Circuiti RC ed RL Consideriamo ora circuiti in cui siano presenti più componenti. Circuito ohmico-induttivo R-L con resistenza e reattanza in serie.
Figura A
In figura
vi è lo schema riferito ad un generatore di tensione
sinusoidale, di valore efficace U, che alimenta la serie di una resistenza R e di una bobina di induttanza L, la cui reattanza induttiva vale XL = ω L = 2πf L [Ω] La corrente che attraversa gli ostacoli “resistenza e reattanza induttiva” è la stessa e dà luogo a due cadute di tensione: UR ai capi della resistenza R, in fase con la corrente; UL ai capi della reattanza induttiva XL, in anticipo di 90° rispetto alla corrente stessa. La loro somma U, di tipo vettoriale
è la tensione totale ai capi dell’impedenza Z e coincide anche, naturalmente,
con la tensione che deve fornire il generatore
L’impedenza ohmico-induttiva Z
rappresenta l’ostacolo totale offerto dal circuito in esame al passaggio della corrente. Il calcolo mediante i moduli, che va effettuato considerando la posizione dei vettori nel piano di Gauss, porta ai risultati seguenti
Dai
triangoli
simili
delle
cadute
di
tensione
(vettori)
e
dell’impedenza si può dedurre anche lo sfasamento di cui la tensione totale anticipa la corrente che percorre l’impedenza (è lo stesso dire che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione ai capi dell’impedenza) L’angolo si può ricavare, ad esempio, da una delle seguenti relazioni trigonometriche:
ESEMPIO Un generatore alimenta, con tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz, il circuito di fig.1 a) erogando una corrente di valore
efficace I=4A. L’impedenza è costituita da una bobina di induttanza L=8,6mH e la resistenza complessiva dell’avvolgimento risulta essere R=2Ω. Ritenendo costante l’induttanza della bobina si calcolino le cadute di tensione e la tensione, in valore efficace, che deve fornire il generatore. _________ Si calcola la reattanza con l’espressione XL = ω · L = 2πf · L = 314 · 8,6 · 10-3 = 2,702 Ω La corrente dà luogo alla caduta UR in fase con essa e alla UX a 90° in anticipo. Per determinare la tensione totale U si segue il procedimento indicato, ottenendo:
in cui l’impedenza, ostacolo complessivo del circuito, è
Passando ai moduli:
che rappresenta il valore efficace richiesto. Desiderando conoscere il modulo dell’impedenza si calcola
Lo sfasamento di cui la tensione totale anticipa la corrente e quindi lo sfasamento caratteristico dell’impedenza si può determinare ad esempio così:
In figura è rappresentato il diagramma vettoriale, che si è tracciato ponendo sull’asse reale la corrente, nota dal testo. Rispetto alla corrente
vengono
rappresentate
le
cadute
di
tensione
e
di
conseguenza la tensione totale U , in anticipo di 53,49°. La soluzione si può anche determinare graficamente, riportando in scala le tensioni. Per inciso si osserva che, dovendo rappresentare in scala anche le correnti, la scala scelta non è generalmente la stessa. La scelta va fatta in base allo spazio che si ha a disposizione e all’evidenza che si vuole assegnare alle grandezze.
Osservazione
Nelle applicazioni numeriche, soprattutto per chi non ha ancora dimestichezza per questi procedimenti, si faccia bene attenzione a tener conto delle posizioni dei vettori. Di conseguenza si ricordi che, a differenza di quanto accade in corrente continua, le somme sono sempre vettoriali, sia che si
sommino tensioni, sia che si sommino correnti, sia che si sommino impedenze in serie. Circuito ohmico-capacitivo R-C con resistenza e capacità in serie.
Rispetto al circuito R-L, qui la presenza del condensatore di capacità C che ritarda la propria caduta di tensione di 90°, porta a spostare anche in ritardo la tensione totale rispetto alla corrente (dell’angolo φ, inteso negativo perché contato con verso orario a partire dalla posizione dell’asse reale positivo del piano di Gauss).
Le considerazioni precedenti sono quindi influenzate dal segno meno della reattanza capacitiva –jXC , che si calcola, in modulo:
Pertanto, con riferimento alla fig. 2, si scrivono le seguenti relazioni:
in cui l’impedenza totale del circuito ohmico-capacitivo è
I moduli e l’argomento si determinano così:
ESEMPIO Un generatore alimenta, con tensione sinusoidale di frequenza f=50Hz e valore efficace 230V, il circuito di fig.2 a). L’impedenza è costituita da una resistenza R=100Ω, mentre la capacità ad essa in serie è di 10µF . Si calcolino la corrente nel circuito, le cadute di tensione e si rappresenti il diagramma vettoriale tensioni-corrente. ______ Per la soluzione si calcola dapprima l’impedenza, per poi passare alla valutazione della corrente in modulo e fase e al tracciamento del diagramma.
Si assume la tensione fornita dal testo sull’asse reale, per cui vettorialmente la tensione viene rappresentata con la sola parte reale. La corrente e le cadute di tensione saranno quindi riferite alla posizione del vettore tensione. Sostanzialmente il diagramma di fig. è come se fosse ruotato in senso antiorario dell’angolo caratteristico φ dell’impedenza: la corrente è comunque in anticipo rispetto alla tensione totale U fornita dal generatore . Calcolo della reattanza capacitiva:
1) soluzione con metodo vettoriale:
Ricordando
che
nel
rapporto
fra
numeri
complessi
occorre
moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, si calcola la corrente
con modulo
2) Soluzione con i moduli:
3) Soluzione con metodo esponenziale:
•
Si verifichi che la somma vettoriale delle c.d.t. parziali dà la
tensione del generatore. •
Il
valore
massimo
di
tensione
che
deve
sopportare
condensatore e per il quale va dimensionato l’isolamento è
il
