene con le formule di corrispondenza inverse: ϕ = ϕ (x , y ) ω = ω ( x , y )
(2)
Note che siano le formule di corrispondenza e le inverse, è quindi del tutto equivalente, ai fini della individuazione planimetrica di un punto, fornire le sue coordinate geografiche o le coordinate cartografiche. Si ribadisce che in entrambi i casi si tratta di due numeri: la posizione planimetrica è riferita infatti a uno spazio a due dimensioni (superficie dell'ellissoide o piano della carta); la posizione nello spazio è definita aggiungendo la terza dimensione cioè la quota. Una rappresentazione cartografica, quindi, è definita dalle formule di corrispondenza. Esistono molti tipi di rappresentazione, con formule di corrispondenza diverse; solo alcune di esse corrispondono a proiezioni geometriche, ma questo non è un requisito essenziale. Requisito importante è invece, come si è detto, che le deformazioni (inevitabili) siano piccole, quanto più possibile. Nel passaggio dall'ellissoide alla carta linee e figure si deformano in vari modi. Data una linea tracciata sull'ellissoide, la corrispondente linea, deformata, sul piano della carta, viene detta trasformata piana della linea stessa. Le deformazioni indotte nel passaggio dall'ellissoide al piano vengono distinte come segue: a) Deformazioni lineari, ovvero variazioni della lunghezza di linee congiungenti punti sul piano, rispetto alle corrispondenti sull'ellissoide. Sono espresse quantitativamente dal cosiddetto modulo di deformazione lineare, definito come il rapporto tra la lunghezza ds' di un elemento infinitesimo di linea sul piano della carta e quella ds del corrispondente elemento sull'ellissoide:
3
m=
d s' ds
(3)
Il modulo di deformazione lineare può essere unitario o costante solo lungo determinate linee. In generale, esso varia da punto a punto e, dato un punto, può variare anche con la direzione (nel caso in cui la rappresentazione non sia conforme). Per le applicazioni pratiche è utile definire il cosiddetto modulo di deformazione lineare per elementi finiti, che si riferisce a un tratto di linea di lunghezza finita, tra due punti 1 e 2 (v. nel testo, uso geodetico della rappresentazione di Gauss): m12 =
l12 ' l12
(4)
b) Deformazioni superficiali, ovvero variazioni dell'area delle figure sul piano rispetto a quella delle corrispondenti figure sull'ellissoide. Sono espresse quantitativamente dal modulo di deformazione superficiale, definito come rapporto tra l'area dS' di un elemento infinitesimo di piano e quella dS' del corrispondente elemento di superficie ellissoidica: M=
d S' dS
(5)
c) Deformazioni angolari, ovvero variazioni degli angoli tra linee sul piano della carta rispetto agli angoli tra le linee corrispondenti sull'ellissoide. Anziché da un rapporto come nei casi precedenti, sono espresse mediante la differenza tra l'angolo sulla carta ed il corrispondente angolo sull'ellissoide: dα = α' − α
(6)
2. PRINCIPALI TIPI DI RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE Le diverse rappresentazioni cartografiche, ottenibili variando le equazioni della carta, possono essere distinte in vari modi, ma la classificazione più interessante è quella che distingue i tipi di carta in base alle deformazioni indotte. Si è detto che la presenza di deformazioni è inevitabile, dato che l'ellissoide non è sviluppabile su un piano. E' però possibile eliminare alcuni tipi di deformazioni, o ridurre le deformazioni nel loro complesso. Si distingue allora tra: 4
• Rappresentazioni conformi: le rappresentazioni cartografiche che non comportano deformazioni angolari. In qualsiasi punto della carta si ha dα = 0. Sono le rappresentazioni più utilizzate nella pratica perché hanno il notevole vantaggio di poter trasferire sulla carta senza variazioni gli angoli misurati con un teodolite sul terreno (e viceversa dalla carta al terreno, nel caso dei tracciamenti)1. A titolo di esempio, sono conformi la rappresentazione di GAUSS (adottata in Italia e in numerosi altri paesi) e quella di LAMBERT (adottata in Francia, parte degli U.S.A., ecc.). • Rappresentazioni equivalenti: eliminano le deformazioni superficiali; in qualsiasi punto della carta si ha M = 1 (o uguale a una costante). Sono le più adatte, concettualmente, alla cartografia catastale, ma in pratica si preferisce spesso utilizzare, anche per questa, rappresentazioni conformi aventi M poco diverso dall'unità2. Un esempio di rappresentazione equivalente è quella di FLAMSTED adottata per la cartografia IGM anteriore alla II guerra mondiale. • Rappresentazioni afilattiche: sono concepite in modo da ridurre nel complesso tutte le deformazioni senza però annullarne completamente alcun tipo. Un esempio di rappresentazione afilattica (“quasi” equivalente) è quella di CASSINI-SOLDNER adottata nella cartografia catastale (tuttora in uso in molte province). In generale, comunque, vale il seguente concetto: tutti i tipi di deformazione possono essere contenuti se si limita opportunamente l'ampiezza della zona rappresentata dalla carta. Nella pratica, si opera in modo che le deformazioni lineari siano inferiori all'errore di graficismo (convenzionalmente assunto pari a 0,2 mm) nell'ambito di un singolo "elemento" (foglio stampato) della carta. E' un concetto che fa riferimento alla tradizionale versione grafica-cartacea delle carte, ma viene mantenuto anche nella cartografia numerica, in quanto da essa vengono poi stampate copie alla scala nominale. Questo importante concetto, presentato anche nel testo, può essere chiarito come segue. Se la scala della carta è 1/n , la distanza corrispondente alla massima lunghezza misurabile sull'elemento di carta (la diagonale d) è d·n . Sia m* il modulo di deformazione lineare medio nell'elemento di carta. La massima deformazione lineare, valutata per la diagonale, deve risultare inferiore all'errore di graficismo: m*·d·n − d·n ≤ 0,2 · 10-3 n
(m)
(7)
1
In Geodesia si è visto che, per il primo dei "teoremi della geodesia operativa" e per la trascurabilità della deviazione della verticale, gli angoli tra piani verticali misurati in campagna con un teodolite possono essere assimilati agli angoli tra sezioni normali e questi ultimi agli angoli tra le geodetiche. 2
Non esistono rappresentazioni che siano contemporaneamente conformi ed equivalenti. 5
In questa relazione può essere eliminato il fattore di scala n : m*·d − d = d (m* − 1) ≤ 0,2 · 10-3
(m)
(8)
Ne risulta un criterio di accettabilità indipendente dalla scala della carta: 1−
0,2 ⋅ 10−3 ≤ d
m*
≤ 1+
0,2 ⋅ 10−3 d
(9)
Alcuni esempi numerici possono chiarire ulteriormente il concetto: 1) Una "tavoletta" IGM 1:25.000 vecchia produzione ha dimensioni di circa 40 x 40 cm, quindi una diagonale di circa 56 cm. Il massimo e il minimo valore del modulo di deformazione lineare tollerabili secondo il criterio fornito dalla (9) sono quindi: mMIN = 1 − 0,0002/0,56 = 0,99964 mMAX = 1 + 0,0002/0,56 = 1,00036 La rappresentazione di Gauss "a cilindro secante" con fusi di 6° di ampiezza, adottata in Italia e in molti altri paesi ha valori del modulo compresi tra 0,9996 e 1,0004 circa, quindi rispetta sostanzialmente il criterio della (9) con riferimento alle dimensioni di taglio di una tavoletta. 2) Un elemento della Carta Tecnica Regionale 1:5.000 ha dimensioni medie di circa 56 x 70 cm (diagonale di circa 90 cm). La (9) fornisce: mMIN = 1 − 0,0002/0,90 = 0,99978 mMAX = 1 + 0,0002/0,90 = 1,00022 Anche per la C.T.R. viene adottata la rappresentazione di Gauss con fusi di 6° (m compreso tra 0,9996 e 1,0004). Per rientrare nella tolleranza fissata dalla (9) occorrerebbe in questo caso ridurre le dimensioni degli elementi, oppure limitare l'ampiezza dei fusi. Per motivi di praticità e per uniformare la cartografia regionale a quella nazionale, si è comunque deciso di accettare la presenza di queste deformazioni lievemente superiori alle tradizionali tolleranze3.
Di seguito, vengono riassunte le principali caratteristiche di alcune rappresentazioni cartografiche, limitatamente a quelle più utilizzate nella cartografia italiana.
RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS La rappresentazione di GAUSS corrisponde, dal punto di vista geometrico, a una proiezione cilindrica trasversa, ovvero a una proiezione dell'ellissoide effettuata dal centro dell'ellissoide stesso su un cilindro avente l'asse perpendicolare all'asse polare dell'ellissoide. Il cilindro ha sezione ellittica ed è tangente all'ellissoide lungo un meridiano, detto meridia3
Si tenga conto comunque che l'errore di graficismo convenzionale di 0,2 mm è difficilmente raggiungibile nella pratica, a causa delle deformazioni del supporto della carta. 6
no centrale. Il meridiano centrale e l'equatore si trasformano, sul piano della rappresentazione, in due rette perpendicolari. Le "trasformate piane" dei meridiani restano perpendicolari a quelle dei paralleli nei punti di intersezione, come accadeva sull'ellissoide; la rappresentazione di Gauss è conforme e risulta quindi isogonica, cioè mantiene invariati gli angoli. Esaminando il reticolato geografico della rappresentazione di Gauss si nota come le deformazioni (quelle lineari e conseguentemente quelle superficiali) crescano velocemente allontanandosi dal meridiano centrale. Su tutto il meridiano centrale il modulo di deformazione lineare è uguale a 1, dato che il cilindro è tangente all'ellissoide lungo tale meridiano. Allontanandosi dal meridiano centrale, si ha una forte dilatazione delle figure, che cresce rapidamente diventando presto intollerabile. Per contenere le deformazioni, la "zona utile" in cui la rappresentazione di Gauss può essere utilizzata viene limitata ad un "fuso" compreso tra due meridiani simmetrici rispetto a quello centrale. Utilizzando più fusi contigui, l'intera superficie terrestre può essere rappresentata in proiezione di Gauss. Nel mondo anglosassone, la rappresentazione di Gauss viene talvolta denominata Transverse Mercator Projection, riferendosi ad una proiezione a cilindro trasverso ideata dal Mercatore; si intende però la versione "moderna" della stessa, cioè quella analiticamente definita da Gauss. Nei paesi germanici viene detta rappresentazione di Gauss-Kruger (dal nome del geodeta che perfezionò gli sviluppi analitici della rappresentazione). In Italia, la rappresentazione di Gauss adottata dall’IGM viene detta rappresentazione Gauss-Boaga (il geodeta Boaga fu dirigente dell’IGM e del Catasto e ne curò l’introduzione in Italia). In ogni caso, gli sviluppi analitici e le formule di base (equazioni della carta, moduli di deformazione, ecc.) restano quelle della r. di Gauss, anche se alcuni parametri (longitudine del meridiano centrale, ampiezza del fuso, coefficiente di contrazione, eventuale “falsa origine” per rendere positive le coordinate Est) variano secondo le convenzioni adottate.
Sul piano della rappresentazione di Gauss si adotta un sistema di riferimento cartesiano costituito da un asse y coincidente con la trasformata piana del meridiano centrale, e un asse x coincidente con la trasformata dell'equatore4. L'origine del riferimento si trova quindi all'intersezione degli assi. Le formule di corrispondenza, nella forma classica, sono costituite da sviluppi in serie: x = B (ϕ ) + a2 λ2 + a4 λ4 + a6λ6 +... 3 5 y = a1λ + a3λ + a5λ +...
(10)
nelle quali:
4
Nella cartografia l'asse delle x , diretto verso Nord, rappresenta in genere l'asse delle ordinate mentre l'asse y , diretto verso Est, è l'asse delle ascisse, contrariamente alla convenzione adottata di solito nell'analisi matematica. 7
λ = ω − ω0
(11)
è la longitudine rispetto al meridiano centrale del fuso, avente longitudine ω0 rispetto al meridiano fondamentale del datum geodetico adottato. B (ϕ) =
∫
ϕ
0
ρ ⋅ dϕ
(12)
rappresenta la lunghezza dell'arco di meridiano dall'origine alla latitudine ϕ, ed i coefficienti ai hanno i seguenti valori: a1 = N cosϕ N a2 = sen ϕ cosϕ 2 N a3 = cos3 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) 6 N sen ϕ cos3 ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) a4 = 24 N cos5 ϕ ⋅ (5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58η 2 t 2 ) a5 = 120 N sen ϕ cos5 ϕ ⋅ ( 61 − 58t 2 + t 4 + 270η 2 − 330η 2 t 2 ) a6 = 720
(13)
dove t ed η sono due classiche funzioni della latitudine usate in geodesia: t = tg ϕ
η=
e2 cosϕ = e' cosϕ 1 − e2
(14) (15)
La funzione B (ϕ) , cioè la lunghezza dell'arco di meridiano a partire dall'equatore (B è l’iniziale di Bogen che in tedesco significa arco), è ricavabile da tabelle o espressioni approssimate. Ad esempio, per l'ellissoide internazionale si può impiegare la seguente relazione (dovuta a HIRVONEN),
che fornisce B in metri:
B (ϕ) = 6.367.654,50006 ϕ − 16.107,03468 sen 2ϕ + 16,97621 sen 4ϕ − 0,02227 sen 6ϕ (16) In questa espressione, come anche nelle equazioni della carta, le coordinate geografiche vanno ovviamente inserite in radianti. Le (10) sono utilizzabili praticamente per fusi di ampiezza fino a 6° circa, con un'approssimazione dell'ordine del centimetro. Per fusi di maggiore ampiezza e/o precisioni superiori, occorre 8
considerare ulteriori termini degli sviluppi in serie. Esistono diverse espressioni equivalenti alle (10), tra le quali si possono citare le formule di HIRVONEN (v. ad es. in Bencini, 1976), o le espressioni di BALLARIN (1948 e 1949) valide anche per fusi di grande ampiezza. Come formule di corrispondenza inverse (per passare da coordinate piane a geografiche) si possono impiegare ad esempio le seguenti espressioni di HIRVONEN: y v senh c ω = ω0 + λ = ω0 + arctg cosϕ ' ϕ = arctg[ tg ϕ '⋅ cos( vλ )]
(17)
che richiedono la conoscenza della funzione inversa della funzione B definita precedentemente:
ϕ ' = ϕ ' ( x) =
x 2x 4x 6x + B sen + C sen + D sen A A A A
(18)
con: A = 6.367.654,50006 m B = 2,52950691537 · 10-3 rad C = 3,73240056802 · 10-6 rad D = 7,54331302712 · 10-9 rad (coefficienti calcolati per l’ellissoide internazionale - validi quindi solo su quest’ultimo) v = 1 + e'2 cos2 ϕ ' c=
a 1 − e2
= 6.399.936,608 m (raggio di curvatura polare)
(19) (20)
La rappresentazione di Gauss, come sinora descritta, provoca deformazioni lineari sempre positive (cioè di dilatazione). Il modulo di deformazione lineare vale 1 lungo il meridiano centrale, ed è maggiore di 1 in tutti gli altri punti. Esso può essere calcolato mediante una delle seguenti espressioni:
9
m = 1+
λ2 cos2 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) 2
(21)
y2 2 ρN
(22)
m = 1+
mentre il modulo di deformazione superficiale è fornito da: M = 1 + λ2 cos2 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) M = 1+
y2 ρN
(23) (24)
Di grande utilità pratica è il modulo di deformazione lineare per elementi finiti, calcolabile con la seguente espressione: m12 = 1 + nella quale
y1
y12 + y1 y2 + y22 6 ρm N m
(25)
e y2 sono le ordinate degli estremi della linea, mentre ρm ed Nm sono i raggi
di curvatura principali calcolati per la latitudine media (punto medio della linea). ♦ Rappresentazione di Gauss a cilindro secante Si è appena visto che la rappresentazione di Gauss a cilindro tangente comporta sempre dilatazioni. Per un fuso di 6° di ampiezza, ad esempio, il modulo di deformazione lineare varia tra 1 (lungo il meridiano centrale) ed un massimo di circa 1,0008 (ai margini del fuso). Per ridurre le deformazioni, si adotta spesso l'artifizio della rappresentazione a cilindro secante. La proiezione viene effettuata su un cilindro di diametro leggermente più piccolo, che risulta secante all'ellissoide. Si hanno così deformazioni lineari negative (contrazioni) nella zona centrale del fuso, e positive (dilatazioni) ai margini, mentre in due fasce intermedie si hanno deformazioni lineari pressoché nulle. Nella pratica, per ottenere questo risultato è sufficiente moltiplicare i valori delle coordinate forniti dalle (10) per un coefficiente di contrazione che, nello standard adottato internazionalmente dei fusi di 6°, viene assunto pari a: m0 = 0,9996
(26)
Così facendo, il modulo di deformazione lineare vale 0,9996 lungo il meridiano centrale, mentre il valore massimo ai margini si riduce a circa 1,0004. 10
♦ Utilizzo della rappresentazione di Gauss per calcoli geodetici La rappresentazione di Gauss, essendo conforme, si presta bene all'esecuzione di calcoli geodetici (risoluzione di figure ellissoidiche, compensazione di reti di triangolazione, ecc.) sul piano della carta, con il vantaggio di poter utilizzare, con opportune correzioni, le consuete espressioni della trigonometria piana. Le figure geometriche (ad es. triangoli) tracciate sulla superficie ellissoidica mediante archi di geodetica, corrispondono, sul piano della carta, a figure deformate aventi per lati le trasformate piane delle geodetiche. Occorre trovare il modo di risolvere tali figure. Le lunghezze delle trasformate piane delle geodetiche, cioè i lati delle figure formate dalle trasformate stesse, si ottengono dalle lunghezze delle geodetiche (corrispondenti alle distanze ridotte alla superficie di riferimento) moltiplicandole per il modulo di deformazione lineare per elementi finiti, fornito dalla (25). Gli angoli fra le trasformate, essendo la rappresentazione conforme, sono uguali agli angoli tra le geodetiche, che a loro volta, per i "teoremi della geodesia operativa", corrispondono agli angoli misurati in campagna con gli strumenti topografici. Ma le trasformate piane delle geodetiche possono essere assimilate a rette solo per distanze molto brevi (fino a qualche km); per distanze maggiori, è necessario tener conto della loro curvatura. La tecnica normalmente adottata consiste nel passare dalle trasformate piane alle "corde", cioè ai segmenti di retta che nel piano uniscono gli estremi delle trasformate. Lo scostamento angolare fra la (tangente alla) trasformata e la corda viene detto "riduzione alla corda" ed è calcolabile da:
ε AB =
( xA − xB )( 2 yA + yB ) 6 ρm N m
(27)
Per risolvere una figura, ad esempio un triangolo, formato da archi di geodetica si passa al "triangolo delle corde" calcolando le riduzioni alle corde e quindi gli angoli tra le corde. Si ha: α' = α + |εAB| − |εAC|
(28)
e simili relazioni valgono per gli altri angoli del triangolo. Per valutare i segni con cui vanno messe in conto le riduzioni alle corde, conviene tener presente la cosiddetta "regola del vento" valida per la rappresentazione di Gauss: le trasformate piane delle geodetiche sono disposte, rispetto alle corde, come "vele" gonfiate da un "vento" spirante dal meridiano centrale del fuso. 11
Altra espressione indispensabile per l'impiego geodetico della rappresentazione di Gauss è quella della convergenza del meridiano, definita come l'angolo γ formato dalla trasformata piana del meridiano con la direzione dell'asse delle ordinate x della carta. Tale angolo varia da punto a punto ed è calcolabile ad esempio con la: λ2 tg γ = λ sen ϕ ⋅ 1 − cos2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) 2
(29)
Mediante la convergenza del meridiano e la riduzione alla corda è possibile passare dall'azimut geodetico alla "anomalia piana" di una data direzione e viceversa:
θ AB = α AB ± ε AB ± γ
(30)
Per i segni, è sempre bene far riferimento alla "regola del vento".
Sul piano della rappresentazione di Gauss è possibile anche risolvere il primo e il secondo "problema fondamentale della Geodesia", mediante le riduzioni e moduli sopra accennati, oppure anche direttamente con espressioni dovute a HRISTOW (v. Jordan, 1958) valide per archi lunghi.
RAPPRESENTAZIONE DI CASSINI-SOLDNER Si tratta, come già accennato, di una rappresentazione afilattica, tale cioè da non annullare alcun tipo di deformazione ma da ridurle tutte nel loro complesso. La rappresentazione di Cassini-Soldner si ottiene assumendo che le coordinate piane siano pari alle coordinate geodetiche rettangolari (dette anche geodetiche ortogonali, e già trattate in Geodesia) riferite a un'origine P0 di coordinate geografiche (ϕ0, ω0) note. Le equazioni della carta sono quindi, a livello concettuale, le seguenti: x = X y = Y
(31)
Per poterle calcolare in pratica, si utilizzano le formule di passaggio da coordinate geografiche a geodetiche ortogonali, che sono le seguenti:
12
3 2 ρ02 2 sen 2ϕ 0 ( ϕ '−ϕ 0 ) X = ρ0 ⋅ (ϕ '−ϕ 0 ) + e' 4 N0 N' 3 2 Y = N ' cosϕ ' (ω − ω0 ) + 3 sen ϕ ' cosϕ ' (ω − ω0 )
(32)
dove N0 , N' e ρ0 sono rispettivamente gran normale e raggio di curvatura del meridiano calcolati per la latitudine ϕ0 dell'origine o per la latitudine ϕ' del "piede della perpendicolare" (intersezione del meridiano con la geodetica ortogonale), data da:
ϕ'= ϕ +
N sen ϕ cosϕ 2 ⋅ ( ω − ω0 ) 2ρ
(33)
nella quale N e ρ sono rispettivamente la gran normale e il raggio di curvatura del meridiano calcolati per la latitudine ϕ . La rappresentazione di Cassini-Soldner dà luogo a deformazioni modeste solo entro un limitato intorno dell'origine, avente un raggio dell'ordine dei 100 km. Per tale motivo, essa è stata adottata dal Catasto italiano suddividendo il territorio nazionale in zone, comprendenti una o più province, per ciascuna delle quali è stata assunta una diversa origine. Il modulo di deformazione lineare varia con la direzione della geodetica, dato che la rappresentazione non è conforme; esso è dato da: x 2 cos 2 α m = 1+ 2 ρ0 N 0
(34)
mentre il modulo di deformazione lineare per elementi finiti ha la seguente espressione: x12 + x1 ⋅ x 2 + x 22 m = 1+ cos2 θ 12 6 ρ0 N 0
(35)
dove θ12 è l'anomalia piana della corda 1-2. Come detto più volte, la rappresentazione non è conforme, per cui su lunghe distanze va tenuto conto delle deformazioni angolari, delle quali però si omette qui l'espressione dato che risultano trascurabili alle normali distanze di misura (fino a qualche km). Infine, il modulo di deformazione superficiale è dato da: x2 M = 1+ 2 ρ0 N 0
(36)
13
3. LA CARTOGRAFIA DI BASE IN ITALIA Di seguito, vengono presentate le principali caratteristiche e convenzioni delle rappresentazioni cartografiche adottate in Italia nella cartografia ufficiale. Viene presa in considerazione solo la cartografia di base, prodotta dall'Istituto Geografico Militare, del Catasto e delle Regioni. Non vengono affrontate questioni relative a carte per applicazioni e scopi particolari quali le carte nautiche (Istituto Idrografico della Marina), aeronautiche, geologiche, o altre carte tematiche, che comunque utilizzano come supporto la cartografia di base di cui sopra. Si fa riferimento alla Tabella 1 ed alla figura 7 della dispensa sulle trasformazioni di datum, che interessano anche le applicazioni cartografiche. 3.1. CARTOGRAFIA I.G.M. L’Istituto Geografico Militare, con sede a Firenze, è il massimo Datum geodetico Il sistema di riferimento geodetico adottato per l'inquadramento (rete trigonometrica) della cartografia IGM dal dopoguerra in poi è il "ROMA 40", detto anche Sistema geodetico nazionale, che utilizza l'ellissoide internazionale (Hayford) orientato a M.Mario con dati astronomici del 1940. Il meridiano fondamentale è quello di M.Mario. Per convertire le longitudini da M.Mario a Greenwich è sufficiente sommare la costante: ω* = 12° 27' 08,400"
(37)
che rappresenta la longitudine di M.Mario da Greenwich nel datum Roma 40. Le carte IGM sono georeferenziate (parametrate) anche con riferimento al datum europeo ED 50 (ellissoide internazionale orientato nell'Europa centrale con dati del 1950), che viene utilizzato prevalentemente in ambito militare NATO. Rete di inquadramento La rete trigonometrica IGM, che materializza il datum sul territorio, deriva dalla rete di triangolazione originaria con otto basi misurate, il cui calcolo venne ultimato tra il 1908 e il 1919. Questa rete, calcolata in origine sull'ellissoide di Bessel con due diversi orientamenti per l'Italia settentrionale e meridionale, venne poi trasformata nel datum attuale negli anni immediatamente successivi al 1940. Questa rete è stata poi soggetta ad un costante "lavoro di manutenzione" in occasione dei 14
successivi aggiornamenti e rifacimenti, per lotti, della cartografia IGM. In pratica, interi blocchi della rete sono stati ricalcolati tenendo conto anche delle nuove misure, per cui le coordinate di alcuni vertici sono variate nel tempo, e per alcuni è variata anche l'ubicazione. Uno degli aggiornamenti più importanti ha riguardato la rideterminazione della base di Piombino (nella quale era stato scoperto un errore), con conseguente ricalcolo di tutto il blocco di rete ad essa collegato. Nel 1983 è stato eseguito un ricalcolo in unico blocco di tutta la rete del I ordine, mettendo in conto anche le molte basi geodimetriche misurate negli anni '70-'80. Sono stati rideterminati anche i vertici del II e III ordine. Questa nuova rete, denominata IGM 83, è disponibile solo per applicazioni particolari o di ricerca, mentre le coordinate di catalogo cedute agli utenti restano quelle della rete originaria, salvo gli aggiustamenti "di manutenzione" di cui si è detto. La nuova rete GPS IGM 95, al momento, non viene ancora applicata sistematicamente come supporto per la cartografia. E' previsto comunque di integrarla, a breve termine, con la rete trigonometrica preesistente, mediante la determinazione dei parametri della trasformazione di Helmert validi per zone, e con la disponibilità di un geoide "ufficiale". E' stata anche avanzata la proposta di passare dal datum Roma 40 al WGS 84, inquadrando in esso tutta la cartografia di nuova produzione (e riparametrando quella esistente), ma si tratta evidentemente di una scelta che non potrà esser presa "a cuor leggero", per tutte le conseguenze che comporta. Rappresentazione cartografica La carta IGM originaria (1:100.000) adottava la rappresentazione equivalente di SAMSONFLAMSTED, policentrica (con una diversa origine per ogni foglio). Nel 1948 venne definitivamente adottata la rappresentazione di GAUSS, nella versione a cilindro secante con fattore di contrazione 0,9996. L'Italia è rappresentata mediante due fusi cartografici di 6° di ampiezza, detti fuso ovest e fuso est, aventi meridiano centrale rispettivamente a 9° e 15° Est Greenwich (corrispondenti, nell'ordine, a -3° 27' 08,400" e 2° 32' 51,600" rispetto a M.Mario). La figura A2-15 rappresenta schematicamente i due fusi. Nella figura si nota la zona di sovrapposizione, fascia intermedia corrispondente all'ampiezza in longitudine di un foglio 1:100.000, nella quale la cartografia è parametrata in entrambi i fusi (e per i vertici trigonometrici i cataloghi forniscono le coordinate in ambedue i fusi) per semplificare i problemi di passaggio da un fuso all'altro. La rappresentazione di Gauss così impostata viene detta rappresentazione GAUSS-BOAGA in onore del Prof. Boaga che ne curò l'introduzione in Italia. Alle coordinate Est, per evitare valori ne15
gativi, viene aggiunta una costante detta falsa origine che vale 1.500.000 metri per il fuso ovest e 2.520.000 metri per quello est. In definitiva, le coordinate Gauss-Boaga (N, E) si ottengono dalle gaussiane (x, y) come segue: N = x · 0,9996
(38)
E = y · 0,9996 + E0
(39)
dove la falsa origine E0 ha i valori sopradetti. Per effetto della falsa origine, le coordinate Est iniziano sempre con il numero 1 nel fuso ovest e con il numero 2 nel fuso est, che quindi vengono anche detti "fuso 1" e "fuso 2". All'inverso, si ha: x=
N 0,9996
(40)
y=
E − E0 0,9996
(41)
Le carte IGM contengono il reticolato cartografico (o reticolato chilometrico) della rappresentazione di Gauss-Boaga, in genere indicato con segni a margine sul bordo degli elementi di carta. Nelle carte IGM è anche sovrastampato il reticolato chilometrico della rappresentazione U.T.M. (Universal Transverse Mercator), utilizzata prevalentemente in ambito militare NATO, che corrisponde a una proiezione di Gauss a cilindro secante (sempre con m0 = 0,9996) calcolata però nel datum ED 50. L'Italia è coperta dai fusi 32 e 33 di questo sistema, che corrispondono approssimativamente ai fusi ovest ed est del sistema Gauss-Boaga. Produzione cartografica L'Istituto Geografico Militare, nei suoi oltre 100 anni di attività, ha prodotto vari tipi di carta, con un'evoluzione storica progressiva. Senza entrare nel dettaglio delle diverse varianti della produzione I.G.M., si descrivono di seguito i tipi principali delle carte attualmente in uso. La carta IGM di "vecchia produzione" è realizzata nelle scale di 1:100.000 e 1:25.000, con la classica suddivisione in fogli, quadranti e tavolette schematizzata nella figura A2-16. Questa carta copre tutto il territorio nazionale, anche se lo stato di aggiornamento è molto variabile da una zona all'altra. Si tratta della classica carta di base nazionale, adottata come supporto per innumerevoli produzioni di cartografia tematica (tra le più importanti si ricorda la Carta geologica nazionale). 16
Il "taglio" degli elementi cartografici è di tipo geografico (cioè per meridiani e paralleli) ed è riferito al sistema geodetico nazionale "Roma 40", del quale è riportato il reticolato geografico con tratti a margine. Queste carte classiche dell'IGM sono ancora in vendita, ma da alcuni anni vengono semplicemente ristampate e non più aggiornate, in quanto verranno gradualmente sostituite dalla nuova cartografia. La carta IGM di "nuova produzione" viene realizzata alle scale 1:50.000 e 1:25.000. Il taglio è sempre geografico, ma basato sul sistema ED 50, quindi non coincide con quello della cartografia precedente. L'elemento fondamentale (v. fig. A2-17) è ora il foglio 1:50.000, suddiviso in quattro sezioni 1:25.000, che hanno dimensioni maggiori rispetto alle precedenti tavolette. Questa nuova carta è di tipo numerico e viene stampata a colori. Sempre nell'ambito del sistema di taglio ED 50, l'IGM produce anche cartografia di base a piccola scala (1:1.000.000, 1:500.000 e 1:250.000). ♦ CARTOGRAFIA REGIONALE Datum geodetico Anche le Regioni adottano, per la propria cartografia di base, il sistema di riferimento geodetico "ROMA 40". Gli elementi delle carte regionali, generalmente, sono georeferenziati anche rispetto al datum ED 50, per mezzo delle coordinate dei vertici riportate a margine. Rete di inquadramento Le reti di appoggio della cartografia regionale, realizzata esclusivamente con tecniche aerofotogrammetriche, sono realizzate raffittendo la rete fondamentale IGM nell'area di lavoro. Con questa operazione di raffittimento, vengono determinati nuovi vertici denominati in genere V.T.R. (vertici trigonometrici regionali), e ulteriori punti planimetrici e/o altimetrici determinati con misure sul terreno (P.A.F. - punti di appoggio fotografici) o mediante triangolazione aerea (T.A.). Negli ultimi tempi, per questa operazione di raffittimento viene impiegata sempre più spesso la tecnica GPS, che richiede l'effettuazione della trasformazione di datum da WGS 84 a Roma 40, e la disponibilità di un modello di geoide locale sufficientemente attendibile; in gegenre, è necessario integrare le misure GPS con una campagna di determinazioni altimetriche, in pratica un raffittimento della livellazione.
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Rappresentazione cartografica Le carte regionali utilizzano il sistema di rappresentazione Gauss-Boaga, nel fuso di appartenenza. Sulle carte è sovrastampato, in genere, il reticolato cartografico di questa rappresentazione, mentre per l'eventuale tracciamento di quello U.T.M. sono disponibili gli "inviti" a margine o le coordinate dei vertici. A volte sono presenti anche gli "inviti" per il reticolato catastale CassiniSoldner. Produzione cartografica Le Regioni producono per lo più cartografia tecnica (C.T.R. o Carta Tecnica Regionale), a scale medio-grandi (1:10.000, 1:5.000, 1:2.000), ponendosi quindi come organo cartografico complementare all'IGM. In alcuni casi, data la carenza della cartografia a piccola scala, sono stati eseguiti aggiornamenti o nuove produzioni di carta 1:25.000 o anche a scale minori. Le carte regionali adottano generalmente il taglio geografico ED 50, che quindi corrisponde e si integra con quello della cartografia IGM 1:50.000 di recente produzione. Si veda in proposito la figura A2-18: ad ogni foglio 1:50.000 corrispondono sedici sezioni 1:10.000, ognuna delle quali è divisa a sua volta in quattro elementi 1:5.000. Solo alcune tra le regioni hanno completato la copertura cartografica del proprio territorio. E' stata comunque prodotta una notevole mole di cartografia, tenuto anche conto che gli uffici cartografici regionali hanno iniziato ad operare solo verso la fine degli anni '70. Quasi tutta la cartografia regionale attualmente prodotta è di tipo numerico. In diversi casi sono stati realizzati anche ortofotopiani e ortofotocarte, più economici e di più rapida realizzazione rispetto a una carta convenzionale. ♦ CARTOGRAFIA CATASTALE Datum geodetico Come si è visto nei richiami di geodesia, nella cartografia catastale italiana non viene utilizzato un unico sistema di riferimento geodetico. I due datum principali sono basati sull'ellissoide di Bessel, orientato a Genova (datum per l'Italia centro-settentrionale), o a Castanea delle Furie (Italia meridionale). Esistono però altre definizioni valide per zone più ristrette. Rete di inquadramento La rete di inquadramento della cartografia catastale venne realizzata tra la fine del secolo scorso e l'inizio del '900, raffittendo la rete trigonometrica IGM di I, II e III ordine. I nuovi vertici 18
catastali vennero denominati di rete, di sottorete e di dettaglio. La rete catastale, a parte la differenza di datum, non corrisponde però perfettamente a quella IGM attuale, che come si è detto deriva da una serie di operazioni di "manutenzione" e rideterminazione progressiva di blocchi, succedutesi nel tempo. Anche il Catasto ha rideterminato alcuni blocchi della rete, ma in genere con operazioni indipendenti da quelle dell'IGM, per cui allo stato attuale le due reti presentano differenze spesso non trascurabili. Rappresentazione cartografica La cartografia catastale originaria adottava il sistema di rappresentazione Cassini-Soldner. In Italia vennero istituiti 31 "grandi sistemi" Cassini-Soldner, ciascuno con la propria origine, comprendenti una o più province (fig. A2-19). Esistono però, per zone più ristrette, numerosi altri sistemi locali. Con le "Istruzioni per il rilevamento trigonometrico" emanate nel 1950, anche il Catasto adottò ufficialmente il datum Roma 40 e la rappresentazione Gauss-Boaga. Tuttavia, solo per alcune province la carta catastale è stata rifatta o riparametrata, per cui allo stato attuale nella maggior parte del territorio nazionale si opera sulla cartografia originaria Cassini-Soldner, aggiornata con le modifiche intervenute sul territorio ma immutata nell'inquadramento. Produzione cartografica La cartografia catastale è per lo più solo planimetrica (solo in alcuni recenti rifacimenti è rappresentata anche l'altimetria). Le scale più utilizzate sono la 1:2.000 per le zone extraurbane e la 1:1.000 per i centri abitati; per zone di montagna o collina viene impiegata anche la scala 1:4.000. Il taglio degli elementi (fogli) è di tipo cartografico (segue la parametratura cartografica Cassini-Soldner), ma in ogni foglio è rappresentata solo l'area compresa entro un perimetro chiuso formato da dividenti di particelle. Pur con i suoi limiti, la cartografia catastale rappresenta un patrimonio vastissimo e prezioso, di enorme valore anche dal punto di vista economico, tenendo conto degli enormi costi che comporterebbe un suo rifacimento, anche ricorrendo alle tecniche più moderne.
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