Collana di Fisica e Astronomia

Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Giorgio Bendiscioli

Fenomeni Radioattivi Dai nuclei alle stelle

123

Giorgio Bendiscioli

Fenomeni radioattivi Dai nuclei alle stelle

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Prefazione

Questo volume raccoglie le lezioni del Corso di Radioattivit` a impartite dall’autore agli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica presso l’Universit` a di Pavia. La struttura del corso con le connessioni fra i vari argomenti `e illustrata nel seguente diagramma.

Legge del decadimento radioattivo Radiazione e ambiente Radiodatazione Decadimento γ Decadimento α Decadimenti esotici Decadimento β

Non conservazione della parità

Energia delle stelle

Teoria di Dirac

Massa del neutrino

Teoria V−A del decadimento β

Doppio decadimento β

Nucleosintesi

Oscillazioni di neutrino

I temi trattati costituiscono un’introduzione ai fenomeni radioattivi in senso stretto con escursioni, aventi come base di partenza e ﬁlo conduttore il decadimento β, nel campo della ﬁsica delle particelle elementari, in particolare dei neutrini, e dell’astroﬁsica.

VI

Prefazione

Alcuni argomenti sono tradizionali, altri riguardano la ﬁsica di frontiera cos`ı che al lettore sono oﬀerti particolari itinerari dalla ﬁsica consolidata alla ﬁsica in evoluzione. Ovviamente, per quanto riguarda quest’ultima, i risultati sperimentali riportati e i relativi commenti hanno carattere di provvisoriet` a. Gli argomenti discussi rappresentano una scelta, per qualche verso arbitraria, del vasto materiale disponibile e vengono proposti come introduzione alla materia. Per le lezioni ho attinto, in varia misura, dai testi, dagli articoli di rassegna, dagli articoli didattici o divulgativi e dagli articoli originali citati al termine di ogni capitolo e ai quali si rimanda per approfondimenti e ampliamenti. Essi costituiscono una minuscola parte della vastissima letteratura esistente. La comprensione dei vari temi presuppone il possesso delle nozioni normalmente impartite nei primi tre anni del Corso di Laurea in Fisica. Per non appesantire l’esposizione degli argomenti principali, argomenti complementari e sviluppo di calcoli sono raccolti in Appendici poste alla ﬁne di ogni capitolo. Nella stesura del testo mi sono avvalso della preziosa consulenza di numerosi colleghi del Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica dell’ Universit` a di Pavia e della collaborazione degli studenti che hanno seguito le mie lezioni e hanno aﬀrontato il testo in versioni pi` u rozze. A tutti un vivo ringraziamento. Un grazie particolare al collega Claudio Cattaneo che con grande pazienza ha curato la versione LaTeX del testo.

Pavia, marzo 2008

Giorgio Bendiscioli

Indice

1

Legge del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 I fenomeni radioattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . 1.2.1 Probabilit` a di decadimento per un singolo nucleo . . . . . . 1.2.2 Tempo di dimezzamento e vita media . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Attivit` a .......................................... 1.2.4 Decadimenti in competizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Famiglie radioattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Decadimento A → B(stabile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Decadimento A → B(instabile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Serie di decadimenti 1 → 2 → 3 → · · · → (K − 1) → K (stabile) . . 1.3.4 Andamento nel tempo della quantit` a di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi. . . . . . . 1.3.5 Misura della vita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Appendice – Fluttuazioni statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Statistica e probabilit` a ............................. 1.4.2 Frequenza e probabilit` a ............................ 1.4.3 Valutazione della costante di decadimento . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Sottrazione del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Misure statisticamente compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 6 7 8 9 9 10 10 13 15 16 17 17 18 19 21 21

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2

Radiazione ambientale naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Sorgenti della radiazione ambientale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Radionuclidi naturali primordiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 L’uranio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Il torio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Calore terrestre di origine radioattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 I raggi cosmici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 28 31 32 36

VIII

Indice

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Radionuclidi artiﬁciali (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eﬀetti biologici della radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Interazione delle particelle cariche con la materia . . . . . . 2.7.2 Interazione dei fotoni con la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Eﬀetti delle radiazioni ionizzanti sui tessuti biologici . . . 2.7.4 Unit` a dosimetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5 Danni e fattori di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6 Dosi alte assorbite in breve tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.7 Dosi basse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.8 Radioattivit` a intrinseca del corpo umano . . . . . . . . . . . . . 2.8 Il radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Radiazione media assorbita dalla popolazione . . . . . . . . . 2.9 Sono possibili eﬀetti beneﬁci delle radiazioni? . . . . . . . . . . . . . . .

39 42 43 43 46 48 50 53 54 54 56 58 61 63

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3

Radiodatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Criterio di base della radiodatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Datazione delle rocce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Metodi di datazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Et`a della terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Datazione dei coralli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Datazione con il 14 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Incertezza sulla radiodatazione dipendente dalla statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Esempio di calibrazione della radiodatazione . . . . . . . . . .

69 69 69 69 70 75 77 78 85 85 86

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4

Decadimento γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1 Propriet` a generali del decadimento γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Radiazione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.2 Parit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.3 Parit` a orbitale e parit` a intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.4 Il campo elettromagnetico nello spazio vuoto . . . . . . . . . . 97 4.2.5 Parit` a orbitale del campo elettrico e del campo magnetico associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2.6 Campi di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.7 Parit` a intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.8 Parit` a totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.9 Dipolo di radiazione elettrica e di radiazione magnetica. 102

Indice

IX

4.2.10 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4 Energia della radiazione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5

Decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1 Caratteristiche generali del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Fenomenologia del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.1 Aspetti energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.2 Vita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3 Teoria del decadimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.3.1 La barriera repulsiva coulombiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.3.2 Le particelle α all’interno dei nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.3 Trasparenza della barriera coulombiana . . . . . . . . . . . . . . 124 5.3.4 Costante di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.5 Eﬀetto della barriera centrifuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6

Nuclei e decadimenti esotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Radioattivit` a con emissione di nuclei con A > 4 . . . . . . . . . . . . . 139 6.3 Emissione di protoni e neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3.1 Emissione di protoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3.2 Decadimenti del 151 Lu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.3 Decadimenti del 21 N a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.4 Emissione protonica da un nucleo isomero . . . . . . . . . . . . 146 6.3.5 Emissione di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.4 I nuclei superpesanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7

Decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1 Caratteristiche generali del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 Condizione energetica per il decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Esistenza del neutrino e dell’antineutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.4 Aspetti cinematici del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4.1 Decadimento β ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4.2 Cattura elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.5 Teoria di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.5.1 Densit`a degli stati ﬁnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.5.2 Elemento di matrice di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.5.3 Funzioni d’onda per elettrone e antineutrino. . . . . . . . . . . 176

X

Indice

7.5.4 Densit`a di probabilit` a di transizione. Spettro energetico degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.5.5 Elemento di matrice nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.5.6 Probabilit` a di transizione per unit` a di tempo. Costante di decadimento (vita media) . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5.7 Classiﬁcazione dei decadimenti. Transizioni favorite . . . . 183 7.5.8 Valutazione della costante g dell’interazione debole . . . . 185 7.5.9 Osservazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.6.1 Dipendenza dalle coordinate spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.6.2 Intensit` a delle interazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.7 Appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.7.1 Energia liberata, masse atomiche ed energia di legame . 197 7.7.2 Densit`a degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.7.3 Sezione d’urto ν + p → e+ + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.7.4 Densit`a degli stati ﬁnali per ν + p → e+ + n . . . . . . . . . . 202 7.7.5 Emissione di elettroni, raggi X e γ conseguente al decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.7.6 Fattore coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.7.7 Misura della vita media del neutrone . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8

Misura della massa del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.2 Decadimento del trizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.2.1 Spettro energetico dei β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.3 Spettrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.4 Risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 8.5 Perdita d’energia per ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.6 Radiazione di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.7 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.8 Risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.9 Spettrometro a trappola magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 8.10 Appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.10.1 Decadimento β del 3 H in livelli eccitati dell’3 He . . . . . . 233 8.10.2 Convoluzione e risoluzione di uno spettrometro . . . . . . . . 234

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9

Non conservazione della parit` a nel decadimento β . . . . . . . . . 239 9.1 Parit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.1.1 Leggi di conservazione e propriet` a di invarianza. . . . . . . . 239 9.1.2 Inversione delle coordinate spaziali. Parit` a . . . . . . . . . . . . 240

Indice

9.2

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

XI

9.1.3 Grandezze pari e grandezze dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.1.4 Conservazione della parit` a. Invarianza per inversione delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.1.5 Parit` a orbitale, parit` a intrinseca, parit` a totale . . . . . . . . 245 9.1.6 Non conservazione della parit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Decadimento del 60 Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.2.2 Esperimento del 60 Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Elicit`a del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Elicit`a degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Correlazioni angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Appendice – Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita265

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10 Teoria di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2 Equazione di Schr¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.3 Equazione relativistica di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.4 Particelle e antiparticelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.5 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 10.6 Propriet` a generali dell’operatore hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.7 Soluzione dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.8 Operatori di proiezione di elicit` a positiva e negativa . . . . . . . . . . 282 10.9 Equazione aggiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 10.10Invarianti relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.11Propriet` a di invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.12Particelle e antiparticelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.13Confronto fra teoria di Dirac e osservazioni sperimentali . . . . . . 292 10.14Appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.14.1Commutazione di H e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.14.2Commutazione di H e h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.14.3Invarianza relativistica dell’equazione di Dirac . . . . . . . . 294 10.14.4Covarianza e controvarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11 Teoria V − A del decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.1 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

XII

Indice

12 Energia solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.1 Caratteristiche del sole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.2 Origine dell’energia solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.2.1 Ipotesi chimica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.2.2 Ipotesi gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 12.2.3 Energia termonucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3 Velocit`a di produzione di deuterio nella catena pp . . . . . . . . . . . 316 12.3.1 Formazione del deutone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 12.3.2 Trasparenza della barriera coulombiana . . . . . . . . . . . . . . 320 12.3.3 Distribuzione maxwelliana dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . 321 12.3.4 Luminosit` a del sole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 12.4 Cenni di nucleosintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 12.4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 12.4.2 Cenni sull’evoluzione delle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 12.4.3 Nuclei presenti sul sole e loro origine . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.4.4 Formazione dei nuclei con A ≤ 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12.4.5 Nucleosintesi e materia organica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.4.6 Formazione dei nuclei pesanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.5 Collasso della supernova SN1987A e limite superiore della massa del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 12.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 12.5.2 Limite superiore della massa del neutrino elettronico. . . 336 12.6 Limite inferiore dell’et` a delle stelle e dell’Universo . . . . . . . . . . . 339 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 13 I neutrini solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 13.1 Modelli solari e ﬂusso di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 13.2 Rivelazione dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 13.2.1 Reazioni di assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 13.2.2 Radiazione di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.3 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 13.3.1 L’esperimento con 37 Cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 13.3.2 Esperimenti con 71 Ga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.3.3 Misura diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13.4 Osservazioni riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.5 Recenti sviluppi sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.6 Appendice – Valutazione del fattore astroﬁsico . . . . . . . . . . . . . . 371 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 14 Neutrini massivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 14.2 Neutrini massivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 14.2.1 Neutrini di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

Indice

XIII

14.2.2 Neutrini di Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 14.2.3 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 14.3 Doppio decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 14.3.1 Probabilit` a del decadimento ββ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 14.3.2 Decadimento 2νββ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 14.3.3 Decadimento 0νββ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 14.4 Oscillazioni di neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 14.4.1 I mesoni K neutri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 14.4.2 Oscillazioni di neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 14.5 Osservazioni conclusive: esistono diﬀerenti neutrini o esiste un solo neutrino multiforme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 15 Doppio decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 15.2 Spettri energetici e vita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 15.3 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.3.1 Metodo geochimico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.3.2 Metodi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 15.3.3 Sommario di risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 15.3.4 Massa del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 16 Oscillazioni di neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 16.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 16.1.1 Condizioni di osservabilit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 16.1.2 Esperimenti ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari . . . . . . . . . . . 429 16.2.1 L’esperimento di G¨osgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 16.2.2 L’esperimento KamLAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 16.3 I neutrini solari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 16.4 I neutrini atmosferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 Commiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 17.1 Formule cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 17.1.1 Formule relativistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 17.1.2 Principi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 17.1.3 Sistemi di riferimento del laboratorio (L) e del centro di massa (CM ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

XIV

Indice

17.1.4 Relazioni fra le quantit` a cinematiche di una particella nei sistemi del L e del CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 17.1.5 Relazioni fra le quantit` a cinematiche nel sistema del L e del CM (formule non relativistiche, T M , √ P = 2M T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 17.1.6 Relazioni fra le quantit` a cinematiche nel √ sistema del L e del CM (formule relativistiche, P = 2M T + T 2 ) . . . . 451 17.1.7 Energia di soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 17.1.8 Decadimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 17.2 Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

Facciamo l’uomo a nostra immagine, a nostra somiglianza: domini sui pesci del mare e sugli uccelli del cielo, sul bestiame, su tutte le bestie selvatiche e su tutti i rettili che strisciano sulla terra.

Genesi 1,26

1 Legge del decadimento radioattivo

1.1 I fenomeni radioattivi I nuclei conosciuti, nella maggior parte prodotti artiﬁcialmente, sono circa 2 700; di questi solo una piccola parte, circa 270, `e stabile. Si ritiene, inoltre, che il numero dei nuclei instabili producibili in laboratorio possa raggiungere il numero di 7 000. I nuclei sono instabili a causa di diﬀerenti processi ﬁsici, detti decadimenti radioattivi. Questi processi hanno carattere probabilistico nel senso che ogni nucleo di una data specie ha una caratteristica probabilit` a per unit` a di tempo di decadere. Conseguentemente, dato un certo numero di nuclei instabili di una data specie, il loro numero decresce gradualmente nel tempo; ogni specie `e caratterizzata da un intervallo, detto tempo di dimezzamento o periodo, nel quale il numero dei nuclei si riduce a met` a di quello iniziale. La distinzione fra nuclei stabili e instabili non `e netta. Infatti, alcuni nuclei instabili, per esempio i nuclei suscettibili di doppio decadimento β, hanno un tempo di dimezzamento cos`ı grande, che possono essere considerati praticamente stabili. Ogni decadimento trasforma una conﬁgurazione instabile di nucleoni in una conﬁgurazione pi` u stabile con liberazione di una certa quantit` a di energia deﬁnita dalla diﬀerenza fra l’energia associata alla massa a riposo iniziale e la somma delle energie associate alle masse a riposo ﬁnali. Ogni decadimento `e caratterizzato da un particolare valore dell’energia liberata. L’insieme dei nuclei stabili e instabili (osservati o attesi) `e rappresentato nel diagramma di ﬁg. 1.1. I principali processi di decadimento, ossia quelli con pi` u elevata probabilit` a, sono i seguenti. a) Decadimento α: un nucleo si trasforma in un nucleo con 4 nucleoni in meno emettendo un nucleo di 4 He (particella α) secondo la reazione A(Z, N ) → A (Z − 2, N − 2) + A (2, 2). Il decadimento α `e caratteristico dei nuclei pesanti con A > 210.

2

1 Legge del decadimento radioattivo

Fig. 1.1. Rappresentazione dei nuclei nel piano Z,N. La regione dei nuclei possibili previsti teoricamente `e compresa tra le linee tratteggiate superiore e inferiore. Queste sono dette linee di “sgocciolamento” per indicare che in loro prossimit` a eventuali nucleoni addizionali si staccano dai nuclei essendo nulle le rispettive energie di legame (Bp e Bn ). La regione dei nuclei conosciuti, ossia eﬀettivamente osservati, ` e delimitata dalla linea piena e i nuclei stabili si trovano nella sua parte mediana; gli altri nuclei sono instabili. Nella ﬁgura sono messi in evidenza i nuclei con numero magico di protoni o neutroni (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) e alcuni nuclei doppiamente magici. ([4]) I pi` u elevati valori osservati di Z, N e A sono 116, 176 e 292, rispettivamente. Dettagli sulla regione dei nuclei superpesanti sono dati in ﬁg. 6.10 del cap. 6.

b) Decadimento β − : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un elettrone (particella β − ) e di un antineutrino secondo la reazione A(Z, N ) → A(Z + 1, N − 1) + e− + ν¯. Il decadimento `e caratteristico dei nuclei con eccesso di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. c) Decadimento β + : un nucleo si trasforma in un isobaro con emissione di un positrone (particella β + ) e di un neutrino secondo la reazione A(Z, N ) → A(Z − 1, N + 1) + e+ + ν.

1.1 I fenomeni radioattivi

3

Il decadimento `e caratteristico dei nuclei con difetto di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti. E’ riscontrato solamente nei nuclei radioattivi artiﬁciali.

Fig. 1.2. Esempi di decadimenti radioattivi. Le frecce rappresentano impulsi con somma uguale a zero.

d) Decadimento γ: un nucleo passa da uno stato eccitato a un altro stato eccitato o allo stato fondamentale emettendo un fotone o quanto di energia elettromagnetica: A∗ (Z, N ) → A(N, Z) + γ.

4

1 Legge del decadimento radioattivo

e) Fissione spontanea: un nucleo si spezza in due nuclei aventi una massa circa met`a di quella iniziale, emettendo un certo numero di neutroni: A(Z, N ) → A (Z , N ) + A (Z , N ) + kn, A + A + k = N + N + Z + Z + k = A. La ﬁssione spontanea `e caratteristica di nuclei pesanti. Esempi dei precedenti decadimenti sono mostrati in ﬁg. 1.2. Altri decadimenti hanno bassa probabilit` a rispetto ai precedenti e sono detti “esotici”. Fra di essi ricordiamo: f) Doppio decadimento β ± : un nucleo decade con emissione di due elettroni o due positroni e due antineutrini o due neutrini: A(Z, N ) → A(Z − 2, N + 2) + 2e+ + 2ν, ν. A(Z, N ) → A(Z + 2, N − 2) + 2e− + 2¯ Questi decadimenti sono osservati in un certo numero di nuclei non suscettibili di decadimento β singolo. g) Decadimenti con emissione di protoni o neutroni: A(Z, N ) → A (Z − 1, N ) + p, A(Z, N ) → A (Z, N − 1) + n. Sono processi caratteristici di nuclei con grande eccesso o grande difetto di neutroni, spesso conseguenti a decadimenti β ± (emissioni β-ritardate). h) Emissione di nuclei leggeri con A > 4: A(Z, N ) → A (Z , N ) + A (Z , N ) . Questi decadimenti sono stati osservati in nuclei pesanti; per esempio, emissione di nuclei di C e Ne da parte di nuclei di Ra e U . Indipendentemente dai processi particolari, i decadimenti avvengono secondo la stessa legge temporale che verr`a illustrata nei successivi paragraﬁ.

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo Un grande numero di osservazioni sperimentali mostra che il numero medio Δnd delle trasformazioni spontanee (o decadimenti) di un materiale radioattivo osservate in un intervallo di tempo Δt (non troppo lungo) `e proporzionale al numero n di nuclei presenti e all’intervallo Δt: Δnd = λnΔt.

(1.1)

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo

5

Il valore della costante di proporzionalit` a λ, detta costante di disintegrazione o di decadimento, dipende dalla specie nucleare e dal tipo di decadimento. Tenuto conto del fatto che in un decadimento un nucleo iniziale si trasforma in un nucleo ﬁnale cos`ı che il numero totale di nuclei rimane inalterato (quindi Δnd + Δn = 0), e che la (1.1) vale per qualsiasi valore di n e per qualsiasi istante t, per Δt tendente a zero la (1.1) assume la forma dnd (t) = −dn(t) = λn(t)dt,

(1.2)

che rappresenta l’espressione diﬀerenziale della legge dei decadimenti radioattivi radioattivi. La (1.2) pu` o essere riscritta nella forma dn(t) = −λ dt, n(t)

(1.3)

il cui integrale fornisce il numero di nuclei non decaduti (o residui) all’istante generico t: n(t) = no e−λ t , (1.4) dove no `e il numero di nuclei presenti all’istante iniziale t = 0. La (1.4) `e l’espressione esponenziale della legge fondamentale dei decadimenti radioattivi; essa mostra che il numero di nuclei non disintegrati (o residui) diminuisce esponenzialmente nel tempo (vedere ﬁg. 1.3) e λ determina la rapidit` a con cui l’esponenziale tende a zero.

Fig. 1.3. Legge del decadimento radioattivo per un nucleo generico con T1/2 = 280g.

Il numero di nuclei che decadono fra 0 e t `e nd (t) = no − n(t) = no 1 − e−λt ;

(1.5)

6

1 Legge del decadimento radioattivo

il numero di quelli che decadono nell’intervallo Δt = t2 − t1 `e Δnd = no e−λt1 − e−λt2 ;

(1.6)

per t1 < t2 << 1/λ , ovvero Δt = t2 − t1 << 1/λ,

(1.7)

la (1.6) diviene semplicemente Δnd ∼ = no [(1 − λt1 + ...) − (1 − λt2 + ...)] = no λΔt

(1.8)

Questa relazione coincide con la (1.1) e d`a signiﬁcato all’aggettivazione “non troppo lungo” che accompagna l’intervallo di tempo Δt nell’introduzione della (1.1) stessa. Inoltre, la (1.7) implica λΔt << 1 e quindi Δnd << no , vale a dire il numero di nuclei che decadono `e molto minore di quello iniziale o, equivalentemente, il numero di nuclei rimane approssimativamente costante in Δt. La (1.8) ha notevole interesse pratico e sar`a ripetutamente utilizzata nel seguito. Va sottolineato che i fenomeni radioattivi hanno carattere statistico e le equazioni (1.1-1.8) sono relazioni fra valori medi. Nei casi concreti si hanno deviazioni da tali leggi dovute alle ﬂuttuazioni statistiche, che sono tanto pi` u sensibili quanto pi` u piccolo `e no . Di esse si discuter`a nell’Appendice. La legge del decadimento radioattivo e il valore di λ sono la manifestazione macroscopica delle interazioni forte, elettromagnetica e debole, dei principi di conservazione e delle leggi della meccanica quantistica che determinano a livello microscopico la stabilit`a o l’instabilit` a dei nuclei. 1.2.1 Probabilit` a di decadimento per un singolo nucleo Le relazioni (1.2) e (1.4) descrivono propriet` a statistiche di popolazioni di nuclei derivanti da propriet` a probabilistiche dei singoli nuclei, che ricaviamo dalle stesse relazioni citate. La probabilit` a dP d (t) che un nucleo decada nell’intervallo dt `e data dal rapporto fra il numero di nuclei che decadono e il numero totale dei nuclei presenti; per la (1.2) risulta dPd (t) =

dn(t) dnd (t) = −dP (t) = − = λdt. n (t) n (t)

(1.9)

Questa relazione mostra che la costante di decadimento ha il signiﬁcato di probabilit` a di decadimento per unit` a di tempo: λ=−

dP (t) dPd (t) = . dt dt

(1.10)

1.2 La legge esponenziale del decadimento radioattivo

7

Analogamente, per la (1.4), la probabilit` a che un singolo nucleo appartenente all’insieme iniziale di no nuclei sopravviva al tempo t ha l’espressione1 P (t) =

n(t) = e−λt . no

(1.11)

1.2.2 Tempo di dimezzamento e vita media La rapidit` a con cui avviene il decadimento `e indicata, oltre che con λ, anche con due altre quantit` a: il “tempo di dimezzamento” (o tempo di dimezzamento o semplicemente periodo 2 ) T1/2 e la “vita media” t¯. Il periodo `e il tempo dopo il quale il numero dei nuclei di una data specie, inizialmente uguale a no , si dimezza, ossia diviene no /2 (vedere ﬁg.1.3). Per la (1.4) si ha 1

` interessante mettere in evidenza alcune limitazioni di carattere conoscitivo della E legge del decadimento radioattivo 1.11. Supponiamo che un nucleo radioattivo venga prodotto all’istante t1 : ﬁno a quando sopravviver` a o, equivalentemente, quando decadr` a? Non `e possibile rispondere a questa domanda. L’unica previsione che si pu` o fare sulla durata della vita del nucleo `e la probabilit` a di sopravvivenza ﬁno a un generico istante t2 : P (t2 ) = e−λ(t2 −t1 ) = e−λΔt Se il nucleo `e eﬀettivamente in vita all’istante t2 , la probabilit` a che sopravviva per un ulteriore intervallo di tempo Δt = t3 − t2 `e P (t3 ) = e−λ(t3 −t2 ) = e−λΔt = P (t2 ) Ci` o mostra che la probabilit` a di sopravvivenza non dipende dal particolare istante iniziale (t1 o t2 ), ma solo dall’intervallo Δt considerato. In altre parole, la probabilit` a di sopravvivenza non dipende dal passato del nucleo, in particolare dall’istante t1 in cui `e stato prodotto. La legge del decadimento consente di formulare previsioni pi` u stringenti relativamente a un insieme di nuclei, in particolare consente di prevedere, in base alla (1.4), quanti nuclei sopravviveranno (in media) all’istante t2 : n2 = n1 e−λ(t2 −t1 ) = n1 e−λΔt .

2

Non `e tuttavia possibile prevedere quali particolari nuclei sopravviveranno. Supponiamo ora che all’istante t1 siano presenti n1 nuclei radioattivi identici. Essi potrebbero essere stati tutti creati all’istante t1 , oppure potrebbero essere stati creati in uno stesso istante precedente t0 o, inﬁne, potrebbero essere stati creati in diﬀerenti istanti precedenti. L’evoluzione del sistema degli n1 nuclei presenti all’istante t1 `e governata dall’ultima relazione scritta, indipendentemente dalle modalit` a con cui si `e costituito l’insieme di n1 nuclei; anche l’evoluzione di un sistema di nuclei non dipende dal suo passato. Abitualmente in ﬁsica si usa il termine “periodo” per indicare l’intervallo di tempo caratteristico di moti ripetitivi, come l’oscillazione di un pendolo o il moto della terra attorno al sole. Nel caso dei decadimenti radioattivi, il termine non si riferisce, evidentemente, a nessun moto, ma alla ripetitivit` a del fenomeno costituito dal dimezzamento della quantit` a di materiale radioattivo.

8

1 Legge del decadimento radioattivo

no = no e−λT1/2 , 2 ln 2 0.693 = . (1.12) λ λ Degli no nuclei iniziali, fra t e t +dt se ne disintegrano λn(t)dt; ognuno di essi `e vissuto per un tempo t; quindi complessivamente essi sono vissuti per un tempo tλn(t)dt. La somma dei tempi vissuti da tutti i nuclei fra t = 0 e t → ∞ `e data dall’integrale ∞ ∞ tλn(t)dt = tλno e−λt dt = no /λ. T1/2 =

0

0

Dividendo per no , si ha la vita media (vedi ﬁg.1.3) T1/2 1 t¯ = = = 1.443 T1/2 , λ ln 2

(1.13)

che rappresenta l’istante in cui il numero di nuclei residui si riduce a n(t¯) = no /e = no /2.718. t¯ pu` o essere messo in evidenza graﬁcamente considerando i primi due termini dello sviluppo in serie della (1.4) per t tendente a zero: n(t) = no (1 − λt) . Questa equazione rappresenta una retta e t¯ `e il valore di t per il quale essa interseca l’ascissa (n(t¯) = 0, vedi ﬁg.1.3). Il valore di T1/2 (o di t¯) ha un campo di variabilit` a amplissimo a seconda del tipo di decadimento e di nucleo, da T ≈ 10−20 s a T ≈ 1024 a. Va osservato che la vita media e il periodo sopra deﬁniti sono intervalli di tempo misurati da un osservatore solidale con il campione radioattivo. Se questo fosse in moto con velocit`a v costante, conformemente alla relativit`a ristretta l’osservatore misurerebbe una vita media pi` u lunga: t¯∗ =

t¯ 1 − (v/c)2

.

1.2.3 Attivit` a Il numero di disintegrazioni al secondo prende il nome di attivit` a e per la (1.2) si ha ln 2 dn(t) n(t) = n(t). (1.14) A(t) = − = λn(t) = t¯ dt T1/2 Questa deﬁnizione ha carattere generale ed `e indipendente dallo speciﬁco andamento nel tempo di n(t). L’attivit` a `e tanto pi` u elevata quanto pi` u alto `e il numero di nuclei radioattivi presenti e quanto pi` u breve `e la loro vita media.

1.3 Famiglie radioattive

9

Nel caso particolare in cui n(t) `e espresso dalla (1.4), l’attivit` a ha l’andamento dn(t) n(t) A(t) = − . = λno e−λt = λn(t) = t¯ dt Ha particolare interesse, per il confronto fra le caratteristiche radioattive di diﬀerenti nuclei, l’attivit` a per unit` a di massa. Poich´e il numero n di nuclei contenuto in un campione di massa m e numero di massa A `e n=

m NAvogadro , A

l’attivit` a per unit` a di massa `e espressa dalla relazione Am (t) =

A(t) λ = NAvogadro . m A

(1.15)

1.2.4 Decadimenti in competizione Ci sono numerosi esempi di nuclei radioattivi suscettibili di diversi modi di decadimento. Supponiamo che un nucleo sia soggetto a due soli modi in competizione, per esempio β + e β − o β − e α. Il numero di decadimenti nell’intervallo di tempo dt `e dato dalla somma dei decadimenti di tipo 1 e di quelli di tipo 2: −dn(t) = λ1 n(t)dt + λ2 n(t)dt = (λ1 + λ2 )n(t)dt = λn(t)dt. Questa relazione mostra che la costante di decadimento della sostanza `e la somma delle costanti di decadimento dei diﬀerenti modi: λ = λ1 + λ2 .

(1.16)

Quindi per la vita media vale la relazione: 1 1 1 + . = t¯ t¯1 t¯2

(1.17)

1.3 Famiglie radioattive Un nucleo radioattivo A pu` o decadere in un nucleo B stabile oppure in un nucleo B pure radioattivo; questo, a sua volta, pu` o decadere in un nucleo stabile o in uno instabile, e cos`ı via. Pertanto possono realizzarsi per decadimenti successivi concatenazioni o “famiglie” di nuclei instabili che hanno termine, in ogni caso, con un nucleo stabile. Un nucleo potr` a essere chiamato nucleo “genitore” in relazione al prodotto del suo decadimento e nucleo “ﬁglio” in relazione al nucleo dal quale `e stato prodotto. Consideriamo ora alcuni casi signiﬁcativi.

10

1 Legge del decadimento radioattivo

1.3.1 Decadimento A → B(stabile) Supponiamo che inizialmente sia presente solamente una quantit` a nA di sostanza A. Essa diminuisce nel tempo secondo la (1.4) nA (t) = nA e−λA t .

(1.18)

Corrispondentemente, nel tempo dt si accumula la quantit` a di sostanza B dnB (t) = −dnA (t) = nA λA e−λA t dt. Integrando fra 0 e t, si ottiene la sostanza B prodotta all’istante t: nB (t) = nA (1 − e−λA t ).

(1.19)

Per t → ∞ tutta la sostanza A si trasforma in sostanza B. L’andamento della (1.18) e della (1.19) `e mostrato in ﬁg. 1.4.

Fig. 1.4. Andamento nel tempo delle sostanze A e B (eq. (1.18) e (1.19)).

1.3.2 Decadimento A → B(instabile) Nel tempo dt si ha formazione di una certa quantit` a di sostanza B prodotta dal decadimento di A, che esprimiamo mediante l’attivit`a di A (AA (t)dt) e la trasformazione di una certa quantit` a di B in una terza sostanza C, che esprimiamo tramite l’attivit`a di B (AB (t)dt); pertanto la variazione di sostanza B per la (1.14) `e dnB (t) = AA (t)dt − AB (t)dt = nA λA e−λA t dt − λB nB (t)dt. Si pu` o veriﬁcare che l’integrale di questa equazione diﬀerenziale `e nB (t) =

λA nA (e−λA t − e−λB t ) + nB e−λB t , λB − λA

dove nA e nB sono le quantit` a iniziali delle due sostanze.

(1.20)

1.3 Famiglie radioattive

11

Nell’ipotesi che inizialmente la sostanza B sia assente (nB =0), la (1.20) diviene λA nA (e−λA t − e−λB t ). (1.21) nB (t) = λB − λA E’ evidente che, per t → 0 e t → ∞, nB (t) → 0; quindi nB (t) deve avere un massimo per un certo valore di t, che `e determinabile uguagliando a zero la derivata prima della (1.21): t = tm =

ln (λB /λA ) . λB − λA

(1.22)

Per la (1.14) l’attivit` a della sostanza A `e AA (t) = nA λA e−λA t

(1.23)

e, tenuto conto della (1.21), quella della sostanza B `e AB (t) =

λA λB nA (e−λA t − e−λB t ). λB − λA

(1.24)

Si veriﬁca immediatamente che per t = tm le attivit`a delle due sostanze sono uguali: (1.25) AA (tm ) = AB (tm ). Ci` o signiﬁca che per ogni nucleo di B che decade, A ne produce uno nuovo. In queste condizioni si dice che c’`e “equilibrio ideale” tra le due sostanze. All’equilibrio le quantit` a delle due sostanze sono in proporzione diretta alle loro vite medie; infatti, per la (1.14) si ha t¯A nA (tm ) λB = . = ¯ tB nB (tm ) λA

(1.26)

Le quantit` a di sostanza A e B e le relative attivit`a variano nel tempo in modo strettamente dipendente dal rapporto fra le rispettive costanti di decadimento (o delle vite medie), come illustrato nelle ﬁg.1.5 e 1.6. Queste ﬁgure sono autoesplicative, ma una particolare attenzione deve essere rivolta alle ﬁg. 1.5d e 1.6d, relative al caso in cui la sostanza A `e molto pi` u longeva della sostanza B, cio`e λA λB (t¯A t¯B ).

(1.27)

Tenuto conto della (1.27), per t suﬃcientemente grande (diciamo t > tm ) l’esponenziale in λB nella (1.21) e nella (1.24) diviene trascurabile e le relazioni (1.21) e (1.24) possono essere scritte nella forma nB (t) =

λA nA e−λA t , λB

12

1 Legge del decadimento radioattivo

Fig. 1.5. Andamento nel tempo delle sostanze A e B per diﬀerenti valori del rapporto fra le loro vite med ie (eq. (1.18) e (1.21)).

λA nB (t) t¯B = = t¯A nA (t) λB

(t > tm ),

AB (t) = λA nA e−λA t = AA (t) (t > tm ).

(1.28) (1.29)

La (1.28) mostra che nB (t) nA (t) (vedi ﬁg. 1.5d) e che la sostanza B decresce con la stessa costante di tempo della sostanza A. La (1.29) mostra che le attivit`a delle due sostanze sono uguali (vedi ﬁg. 1.6d). Si dice che le due sostanze sono in equilibrio radioattivo (detto equilibrio secolare); questo termine sta a signiﬁcare che in un dato intervallo di tempo il numero di deca-

1.3 Famiglie radioattive

13

Fig. 1.6. Andamento nel tempo delle attivit` a delle sostanze A e B per diﬀerenti valori del rapporto fra le loro vite medie (eq. (1.23) e (1.24)).

dimenti di A `e uguale al numero di decadimenti di B cos`ı che le due sostanze contribuiscono alla radiazione emessa con uguale numero di particelle. La discussione di questo paragrafo relativa a due sostanze radioattive viene generalizzata al caso di pi` u sostanze nel paragrafo che segue. 1.3.3 Serie di decadimenti 1 → 2 → 3 → · · · → (K − 1) → K (stabile) Consideriamo una successione pi` u o meno lunga di nuclei radioattivi che si trasformano l’uno nell’altro dando origine a un nucleo ﬁnale stabile (`e il caso,

14

1 Legge del decadimento radioattivo

per esempio, delle famiglie radioattive naturali). Analogamente al caso discusso nel par.1.3.2, nell’intervallo di tempo dt ogni sostanza ha un incremento che dipende dall’attivit` a della sostanza che la precede nella successione e un decremento dovuto alla propria attivit` a. La variazione delle varie sostanze `e descrivibile tramite il seguente sistema di equazioni diﬀerenziali: dn1 (t) = −A1 (t)dt dn2 (t) = A1 (t)dt − A2 (t)dt dn3 (t) = A2 (t)dt − A3 (t)dt

(1.30)

......... dnK (t) = AK−1 (t)dt Se nk (0) sono le quantit` a iniziali delle varie sostanze, la soluzione di questo sistema di equazione ha la forma (che non dimostriamo) n1 (t) = A11 e−λ1 t n2 (t) = A21 e−λ1 t + A22 e−λ2 t (1.31) ........ nK (t) = AK1 e−λ1 t + AK2 e−λ2 t + · · · · +AKK dove i coeﬃcienti sono dati dalle seguenti formule ricorrenti: λk−1 λk − λi

(k = i),

(1.32)

nk (0) = Ak1 + Ak2 + · · · · +Akk .

(1.33)

Aki = Ak−1,i

La soluzione (1.32) vale se le costanti di disintegrazione sono tutte diverse fra loro. Per maggiore chiarezza esplicitiamo le equazioni (1.31) per il caso particolare in cui inizialmente `e presente solo una certa quantit` a del nucleo 1 (n1 (0) = 0, n2 (0) = n3 (0) = · · · = 0). Tenendo conto delle (1.32) si ha: n1 (t) = n1 (0)e−λ1 t 1 n2 (t) = n1 (0) (λ2λ−λ (e−λ1 t − e−λ2 t ) 1) −λ1 t

n3 (t) = n1 (0)λ1 λ2 ( (λe2 −λ1 ) +

e−λ2 t (λ3 −λ2 )(λ1 −λ2

+

e−λ3 t (λ1 −λ3 )(λ2 −λ3 ) )

(1.34)

......... Le (1.34) assumono una forma particolarmente semplice e signiﬁcativa se la costante di decadimento del nucleo 1 `e molto pi` u piccola (vita media molto pi` u lunga) di tutte le altre. Allora si pu` o porre

1.3 Famiglie radioattive

15

λi − λ1 ≈ λi e, dopo un tempo suﬃcientemente lungo (diciamo t > t¯i per i > 1), risulta e−λ1 t e−λi t ≈ 0. Pertanto le (1.34) divengono n1 (t) = n1 (0)e−λ1 t (1.35)

ni (t) ∼ = n1 (0) λλ1i e−λ1 t e l’attivit`a della sostanza i-esima `e Ai (t) = λi ni (t) ∼ = λ1 n1 (0)e−λ1 t = A1 (t).

(1.36)

Dunque, tutte le sostanze hanno la stessa attivit` a, ossia si trovano nella condizione di equilibrio secolare che abbiamo gi` a illustrato in precedenza e che solitamente viene espressa nella forma t¯i ni (t) λj = . = ¯ tj nj (t) λi

(1.37)

1.3.4 Andamento nel tempo della quantit` a di una sostanza radioattiva prodotta da fenomeni non radioattivi. Supponiamo che un fenomeno imprecisato produca una sostanza radioattiva al ritmo di K(t) nuclei al secondo. La variazione del numero di nuclei di tale sostanza in un intervallo di tempo dt `e dn(t) = K(t)dt − λn(t)dt,

(1.38)

dove λn(t) `e la sua attivit`a. Per trovare la soluzione di questa equazione diﬀerenziale, osserviamo che il numero di nuclei che, prodotti all’istante t in quantit` a K(t )dt , sopravvivono all’istante t `e dato dalla relazione

dn(t, t ) = K(t )dt e−λ(t−t ) e il numero di quelli che sopravvivono all’istante t, essendo stati prodotti fra 0 e t , `e

t

n(t, t ) =

−λ(t−t )

K(t )e

−λt

t

dt = e

0

Consideriamo ora alcuni casi particolari.

0

K(t )eλt dt .

(1.39)

16

1 Legge del decadimento radioattivo

a) K(t)= K = costante nel tempo; `e approssimativamente il caso della produzione nell’atmosfera terrestre di 14 C esaminata nel cap.3. Poich´e K(t ) = K(t) = K, risulta

n(t, t ) = Ke

−λt

t 0

eλt dt =

K −λt λt e −1 . e λ

Per t → t e per un numero iniziale di atomi n(0)=0, la soluzione `e n(t) =

K K 1 − e−λt −→ . t→∞ λ λ

(1.40)

Essa mostra che dopo molto tempo dall’inizio del processo di produzione, ossia per t 1/λ, il numero di atomi presenti `e praticamente costante e uguale a K/λ. b) K(t) = n( t )δ( t ), corrispondente a una produzione impulsiva di nuclei radioattivi al tempo t descritta dalla delta di Dirac. E’ approssimativamente il caso di produzione di elementi radioattivi in seguito all’esplosione di una Supernova considerato nel cap.12. Risulta n(t, t ) = n(t )e−λt

t

eλt δ(t )dt = n(t )e−λ(t −t) = n(t).

(1.41)

0

1.3.5 Misura della vita media Per misurare la vita media (o il periodo o la costante di decadimento) si pu` o procedere secondo diﬀerenti criteri dipendenti dalla durata della vita media stessa. Ne esaminiamo alcuni in modo estremamente schematico. a) Vita media n´e troppo lunga n´e troppo corta (ore o giorni). Si isola una quantit` a no del nuclide in esame3 e si misura il numero di 4 disintegrazioni in due intervalli di tempo uguali con inizio agli istanti t e t , rispettivamente. Se gli intervalli di misura sono suﬃcientemente brevi rispetto alla vita media, per la (1.4) e la (1.14) possiamo scrivere Δn ∼ dn = λn(t ) = λn0 e−λ t (1.42) A = =− Δt dt t 3

4

Se P `e il peso di un campione di una data sostanza, A il peso atomico e N il numero ` interessante di Avogadro, il numero di nuclei corrispondente `e no = N P/A. E osservare che una misura di radioattivit` a pu` o permettere di stimare il valore del numero di Avogadro. Infatti dalla relazione n(t) = no e−λt = (N P/A)e−λt si ricava N = (n(t)A/P )eλt . Il decadimento di un nucleo `e individuato dalla rivelazione delle particella emessa (α, β ± , γ). La rivelazione si basa sui processi di ionizzazione ed eccitazione provocati dalle particelle nell’attraversare un mezzo materiale. Si rinvia a testi speciﬁci per lo studio dei metodi e dei dispositivi di rivelazione.

1.4 Appendice – Fluttuazioni statistiche

A =

Δn ∼ =− Δt

dn dt

= λn(t ) = λn0 e−λ t

17

(1.43)

t

Dalle (1.42) e (1.43) si ottiene A 1 1 ln . = λ = t¯ t −t A

(1.44)

b) Vita media grande (secoli). La sostanza A di vita media sconosciuta sia in equilibrio con la sostanza B di vita media nota. Si misurano le quantit` a di sostanza A e B presenti nel campione in esame e si applica la relazione (1.26): nA (t) ¯ tB . t¯A = nB (t)

(1.45)

c) Vita media grande (metodo del conteggio). Si misura la quantit` a n(t) di nuclide in esame e si conta il numero Δn di disintegrazioni in un intervallo di tempo Δt suﬃcientemente breve rispetto alla vita media da misurare, in modo tale che durante la misura n(t) rimanga praticamente costante. In queste condizioni si pu` o scrivere Δn ∼ dn(t) = λn(t) =− Δt dt e quindi Δn 1 Δn 1 =λ= =λ= ¯ ¯ t n(t)Δt t n(t)Δt Applicazioni dei concetti illustrati in questo capitolo verranno fatte in capitoli successivi.

1.4 Appendice – Fluttuazioni statistiche 1.4.1 Statistica e probabilit` a Il decadimento radioattivo `e un fenomeno statistico di cui, nel par.1.2, abbiamo illustrato le caratteristiche medie. Per esempio, la (1.4) fornisce il numero medio di nuclei residui al tempo t e la (1.1) fornisce il numero medio di nuclei che decadono nell’intervallo di tempo dt. Vogliamo ora mostrare che singole misure di decadimento danno risultati che in genere si discostano dai valori medi predetti dalle leggi sopra citate. Il carattere statistico dell’evoluzione di un aggregato di n nuclei riﬂette il carattere probabilistico della durata di vita dei singoli nuclei. Sia p la probabilit` a che un nucleo decada in un intervallo di tempo Δt. La probabilit` a che un insieme preﬁssato r di nuclei decada in Δt (e che i rimanenti n − r nuclei non decadano) `e

18

1 Legge del decadimento radioattivo

pr (1 − p)n−r .

(1.46)

Poich´e un insieme di r nuclei pu` o essere scelto in C(r, n) = n!/r!(n − r)!

(1.47)

modi, la probabilit` a che decadano r nuclei qualsiasi `e P (n, r) = C(r, n)pr (1 − p)n−r .

(1.48)

Il decadimento di r nuclei qualsiasi pu` o essere considerato come uno dei possibili risultati di un esperimento ideale. Il risultato di un singolo esperimento pu` o essere un qualsiasi valore fra 0 e n, ma ciascun risultato ha una diﬀerente probabilit` a di veriﬁcarsi, espressa dalla (1.48). Il numero medio di tutti i possibili valori di r, cio`e il risultato di un grande numero di esperimenti, `e μ(n) =

n

rP (n, r) = pn.

(1.49)

r=0

La dispersione dei valori r attorno alla loro media `e misurata dalla varianza (o scarto quadratico medio) σ 2 (n) =

n

2

(r − μ(n)) P (n, r)) = np(1 − p).

(1.50)

r=0

o dalla deviazione standard σ(n). 1.4.2 Frequenza e probabilit` a Supponiamo ora di avere a disposizione N campioni uguali costituiti da n nuclei radioattivi e di eﬀettuare su ognuno di essi una misura di durata Δt = t2 − t1 . Ci si aspetta che i numeri di decadimenti dati dalle N misure siano distribuiti attorno al numero medio atteso che, secondo la (1.6), `e dato dall’espressione (1.51) μ = n e−λt1 − e−λt2 . Per t1 , t2 1/λ,

(1.52)

μ = nλ (t2 − t1 ) = nλΔt.

(1.53)

risulta (vedi la (1.8)) Come sappiamo, in queste condizioni μ n e sul campione possono essere eﬀettuate successive misure di durata Δt senza una sostanziale variazione di n. Pertanto un esperimento su un solo campione sul quale vengono eﬀettuate N misure successive `e equivalente a un esperimento su N campioni identici su ciascuno dei quali `e eﬀettuata una sola misura.

1.4 Appendice – Fluttuazioni statistiche

19

Sia Nr il numero di misure che hanno come risultato r; chiamiamo frequenza il rapporto Nr fN (n, r) = . (1.54) N Il numero medio dei decadimenti nelle N misure (media campionaria) `e mN (n) =

n

rfN (n, r) .

(1.55)

r=0

La dispersione delle singole misure attorno alla media campionaria `e 1

= (r − mN (n))2 fN (n, r). N − 1 r=0 n

s2N (n)

(1.56)

Anche la media campionaria `e una variabile statistica perch´e, se ripetiamo la misura della media pi` u volte, ogni volta troviamo un valore diverso. La dispersione della distribuzione della media `e 2 (n) = s2N (n)/N σm N

(1.57)

Per la “legge dei grandi numeri” o “legge empirica del caso”, per N → ∞ risulta fN (n, r) → P (n, r), mN (n) → μ(n),

(1.58)

s2N (n) → σ 2 (n). Pertanto la media campionaria mN (n) rappresenta una stima della media μ(n) con un’incertezza data da σmN (n): μ(n) = mN (n) ± σmN (n).

(1.59)

1.4.3 Valutazione della costante di decadimento Le considerazioni del par. 1.4.2 ci consentono di valutare la costante di decadimento λ con la relativa incertezza statistica. Tenendo conto della (1.53) e delle (1.59) si ha nλΔt = μ(n) = mN (n) ± σmN (n) mN (n) σmN (n) ± (1.60) nΔt nΔt Illustriamo ora questi concetti con un esempio numerico. E’ stata osservata l’emissione di particelle α da parte di un campione di 4.75 mg di 238 U . Il numero di decadimenti osservati in 10 misure della durata di 10 minuti ciascuna `e riportato in tab.1.1. λ=

20

1 Legge del decadimento radioattivo

Tabella 1.1. Decadimenti α osservati con un campione di 4.75 mg di 238 U . Nella prima colonna sono riportati i numeri dei decadimenti osservati in 10 osservazioni della durata di 10 minuti ciascuna; nella seconda la diﬀerenza tra la loro media e il singolo conteggio, nella terza il quadrato dei numeri nella seconda colonna. r

r − mN (n)

(r − mN (n))2

36076 35753 35907 36116 35884 36136 35741 35640 36124 36087

130 −193 −39 170 −62 190 −205 −306 178 141

16900 37249 1421 28900 3844 36100 42025 93636 31684 19881

Il numero iniziale di atomi nel campione `e: n238 U =

m 4.75 mg NAvogadro = 6.02 · 1023 = 1.20 · 1019 . A 238

I valori mostrati in tabella danno come media: mN (n) = 35946.4 e la deviazione standard di ogni singola misura `e N 1

311740

2 (r − mN (n)) = σN (n) = = 186. N − 1 r=1 9 La deviazione standard della media campionaria `e 186 σN (n) = √ = 59. σmN (n) = √ 10 N In conclusione, il conteggio medio del nostro campione `e 35946 ± 59 in 10 minuti. u piccola di n di molti ordini di grandezza, n `e praticaPoich´e mN (n) `e pi` mente costante nel corso delle 10 misure; pertanto, per valutare la costante di decadimento possiamo utilizzare la (1.60): λ=

35946 ± 59 1 mN (n) ± σmN (n) 1 · · = 19 n Δt 1.20 · 10 600

1.4 Appendice – Fluttuazioni statistiche

21

= (4.99 ± 0.008) 10−18 s−1 Il corrispondente valore del tempo di dimezzamento `e T1/2 = (4.411 ± 0.006) 109 a Esaminiamo ora due casi in cui la misura dell’attivit` a pu`o essere inquinata da eﬀetti spuri. 1.4.4 Sottrazione del fondo Supponiamo di voler misurare con un particolare rivelatore l’attivit` a di una sorgente radioattiva. A tale scopo misuriamo il numero di decadimenti che si veriﬁcano in un intervallo di tempo Δt1 ; il risultato della misura sia un numero di conteggi uguale a n1 . Allontanata la sorgente, lo stesso apparato misura n2 conteggi dovuti a eventi spuri della radiazione di fondo nell’intervallo di tempo Δt2 . Evidentemente nella prima misura sono mescolati segnali dovuti a decadimenti veri e segnali spuri. Per ricavare il numero dei segnali veri procediamo nel modo seguente. L’attivit` a del fondo `e √ n2 n2 ± A2 = Δt2 Δt2 L’attivit` a della sorgente radioattiva pi` u il fondo `e √ n1 n1 ± . A1 = Δt1 Δt1 Pertanto l’attivit` a della sola sorgente `e A = A1 − A2 con scarto quadratico medio uguale a σ (A) = σ 2 (A1 ) + σ 2 (A2 ) =

2

n1 n2 + Δt21 Δt22

.

1.4.5 Misure statisticamente compatibili Supponiamo di avere eﬀettuato due misure indipendenti della stessa durata Δt dei decadimenti di una particolare sorgente e di avere ottenuto due risultati diﬀerenti n1 e n2 . Ci chiediamo se la diversit` a dei risultati `e compatibile con le ﬂuttuazioni statistiche. La risposta pu` o essere data considerando la diﬀerenza delle attivit`a corrispondenti alle due misure A1 − A2 =

n1 − n2 Δt

la quale `e caratterizzata dalla deviazione standard

22

1 Legge del decadimento radioattivo

σ (A1 − A2 ) = σ (A1 ) + σ (A2 ) = 2

2

2

n1 + n2 Δt2

.

Le misure sono compatibili statisticamente con la probabilit` a del 99.73% se A1 − A2 ≤ 3 σ(A1 − A2 ).

Bibliograﬁa

1. 2. 3. 4.

E. Persico, Gli atomi e la loro energia, Zanichelli, 1960 E. Segr`e, Nuclei e Particelle, Zanichelli, 1966 K. N. Mukhin, Experimental nuclear physics, vol. I, Mir Publisher, 1987 H. Geissel et al., Secondary exotic nuclear beams, Ann. Rev. Nucl.Part. 45(1995)163 5. P. Armbruster et al., La sintesi di nuovi elementi, Le Scienze n. 363(1998)86. 6. A. Rotondi, P. Pedroni e A. Pievatolo, Probabilit` a, Statistica e Simulazione, Springer, 2001

2 Radiazione ambientale naturale

2.1 Sorgenti della radiazione ambientale Comunemente le radiazioni ionizzanti sono percepite come un prodotto esclusivo dell’attivit` a umana, perch´e associate a eventi catastroﬁci quali le esplosioni delle bombe atomiche e l’incidente del reattore di Chernobyl o all’uso in diagnosi e terapie mediche. Ma gli esseri viventi sono “naturalmente” e continuamente esposti a radiazioni la cui origine non dipende dall’uomo; anzi, sorgenti radioattive, sia pure in piccola quantit` a, sono componenti naturali dei tessuti del suo organismo. Gli eﬀetti delle radiazioni naturali sulla formazione e lo sviluppo della vita sulla terra e sulla salute degli uomini non sono conosciuti in modo esauriente. Poich´e la vita si `e sviluppata in un ambiente investito da radiazioni, c’`e chi ha avanzato l’ipotesi che piccole dosi di radiazione possano avere eﬀetti beneﬁci sugli esseri viventi (vedi par.2.9). E’ comunque opinione prevalente che alle radiazioni, per quanto piccola sia la loro intensit` a, sia sempre associata una probabilit` a di danno alla salute. In questo capitolo verranno descritte le principali caratteristiche delle radiazioni naturali con cenni a quelle di origine artiﬁciale e verranno deﬁnite le grandezze utilizzate nella misura degli eﬀetti prodotti dalla loro interazione con i tessuti biologici. L’ambiente in cui viviamo `e attraversato continuamente da radiazioni le cui sorgenti sono terrestri ed extraterrestri. Le sorgenti extraterrestri sono le stelle dalle quali ci giungono i raggi cosmici. Le sorgenti terrestri sono costituite da nuclei radioattivi naturali e artiﬁciali . Quelli naturali sono circa 75 e sono a loro volta divisibili in due gruppi: primordiali e cosmogenici . I primi si formano nei processi di nucleosintesi nelle stelle e sono presenti sulla Terra dal tempo della formazione del sistema solare (vedi cap.12), i secondi sono prodotti in continuazione dall’interazione della radiazione cosmica con gli atomi dell’atmosfera.

26

2 Radiazione ambientale naturale

2.2 Radionuclidi naturali primordiali I radionuclidi naturali primordiali, elencati in tab.2.1, sono caratterizzati o da una vita media dell’ordine dell’et` a della terra (o maggiore di essa) o dall’appartenenza a una famiglia radioattiva con capostipite avente la precedente propriet` a. I nuclei del primo gruppo sono una decina e fra di essi c’`e il 40 K, che `e uno dei due principali responsabili del fondo radioattivo interno del corpo umano (l’altro `e il 14 C, vedi par.2.7.8). Tabella 2.1. Nuclei radioattivi primordiali. CE = Cattura Elettronica Nuclide

Abbondanza isotopica (%)

Prodotti stabili dei decadimenti

Modo del decadimento

T1/2 (anni)

40 19 K

0.0117

40 18 Ar 40 20 Ca

CE, β +

50 23 V

0.25

50 22 T i 50 24 Cr

CE, β +

87 37 Rb

27.835

87 38 Sr

β−

4.75 · 1010

113 48 Cd

12.22

113 49 In

β−

9.3 · 1015

115 49 In

95.71

115 50 Sn

β−

4.41 · 1014

123 52 T l

0.908

123 51 Sb

CE

1.2 · 1013

138 57 La

0.09

138 56 Ba 138 58 Ce

144 60 N d

23.80

140 58 Ce

α

2.29 · 1015

147 62 Sm

15.0

143 60 N d

α

1.06 · 1011

152 64 Gd

0.20

148 62 Sm

α

1.1 · 1014

174 72 Af

0.162

170 70 Y

α

2.0 · 1015

176 71 Lu

2.59

176 72 Hf

β−

3.73 · 1010

187 75 Re

62.93

187 76 Os

β−

4.35 · 1010

232 90 T h

100.0

208 82 P b

α (famiglia radioattiva)

1.40 · 1010

235 92 U

0.72

207 82 P b

α (famiglia radioattiva)

7.03 · 108

238 92 U

99.27

206 82 P b

α (famiglia radioattiva)

4.47 · 109

b

β− β−

CE, β + β−

1.28 · 109 1.4 · 1017

1.05 · 1011

2.2 Radionuclidi naturali primordiali

27

La maggior parte dei radionuclidi naturali primordiali appartiene a tre famiglie aventi per capostipiti l’238 U , l’235 U e il 232 T h, rispettivamente (vedi le ﬁgure 2.1, 2.2 e 2.4). Tutte e tre le famiglie terminano con isotopi stabili del piombo. I numeri di massa dei nuclei appartenenti alle tre famiglie sono esprimibili tramite le relazioni A = 4n, A = 4n + 2 e A = 4n + 3 (con n intero). Manca la famiglia con A = 4n + 1! Questa `e stata scoperta nel campo dei radionuclidi artiﬁciali (famiglia del nettunio) e la sua assenza in natura si spiega col fatto che tutti i suoi nuclei hanno vita media breve rispetto all’et` a della terra; il nettunio ha un tempo di dimezzamento dell’ordine di 106 anni contro, per esempio, i 109 anni dell’ 238 U . Quello che resta oggi in natura di questa famiglia `e l’elemento stabile 209 Bi. La radioattivit` a dei minerali contenenti uranio (e le stesse considerazioni valgono per il torio) `e prodotta sia dall’attivit` a dell’ 235 U e dell’238 U sia da quella dei loro discendenti. Dato il grande periodo dei capostipiti, i discendenti sono in equilibrio radioattivo fra loro e con i rispettivi capostipiti. Ci` o signiﬁca che tutti i nuclei di una famiglia hanno la stessa attivit` a uguale a quella del capostipite; quindi, se X indica un nucleo generico e A il capostipite, il rapporto X T1/2 nX = A (2.1) nA T1/2 `e costante in tutti i minerali contenenti il capostipite A (vedi par. 1.3.3 del cap.1). Per esempio, se A = 238 U e X = 235 Ra, risulta n226 Ra 1600 a 0.358 10−3 = ; = n238 U 4.47 109 a 103 vale a dire, a 1 Kg di 238 U si accompagnano 0.358 mg di 226 Ra, come si constata sperimentalmente. Fanno parte delle famiglie radioattive tre isotopi dell’unico elemento radioattivo naturale gassoso a temperatura ambiente, il Radon (o Emanazione): 222 Rn ,220 Rn,219 Rn . Il 222 Rn ha una particolare rilevanza nell’inquinamento ambientale, come sar`a illustrato nel par.2.8. Inoltre, da un minerale di 238 U (o di altra sorgente radioattiva) sono emesse non solo particelle α e β − , ma anche raggi γ e raggi X. Ci`o `e dovuto al fatto che i nuclei ﬁgli e gli atomi di cui fanno parte possono essere prodotti in stati eccitati, dai quali decadono in altri stati eccitati o allo stato fondamentale con transizioni elettromagnetiche. In generale l’attivit` a dei minerali `e piccola perch´e la concentrazione dei radioisotopi `e piccola e il periodo grande (la costante di decadimento `e piccola).1 1

Si consideri, per esempio, un materiale di massa m costituito da una parte mnr = fnr m priva di elementi con isotopi radioattivi e una parte mrad = frad m contenente un elemento con isotopi radioattivi di abbondanza isotopica relativa aik . Per la 1.15 del Cap.1, l’attivit` a per unit` a di massa del materiale `e data dalla

28

2 Radiazione ambientale naturale

Tabella 2.2. Abbondanza dei nuclei sulla terra in peso (parti per milione, ppm) di U, Th e K in vari ambienti terrestri. L’abbondanza isotopica di 238 U e 232 T h `e circa del 100%, quella dell’isotopo radioattivo 40 K del 1.17% U

Th

K

Rocce

1.8

6

1.5 · 103

Mari

3.3 · 10−3

4 · 10−8

4.14 · 102

Fiumi

4 · 10−5

10−4

−3

−3

1.4 · 10

Corpo umano

1.4 · 10

2.3 2 · 103

2.2.1 L’uranio L’uranio puro `e un metallo di colore argenteo, duttile, malleabile, piroforico. Gli isobari noti sono 25 (con A = 218 − 242). Di essi l’238 U e l’235 U sono i due isotopi a lunga vita media, quindi quasi stabili, pi` u abbondanti (99.2745 % e 0.72 %); il terzo isotopo quasi stabile `e l’234 U (0.0055 %). A causa della lunga vita la sua attivit` a `e piccola ( A(238) = 12.4 · 103 3 decadimenti /s·g; A(235) = 80·10 decadimenti/s·g; A (miscela isotopica) = 13 · 103 decadimenti /s · g). L’uranio `e distribuito su tutta la superﬁcie terrestre come indicato in tab. 2.2. I principali minerali contenenti uranio sono la pechblenda o uranite, la carnotite e l’autunite (tutti ossidi di uranio). L’uranio ha una densit` a molto elevata (19.05g/cm3 , circa il doppio del piombo), che lo rende utile nella costruzione delle chiglie delle imbarcazioni, negli stabilizzatori degli aerei e negli schermi radiologici. Alcuni minerali secondari hanno colori brillanti e fosforescenti e furono usati in passato come coloranti. L’uranio `e alla base del funzionamento dei reattori nucleari. In particolare, l’235 U `e “ﬁssile”, cio`e soggetto a ﬁssione indotta, processo fondamentale nella produzione dell’energia elettrica. L’238 U non `e ﬁssile, ma `e in grado di catturare neutroni (per esempio quelli emessi nella ﬁssione dell’235 U ) trasformandosi indirettamente in 239 P u, nucleo ﬁssile come l’235 U . Per questa propriet` a l’238 U `e detto “fertile”. Poich´e l’uranio naturale contiene una piccola percentuale di 235 U (0.7%), ai ﬁni dell’utilizzo nei reattori esso viene “arricchito” di tale relazione P P mk P aik mrad A 1 1 1 = m λk nk = m λk Ak NAvogadro = m λk Ak NAvogadro = m k

=

1 m

P k

k

m) λk aik (fArad NAvogadro = k

P k

k

λk aikAfkrad NAvogadro

L’attivit` a `e tanto pi` u piccola quanto pi` u piccola `e la concentrazione frad degli elementi radioattivi.

2.2 Radionuclidi naturali primordiali

29

Fig. 2.1. Successione dei nuclei della famiglia radioattiva naturale dell’ 238 U . A = 4n + 2 con n = 59, 58, 57, ..., 51. I tempi di dimezzamento sono in anni (a), giorni (g), ore (h), minuti (m) e secondi (s). Nel caso di decadimenti in concorrenza ` e indicata la probabilit` a relativa.

isotopo ﬁno a una percentuale del 3 − 4%. Corrispondentemente si ha la produzione di uranio “impoverito” di 235 U , che viene utilizzato per gli scopi citati in precedenza. Oltre che di energia elettrica, i reattori sono sorgenti di isotopi radioattivi e di neutroni per uso medico e per la ricerca di base e applicata. E’ ben noto l’uso militare dell’uranio sia arricchito (per le bombe nucleari) che impoverito (per proiettili ad elevata penetrazione e corazze di veicoli). L’uranio arricchito per la produzione di bombe nucleari `e costituito da 235 U per pi` u del 95%. Nella famiglia dell’238 U `e presente il 226 Ra, il solo elemento radioattivo che abbia un periodo (1 600 anni) suﬃcientemente breve da poter assicurare una notevole attivit` a e tuttavia abbastanza lungo da poter trascurare la diminuzione di sostanza radioattiva in un intervallo di tempo di parecchi anni.

30

2 Radiazione ambientale naturale

Fig. 2.2. Successione dei nuclei della famiglia radioattiva naturale dell’ 235 U (A = 4n + 3 con n = 58, 57, 56, ...51). Sono messi in evidenza i diﬀerenti tipi di decadimento (con la relativa probabilit` a nel caso di decadimenti in competizione); questi si veriﬁcano per l’Ac − 227 e il Bi − 211.

Il discendente diretto del 226 Ra `e il 222 Rn, unico elemento radioattivo gassoso alle temperature ordinarie, che emette raggi α e γ e ha un periodo di 3.8235 giorni. Come mostra tab. 2.1, i suoi discendenti pi` u abbondanti ﬁno al 210 P b sono indicati nella seguente sequenza:

222

218 Rn −→ P o −→ α α 3.8g

(99.9%) 3.1m

214

P b −→

β 26.8m

214

Bi −→

β (99.9%) 19.9m

214

P o −→ α

210

Pb

1.6μs

Escluso il 210 P b che ha un periodo di 22.3a, essi hanno vita media molto pi` u breve del radon; pertanto, se un campione di radon viene separato dai suoi

2.2 Radionuclidi naturali primordiali

31

ascendenti, i discendenti vengono a porsi in equilibrio radioattivo con esso e l’ammontare di ciascuno di essi `e in accordo con la (2.1).

Fig. 2.3. Andamento nel tempo del 218 P o e dei suoi discendenti. I periodi sono: 218 P o: 3.1m; 214 P b: 26.8m; 214 Bi: 19.9m; 210 P b: 22.3a. Non `e tracciato l’andamento del 214 P o a causa del suo periodo molto breve (164.3μ s). A causa del periodo molto e presente praticamente breve dei radionuclidi precedenti il 210 P b, dopo qualche ora ` solo 210 P b.[2]

In generale, se un elemento ﬁglio viene separato dalla famiglia d’origine, l’andamento nel tempo dei suoi discendenti si sviluppa secondo le espressioni generali dedotte dalla legge del decadimento radioattivo (vedi cap.1, par.1.3.3). Per esempio, consideriamo il caso della precedente successione sempliﬁcata avente come capostipite il 218 P o e supponiamo che inizialmente sia presente solo una certa quantit` a di tale nucleo; le quantit` a dei vari nuclidi sono date dalle relazioni: n1 (t) = n1 (0)e−λ1 t , λ1 −λ1 t e n2 (t) = n1 (0) − e−λ2 t , λ2 − λ1 −λ2 t −λ3 t e−λ1 t n3 (t) = n1 (0)λ1 λ2 (λ2 −λ1 )(λ3 −λ1 ) + (λ3 −λe2 )(λ1 −λ2 ) + (λ1 −λe3 )(λ2 −λ3 ) , ................ dove gli indici 1, 2, 3, 4 e 5 stanno per 218 P o, 214 P b, 214 Bi, 214 P o e 210 P b. L’andamento descritto dalle precedenti equazioni `e visualizzato in ﬁg.2.3. Rispetto ai nuclei che lo precedono nella successione, il 210 P b pu`o essere considerato stabile e, dopo qualche ora, `e praticamente l’unico nucleo presente. 2.2.2 Il torio Gli isotopi del torio sono 28 (con A = 210 − 237) e il 232 T h `e l’unico quasi stabile. Il torio `e l’elemento radioattivo naturale pi` u abbondante sulla crosta

32

2 Radiazione ambientale naturale

terrestre, dove `e distribuito come indicato in tab. 2.2; esso `e circa tre volte pi` u abbondante dell’uranio e abbondante come il piombo. I pi` u grandi depositi sono composti da ossido di torio, T hO2 , nelle sabbie di monazite dell’India e del Brasile. E’ un metallo duttile e malleabile, utilizzato per produrre leghe, in particolare con il magnesio, particolarmente resistenti a temperature elevate. E’ utilizzato nella produzione di ﬁlamenti per lampadine e per tubi elettronici, di reticelle Auer a incandescenza, di lenti di elevata qualit` a e di celle fotoelettriche. Il torio `e un nuclide fertile: bombardato con neutroni lenti d` a origine all’isotopo 233 dell’uranio, che `e ﬁssile.

2.3 Calore terrestre di origine radioattiva L’uranio2 e il torio sono presenti nelle rocce granitiche nella proporzione di circa 10 ppm (parti per milione) e il granito nella crosta terrestre ammonta a circa 2 · 1022 Kg. Un nucleo di 238 U si trasforma in un nucleo di 206 P b mediante una successione di 8 decadimenti α e 6 decadimenti β − , come si evince dalla ﬁg. 2.1. L’energia associata alla massa dei prodotti ﬁnali dei decadimenti `e minore dell’energia associata alla massa del nucleo iniziale e la diﬀerenza `e costituita dall’energia cinetica dei prodotti ﬁnali stessi. Questa energia viene successivamente ceduta alla roccia a cui appartiene il nucleo di uranio attraverso una serie di collisioni fra i prodotti dei decadimenti e gli atomi della roccia stessa (vedi par.2.7); essa contribuisce ad accrescere il calore della roccia, ossia a riscaldare la Terra. Analoghe considerazioni valgono per il 230 T h, che si trasforma in 208 P b tramite 6 decadimenti α e 4 decadimenti β − , e per gli altri nuclei radioattivi presenti nella crosta terrestre. Valutiamo ora l’energia ceduta per unit` a di tempo (la potenza). L’energia conseguente al decadimento di un nucleo di 238 U pu`o essere espressa, per esempio, utilizzando le masse dei nuclei (M ) o quelle degli atomi corrispondenti (Ma )3 : E(U ) = M 238 U − M 206 P b − 8M 4 He − 6me c2 = = Ma 238 U − Ma 206 P b − 8Ma 4 He c2 = = 221742.146 − 191863.345 − 8 · 37244.913 = 51.6 M eV Analogamente, l’energia rilasciata nel decadimento di un nucleo di 2

3

232

T h `e:

Nell’esposizione di questo paragrafo viene fatto ricorso ad argomenti che verranno discussi ampiamente in successivi capitoli citati in vari punti. Si consiglia una rilettura dopo il cap. 7. Il valore dell’energia `e qui calcolato usando i valori delle masse atomiche. Usualmente non vengono fornite le masse dei nuclei, ma le masse degli atomi corrispondenti o l’energia di legame, o il difetto di massa, dai quali si risale alla masse atomiche. Si veda, al riguardo, l’Appendice 7.7.1 del cap.7 e la tab. 17.2 dell’Appendice ﬁnale.

2.3 Calore terrestre di origine radioattiva

33

Fig. 2.4. Successione dei nuclei della famiglia radioattiva naturale del 232 T h. A = 4n con n = 58, 57, 56, ...52. Nel caso di decadimenti concorrenti `e indicata la probabilit` a relativa.

E(T h) = Ma 232 T h − Ma 208 P b − 6Ma 4 He c2 = = 216142.004 − 193728.396 − 6 · 37244.913 = 43.2 M eV a di un 1 Kg = 103 g Tenuto conto che 1 anno contiene 3.15 · 107 s, l’attivit` della miscela isotopica naturale di un elemento con un isotopo radioattivo con abbondanza isotopica AI `e data dalla relazione: 3 10 g ln 2 A A( X, 1Kg) = NAvogadro AI(A X) A T1/2 (a) · 3.15 107 s e l’energia corrispondente rilasciata nell’unit` a di tempo (la potenza) `e W (A X, 1Kg) = E(A X)A(A X, 1 Kg). La potenza rilasciata in un 1 Kg di granito `e W (A X, 1Kggranito ) = W (A X, 1Kg) · (10 ppm), con 10ppm = 10−5 e quella rilasciata in tutta la crosta terrestre `e

34

2 Radiazione ambientale naturale

W (A X)totale = W (A X, 1Kggranito ) · (2 · 1022 Kg) . Da questa relazione, tenendo presente che 1 joule = 6.24 · 1012 M eV , si ricavano per i due nuclei i seguenti valori numerici della potenza totale: W (U )totale = 1.27 1026 M eV /s = 20.3 1012 watt, W (T h)totale = 0.345 1026 M eV /s = 5.5 1012 watt. I valori numerici delle quantit` a utilizzate e di quelle stimate sono dati in tab. 2.3. I valori della potenza sono molto grandi se paragonati alla potenza di una grande centrale elettrica (109 W ), ma sono molto piccoli se paragonati a quella irradiata dal sole sulla Terra (vedi tab. 12.1 di cap.12): W (sole) = W/cm2 · Sezione della T erra = = 0.136 watt/cm2 · 3.14 (6.3 108 )2 cm2 = 1.7 1021 watt Lo studio delle lave vulcaniche indica che l’abbondanza di uranio e torio nella regione centrale della Terra `e dell’ordine di 0.1ppm, quindi alquanto minore di quella nelle rocce granitiche della crosta terrestre. Tuttavia, tenuto conto del grande volume, anche la potenza proveniente dall’interno della Terra `e dell’ordine di grandezza di quelle stimate precedentemente, cio`e circa 1012 watt. Tuttavia, non tutta l’energia liberata `e ceduta alla Terra, perch´e Tabella 2.3. Caratteristiche dei decadimenti di uranio, torio e potassio: abbondanza isotopica AI, periodo del capostipite, energia liberata in una successione completa di decadimenti; energia massima trasportata dagli antineutrini in alcuni decadimenti β; attivit` a di 1 Kg di materiale con composizione isotopica naturale e relativa potenza emessa.

AI (%) 238 92 U → 206 82 P b + 234m

8α + 6β − + 6¯ ν

212 208

99.27 4.47

51.6

P a →234 U

232 90 T h → 208 82 P b + 6α 228

ν T1/2 E(A X) Emax 9 10 a M eV M eV

+ 2β − + 2¯ ν

Ac →228 T h Bi →

212

208

Tl →

A 1/Kg · s

W (A X) M eV /Kg · s

1.24 · 107

6.4 · 108

0.4 · 107

1.7 · 108

2.29 100

14.0

43.2 2.11

Po

2.25

Pb

1.8

una piccola frazione di essa viene trasportata dagli antineutrini, nei confronti

2.3 Calore terrestre di origine radioattiva

35

dei quali la Terra (e la materia in generale) risulta essere (quasi) trasparente (Cap.7, par.7.3). Lo studio del ﬂusso degli antineutrini terrestri, ossia della loro intensit` a, dell’orientazione delle loro traiettorie e dell’energia, `e di grande interesse in geoﬁsica perch´e pu`o fornire sulla costituzione e sull’evoluzione della terra, in particolare della sua regione centrale, informazioni diﬃcilmente acquisibili per altra via. Tuttavia, a causa della bassa sezione d’urto d’interazione con la materia, ﬁno a qualche anno fa la rivelazione degli antineutrini terrestri non era neppure ipotizzabile. Oggi essa `e diventata possibile in seguito al successo delle tecniche sviluppate per rivelare i neutrini solari (Cap.13) e per studiare il fenomeno delle oscillazioni di neutrino (Cap.16). L’energia rilasciata nel decadimento, A → B + e− + v¯ `e data dalla relazione (Cap.7, par.7.2) Eo = MA c2 − MB c2 − me c2 − TB − Te − Eν . Essa si ripartisce fra le particelle ﬁnali in modo variabile da decadimento a decadimento (Cap.7, par.7.1) e quella associata al neutrino `e massima quando l’energia cinetica dell’elettrone `e zero; d’altra parte, l’energia cinetica del nucleo residuo `e in ogni caso molto piccola a causa della sua massa grande rispetto a quella del neutrino e dell’elettrone (Cap.7, par.7.4); quindi l’energia massima del neutrino `e ν ∼ Emax = MA c2 − MB c2 − me c2 .

Nel caso delle famiglie dell’uranio e del torio vengono emessi antineutrini da pi` u nuclei con diﬀerenti valori massimi, i pi` u elevati dei quali sono riportati in colonna 5 di tab. 2.3. Gli antineutrini possono essere rivelati mediante reazioni di assorbimento. Nel caso degli antineutrini emessi dalle famiglie dell’uranio e del torio, `e possibile rivelare la componente di energia pi` u elevata (> 1.8M eV ) mediante lo studio della reazione endotermica ν¯ + p → n + e+ − 1.8 M eV. Questa reazione non pu` o essere invece indotta dagli antineutrini emessi dal potassio perch´e hanno un’energia massima di 1.31M eV . Poich´e gli elementi in una famiglia naturale sono in equilibrio radioattivo, essi hanno la stessa attivit`a del capostipite. Pertanto, il numero di antineutrini emessi al secondo da 1 Kg di materiale radioattivo naturale `e dato dalla relazione Nν (A X, 1Kg) = A(A X, 1Kg) nν AI, dove nν `e il numero di antineutrini emessi nell’ambito della famiglia (= 6 e 4 per uranio e torio, rispettivamente). L’emissione si riduce di un fattore 10−5 in un 1 Kg di granito.

36

2 Radiazione ambientale naturale

2.4 I raggi cosmici L’atmosfera terrestre `e investita da un ﬂusso di particelle che appartengono alla radiazione cosmica. Essa `e prodotta soprattutto al di fuori del sistema solare e la sua composizione `e costituita da tutte le particelle stabili (fotoni, neutrini, elettroni, positroni e protoni) e da nuclei con vita media dell’ordine di u. La radiazione cosmica `e costituita da una componente emessa 106 anni o pi` da sorgenti astroﬁsiche e da una prodotta dall’interazione della componente primaria con il gas interstellare.

Fig. 2.5. Componenti cariche della radiazione cosmica primaria.[16]

Una frazione dei γ, gli elettroni, i positroni, i protoni e l’elio cos`ı come il carbonio, l’ossigeno, il ferro e altri nuclei sintetizzati nelle stelle fanno parte dei raggi cosmici primari. Appartengono alla radiazione primaria anche i neutrini (prevalentemente di origine solare), che sono presenti in grande abbondanza

2.4 I raggi cosmici

37

(pi` u di 1010 cm−2 · s−1 ; vedi par. 13.4 del cap.13) ma non hanno nessun eﬀetto sugli organismi viventi a causa della estremamente bassa probabilit` a d’ interazione con la materia. I neutroni e i nuclei come il litio, il berillio e il boro (scarsamente prodotti nei processi di nucleosintesi stellare) appartengono alla componente secondaria. Il 79% circa della componente nucleonica della radiazione cosmica primaria `e composto da protoni liberi e il 15% circa da nucleoni legati in nuclei di 4 He. In ﬁg.2.5 sono riportate le principali componenti nucleari in funzione della loro energia. In ﬁg.2.6 `e mostrato lo spettro energetico dei raggi γ.

Fig. 2.6. Spettro dei raggi γ extragalattici [16].

Contribuisce alla radiazione cosmica anche una piccola quantit` a di antiprotoni che, verosimilmente, appartiene in prevalenza alla componente secondaria (vedi ﬁg. 2.7). All’esterno dell’atmosfera terrestre i positroni sono solo il 10% circa dell’insieme elettroni pi` u positroni (vedi ﬁg. 2.7). Il ﬂusso di particelle cariche della radiazione cosmica `e modulato dal campo magnetico solare e dal campo magnetico terrestre che, tramite la forza di Lorentz, impediscono soprattutto alla componente di energia pi` u bassa di raggiungere la superﬁcie terrestre. A causa della variabilit` a spaziale e temporale del campo magnetico l’intensit` a delle varie componenti della radiazione cosmica varia col tempo e con la posizione. Interagendo con gli atomi dell’atmosfera i protoni producono nuclei radioattivi e una grande quantit` a di mesoni, soprattutto pioni neutri e carichi tramite reazioni del tipo

38

2 Radiazione ambientale naturale

p + A → p + A + nπ ± + mπ 0 . Dal decadimento dei mesoni hanno origine raggi gamma, muoni e neutrini muonici secondo le reazioni: π 0 → 2γ,

π + → μ+ + νμ

,

π − → μ− + ν¯μ .

Dalle successive interazioni dei raggi γ hanno origine elettroni e positroni

Fig. 2.7. Rapporto antiprotoni/protoni. [13])

secondo reazioni del tipo γ + A → A + e− + e+ . I muoni possono decadere secondo reazioni del tipo νe ) + ν¯μ (νμ ), μ± → e± + νe (¯ o interagire con i nuclei atomici secondo reazioni del tipo μ− + p → n + νμ . In ﬁg. 2.9 sono mostrati i ﬂussi verticali delle principali componenti dei raggi cosmici a diverse profondit` a nell’atmosfera, nella regione di energia dove le particelle sono pi` u numerose. Mentre nell’alta atmosfera sono prevalenti i nucleoni, al livello del mare le particelle cariche pi` u numerose sono i muoni

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici

39

Fig. 2.8. Frazione di positroni nei raggi cosmici in funzione dell’energia. [13]

(con energia media di ∼ 4 GeV e ﬂusso uguale a ∼ 1 cm−2 m−1 ). Questi possono penetrare profondamente nella terra, anche ﬁno a 10 Km di profondit` a, interagendo con gli atomi delle rocce e dell’acqua del mare.4

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici I radionuclidi naturali cosmogenici sono prodotti direttamente o indirettamente dall’interazione dei raggi cosmici con l’atmosfera, le rocce e l’acqua del mare. I radionuclidi cosmogenici pi` u importanti sono elencati in tab.2.4. Nell’alta atmosfera i nuclei cosmogenici sono prodotti prevalentemente dalla cattura di neutroni da parte dei nuclei di azoto e ossigeno. I neutroni sono a 4

I muoni, la cui massa `e m = 105 M eV , sono prodotti prevalentemente nell’alta atmosfera (a circa 15 Km d’altezza) con un’energia E fra 1 e 104 GeV (a cui corrisponde una velocit` a β = v/c > 0.99 e un valore di γ = E/m > 9.5). La vita media dei muoni a riposo `e τ = 2.2 · 10−6 s ma, a causa della dilatazione relativistica dei tempi, per muoni “in moto” essa diviene τ = γτ > τ . Per esempio, muoni con un’energia di 2.4 GeV hanno una vita media di circa 2.2·10−6 · 22.8 = 50.16 · 10−6 s. E’ questo fatto che spiega la sopravvivenza di un elevato ﬂusso di muoni a livello del mare. La probabilit` a di sopravvivenza dei muoni in moto lungo una direzione x segue la legge esponenziale e−x/λ con λ = βcτ . Se non ci fosse la dilatazione relativistica, la lunghezza di decadimento sarebbe βcτ = 658 m e, a livello del mare (x = 15km), il loro ﬂusso sarebbe ridotto di un fattore 1.4 · 10−10 , ossia sarebbe azzerato. Per muoni con energia di 2.4 GeV , la lunghezza di decadimento `e invece di circa 15 km e circa un terzo dei muoni raggiunge il livello del mare.

40

2 Radiazione ambientale naturale

Fig. 2.9. Flussi verticali dei raggi cosmici con E > 1 GeV a varie profondit` a nell’atmosfera stimati sulla base del ﬂusso dei nucleoni. I quadratini mostrano le misure di muoni negativi con E > 1 GeV . Modiﬁcato da [16]

loro volta prodotti dall’interazione dei protoni primari con i nuclei atmosferici. In seguito a un grande numero di collisioni i neutroni possono essere rallentati ﬁno a raggiungere energie termiche alle quali hanno elevata probabilit` a di essere assorbiti dall’azoto dando origine al 14 C: 14 7 N

+ n → 14 6 C + p.

Altri esempi di reazioni, con probabilit` a molto inferiore, sono i seguenti:

2.5 Radionuclidi naturali cosmogenici 14 7 N

+n →

11 5 B

+ 42 He

Es

≈ 1M eV

14 7 N

+n →

12 6 C

+ 31 H

Es

≈ 4M eV

16 8 O

+n →

10 4 Be

+ 74 Be

Es

> 40M eV

16 8 O

+n →

14 6 C

+ 32 He

Es

> 40M eV

41

Es `e l’energia di soglia dei neutroni o energia cinetica minima perch´e avvenga la reazione. Dal decadimento β del trizio ha origine la maggior parte dell’3 He presente nell’atmosfera. Tabella 2.4. Nuclei cosmogenici osservati. I “nuclei coinvolti” sono i principali nuclei della crosta terrestre e dell’atmosfera (tra parentesi) la cui interazione con la radiazione cosmica pu` o dare origine ai nuclei elencati nella prima colonna.[20]

Radio Nuclide 3 3

H

Modo del decadimento

T1/2 (anni)

Nuclei coinvolti

β−

12.33 anni

O,Mg,Si,Fe(O,N)

stabile

(O)

He

10

Be

14 21

β

6

−

Ne

36 36 39 41

C

β

−

Cl

Ar Ar Ca

129 126

I

Xe

β

−

CE, β β

β

−

O,Mg,Si,Fe(O,N)

5730 anni

O,Mg,Si,Fe(N)

stabile

Mg,Al,Si,Fe

5

+

−

CE; β

1.51 · 10 anni

+

3.01 · 10 anni

Fe,Ca,K,Cl(Ar)

35 giorni

Fe,Ca,K,Cl(Ar)

269 anni

Fe,Ca,K (Ar)

5

1.03 · 10 anni 7

Ca, Fe

1.57 · 10 anni

Te,Ba,La,Ce(Xe)

stabile

Te,Ba,La,Ce,I

Nella bassa atmosfera e nella crosta terrestre i nuclei cosmogenici hanno origine prevalentemente dalla cattura dei muoni negativi lenti e dalle disintegrazioni nucleari prodotte dai muoni veloci. La concentrazione dei nuclei radiogenici dipende dall’intensit` a della radiazione cosmica che raggiunge l’atmosfera terrestre la quale, come si `e gi`a detto, dipende dall’intensit` a del campo magnetico terrestre e, secondariamente, di quello solare. E’ stato accertato che l’intensit` a del campo magnetico terrestre ha subito rilevanti variazioni nel corso dei secoli, con conseguente variazione della produzione dei nuclei

42

2 Radiazione ambientale naturale

radiogenici, come verr` a illustrato nel cap.3. La produzione di radionuclidi alla superﬁcie terrestre `e molto bassa (circa 30 cm−2 h−1 al livello del mare). Tra di essi il 14 C, la cui produzione `e di 2.5 cm−2 h−1 , d`a un sensibile contributo alla radioattivit` a negli organismi biologici (vedi par.2.7.8) ed `e di rilevante interesse nella datazione di reperti archeologici (cap.3). Lo studio dei nuclei radiogenici contribuisce alle nostre conoscenze sulle variazioni del clima, sull’evoluzione dei ghiacciai e di siti terrestri e marini (in relazione a fenomeni di stratiﬁcazione, migrazione ed erosione), sull’attivit` a solare e sul campo magnetico terrestre.

2.6 Radionuclidi artiﬁciali (cenni) I nuclei radioattivi artiﬁciali sono prodotti principalmente nei processi di ﬁssione nei reattori nucleari e nelle esplosioni nucleari e nelle collisioni nucleonenucleo e nucleo-nucleo presso gli acceleratori in laboratori di ricerca ﬁsica e medica. Nei processi di ﬁssione sono prodotti principalmente nuclei con A fra 70 e 160. I radionuclidi artiﬁciali sono sorgenti di α, e± , ν, ν¯ e γ. Un certo numero appartiene alla famiglia artiﬁciale con capostipite il 237 N p. Tabella 2.5. Nuclei artiﬁciali presenti nell’ambiente (FS = Fissione Spontanea). Radio nuclide 3

Modo del decadimento

T1/2

β

12.33 anni

C

β

5730 anni

Sr

β

28.78 anni

Cs

β, γ

2.1 anni

Cs

β, γ

30 anni

I

β, γ

8 giorni

Ru

β

39.26 giorni

Ba

β

12.75 giorni

Pu

α, FS

8.08107 anni

H

14 38

134 137

131 103 140 244

Esempi signiﬁcativi sono riportati in tab. 2.5. Alcuni di essi sono anche cosmogenici ed `e diﬃcile stabilire quale frazione sia di un tipo e quale dell’altro. Usualmente sono presenti nell’ambiente in basse concentrazioni e la loro radioattivit` a media `e inferiore a quella dei radionuclidi naturali. Tuttavia nel

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

43

caso d’incidenti presso reattori nucleari con rilascio di radiazione nell’ambiente e nel caso di esplosioni nucleari in atmosfera la quantit` a di questi nuclei pu` o aumentare di ordini di grandezza raggiungendo livelli pericolosi (vedi ﬁg. 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20). Cesio, iodio, rubidio e bario sono stati abbondantemente rilevati in Italia in seguito all’incidente di Chernobyl. Lo iodio e il cesio sono caratterizzati da un’alta assimilazione biologica, il bario da una assimilazione moderata e il rutenio da una bassa. Lo iodio si accumula nella tiroide. Lo stronzio `e chimicamente aﬃne al calcio e si accumula nelle ossa. Il cesio `e aﬃne al potassio e si accumula nei muscoli.

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione 2.7.1 Interazione delle particelle cariche con la materia I processi d’interazione delle particelle ionizzanti con la materia, in particolare con i tessuti biologici, sono piuttosto complicati. Qui ci limitiamo a un’esposizione di carattere generale rinviando a testi speciﬁci per uno studio pi` u approfondito.

Fig. 2.10. Potere frenante (−dE/dx) in aria di elettroni (e), leptoni μ, mesoni π, protoni (p), deutoni (d) e particelle α in funzione dell’ energia cinetica E.

44

2 Radiazione ambientale naturale

Quando particelle cariche attraversano un mezzo materiale, esse perdono energia per ionizzazione ed eccitazione di atomi e molecole. Fig. 2.10 mostra l’andamento della perdita di energia per unit` a di percorso (o potere frenante) in aria di alcune particelle tra cui le particelle α e β; per energie cinetiche non relativistiche5 , la perdita di energia diminuisce al crescere dell’energia. Fig. 2.11 mostra la profondit` a raggiunta (o cammino percorso) in alluminio dalle particelle α e β in funzione della loro energia iniziale; il percorso aumenta con l’energia. Si noti la grande diversit` a fra il potere frenante e il cammino percorso dalle due particelle a parit` a di energia.

Fig. 2.11. Percorso (R) in alluminio di particelle α e β in funzione della loro energia iniziale.

La diversit` a di comportamento di particelle diverse con uguale energia `e dovuta al fatto che il potere frenante dipende fondamentalmente dalla carica elettrica e dalla velocit` a delle particelle: esso cresce all’aumentare della carica e 5

Energie cinetiche inferiori all’energia mc2 associata alla massa.

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

45

al diminuire della velocit` a. A parit` a di carica elettrica, le particelle pi` u pesanti (per esempio, protoni) sono molto pi` u lente delle particelle pi` u leggere (per esempio, elettroni) con la stessa energia cinetica e quindi hanno un potere frenante pi` u elevato. Similmente, a parit` a di velocit` a le particelle con carica elettrica pi` u elevata hanno potere frenante pi` u elevato. A potere frenante pi` u elevato corrisponde un percorso pi` u breve. Riassumendo, a parit` a di energia, le particelle pesanti (o con elevata carica elettrica) sono “pi` u ionizzanti” e quelle leggere “pi` u penetranti”. Inoltre, poich´e procedendo in un mezzo materiale l’energia e la velocit`a diminuiscono, il potere frenante aumenta raggiungendo un massimo in prossimit`a della ﬁne del percorso (vedi ﬁg. 2.12).

Fig. 2.12. Caratteristiche di un fascio di particelle cariche alla ﬁne del percorso medio Ro : a sinistra, andamento del potere frenante nei dintorni del punto d’arresto e, a destra, andamento dell’intensit` a del fascio. Questi andamenti sono caratteristici di particelle con massa molto maggiore di quella degli elettroni.

Le curve di ﬁg. 2.10 sono la rappresentazione graﬁca del potere frenante che, per elettroni veloci e per particelle pesanti in generale, `e espresso dalla formula di Bethe-Bloch z2 z2m dE = 2W = W, dx v 2E dove z ed m sono la carica elettrica e la massa della particella ionizzante; W dipende dalle caratteristiche (densit`a, numero atomico, potenziale di ionizzazione) del mezzo attraversato ed `e una funzione crescente lentamente variabile della velocit`a v e, per basse velocit`a (β << 0.5), `e approssimativamente costante. La dipendenza di W da v `e diversa per gli elettroni e per le particelle pi` u pesanti, principalmente per il fatto che gli elettroni ionizzanti hanno la stessa massa degli elettroni atomici. Il percorso R di una particella di energia iniziale Eo `e collegato alla formula precedente dalla relazione −

0

2 dx = R= 2 mz Eo

Eo 0

m E dE = 2 W 2z

vo 0

v2 2 dv W

46

2 Radiazione ambientale naturale

che, per basse velocit`a, dove W ≈ costante, diviene

0

dx ≈

R= Eo

2 1 E02 m 1 ≈ 2 v04 . mz 2 W 2 4z W

Il rapporto fra il potere frenante di due particelle di uguale energia con cariche elettriche z1 e z2 e masse m1 e m2 assume la semplice forma (dE/dx)1 /(dE/dx)2 ≈ (z1 /z2 )2 (m1 /m2 ). Analogamente il rapporto fra i percorsi ha la forma R1 /R2 ≈ (z2 /z1 )2 (m2 /m1 ). Il potere frenante e il percorso sono soggetti a ﬂuttuazioni statistiche e le relazioni precedenti danno i rispettivi valori medi in funzione dell’energia. Per quanto riguarda gli elettroni, la perdita di energia oltre che per ionizzazione degli atomi pu`o avvenire per frenamento prodotto dall’interazione con il campo coulombiano dei nuclei: la perdita di energia avviene con deviazione dell’elettrone dalla traiettoria iniziale e creazione di un quanto di radiazione elettromagnetica. 2.7.2 Interazione dei fotoni con la materia Nell’attraversamento di un mezzo materiale le particelle cariche perdono energia gradualmente, quasi in modo continuo, mantenendo per` o la loro identit` a; in altre parole, le particelle di un fascio rallentano, ma il loro numero rimane costante. Nel caso dei fotoni, invece, la cessione di energia avviene per atti discreti nei quali i fotoni possono anche scomparire. Questo fatto d` a alla cessione d’energia da parte dei fotoni caratteristiche diverse da quelle descritte per le particelle cariche. I principali processi d’interazione dei fotoni con la materia sono i tre seguenti. i) Eﬀetto fotoelettrico: il fotone viene assorbito da un atomo che viene ionizzato con liberazione di un elettrone da uno dei livelli atomici di energia Eb ; la sua energia cinetica `e Ee = hν − Eb . L’atomo residuo eccitato si diseccita emettendo raggi X o un elettrone Auger (vedi par. 7.7.5 del cap. 7) che, a loro volta, sono assorbiti da altri atomi. ii) Eﬀetto Compton: un fotone di energia hν interagisce con un elettrone atomico; si trasforma in un fotone di energia hν e l’elettrone acquisisce l’energia cinetica

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

47

Ee = hν − hν − Eb . L’entit` a dell’energia dipende dall’angolo di diﬀusione del fotone ﬁnale. iii) Produzione di coppie e+ e− : il fotone interagisce con il nucleo atomico o con un elettrone e viene completamente assorbito con creazione di una coppia positrone-elettrone; l’energia cinetica della coppia `e Ee+ + Ee− ∼ = hν − 2me c2 . Successivamente il positrone annichila su un elettrone del mezzo con emissione di due fotoni, ognuno con energia uguale a me c2 = 0.511 M eV , che, a loro volta, interagiscono con gli atomi (vedi ﬁg. 2.13). L’eﬀetto fotoelettrico prevale per fotoni con energia ﬁno ad alcuni keV, la produzione di coppie prevale al di sopra di 10 M eV e l’eﬀetto Compton nella regione energetica intermedia (vedi ﬁg. (2.13)). Come risultato dei processi descritti si ha che, nell’attraversare un tratto Δx di un mezzo materiale, i fotoni di un fascio, che supponiamo inizialmente monoenergetico e con divergenza angolare nulla, in parte transitano senza interagire, in parte sono rimossi dal fascio (per eﬀetto fotoelettrico e produzione di coppie), in parte si trasformano in fotoni meno energetici che deviano dalla traiettoria originale ﬁnch`e non vengono, a loro volta, assorbiti. Pertanto, procedendo nel mezzo, i fotoni vengono progressivamente rimossi dal fascio con cessione diretta d’energia agli elettroni del mezzo o con cessione indiretta attraverso l’emissione e l’assorbimento di fotoni secondari. L’intensit` a del fascio si attenua all’aumentare del cammino percorso x secondo la legge esponenziale I = Io e−μx . dove il fattore di attenuazione μ (ﬁg. 2.13) dipende dalle sezioni d’urto dei processi descritti e dalla densit`a e dal numero atomico del mezzo attraversato. Corrispondentemente anche l’attenuazione per unit` a di percorso dI = −μIo e−μx = −μI. dx diminuisce esponenzialmente e, di conseguenza, diminuisce anche la cessione d’energia al mezzo per unit`a di percorso. Questo comportamento `e completamente diverso da quello delle particelle cariche di un fascio monoenergetico: queste procedono con ﬂusso costante, perdono in media la stessa energia per unit`a di percorso e si arrestano in media alla stessa profondit` a (dove il ﬂusso si azzera “bruscamente”, ﬁg. 2.12); inoltre la perdita di energia per unit` a di percorso aumenta con l’avanzamento nel mezzo e raggiunge il massimo a ﬁne percorso. Inﬁne, a parit` a d’energia, i fotoni sono molto pi` u penetranti delle particelle cariche. Per esempio, il fattore di attenuazione in alluminio per fotoni da

48

2 Radiazione ambientale naturale

Fig. 2.13. Coeﬃciente di assorbimento lineare per fotoni ﬁno a 10 M eV in allumnio. Sono mostrati i diﬀerenti contributi e la loro somma.[21]

3 M eV `e circa 0.1 cm−1 (vedi ﬁg. 2.13) cos`ı che l’intensit` a di un fascio si riduce a 1/100 di quella iniziale (praticamente si annulla) alla profondit` a di circa 46 cm. Elettroni da 3 M eV si arrestano in alluminio a soli 5 cm di profondit` a (vedi ﬁg. 2.11) mentre alla profondit` a di 5 cm il fascio di fotoni sopravvive ancora per il 60%. Alla maggiore penetrazione dei fotoni corrisponde una minore cessione d’energia per unit`a di percorso. 2.7.3 Eﬀetti delle radiazioni ionizzanti sui tessuti biologici La ionizzazione in un tessuto vivo ha come conseguenza la rottura dei legami chimici delle molecole in modo diretto o indiretto (per esempio, molecole d’acqua vengono ionizzate e successivamente attaccano chimicamente le molecole biologiche). L’alterazione delle molecole pu`o essere reversibile o irreversibile. Nel secondo caso il danno pu` o portare alla morte delle cellule, a un’alterazione permanente che pu`o essere trasmessa alle successive generazioni (eﬀetti genetici) o a un danneggiamento al funzionamento delle cellule (che pu` o portare al cancro). L’entit` a del danno arrecato dalle radiazioni ai tessuti dipende dall’energia assorbita per unit` a di massa e per unit`a di tempo, dalla durata dell’esposizione e dalla sensibilit`a del tessuto irraggiato. La quantit` a di tessuto coinvolta da una cessione di energia ΔE in un percorso di lunghezza Δx da parte di una particella dipende da vari fattori. i) Una particella ionizzante di energia E perde un’energia ΔE in un percorso Δx “piccolo” o “grande” a seconda che la sua massa sia “grande” o ‘’pic-

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

49

cola”. ii) Le particelle cariche con massa molto maggiore di quella dell’elettrone attraversano un materiale con traiettorie approssimativamente rettilinee e ionizzano il materiale direttamente e attraverso le successive interazioni degli elettroni e dei fotoni liberati dalla ionizzazione primaria. La particella incidente perde l’energia ΔE attraverso una successione di singole interazioni in ognuna delle quali cede in media una quantit` a di energia a dipende dalla massa della particella: a massa maggioΔE , la cui entit` re corrisponde una perdita di energia minore. Per chiarire questo fatto consideriamo il caso semplice in cui, dopo l’urto, la particella primaria e l’elettrone colpito si muovono solidali con velocit` a v . Per la conservazione dell’impulso si ha: M v = M v + me v , v =

M v. M + me

Trascurando l’energia di legame atomica, l’energia ΔE ceduta dalla particella primaria `e uguale all’energia cinetica acquisita dall’elettrone: 1 1 ΔE = me v 2 = me 2 2

M M + me

2 v2 .

Se M = me , ΔE = 18 me v 2 = 14 Tincidente ; se M >> me , ΔE ∼ = 12 me v 2 << 12 M v 2 = Tincidente . Quindi una particella pesante per perdere una quantit` a d’energia ΔE deve subire un numero di collisioni “elevato” e in ognuna di esse l’elettrone investito acquista un’energia ΔE “piccola”. Elettroni poco energetici diffondono a distanza “piccola” dalla traiettoria della particella incidente cos`ı che l’energia totale ΔE ceduta dalla particella viene assorbita da una massa “piccola” di materiale attraversato e l’energia ceduta per unit` a di massa `e “grande”. Il contrario accade nel caso che la particella primaria sia leggera. iii) Diﬀerentemente dalle particelle pesanti, in ogni collisione gli elettroni di bassa energia non solo perdono energia ma sono anche deviati dalla traiettoria d’incidenza cos`ı che procedono a zig zag allontanandosi dalla traiettoria originaria. Un fascio di elettroni originariamente parallelo, avanzando in un mezzo diverge. Questo `e un ulteriore motivo perch´e l’energia ceduta venga assorbita da una massa “grande” di materiale attraversato.

50

2 Radiazione ambientale naturale

Argomentazioni simili valgono anche per l’assorbimento dell’energia ceduta dai fotoni. In conclusione, particelle ionizzanti di massa diversa cedono la stessa energia ΔE a diﬀerenti quantit` a di tessuto; pertanto esse si diﬀerenziano per la diversa concentrazione dell’energia assorbita dal materiale che pu` o essere espressa dal rapporto ΔE/Δm fra energia ceduta e massa coinvolta. Pi` u elevata `e la concentrazione dell’energia ceduta e maggiore `e il danno arrecato al tessuto coinvolto. Le particelle ionizzanti che possono investire il corpo umano hanno origine dai raggi cosmici, dagli acceleratori di particelle per gli studi di ﬁsica e le applicazioni in medicina, e dai decadimenti di nuclei radioattivi naturali e artiﬁciali presenti nell’ambiente. L’assorbimento delle radiazioni da parte del corpo umano pu` o avvenire secondo diﬀerenti modalit` a, come viene illustrato in ﬁg. 2.14 relativo al caso in cui la sorgente delle radiazioni `e costituita da una “nube” d’aria inquinata. I nuclei radioattivi possono essere interni o esterni al corpo umano. Per i radionuclidi esterni c’`e una soglia d’energia minima che ogni tipo di radiazione deve avere per attraversare la pelle e investire i tessuti sottostanti. Gli emettitori α liberano particelle con una velocit` a troppo piccola perch´e esse possano attraversare la pelle e investire i tessuti sottostanti (vedi cap.4, v/c < 0.15 per E < 1 M eV ). Invece gli emettitori di β e γ generalmente producono particelle con velocit`a suﬃciente per attraversare la pelle e intaccare i tessuti interni. Gli emettitori interni (ingeriti, inalati o assorbiti) sono tutti potenzialmente dannosi. 2.7.4 Unit` a dosimetriche In questo paragrafo vengono deﬁnite le grandezze ﬁsiche con le relative unit` a di misura utilizzate per valutare la quantit` a di radiazione irraggiata da una sorgente e quella assorbita da un materiale, in particolare un tessuto biologico. •

Attivit` a: l’attivit` a indica il numero di disintegrazioni al secondo e si misura in becquerel (Bq, SI) e curie (Ci, vecchia unit`a di misura); 1 Bq = 1 disintegrazione al secondo 1 Ci = 3.7 · 1010 Bq. 1 Ci `e l’attivit`a di 1 g di Ra.

•

6

Esposizione: l’esposizione `e la carica (di entrambi i segni) prodotta per ionizzazione da raggi X o γ in un piccolo volume di aria (secca a 0o C e 1 atmosfera)6 ; Si pu` o esprimere l’unit` a di esposizione in termini di energia spesa per liberare la corrispondente carica elettrica. La liberazione di una coppia di ioni in 1cm3 d’aria

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

51

Fig. 2.14. Principali vie d’accesso al corpo umano della radiazione ionizzante proveniente da una “nube” d’aria inquinata. L’assorbimento pu` o avvenire per via diretta o indiretta (inalazione, ingestione e deposizione di sostanze radioattive).

52

2 Radiazione ambientale naturale

unit` a di esposizione = 1 coulomb/(Kg d’aria) Una vecchia unit` a di misura `e il roentgen (R): 1 R = 1 u.e.s. di carica / cm3 d’aria. 1R corrisponde a 2.578 · 10−4 coulomb/Kg.7 L’esposizione `e una grandezza di valore essenzialmente storico. •

Dose assorbita (D): sia ΔE la diﬀerenza fra l’energia di tutte le particelle ionizzanti, primarie o secondarie che penetrano in un volume ΔV contenente la massa Δm e l’energia di tutte le particelle uscenti da quel volume; la dose assorbita `e deﬁnita dal rapporto ΔE/Δm e rappresenta l’energia depositata per unit` a di massa. Tale grandezza `e importantissima in radioprotezione e la sua unit` a di misura `e il gray (Gy): 1Gy = 1joule Kg −1 = 104 erg g −1 = 6.24 · 1012 M eV Kg −1 . Una vecchia unit` a misura `e il rad : 1Gy = 100rad . E’ importante sottolineare che la dose assorbita non tiene conto n´e delle modalit`a di cessione dell’energia dipendenti dal tipo di radiazione n´e dalla sensibilit` a dei tessuti che la ricevono. Di questi fattori si tiene conto empiricamente mediante le seguenti unit`a dosimetriche.

•

Dose equivalente (Deq ): La stessa quantit`a d’energia persa dalle radiazioni ionizzanti in un dato tessuto si distribuisce diversamente a seconda del tipo di radiazione. A maggiore concentrazione corrisponde maggiore danno (vedi par. 2.7.3). Per tener conto di questo fatto `e stato introdotto il concetto di dose equivalente che si calcola moltiplicando il valore della dose (a 0o C e 1 atm.) richiede in media l’assorbimento di un’energia w = 32.5 eV /cm3 . Poich´e la densit` a dell’aria `e d = 1.293·10−3 g/cm3 , l’energia assorbita per grammo d’aria `e wg = w/d = 25.13·103 eV /g. Indicato con n il numero di cariche elettroniche contenute in 1 coulomb, l’energia assorbita nell’esposizione di 1 coulomb/Kg `e wcoulomb = nwg =

1 25.13 1.6 10−19

103 eV /g = 15.70 1019 M eV /Kg .

Analogamente, indicato con m il numero di carice elettroniche contenute in una unit` a di carica u.e.s., l’energia assorbita nell’esposizione di 1R `e 7

3 1 wu.e.s. = mw = 4.8·10 −10 32.5 eV /cm . La corrispondenza fra 1R e l’unit` a di esposizione in coulomb/Kg viene stabilita nel seguente modo: 3 1 1 R = 1 u.e.s./cm3 = 3·10 9 coulomb/cm ⇒

⇒

1 3·109

coulomb/cm3 ·

1 1.293·10−3 g/cm3

= 2.578 · 10−4 coulomb/Kg .

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

53

assorbita per un fattore di peso wr caratteristico di ogni radiazione: Deq = wr D . Se pi` u tipi di radiazione sono presenti, la dose equivalente totale `e la somma delle dosi assorbite per ogni tipo di radiazione ciascuna pesata dal corrispondente fattore. Le unit` a di misura sono il sievert (Sv) e il rem (roengten equivalent for man, vecchia misura): 1Sv = wr · D(Gy) , 1Sv = 100rem . Il fattore di peso esprime il rischio (in primo luogo di cancro e leucemia) per esposizione continua a bassi livelli. E’ da notare che il peso wr `e adimensionale, quindi dose assorbita e dose equivalente hanno le stesse dimensioni. In tab. 2.7 sono mostrati i valori di wr per diversi tipi di radiazione. A parit` a di dose assorbita, le particelle α sono 20 volte pi` u dannose delle radiazioni dei γ e degli elettroni. •

Dose eﬃcace (Def ): la dose eﬃcace tiene conto della diversa radiosensibilit` a di ciascun organo o tessuto del corpo umano. Essa `e data dal prodotto della dose equivalente per un fattore di peso wt che dipende dall’organo o tessuto irraggiato: Def,t = wt Deq . Essa viene misurata in sievert. I fattori di peso sono indipendenti dal tipo di radiazione e dalla sua energia e sono normalizzati a 1, vale dire

wt = 1, t

dove la somma `e estesa a tutti i tipi di tessuto del corpo umano. Nel caso di radiazione uniformemente distribuita su tutto il corpo la dose eﬃcace totale e quella equivalente coincidono. Alla dose eﬃcace viene associata una determinata probabilit` a di accrescimento dell’insorgenza di tumori con esito letale. In tab. 2.6 8 sono dati i valori di wt per i vari organi.

2.7.5 Danni e fattori di rischio I danni che la radiazione pu` o arrecare agli uomini e pi` u in generale agli esseri viventi hanno caratteristiche diverse per alte e basse dosi assorbite. 8

I valori riportati in questa tabella e nelle successive hanno carattere indicativo e sono periodicamente aggiornati alla luce dell’acquisizione di nuove conoscenze sugli eﬀetti delle radiazioni.

54

2 Radiazione ambientale naturale Tabella 2.6. Fattori di peso wr per diversi tipi di radiazione ionizzante Tipo ed energia della radiazione

wr

fotoni di qualsiasi energia

1

−

e , μ di qualsiasi energia

1

protoni (E > 2 M eV )

5

particelle α, nuclei con A > 4

20

Tabella 2.7. Fattori di peso wt per i vari organi. tipo di organo o tessuto

wt

tipo di organo o tessuto

wt

gonadi

0.20

fegato

0.05

colon

0, 12

esofago

0.05

stomaco

0.12

tiroide

0.05

midollo osseo

0.12

superﬁci ossee

0.01

polmone

0.12

pelle

0.01

vescica

0.05

altri tessuti

0.05

mammella

0.05

totale

1.00

2.7.6 Dosi alte assorbite in breve tempo Alte dosi di radiazione (> 1Gy per l’intero corpo) ricevute in un breve intervallo di tempo (poche ore) danno origine a quelli che sono denominati eﬀetti acuti. Essi si manifestano subito dopo l’irraggiamento e possono provocare la morte delle persone irraggiate (vedi tab. 2.9). Se il paziente sopravvive, altri eﬀetti possono manifestarsi nel tempo. In questo caso appare evidente l’esistenza di una soglia sotto cui gli eﬀetti non compaiono. Questi eﬀetti sono detti deterministici e la loro intensit` a varia con la dose assorbita. Eﬀetti di questo tipo sono stati osservati tra i sopravvissuti a esplosioni nucleari. Possibili danni con il relativo valore di soglia sono riportati in tab.2.9. 2.7.7 Dosi basse Per basse dosi assorbite (inferiori a 0.2Gy) gli eﬀetti compaiono dopo un periodo di latenza che pu` o durare anche anni (eﬀetti ritardati). I danni possono essere: genetici o stocastici.

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

55

Tabella 2.8. Eﬀetti delle radiazioni ionizzanti sull’uomo in seguito ad assorbimento di qualche ora in tutto il corpo (irraggiamento acuto). dose equivalente assorbita in sievert 0.25 0.25 − 1

alcuni eﬀetti dell’irraggiamento nessun eﬀetto raddoppio del rischio di leucemia, anomalie genetiche, lievi alterazioni del sangue

1−2

emorragie intestinali, aggravamento degli eﬀetti precedenti

2−3

emorragie gravi

4 − 10

morte dal 30% al 100% dei casi

Non sono stati osservati con certezza casi di danni genetici tra i discendenti dei sopravvissuti alle esplosioni nucleari; tuttavia, danni sono stati osservati in esperimenti eﬀettuati su insetti sottoposti a dosi relativamente alte. Per gli eﬀetti stocastici, come indica il nome, non c’`e la certezza che essi si veriﬁchino; si ha invece, per una data dose, una probabilit` a, detta fattore di rischio, che uno di essi si veriﬁchi. Si ritiene che non esista un valore di soglia al di sotto del quale gli eﬀetti non si manifestano e che la gravit` a del danno non sia direttamente correlata con la dose assorbita. Esistono, tuttavia, osservazioni (vedi par. 2.9), contrastanti con le opinioni precedenti, che inducono a ritenere che dosi basse possano arrecare eﬀetti beneﬁci. Tabella 2.9. Dosi di soglia per diversi eﬀetti acuti dovuti ad alte dosi. Stadio di sviluppo

eﬀetto

dose di soglia (Sv)

feto

diminuzione della crescita

0.2

ragazzo

ipotiroidismo

5

adulto

morte

adulto

ateratta

2−3 2.5

La probabilit` a che una radiazione produca un certo danno `e data dal prodotto della dose equivalente assorbita Deq per un fattore di rischio fr :

56

2 Radiazione ambientale naturale

Pdanno = fr Deq (sievert). Il fattore di rischio `e la probabilit` a di uno speciﬁco danno per unit` a di dose equivalente assorbita e si misura in Sv −1 . Studi per la determinazione di tali fattori sono stati eﬀettuati da molte organizzazioni internazionali. Le incertezze in queste valutazioni sono dovute sia alla qualit` a dei dati analizzati, sia ai modelli a cui si fa riferimento. Per quanto riguarda i campioni da analizzare, essi possono essere costituiti da individui irraggiati accidentalmente (le dosi assorbite sono molto incerte), da individui trattati con radiazioni per scopi medici (le dosi sono note ma solitamente indirizzate a una singola parte del corpo) e da animali irraggiati appositamente (l’estrapolazione agli uomini `e incerta). Gli studi pi` u approfonditi sono stati condotti sui sopravvissuti alle esplosioni nucleari su Hiroshima e Nagasaki: 90 000 persone furono investite da neutroni e raggi γ e circa i 2/3 sono ancora vive a 50 anni dall’evento. La dose ricevuta da ogni persona `e stata stimata sulla base della sua posizione al momento dell’esplosione. Le stime sono evidentemente incerte. Sulla base di dati ad alte dosi assorbite il fattore di rischio `e stato stimato dell’ordine di 0.1 Sv −1 , che corrisponde a 10 casi di cancro in eccesso per una dose di 1Sv ricevuta da 100 persone. Per esposizione alla radiazione ambientale si hanno basse dosi assorbite e ci sono dati e teorie che indicano che i fattori di rischio sono ridotti di un fattore 2. Dal punto di vista della protezione, si assume che ogni esposizione a radiazione comporti rischi per la salute. Come abbiamo visto gli eﬀetti sono cumulativi e si ritiene che non ci sia un livello di sicurezza. 2.7.8 Radioattivit` a intrinseca del corpo umano La radioattivit` a a cui sono esposti gli esseri umani non `e riducibile al di sotto di un livello minimo determinato dalla composizione chimica naturale del corpo umano. I principali elementi radioattivi presenti sono il 14 C, il 40 K, il 232 T h e l’238 U . I quattro elementi e i loro isotopi radioattivi pi` u abbondanti sono presenti in un corpo umano di 70Kg nelle quantit` a riportate in tab. 2.10. Nel seguito non prenderemo in considerazione uranio e torio a causa dell’attivit` a trascurabile rispetto a quella degli altri due isotopi. I decadimenti a cui sono soggetti carbonio e potassio sono i seguenti: 14 6 C

→

14 7 N

+ e− + ν¯

Eβ = 0.157M eV

E ≈ 0.078 M eV

T1/2 = 5370 a 40 19 K

→

40 20 Ca

→

40 18 A

89.29 % β − 10.72 % CE

T1/2 = 1.277 · 109 a

+ e− + ν¯

+ν

Eβ = 1.3 M eV Eβ = 1.5 M eV

E ≈ 0.155 M eV

2.7 Eﬀetti biologici della radiazione

57

E rappresenta approssimativamente la frazione (∼ 1/2) dell’energia liberata (Eβ ) che in media viene ceduta al corpo umano in ogni disintegrazione, mentre la rimanente fuoriesce associata agli antineutrini, la cui interazione con la materia `e trascurabile (vedi cap. 7). Relativamente al potassio, teniamo conto solo del decadimento pi` u probabile. a di 1 Kg di tessuto `e Per ogni isotopo A X, l’attivit` Attivit` a(1Kg) =

103 ·P A

AI · NAvogadro ·

ln 2 becquerel, T 1/2 (a) · 3.15 107 s

dove P `e la frazione dell’elemento X in 1 Kg di materiale organico e AI `e l’abbondanza isotopica del radioisotopo considerato (vedi tab. 2.11); l’attivit` a comporta la cessione all’organismo nel corso di un anno di una dose Dose annua = E · Attivit` a · 3.15 107 gray, dove 3.15 · 107 sono i secondi in un anno. Ricordiamo che, ai ﬁni biologici, invece della dose assorbita (D) si considera la dose equivalente (Deq ); questa tiene conto, oltre che dell’energia ceduta, anche del diﬀerente danno apportato ai diversi tipi di tessuto. Numericamente, la dose assorbita `e il limite inferiore della dose equivalente (D ≤ Deq ). Utilizzando i valori numerici riportati in tab. 2.10, si ottengono le attivit` a e le dosi date in tab. 2.11. Tabella 2.10. Abbondanza dei pi` u importanti isotopi radioattivi naturali presenti nel corpo umano. [18] Contenuto in peso in un corpo di 70 Kg e contenuto percentuale (P )

14 6 C

Carbonio

16 Kg (23%)

Potassio

0.140 Kg (0.02%)

Torio Uranio

−9

0.1mg (1.4 · 10

−9

0.1mg (1.4 · 10

Isotopo radioattivo e abbondanza isotopica (AI) (1.5 · 10−12 )

40 19 K

(0.0117)

)

232 90 T h

)

238 92 U

(100%) (0.993)

A titolo di curiosit` a, facciamo rilevare che l’attivit` a di 116 becquerel comporta l’emissione di 116 fra neutrini e antineutrini al secondo, cos`ı che un essere umano di 70 Kg emette in un giorno, inconsapevolmente, circa 700 milioni di tali particelle che si allontanano da lui indeﬁnitamente con la velocit` a della luce!

58

2 Radiazione ambientale naturale Tabella 2.11. Attivit` a e dosi per Kg di corpo umano. Attivit` a (becquerel)

Dose (millisievert)

C

56

0.022

K

60

0.198

116

0.22

12 40

totale

2.8 Il radon Il radon `e il pi` u pesante dei gas nobili ed `e l’unica sostanza radioattiva naturale allo stato gassoso a temperatura ambiente. Sono 20 gli isotopi del Radon conosciuti, ma di questi solo 3 risultano apprezzabilmente abbondanti in natura: •

famiglia dell’

• famiglia del

238

232

• famiglia dell’

U:

222

Rn (t1/2 = 3.82g),

Th :

220

Rn (t1/2 = 55.6s),

219

Rn (t1/2 = 3.96s).

235

U:

Confrontando i tempi di dimezzamento, si vede che solo il 222 Rn vive abbastanza a lungo da poter diﬀondere nell’aria per un tratto apprezzabile. I discendenti del radon costituiscono il cosiddetto “deposito attivo” del radon, chiamato in tal modo perch´e i suoi costituenti diﬀondendo nell’aria vanno a ﬁssarsi su qualunque superﬁcie solida incontrino. Ci` o avviene specialmente se su tale superﬁcie si `e accumulata in precedenza una carica elettrostatica negativa. Tale fenomeno `e causato principalmente dal fatto che gli atomi di radon, emettendo particelle α, rinculano con un’energia suﬃciente a trasformarli in ioni positivi in seguito a collisioni con altri atomi. Gli ioni positivi possono depositarsi sulle pareti dell’ambiente contenente il radon e sugli oggetti in esso contenuti; questi si ricoprono di uno strato di atomi che emette α, β e γ. La deposizione di atomi radioattivi sulle superﬁci dell’apparato respiratorio pu` o aumentare la probabilit` a di insorgenza di tumori ai polmoni. Il radon ﬁltra dal sottosuolo e dai materiali da costruzione nei quali `e contenuto uranio (vedi ﬁg. 2.15). Diﬀonde facilmente sia in aria sia in acqua senza formare alcun tipo di legame chimico. Emesso all’aperto si disperde rapidamente nell’atmosfera, mentre tende ad accumularsi negli ambienti chiusi. La concentrazione del radon nell’ambiente `e misurata dall’attivit` a per m3 . In Ita3 lia il valore medio della concentrazione `e attorno ai 77 Bq/m , ma nel 5% delle case la concentrazione supera i 200 Bq/m3 e nell’ 1% supera i 400 Bq/m3 . La concentrazione media nelle diverse regioni `e assai variabile: come mostrato in

2.8 Il radon

59

ﬁg. 2.16: si passa da un minimo di 20 − 40 Bq/m3 (Calabria, Liguria) a un massimo di 100 − 120 Bq/m3 (Lazio, Lombardia). La concentrazione misurata in altri paesi industrializzati `e 108 Bq/m3 in Svezia, 49 Bq/m3 nella ex repubblica federale Tedesca, 46 Bq/m3 negli Stati Uniti, 21 Bq/m3 in Gran Bretagna. La media mondiale `e di 40 Bq/m3 . In questo contesto il valore medio in Italia di 77 Bq/m3 `e da considerarsi medio-alto. Le diﬀerenze da luogo a luogo sono da correlare con le diﬀerenti caratteristiche geologiche del suolo e dei materiali da costruzione utilizzati.

Fig. 2.15. Vie d’ingresso del radon nelle abitazioni: le fessure dei pavimenti, anche se invisibili, le giunzioni pavimento-parete, i passaggi degli impianti termici, idraulici, delle utenze elettriche del gas, ecc. Anche i materiali da costruzione possono emettere radon, cos`ı come l’acqua, sia pure in quantit` a minore.

Il Comitato Scientiﬁco delle Nazioni Unite per gli eﬀetti delle radiazioni atomiche ha stimato che il radon produce pi` u del 50% della dose media ricevuta da ogni individuo nell’esposizione a sorgenti di radiazioni naturali. Vari studi concordano su un aumento della frequenza dei tumori polmonari conseguente all’esposizione cumulativa al radon e ai suoi discendenti. In particolare, `e stato stimato che, per una popolazione con attesa di vita alla nascita pari a 72 anni, la probabilit` a di morte per tumore all’apparato respiratorio

60

2 Radiazione ambientale naturale

sia del 4% e che, per una permanenza media in casa del 60% del proprio tempo con una concentrazione media di 1 Bq/m3 , il radon comporti un rischio annuo in eccesso di tumore polmonare pari a circa un caso su un milione. Particolarmente esposti al radon risultano essere i minatori. Come gi`a accennato, le principali sorgenti di radon sono: il terreno, i materiali da costruzione ed in alcuni casi l’acqua proveniente da pozzi profondi. E’ stato veriﬁcato sperimentalmente, nel corso di molte ricerche, che il suolo costituisce, nella maggioranza delle situazioni, la sorgente pi` u rilevante: le azioni di protezione ﬁnora studiate sono orientate principalmente a ridurre il ﬂusso del radon dal terreno alle abitazioni.

Fig. 2.16. Attivit` a del radon nelle varie regioni italiane in Bq/m3 .

Sono tuttavia carenti le conoscenze sulla reale operativit` a di alcune delle soluzioni proposte e soprattutto sulla durata della loro eﬃcacia. I principali rimedi suggeriti sono: a) l’interdizione all’ingresso del radon negli spazi abitati (mediante ventilazione fra il suolo e la pavimentazione o l’inserimento di idonee barriere costituite da materiali impermeabili al radon);

2.8 Il radon

61

b) la riduzione della concentrazione del radon negli ambienti tramite ventilazione (naturale o forzata), o rimozione dei discendenti del radon (con sistemi ﬁltranti e a cattura elettrostatica). Parallelamente agli studi sul radon `e stata misurata la dose assorbita in aria dovuta essenzialmente alla radiazione γ emessa dalle pareti; anche questa, infatti, pu` o comportare un aumento della probabilit` a d’insorgenza di tumori e leucemie. In questo caso la dose assorbita media in Italia `e pari a 105 nGy/h, mentre le medie regionali sono comprese fra un minimo di 40 e un massimo di 300 nGy/h. Questi valori appaiono alti se paragonati a quelli medi mondiali, stimati dal Comitato Scientiﬁco delle Nazioni Unite, pari a 83 nGy/h per la radiazione γ. Complessivamente, tenendo conto di tutti i fattori d’incertezza, si ritiene che alla radioattivit` a naturale in ambienti chiusi si debba imputare un evento sanitario grave (tumore) all’anno ogni 10 000 individui contro 2 500 eventi dovuti ad altre cause. 2.8.1 Radiazione media assorbita dalla popolazione La tab. 2.12 mette in evidenza la rilevanza delle sorgenti naturali, e in particolare del radon (≈ 1 mS per anno), quali sorgenti di esposizione degli abitanti della terra. Ovviamente i valori possono variare a seconda delle zone. Per esempio, all’altezza di 2 000 metri l’intensit` a dei raggi cosmici `e circa il doppio di quella al livello del mare e la radiazione ambientale pu` o variare da regione a regione a seconda della struttura geologica. Per quanto riguarda il radon, nella maggior parte delle zone la dose annua equivalente per l’intero corpo varia fra 0.4 e 4 mSv, ma in certe aree pu`o arrivare ﬁno a 50 mSv. Relativamente all’ esposizione per diagnostica medica, la situazione `e assai disomogenea e dipende dalla disponibilit` a di strutture sanitarie e dalla loro qualit` a. Le dosi medie oscillano tra 0.3 e 2.2 mSv l’anno nei paesi industrializzati e tra 0.02 e 0.2 mSv negli altri. Gli impianti nucleari per la produzione dell’energia elettrica in condizioni normali d’esercizio contribuiscono in piccola parte all’esposizione dell’uomo. In generale per tutti gli usi industriali dei radionuclidi artiﬁciali, la dose `e trascurabile se divisa su tutti gli abitanti del pianeta, mentre `e confrontabile con la dose media da sorgenti naturali se si considerano solo i lavoratori esposti. A protezione dei lavoratori in ambienti esposti alle radiazioni sono ﬁssati da vari organismi internazionali valori massimi della dose annuale assorbita in tutto il corpo (per esempio, CERN: 15 mSv/anno; Stati Uniti: 50 mSv/anno). La dose annuale media ha subito aumenti sensibili in corrispondenza delle esplosioni nucleari nell’atmosfera (anni 1958-60 e 1963-64) e dell’incidente al reattore di Chernobyl (1987), come conseguenza dell’aumentata radioattivit` a ambientale messa in evidenza nelle ﬁg. 2.17-2.20.

62

2 Radiazione ambientale naturale

Nel 1963 la dose annuale media ha subito un incremento pari al 7% circa di quella associata alla radiazione naturale; l’incremento `e poi diminuito ﬁno al 2% nel 1966 e all’1% agli inizi degli anni ’80 (questa percentuale `e data dal rapporto 0.022/2.4 delle dosi riportate in tab. 2.12). Ovviamente questi valori medi nascondono variazioni considerevoli da regione a regione in dipendenza di molti fattori quali la distanza dalle sorgenti radioattive, il ﬂusso dei venti e la piovosit` a. Per esempio, l’emisfero settentrionale, in cui si `e svolta la maggior parte degli esperimenti, ha ricevuto la maggior parte della ricaduta. Tabella 2.12. Dosi equivalenti annue medie di radiazioni ionizzanti in mSv per la popolazione mondiale. [11] E’ istruttivo il confronto dei valori delle dosi di questa tabella con quelli riportati in tab. 9. Tra parentesi la dose espressa in DARI. 1 DARI = dose assorbita da 1 Kg di corpo umano in un anno = 0.22 millisievert = dose minima naturale ineliminabile.

Sorgenti ionizzanti

Dose annua media per la popolazione

Radionuclidi naturali nel corpo umano

0.22 (1)

Raggi cosmici

0.39 (1.8)

Radiazione γ terrestre

0.46 (2.1)

Radon e suoi disecndenti

1.3 (5.9)

TOTALE da sorgenti di origine naturale

2.4 (11)

Radiazioni ionizzanti in diagnostica medica

0.33 (1.5)

Fallout da esplosioni nucleari in atmosfera

0.022 (0.1)

Dose annua media per la popolazione nei paesi industrializzati

Dose annua media per i lavoratori

1.1(5)

Attivit` a nel ciclo nucleare

2.9 (13.2)

Attivit` a in altri impieghi industriali

0.9 (4.1)

Attivit` a in diagnosi e terapia medica

0.5 (2.3)

Media nelle attivit` a con radiazioni ionizzanti

1.1 (5)

2.9 Sono possibili eﬀetti beneﬁci delle radiazioni?

63

Per quanto riguarda l’incidente di Chernobyl, la dose eﬃcace media per abitante in Italia nel primo anno `e stata stimata dell’ordine di 0.5 mSv, ma la distribuzione di radioattivit` a `e stata estremamente disomogenea, come `e messo in evidenza dalle ﬁg. 2.18 e 2.19. Nella dose ricevuta l’ingestione e l’aspirazione hanno giocato un ruolo rilevante il primo anno, mentre l’irraggiamento dal suolo ha svolto un ruolo di gran lunga pi` u importante negli anni successivi. Poich´e la dose minima ineliminabile di radiazione assorbita dal corpo umano `e di circa 0.22 millisievert, `e stato suggerito che tale quantit` a potrebbe essere utilizzata come quantit`a di riferimento della dose, in quanto il suo signiﬁcato `e di comprensione pi` u immediata del sievert (joule per Kg) per “i non addetti ai lavori”. Per tale quantit` a `e stato anche proposto il nome di DARI (acronimo dell’espressione francese Dose Annuelle due aux Radiations Internes, [19]). In base a questa convenzione, la dose originata dalle varie sorgenti `e espressa come multiplo della dose minima, come riportato in tab. 2.12.

Fig. 2.17. Attivit` a β totale in aria (mBq/m3 ) negli anni tra il 1956 e il 1987. L’attivit` a media normale ` e inferiore a 10mBq/m3 . Si hanno aumenti rilevanti nei periodi 1957-1960 e 1962-1965 (esplosioni nucleari in atmosfera) e nel 1987 (incidente al reattore nucleare di Chernobyl).

2.9 Sono possibili eﬀetti beneﬁci delle radiazioni? E’ opinione ben consolidata che le radiazioni abbiano eﬀetti nocivi qualunque sia l’entit` a dell’esposizione cui sono soggetti gli individui. Tuttavia, da nume-

64

2 Radiazione ambientale naturale

rosi studi traspare che le radiazioni possono avere eﬀetti beneﬁci nel caso di assorbimento di “piccole” dosi. Sfortunatamente, nella maggior parte dei casi tali studi non erano rivolti speciﬁcatamente agli eﬀetti beneﬁci e, nel caso che tali eﬀetti fossero osservati, erano trascurati.

Fig. 2.18. Deposito di 131 I per unit` a di superﬁcie in Italia (Nord, Centro e Sud) nelle settimane successive all’incidente di Chernobyl. Lo 131 Io decade β con T1/2 = 8.02 giorni. [12]

Fig. 2.19. Concentrazione di 131 I nei vegetali a foglia in Italia (Nord, Centro e Sud) nelle settimane successive all’incidente di Chernobyl. [12]

L’interesse per possibili eﬀetti beneﬁci `e stato ravvivato recentemente da un’indagine riguardante l’incidenza (o frequenza) del cancro e di malformazio-

2.9 Sono possibili eﬀetti beneﬁci delle radiazioni?

65

ni congenite in un campione di popolazione di Taiwan esposta accidentalmente a una dose addizionale di radiazione oltre a quella naturale[22].

Fig. 2.20. Variazione dell’attivit` a del 137 Cs in diversi alimenti in Danimarca in corrispondenza di esplosioni nucleari nell’atmosfera. Il cesio decade β − con T1/2 = 30.07a.

Per 20 anni, dal 1983 al 2003, circa 10 000 abitanti di Taiwan hanno abitato o frequentato circa 180 ediﬁci costruiti utilizzando ferro riciclato contaminato accidentalmente da 60 Co, elemento radioattivo che decade β − con tempo di dimezzamento di 5.3 anni. Tenendo conto dei diﬀerenti tempi di presenza negli ediﬁci, `e stato stimato che ogni individuo ha assorbito una dose media di 49 mSv nel 1983 e di 400 mSv nel periodo 1983-2003. Dei 10 000 individui, 1 100 hanno assorbito una dose circa 7 volte superiore alla media. Le due dosi medie menzionate sono circa 20 e 8 volte pi` u alte delle analoghe dosi medie annue dovute alla radiazione ambientale naturale (tab. 2.12), ma sono sempre piccole dosi (si confrontino queste dosi con quelle di tab. 2.9). Sul campione di individui esposti sono stati accertati i casi di morte per cancro e quelli di malformazioni congenite e i due valori sono stati confrontati con quelli deducibili dalle frequenze di morte per cancro e di malformazione congenita di tutta la popolazione di Taiwan, come appare in tab. 2.13 (colonne da 1 a 4). Dalla tabella appare evidente che i casi di morte per cancro e di

66

2 Radiazione ambientale naturale

malformazione congenita nella popolazione esposta sono in numero sorprendentemente e notevolmente inferiore a quelli della popolazione non esposta (ed `e molto improbabile che la diﬀerenza sia dovuta a una semplice ﬂuttuazione statistica). Le ultime due colonne di tab. 2.13 mostrano i valori attesi secondo i criteri di stima dell’ICRP (International Commission on Radiological Protection) basati sull’ipotesi che la formazione di carcinomi dipenda dalla dose assorbita in modo lineare e senza soglia: questi valori sono dati da quelli relativi a cause naturali (colonne 3 e 4) incrementati dei valori stimati dal modello sulla base dell’attivit` a osservata del 60 Co. Tabella 2.13. Casi di morte e di malformazione congenita (MC) osservati nel campione esposto alle radiazioni, casi attesi nello stesso campione in base alle frequenze relative a tutta la popolazione di Taiwan e attesi secondo il modello ICRP nel ventennio 1983-2003. [21] 1

2

3

4

5

6

Morti per cancro nel campione esposto

MC nel campione esposto

Morti naturali per cancro (attese)

MC naturali (attese)

Morti per cancro (stima ICRP)

MC congenite (stima ICRP)

7

3

232

46

302

67

3% di colonna 3

6.5% di colonna 4

232 naturali e 70 per l’esposizione

46 naturali e 21 per l’esposizione

Il risultato di questa ricerca “sembra” indicare che dosi “piccole” di radiazione assorbite per tempi relativamente lunghi possono prevenire l’insorgere del cancro o di malformazioni. Piccole dosi di radiazione aumenterebbero le difese dell’organismo nei confronti del cancro. Questa ricerca da sola non `e esaustiva e richiede conferma (o smentita) da studi speciﬁcatamente dedicati ai possibili eﬀetti beneﬁci delle radiazioni, il cui interesse `e evidente.

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68

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3 Radiodatazione

3.1 Criterio di base della radiodatazione Dato un campione di materiale contenente all’istante t = 0 no nuclei di una sostanza radioattiva, la legge del decadimento radioattivo permette di stabilire a una correlazione fra il numero di nuclei residui n(t) = no e−λt e la loro attivit` A(t) = λn(t) (numero di disintegrazioni nell’unit` a di tempo) e il tempo t: 1 n(t) 1 A(t) t = − ln = − ln . λ no λ λno La misura di n(t) o di A(t) consente quindi di misurare l’ ”et` a” del campione, intesa come intervallo di tempo che intercorre fra il momento t = 0 in cui esso ha “inglobato” la componente radioattiva no e il momento in cui viene fatta la misura di n(t) o A(t). Un materiale radioattivo costituisce quindi un orologio in senso generalizzato e il procedimento per stabilire l’et` a di un campione per via radioattiva viene detto radiodatazione. Ovviamente, `e essenziale che nel corso del tempo la composizione del campione sia rimasta immutata, cio`e non devono essersi veriﬁcate n´e fuoriuscite di suoi componenti n´e intrusioni di materiale estraneo; in breve, il campione deve essere rimasto isolato dall’ambiente esterno. Interessanti applicazioni della radiodatazione si hanno, per esempio, in geologia e in archeologia con diﬀerenti peculiarit` a per le sostanze inorganiche e organiche, come verr`a illustrato nei seguenti paragraﬁ.

3.2 Datazione delle rocce 3.2.1 Introduzione I metodi di datazione delle rocce utilizzano il decadimento di elementi radioattivi primordiali contenuti nei minerali. Sappiamo, dallo studio dei decadimenti

70

3 Radiodatazione

radioattivi, che un qualsiasi radionuclide (A) si trasforma nel tempo in un nucleo stabile (B). Questa trasformazione pu` o avvenire in modo diretto, oppure attraverso una serie di decadimenti intermedi. Nel primo caso (A → B stabile), l’andamento nel tempo dei nuclei di tipo A e B `e dato da: ¯ (3.1) nA (t) = nA (0)e−t/tA , ¯ nB (t) = nA (0) 1 − e−t/tA + nB (0) , (3.2) oppure

¯ nB (t) = nA (t) et/tA − 1 + nB (0) ,

(3.3)

dove con nA (t) e nB (t) indichiamo il numero di nuclei all’istante t, con nA (0) e nB (0) il numero all’istante iniziale e con t¯A la vita media. Nel secondo caso (A → b → c →.....→ B stabile), nB (t) ha una dipendenza dal tempo pi` u complessa in cui compaiono le vite medie di tutti i decadimenti intermedi. La situazione `e pi` u semplice per le famiglie radioattive, in cui il capostipite ha una vita media estremamente pi` u lunga dei nuclei successivi e tutti i nuclei della famiglia sono in equilibrio secolare. In queste condizioni, ossia per t¯A >> t¯b , t¯c,... , le eq.(3.1), (3.2) e (3.3) sono ancora valide. 3.2.2 Metodi di datazione Per la determinazione dell’et`a di una roccia vengono utilizzate equazioni del tipo (3.1) e (3.3) in cui si suppone che t¯A sia noto e che nA (t) e nB (t) siano misurabili. L’et`a si misura a partire dall’istante t = 0 in cui il sistema `e rimasto chiuso (o isolato dall’ambiente esterno), cio`e senza perdite n´e apporti del radionuclide genitore A e del prodotto di decadimento B. Perch´e un radionuclide sia utilizzabile per la datazione devono veriﬁcarsi le seguenti condizioni: 1. il valore di t¯ non deve essere n´e troppo grande n´e troppo piccolo rispetto all’et` a t da misurare1 ; nel primo caso la variazione di materiale radioattivo fra 0 e t sarebbe troppo piccola, ossia n(t) ≈ no e A(t) ≈ Ao ; nel secondo il materiale residuo sarebbe troppo poco, ossia n(t) ≈ 0 e A(t) ≈ 0; 2. deve essere possibile appurare quale frazione del nucleo B `e radiogenica (cio`e prodotta da A) e quale `e gi`a presente al momento della formazione del minerale; 3. il radionuclide A non deve essere un elemento troppo raro o contenuto solo in minerali poco diﬀusi. 1

Come ordine di grandezza degli intervalli di tempo in discussione, si tenga presente che la terra si `e formata circa 4.5 · 109 anni fa, come risulter` a nel par. 3.3.

3.2 Datazione delle rocce

71

Fig. 3.1. Nel diagramma sono mostrati i limiti di applicabilit` a dei vari metodi di datazione descritti nel testo. Le zone discontinue delle colonne rappresentano gli intervalli di indeterminazione relativi all’attendibilit` a dell’applicazione dei vari metodi [2]. L’et` a stimabile dipende dalla vita media e dall’abbondanza del radionuclide, che determinano l’attivit` a residua. Il potassio consente misure di et` a ﬁno a circa 4 500 milioni di anni, il rubidio et` a superiori a circa 6 milioni di anni, l’uranio et` a superiori a 10 milioni e il renio et` a superiori a 100 milioni.

I nuclei radioattivi con tempo di dimezzamento molto lungo sono elencati in tab. 2.1 del cap. 2. In base ai precedenti criteri solo 6 di questi nuclei sono utilizzabili per la radiodatazione: 235 U , 238 U , 232 T h (nei cosiddetti “metodi del piombo”) , 87 Rb, 187 Re e 40 K. 115 In e 147 Sm non sono utilizzabili perch´e hanno tempi di dimezzamento troppo lunghi, 138 La e 176 Lu perch´e sono troppo rari. Il 40 K decade in 40 Ca e 40 Ar, ma solo quest’ultimo pu` o essere u abbondante del calutilizzato per misure d’et`a. Il 40 Ca, infatti, `e l’isotopo pi` cio naturale e quindi `e impossibile distinguere tra il 40 Ca radiogenico e quello

72

3 Radiodatazione

gi` a presente nel minerale. Il 187 Re, nonostante sia un elemento scarsamente presente nella maggior parte dei minerali, `e stato utilizzato con successo per la misura di et`a di meteoriti metalliche sulle quali nessuno degli altri metodi pu` o essere applicato. Le et`a valutabili con i vari nuclei sono indicate in ﬁg.3.1. Analizziamo ora alcune situazioni che si possono presentare nello studio di un campione. 1. La roccia contiene un nucleo A (per es. 238 U ) che decade in un nucleo B (per es. 206 P b) con nB (0) = 0. In questo caso tutti i nuclei B presenti nel campione sono radiogenici, per cui dall’eq. (3.3) ricaviamo: n (t) B t = t¯A ln +1 . (3.4) nA (t) La misura diretta delle quantit` a attuali di nuclei A e B ci consente di ricavare l’et`a della roccia. 2. Nella roccia sono presenti gli isotopi stabili B1 e B2 di un elemento B e il nucleo radioattivo A che decade in B1. Le loro quantit` a iniziali sono nA (0), nB1 (0) e nB2 (0). nB1 (0) rappresenta la parte non radiogenica di B1. All’istante t (oggi) i nuclei sono presenti nelle quantit` a: nA (t) = nA (0)e−t/tA ,

(3.5)

¯ nB1 (t) = nA (t) et/tA − 1 + nB1 (0) ,

(3.6)

nB2 (t) = nB2 (0) ,

(3.7)

¯

a nB1 (t), nB1 (t) e nB1 (t) sono misurabili. Nel dove t¯A `e nota e le quantit` secondo membro della (3.6) il primo addendo rappresenta la parte radiogenica di B1 e il secondo la parte non radiogenica. Al ﬁne di ottenere l’et` a della roccia, dividiamo la (3.6) per nB2 (0); tenendo conto della (3.7) si ottiene la relazione n (0) nB1 (t) nA (t) t/t¯A B1 e −1 + = , nB2 (t) nB2 (t) nB2 (0) dalla quale ricaviamo inﬁne il tempo t: ⎧ ⎫ ⎨ nB1 (t) − nB1 (0) ⎬ nB2 (t) nB2 (0) + 1 . t = t¯A ln nA (t) ⎩ ⎭

(3.8)

nB2 (t)

Questa relazione consente di ricavare l’et`a della roccia se `e determinabile il rapporto isotopico al momento della formazione della roccia: k=

nB1 (0) . nB2 (0)

(3.9)

3.2 Datazione delle rocce

73

Questo pu`o essere ottenuto in diversi modi che dipendono dal tipo di roccia e dagli elementi radioattivi in essa contenuti. Nel seguito vengono presentati alcuni esempi. i) Metodo del piombo: si applica a rocce contenenti isotopi dell’uranio (o torio) e del piombo. Il piombo in natura esiste in 4 isotopi stabili con A = 204, 206, 207 e 208. Di essi solo il 204 non `e prodotto per radiogenesi (vedi tab. 3.1) e, in una data roccia, `e presente in quantit` a costante nel tempo; la sua presenza in un minerale ci avverte che una parte del piombo non `e radiogenica. Al momento della formazione della crosta terrestre tutti gli isotopi del piombo sono presenti in una certa proporzione, ma con il passare del tempo i decadimenti di 238 U , 235 U e 232 T h arricchiscono il materiale di isotopi del piombo con A = 206, 207 e 208, con conseguente aumento dei rapporti isotopici 206 P b/204 P b, 207 P b/204 P b e 208 P b/204 P b. Per questo motivo la composizione isotopica del piombo `e in continua evoluzione e presenta diﬀerenti composizioni isotopiche in ere geologiche diverse. In tab. 3.1 vengono riportate le abbondanze isotopiche attuali e quelle al tempo della formazione della terra ricavate dallo studio di meteoriti con contenuto di uranio molto piccolo. Supponiamo, per semplicit` a, che la roccia R1, di cui si vuole determinare l’et` a, contenga solo 238 U ; allora nelle (3.8) e (3.9): A = 238 U , B1 = 206 P b e B2 = 204 P b. Per determinare il rapporto (3.9) si pu` o ricorrere a una roccia coeva R2 contenente piombo ma priva di sorgenti radioattive. Si fa la ragionevole ipotesi che, al momento della sua formazione, R1 abbia incorporato piombo con una composizione isotopica uguale a quella di R2. Poich´e per la roccia R2 il rapporto fra le abbondanze isotopiche `e rimasto costante nel tempo, ossia: nB1 (t) n (0) = B1 = k, nB2 (t) nB2 (0) anche per la roccia R1 possiamo porre nB1 (0) = k. nB2 (0) Noto k, la (3.8) consente di determinare l’et`a della roccia. ii) Metodo del potassio-argon: si applica a rocce contenenti 40 K e il prodotto del suo decadimento 40 Ar. Oltre all’argon di origine radiogenica, in un minerale pu` o essere presente dell’argon di origine atmosferica, rimasto inglobato al momento della sua formazione. L’argon costituisce l’1% circa dell’atmosfera terrestre ed `e composto da tre isotopi stabili in proporzione sostanzialmente costante nel tempo con A = 40(99.6003%), 38(0.0632%) e 36(0.3365%). L’et`a del minerale pu`o essere determinata tramite la (3.8) ponendo A = 40 K, B1 = 40 Ar

74

3 Radiodatazione

Tabella 3.1. Abbondanze isotopiche attuali (%) degli isotopi del piombo e abbondanze relative al 204 P b oggi e all’origine della formazione del sistema solare. 204

oggi oggi t=0

Pb

1.4 1 1

206

Pb

24.1 17.2 4.0

207

Pb

22.1 15.8 4.4

208

Pb

52.4 37.4 12.0

e, per esempio, B2 = 36 Ar e valutando il rapporto (3.9) tenendo conto del fatto che inizialmente `e presente solo 40 Ar atmosferico; pertanto k = 40 Ar 36 Ar ∼ = 99.6%/0.336% ∼ = 296. iii) Metodo del rubidio-stronzio: si applica a rocce contenenti la coppia padreﬁglio costituita da 87 Rb e 87 Sr. Oltre allo stronzio radiogenico, nella roccia pu` o essere inglobato stronzio comune che `e composto da 4 isotopi stabili in proporzione approssimativamente costante nel tempo con A = 84(0.56%), 86(9.86%), 87(7.00%) e 88(82.58%). L’et`a della roccia pu`o essere calcolata tramite la (3.8) pou nendo A = 87 Rb, B1 = 87 Sr e, per esempio, B2 = 88 Sr (che `e il pi` abbondante degli isotopi). Poich´e al momento di formazione della roccia era presente solo stronzio comune, il rapporto espresso dall’eq. (3.9) `e k=

7% n87 Sr (0) = = 0.0847 . n88 Sr (0) 82.58%

iv) Metodo delle rette isocrone: permette di ricavare l’et`a di una roccia anche se non si ha a disposizione una roccia coeva priva di sostanze radioattive (come nel caso i). Supponiamo di avere campioni di diﬀerenti rocce coeve prodotte dal raﬀreddamento dello stesso materiale originario e contenenti isotopi di Rb e Sr. Il rapporto iniziale fra isotopi della stessa specie (87 Sr/86 Sr)o sar`a lo stesso per tutti i campioni, mentre il rapporto fra specie diverse (87 Rb/87 Sr)o pu`o essere diverso per ragioni chimiche. Dato che hanno la stessa et`a, i diversi campioni hanno rapporti attuali (87 Sr/86 Sr)t diversi in conseguenza dei diversi rapporti iniziali (87 Rb/87 Sr)o . Ciononostante, essendo i campioni coevi, i rapporti 87 Rb/87 Sr e 87 Sr/86 Sr di ciascun campione devono soddisfare alla (3.8) con lo stesso valore di t. Posto A = 87 Rb, B1 = 87 Sr e B2 = 86 Sr, da ci`o segue che, per diﬀerenti campioni coevi, deve essere uguale il rapporto n87 Sr (t) n87 Sr (0) n86 Sr (t) − n86 Sr (0) n87 Rb (t) n86 Sr (t)

e quindi

= cos t. = h

(3.10)

3.2 Datazione delle rocce

nA (t) nB1 (0) nB1 (t) =h + . nB2 (t) nB2 (t) nB2 (0)

75

(3.11)

Questa relazione mostra che il rapporto attuale nB1 (t)/nB2 (t) `e funzione lineare del rapporto attuale nA (t)/nB2 (t) e la retta relativa `e detta isocrona.

Fig. 3.2. In ﬁgura `e mostrato un diagramma isocrono. Se i campioni sono coevi i dati si distribuiranno su una retta in cui la pendenza ` e proporzionale all’et` a dei campioni e l’intersezione con l’asse delle ordinate `e il rapporto isotopico all’istante di formazione.

Il valore di h viene ricavato graﬁcamente dai valori sperimentali dei precedenti rapporti relativi a diﬀerenti campioni di roccia (vedere ﬁg.3.2; h `e dato dalla pendenza della retta) e l’et` a `e determinabile tramite la relazione, ottenuta dalla (3.8) e dalla (3.10), t = t¯A ln(h + 1) .

(3.12)

3.2.3 Et` a della terra Consideriamo una roccia in cui sono presenti inizialmente i due nuclei radioattivi 235 U e 238 U , che decadono rispettivamente in 207 P b e 206 P b con vite medie t¯235 e t¯238 . Per la (3.2), si ha ¯ (3.13) n207 P b (t) − n207 P b (0) = n235 U (0) 1 − e−t/t235 , ¯ n206 P b (t) − n206 P b (0) = n238 U (0) 1 − e−t/t238 . Dividendo membro a membro le due equazioni si ottiene ¯ n235 U (0) 1 − e−t/t235 n207 P b (t) − n207 P b (0) . = n206 P b (t) − n206 P b (0) n238 U (0) 1 − e−t/t¯238

(3.14)

(3.15)

In questa relazione compare il rapporto fra le abbondanze degli isotopi dell’uranio al momento della formazione della roccia. Tale rapporto pu` o essere

76

3 Radiodatazione

espresso mediante il rapporto attuale, che risulta essere uguale in tutte le rocce. Infatti, applicando la (3.1) all’ 235 U e all’ 238 U , si ottiene la seguente relazione 0.72% et/t¯235 ∼ 1 et/t¯235 n235 U (0) n235 U (t) et/t¯235 = . = = ¯ n238 U (0) n238 U (t) et/t238 99.27% et/t¯238 138 et/t¯238 Utilizzando la (3.16) nella (3.15) si ottiene ¯ n207 P b (t) − n207 P b (0) ∼ 1 et/t235 − 1 = h . = n206 P b (t) − n206 P b (0) 138 et/t¯238 − 1

(3.16)

(3.17)

Dalla (3.17) otteniamo n207 P b (t) = h n206 P b (t) + [n207 P b (0) − h n206 P b (0)] e, dividendo per n204 P b (t) ≡ n204 P b (0), otteniamo la relazione n206 P b (t) n206 P b (0) n207 P b (t) n207 P b (0) . = h + − h n204 P b (t) n204 P b (t) n204 P b (0) n204 P b (0)

(3.18)

Fig. 3.3. E’ rappresentato un diagramma isoscrono per le meteoriti; la pendenza della retta corrisponde a un’et` a di circa 4 500 − 4 600 milioni di anni. La maggior parte dei campioni provenienti da rocce terrestri e lunari si dispongono approssimativamente lungo la stessa linea. Ci` o suggerisce che tutti gli oggetti appartenenti al Sistema Solare si siano formati all’incirca nello stesso periodo. [3]

Per rocce aventi la stessa et`a t, h ha lo stesso valore. Inoltre, se i rapporti isotopici iniziali del piombo sono uguali nelle varie rocce, la quantit` a entro

3.2 Datazione delle rocce

77

parentesi quadra `e una costante, e la (3.18) mostra che sussiste una relazione lineare fra le abbondanze attuali del 207 P b e del 206 P b nei diﬀerenti minerali. Tale dipendenza `e eﬀettivamente messa in evidenza, almeno in modo approssimato, da misure sulle abbondanze attuali di 207 P b e 206 P b eseguite su rocce terrestri e lunari e su meteoriti, come illustrato in ﬁg. 3.3. I dati sperimentali sono distribuiti lungo una retta avente pendenza h ≈ 0.56, quindi per la (3.17) si ha ¯ 1 et/t235 − 1 ¯ ≈ 0.56 . (3.19) 138 et/t238 − 1 Risolvendo la (3.19) si pu` o ricavare l’et`a t delle rocce appartenenti a differenti corpi del sistema solare; l’equazione pu` o essere risolta numericamente o graﬁcamente e si ricava un’et`a di 4.5 − 4.6 · 109 anni. 3.2.4 Datazione dei coralli L’uranio si trova disciolto nell’acqua marina e viene assimilato dagli organismi marini, in particolare dai coralli, ﬁno al momento della loro morte. Negli organismi viventi la diminuzione di questo elemento dovuta al decadimento radioattivo `e compensata dal continuo assorbimento dato dall’alimentazione. Dopo il decesso, la quantit` a di elemento radioattivo non pu` o che decrescere. Datare un corallo signiﬁca stabilire quanto tempo `e trascorso dalla sua morte a oggi. Poich´e l’et`a dei coralli `e molto pi` u breve della vita media dell’238 U , gli elementi radioattivi che da esso traggono origine non sono in equilibrio secolare con il capostipite e il loro andamento nel tempo `e dato dalla soluzione di un sistema di equazioni diﬀerenziali del tipo introdotto nel par.1.3 del cap.1. Consideriamo la successione di decadimenti 238

U → 234 U → 230 T h → 206 P b ,

dove, rispetto a ﬁg. 2.1 del cap. 2, sono omessi i nuclei intermedi a vita media pi` u breve, che supponiamo decadano “istantaneamente” per ragioni di semplicit`a. Posta la corrispondenza 1 → 238 U,

2 → 234 U,

3 → 230 T h,

l’andamento nel tempo dei tre nuclei `e determinata dalle equazioni dn1 (t) = −A1 (t)dt , dn2 (t) = A1 (t)dt − A2 (t)dt , dn3 (t) = A2 (t)dt − A3 (t)dt . Se supponiamo, per semplicit´ a che alla morte dell’organismo siano presenti U e 234 U , ma non 230 T h (ossia n3 (0) = 0, n1 (0) = 0 e n2 (0) = 0), la soluzione `e espressa dalle equazioni 238

78

3 Radiodatazione

n1 (t) = n1 (0) exp(−λ1 t) , λ1 n1 (0) {exp(−λ1 t) − exp(−λ2 t)} + n2 (0) exp(−λ2 t) , λ2 − λ1 exp(−λ1 t) exp(−λ2 t) exp(−λ3 t) + n3 (t) = λ1 λ2 n1 (0) + + (λ3 − λ1 ) (λ2 − λ1 ) (λ3 − λ2 ) (λ1 − λ2 ) (λ2 − λ3 ) (λ1 − λ3 ) n2 (t) =

+

λ2 n2 (0) [exp(−λ2 t) − exp(−λ3 t)] . λ3 − λ2

Per un’et` a del corallo molto inferiore alla vita media dell’238 U (cio`e per t << 1/λ1 ), come `e nei casi pratici, e per il fatto che λ1 << λ2 e λ1 << λ3 , le equazioni precedenti possono essere approssimate dalle seguenti: n1 (t) ∼ = n1 (0) , n2 (0) n2 (t) ∼ λ1 {1 − exp(−λ2 t)} + exp(−λ2 t) = n1 (t) λ2 n1 (0) n3 (t) ∼ λ1 λ3 1+ [exp(−λ2 t) + exp(−λ3 t)] + = n1 (t) λ3 (λ3 − λ2 ) +

λ2 n2 (0) [exp(−λ2 t) − exp(−λ3 t)] . (λ3 − λ2 ) n1 (0)

Le quantit` a al tempo t (oggi) sono misurabili; pertanto le ultime due equazioni costituiscono un sistema nelle due incognite t e n2 (0)/n1 (0): la loro soluzione fornisce sia l’et`a t del corallo, sia il valore iniziale (al momento della morte) del rapporto n2 (0)/n1 (0). La datazione dei coralli `e interessante anche nell’ambito della datazione con il radiocarbonio illustrata nel successivo paragrafo, in quanto i coralli sono suscettibili di datazione anche con questo metodo.

3.3 Datazione con il

14

C

Una frazione molto piccola dell’anidride carbonica dell’atmosfera terrestre contiene atomi di carbonio con nucleo costituito da 14 C invece del normale 12 C. Il 14 C `e un nucleo radioattivo β secondo la reazione 14 6 C

di

− → 14 ¯ 7 N +β +ν

T1/2 = 5730 ± 40

Eβ = 156.4 keV.

I nuclei di 14 C sono prodotti dall’interazione di neutroni termici con nuclei N secondo la reazione

14

14 7 N

+ n → 14 6 C + p.

3.3 Datazione con il

14

C

79

I neutroni termici sono, a loro volta, prodotti dall’interazione dei raggi cosmici con gli atomi presenti nell’alta atmosfera e dal successivo rallentamento in seguito a collisioni con gli stessi atomi. Attualmente 14 C e 12 C stanno nel rapporto di 1 su 1012 . L’anidride carbonica viene assorbita dalle piante mediante la fotosintesi cloroﬁlliana e quindi assimilata dagli animali attraverso l’alimentazione (vedi ﬁg.3.4), cos`ı che tutti gli organismi, ﬁnch´e sono in vita, hanno nei loro tessuti nuclei di 14 C e di 12 C nelle stesse proporzioni con cui sono presenti nell’atmosfera. Al momento della morte cessa l’assorbimento di carbonio da parte degli organismi e la quantit` a di 14 C diminuisce gradualmente, mentre quella di 12 C rimane costante. Se `e possibile misurare la quantit` a residua di 14 C nei resti di piante e animali, conoscendone il tempo di dimezzamento si pu` o ricavare il tempo trascorso dalla morte, ossia l’et`a del reperto. Questo, qualitativamente, `e il principio su cui si basa il metodo di datazione con il 14 C introdotto nel 1949 da W. F. Libby. Per la legge del decadimento radioattivo (3.1) (vedi anche ﬁg.3.5) si ha N (14 C, t) = N (14 C, 0)e−t/τ

(3.20)

Poich´e τ = T1/2 / ln 2 = 8267 a e il carbonio residuo N (14 C, t) `e misurabile, l’et` a del reperto `e determinabile mediante la relazione t = τ ln

Fig. 3.4. Formazione del viventi.

14

N (14 C, 0) N (14 C, t)

(3.21)

C nell’atmosfera e sua assimilazione negli organismi

80

3 Radiodatazione

Fig. 3.5. Legge del decadimento radioattivo del

14

C.

se `e possibile conoscere la quantit` a N (14 C, 0). Essa `e facilmente determinabile se si assume che si siano veriﬁcate le seguenti condizioni “ideali” (ipotesi di Libby): a) la produzione di 14 C nell’atmosfera e la sua scomparsa per decadimento si equilibrano, cos`ı che l’abbondanza di 14 C nell’atmosfera si `e mantenuta costante nel tempo (il fenomeno `e descritto dall’eq. (1.40) del cap. 1); b) l’abbondanza di

12

C nell’atmosfera `e rimasta costante nel tempo;

c) da a) e b) segue che il rapporto k fra le quantit` a di 14 C e di 12 C nell’atmosfera `e rimasto costante nel tempo; quindi il valore all’istante t = 0 `e uguale al valore osservato oggi. Con queste ipotesi risulta 14 14 N ( C) N ( C, 0) N (14 C, 0) = = k ≈ 1.5 10−12 = 12 12 N ( C, 0) N ( C, 0) atmosf era N (12 C) atmosf era oggi (3.22) e la (3.21) pu` o essere riscritta nel seguente modo:

t = τ ln

N (14 C, 0) N (14 C, 0) N (12 C, 0) N (12 C, t) = τ ln × = τ ln k 14 . (3.23) 14 12 14 N ( C, t) N ( C, 0) N ( C, t) N ( C, t)

Il rapporto N (14 C, t)/N (12 C, t) pu`o essere ricavato mediante due diﬀerenti procedimenti, in uno dei quali viene misurata l’attivit` a relativa (ossia il numero di decadimenti al secondo in rapporto alla quantit` a di 12 C) e nell’altro 14 14 l’abbondanza di C (cio`e la quantit` a di C rapportata a quella di 12 C).

3.3 Datazione con il

14

C

81

Entrambi richiedono che il campione da datare sia preliminarmente depurato da sostanze inquinanti e sia sottoposto a trattamenti chimici per l’estrazione del carbonio sotto forma di graﬁte o di anidride carbonica o di altri composti del carbonio. 1. Misura della radioattivit` a del campione; `e il metodo tradizionale. Come sappiamo, il numero di decadimenti in un intervallo dt `e2 1 14 (3.24) N ( C, t)dt . τ Se la misura `e eﬀettuata, come avviene nei casi pratici, in un intervallo di tempo Δt = t2 − t1 << τ , la quantit` a di 14 C rimane praticamente costante durante la misura e il numero di decadimenti in Δt pu`o essere espresso nella forma −dN (14 C, t) =

1 ΔN (14 C, t) ∼ = N (14 C, t)Δt , τ

(3.25)

da cui si ricava ΔN (14 C, t) τ. (3.26) Δt La misura `e tanto pi` u precisa√quanto pi` u grande `e ΔN , essendo l’errore statistico relativo dato da 1/ ΔN . Un grande valore di ΔN pu`o essere ottenuto o disponendo di una grande quantit` a di materiale o eﬀettuando la misura per un tempo suﬃcientemente lungo. (Valutazioni numeriche sono date nel par. 3.4.1.) Purtroppo, reperti di grande valore archeologico sono spesso disponibili solo in piccoli frammenti. D’altra parte, nel caso di conteggi di lunga durata diventa importante sottrarre correttamente i segnali spuri dovuti alla radiazione di fondo (vedi cap. 2, par. 2.2 e 2.4) che, in casi estremi, possono mascherare completamente i segnali veri. Nei casi pi` u comuni, se un reperto ha pi` u di 37 000 anni circa (corrispondenti a residua del 14 C `e cos`ı ridotta (circa 1/100 di a circa 6.5 T1/2 ), l’attivit` quella originaria) che non `e distinguibile dalla radiazione di fondo e il metodo `e inapplicabile. N (14 C, t) =

2. Radiodatazione con acceleratore e spettroscopia di massa. Con questo metodo il numero di atomi di 14 C presenti nel campione viene misurato direttamente, invece di essere ricavato dalla misura dell’attivit` a. Schematicamente, il metodo contempla la ionizzazione degli atomi di carbonio, la loro accelerazione mediante un acceleratore elettrostatico e inﬁne la separazione e la misura degli ioni di 12 C, 13 C e 14 C con tecniche di spettroscopia di massa (deﬂessione in campi magnetici ed elettrici). Poich´e il 2

L’attivit` a di un grammo di carbonio appartenente a un tessuto organico `e dell’ordine di 16.6 decadimenti al minuto (vedi Appendice 3.4).

82

3 Radiodatazione

numero totale di atomi presenti in un campione `e molto maggiore del numero di decadimenti osservabili in un lasso di tempo ragionevole, questo tipo di radiodatazione consente di ottenere risultati statisticamente pi` u signiﬁcativi che con il metodo tradizionale anche per campioni di massa molto piccola e per et`a superiori ai 37 000 anni (vedere anche l’Appendice 3.4.1). Se le ipotesi a) e b) non sono vere e se il campione non `e rimasto isolato dall’ambiente circostante, come rilevato nel par. 3.1, la (3.23) fornisce un risultato sbagliato. In eﬀetti, il metodo di datazione con il 14 C `e semplice in linea di principio ma nell’applicazione richiede estrema cautela per evitare errori sistematici, che possono essere anche rilevanti. Si devono tener presenti le seguenti diﬃcolt`a: i) Il reperto potrebbe essere costituito da componenti di diﬀerenti et` a e potrebbe aver subito inﬁltrazioni o dispersioni di carbonio. Un’inﬁltrazione spuria di 12 C conduce secondo la (3.23) a un valore erroneamente elevato dell’et` a del reperto; un’inﬁltrazione di 14 C a un valore erroneamente basso. Tecniche soﬁsticate sono state introdotte al ﬁne di eliminare le sostanze contaminanti. ii) Il rapporto fra 14 C e 12 C nell’atmosfera `e sicuramente variato nel tempo, come risulta dalla dendrocronologia che prenderemo in esame pi` u avanti. Ci` o `e dovuto a varie cause, la principale delle quali `e dovuta al fatto che l’intensit` a dei raggi cosmici che penetrano nell’atmosfera `e inﬂuenzata dalle variazioni del campo magnetico terrestre e di quello solare. Inoltre eﬀetti climatici hanno variato le percentuali di anidride carbonica nei diﬀerenti serbatoi in cui essa si accumula (atmosfera, crosta terrestre, biosfera, superﬁcie dei mari, profondit` a marine; quest’ultimo serbatoio `e di gran lunga il pi` u rilevante). Sono state inﬁne accertate variazioni in tempi recenti dovute all’attivit` a umana: per esempio, l’uso di combustibili fossili (carbone, petrolio) ha prodotto un aumento di CO2 povera di 14 C e le esplosioni nucleari in atmosfera hanno portato a un arricchimento di 14 C. Le diﬃcolt`a illustrate hanno suscitato molte perplessit` a sull’accuratezza del metodo di datazione con il 14 C, perplessit`a convalidate dalla forte discrepanza riscontrata, per esempio, fra l’et`a di reperti egiziani stabilita con il metodo stesso e quella stabilita su base storica: oggetti, che storicamente venivano fatti risalire a un periodo compreso fra il 3 000 e il 2 000 a. C., all’analisi u recenti di alcuni secoli. con il 14 C risultarono pi` Un criterio per veriﬁcare in modo sicuro l’accuratezza del metodo e per eliminare, almeno in parte, gli errori sistematici, `e stato fornito dalla dendrocronologia, cio`e dal metodo di determinazione dell’et` a degli alberi basato sul conteggio degli anelli di accrescimento. Lo studio di sequoie giganti e di conifere degli Stati Uniti (fra queste, un esemplare di pinus aristata, che vive nell’Inyo National Forest (California), ha l’et` a accertata di 4 880 anni; forse

3.3 Datazione con il

14

C

83

`e l’albero vivente pi` u antico) ha consentito una cronologia assoluta risalente a 8 600 anni fa. L’et` a degli anelli dedotta dalla loro posizione nei tronchi fu confrontata con quella dedotta dalla presenza di 14 C nel tessuto costitutivo degli anelli stessi. Studi accurati eﬀettuati su alberi originari di vari paesi (anche europei) portarono alla relazione fra le due misure espressa dai graﬁci delle ﬁg. (3.6) e (3.7). Fig. (3.6) mostra l’andamento della datazione con radiocarbonio in funzione di quella con la dendrocronologia; ﬁg. (3.7) mostra l’andamento della diﬀerenza fra la datazione con il 14 C e la datazione con la dendrocronologia in funzione di quest’ultima.

Fig. 3.6. Correlazione fra la datazione con 14 C e la datazione dendrocronologica (datazione reale). Questo diagramma corrisponde a quello di ﬁg. 3.7 per et` a anteriori al 2 000 a. C. Se le date da radiocarbonio coincidessero con quelle della dendrocronologia, i punti di correlazione dovrebbero disporsi lungo la bisettrice AB. Il luogo dei punti che stabilisce la correlazione eﬀettiva fra le date determinate con i due metodi `e dato dalla linea irregolare indicata con a. Le date da radiocarbonio sono sistematicamente pi` u recenti di quelle vere. Per esempio, il punto C si riferisce a una radiodatazione di 2 000 anni e a una datazione reale di circa 2 500 anni: la data con 14 C `e in difetto di 500 anni. I punti D, E e F corrispondono a una sola datazione (t*) con il 14 C e a tre diﬀerenti datazioni reali (ﬁgura rielaborata da [7])

84

3 Radiodatazione

Le due ﬁgure mettono in evidenza le seguenti caratteristiche. i) La diﬀerenza media fra le due datazioni non `e rilevante ﬁno al 1 000 a. C. circa. ii) Prima di questo periodo la diﬀerenza aumenta gradualmente ﬁno a raggiungere 800 anni verso il 5 000 a. C.; le et` a ottenute con il carbonio sono pi` u giovani di quelle reali. iii) La diﬀerenza fra le datazioni con il carbonio e quelle con gli anelli di accrescimento `e caratterizzata da ﬂuttuazioni di breve durata in conseguenza della quali campioni d’et` a dendocronologiche diverse rivelano un’identica et`a in base al 14 C (vedi punti D, E e F in ﬁg. 3.6). Dopo essere state corrette sulla base delle indicazioni delle misure dendrocronologiche, le datazioni con carbonio dei reperti egiziani risultano essere in sostanziale accordo con la cronologia storica.

Fig. 3.7. Diﬀerenza fra l’et` a degli anelli degli alberi stabilita con il radiocarbonio e l’et` a secondo la dendrocronologia in funzione dell’et` a dendrocronologica (et` a vera). [6]

In generale l’operazione di radiodatazione implica una stima dell’et` a con le ipotesi di Libby sulla base della misura del radiocarbonio residuo e di una correzione sulla base di curve di correzione (o calibrazione). A questo proposito si veda la discussione nell’ Appendice 3.4.2. Lo studio di alberi appartenenti a foreste pietriﬁcate ha consentito di estendere la calibrazione mediante la dendrocronologia ﬁno a circa 12 000 anni fa. Lo studio delle sedimentazioni geologiche annuali e dei coralli ha permesso di risalire ﬁno a 50 000 anni. Le sedimentazioni geologiche sono databili sia in base al loro numero, come gli anelli degli alberi, sia mediante il radiocarbonio

3.4 Appendici

85

contenuto nei reperti organici in esse inglobati; i coralli sono databili sia con il radiocarbonio che con l’uranio (vedi par. 3.2.4). Dove sono sovrapponibili, le datazioni fornite dalla dendrocronologia, dai coralli e dalle sedimentazioni geologiche concordano tra loro. Nei casi pi` u favorevoli il radiocarbonio potrebbe consentire datazioni ﬁno a circa 70 000.

3.4 Appendici 3.4.1 Incertezza sulla radiodatazione dipendente dalla statistica In questa Appendice diamo alcune indicazioni di massima sulla dipendenza dell’incertezza sulla datazione dal numero di decadimenti osservati. i) 1 g di carbonio appartenente ai tessuti di un vegetale o di un animale al momento della morte contiene un numero di atomi di 12 C (l’abbondanza di questo isotopo `e del 98.89 %) 1 N (12 C) ∼ × 6 × 1023 = 5 · 1022 , = 12 cos`ı che gli atomi di

14

C sono circa

N (14 C, 0) ≈ 5 · 1022 × 1.5 · 10−12 = 7.5 · 1010 . La corrispondente attivit` a `e dell’ordine di una quindicina di disintegrazioni al minuto: A=

N (14 C, 0) 7.5 · 1010 = = 9.07 · 1010 a−1 = 17.3 m−1 ln 2 T1/2 1.443 × 5730 a

= 0.29 s−1 = 0.29 becquerel 1 g di carbonio `e contenuto in una massa di materia organica molto maggiore, da 25 g a 1 kg, a seconda del materiale. ii) L’et`a t di un reperto `e data dalla relazione t = τ ln

N (14 C, 0) N (14 C, t)

(3.27)

con incertezza statistica σt = τ

σN (14 C,t) . N (14 C, t)

N (14 C, t) pu`o essere misurato direttamente con errore statistico σN (14 C,t) = N (14 C, t),

(3.28)

(3.29)

86

3 Radiodatazione

o pu`o essere ricavato dalla misura della sua attivit` a residua mediante la relazione 14 ∼ τ ΔN ( C, t) N (14 C, t) = τ A(14 C, t) = (3.30) Δt con errore statistico τ ΔN (14 C, t). (3.31) σN (14 C,t) = Δt Inserendo le relazioni (3.29), (3.30) e (3.31) nella (3.28) si ottiene per l’incertezza su t nei due casi σt = τ

1 N (14 C, t)

,

(3.32)

1 . σt = τ ΔN (14 C, t)

(3.33)

Poich´e ΔN (14 C, t) << N (14 C, t), σt >> σt . ii) A titolo d’esempio numerico, consideriamo un reperto organico di et` a uguale alla vita media del 14 C, t = τ = 8268a, e stimiamo l’errore statistico su t in varie condizioni. Sia 1 g la quantit` a di carbonio estratto dal reperto. Se N (14 C, 0) = 7.5 · 1010 `e il numero iniziale di nuclei di 14 C, il numero residuo al tempo τ `e N (14 C, τ ) = N (14 C, 0)/2.72 = 2.75 · 1010 . Supponiamo che la misura dell’attivit` a avvenga in Δt = 35 g ≈ 0.1a, cos`ı che il numero di decadimenti `e Δn(14 C, τ ) = (Δt/τ ) N (14 C, τ ) = 3.33 · 105 << 1010 . L’incertezza su t, a seconda delle modalit`a di misura, risulta essere: 1

σt = τ

= 8286 × √

N (14 C, τ )

1 2.75 · 1010

= 8286 × 6.03 · 10−4 = 5.0 a

1 1 = 8286 × √ = 15.0 a. σt = τ 14 ΔN ( C, τ ) 3.33 · 105 Se la misura dell’attivit` a `e eﬀettuata in un giorno, il numero di decadimenti osservato scende a 9.3 · 103 e l’incertezza statistica sale a 1

σt = τ

ΔN (14 C, τ )

= 8286 × √

1 9.3 103

= 85.7 a.

3.4.2 Esempio di calibrazione della radiodatazione Fig. 3.8 mostra un esempio di curva di calibrazione (o di correzione) della datazione con 14 C mediante la dendrocronologia per reperti con origine dal 1 400 d. C. a oggi. Sull’ordinata `e riportata l’et` a in numero di anni ricavata con il metodo del carbonio; sull’ascissa superiore `e riportata l’et` a in numero di anni secondo la dendrocronologia (l’et` a “vera”) e su quella inferiore l’anno di

3.4 Appendici

87

origine del reperto (in accordo con la dendrocronologia) secondo il calendario ordinario. Per convenzione, fra l’et` a dendrocronologica e l’anno del calendario ordinario sussiste la seguente relazione: (et`a dendrocronologica) = (anno di origine del reperto) −1 950 , che `e valida per reperti che abbiano avuto origine prima del 1 950. Nella ﬁgura la linea centrale rappresenta l’eﬀettiva linea di calibrazione, mentre le due linee collaterali rappresentano l’incertezza sulla linea di calibrazione corri` evidente l’andamento irregolare della spondente a una deviazione standard. E linea di calibrazione i cui eﬀetti sulla datazione sono messi in evidenza pi` u sotto. L’innalzamento della curva attorno al 1955 `e dovuto a un aumento del 14 C nell’atmosfera causato da esplosioni nucleari. La procedura per ricavare

Fig. 3.8. Esempio di curva di calibrazione per la datazione con il metodo del [9]

14

C.

l’et` a “vera” dall’et`a secondo il carbonio `e esempliﬁcata in ﬁg. 3.9, in cui `e proposta una parte della curva di calibrazione di ﬁg. 3.8. L’et`a secondo il carbonio `e di 120 anni con un’incertezza determinata dall’incertezza sulla curva di calibrazione (deducibile da ﬁg. 3.8) e dall’errore di misura sul campione in esame (±20 anni nell’esempio); l’incertezza totale `e di ±21 anni. Si tracciano tre linee orizzontali corrispondenti ai valori dell’ordina-

88

3 Radiodatazione

Fig. 3.9. Esempio di conversione di una et` a secondo il secondo il calendario ordinario. [9]

14

C in intervalli d’et` a

ta di 120 anni e di 120 ± 21 e linee verticali in corrispondenza delle intercette delle linee orizzontali con la curva di calibrazione. Le linee verticali in corrispondenza delle intercette della curva di calibrazione con la linea orizzontale a 120 anni individuano sull’ascissa i possibili valori degli anni del calendario compatibili con l’et` a secondo il carbonio: come si vede, a causa dell’andamento irregolare della curva di calibrazione, ci sono pi` u date possibili, 1696, 1726, 1818, 1859, 1861, 1921. Ognuna `e caratterizzata da un’incertezza determinata dalle intersezioni della curva di calibrazione con le rette orizzontali passanti per 120 ± 21; tenuto conto di questa incertezza gli intervalli di tempo distinti sono 1686 − 1736 1807 − 1886 1911 − 1930 L’origine del reperto pu` o cadere in uno di questi intervalli. Qual `e quello “vero”? La risposta pu`o essere data solo in termini di probabilit` a e ci`o richiede uno studio di non semplice eﬀettuazione, nel quale qui non ci addentriamo. Qualitativamente si pu` o aﬀermare che la probabilit` a `e bassa o zero quando la curva di calibrazione esce dalla striscia limitata dalle linee orizzontali passanti per 120 ± 21. La precedente discussione si potrebbe fare considerando l’incertezza sulla misura con il carbonio uguale a ±2σ, ±3σ, ecc.

Bibliograﬁa

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4 Decadimento γ

4.1 Propriet` a generali del decadimento γ Il decadimento γ `e una reazione del tipo Ai → Af + γ

(4.1)

in cui un nucleo eccitato compie una transizione a un livello eccitato di energia inferiore o al livello fondamentale emettendo un quanto γ di energia elettromagnetica. Il nucleo eccitato pu`o essersi formato per assorbimento di un quanto γ da parte del nucleo nello stato fondamentale o come conseguenza di un decadimento α o β. Un nucleo eccitato pu`o compiere la transizione allo stato fondamentale direttamente emettendo un solo γ, oppure mediante successive transizioni a livelli eccitati sempre pi` u bassi emettendo una cascata di quanti γ. L’emissione di un γ da un livello eccitato pu` o essere in competizione con processi di decadimento α o β. I vari aspetti del decadimento γ sopra descritti e l’interdipendenza con i decadimenti α e β sono illustrati mediante gli esempi di ﬁg. 4.1. Normalmente l’energia dei γ risulta essere nell’intervallo 10 KeV ≤ Eγ ≤ 5 M eV,

(4.2)

a cui corrisponde una lunghezza d’onda λ = hc/hν = hc/Eγ nell’intervallo 10−8 cm ≥ λ ≥ 2 10−11 cm.

(4.3)

L’energia del γ `e determinata dai principi di conservazione dell’impulso e dell’energia applicati alla (4.1); nell’ipotesi di nucleo iniziale in quiete si ha: 0 = p f + pγ ,

(4.4)

Ei ≡ Mi c2 = Ef + Eγ = Mf c2 + Tf + Eγ .

(4.5)

Tenuto conto della (4.4), della relazione

92

4 Decadimento γ

Fig. 4.1. (a) Decadimento γ diretto verso lo stato fondamentale. (b) Cascata di decadimenti γ. (c) Formazione di stati eccitati per decadimento α e β e decadimenti γ in competizione con decadimenti α e β con possibilit` a di cascate di γug Sono indicate le energie dei βg e delle α nelle transizioni fra stati fondamentali.

Eγ = pγ c,

(4.6)

e del fatto che nei casi pratici Eγ << Mf c2 ≈ A 938 M eV , l’energia cinetica del nucleo ﬁnale ha l’espressione

4.1 Propriet` a generali del decadimento γ

93

p2 c2 + Mf2 c4 − Mf c2 = Eγ2 + Mf2 c4 − Mf c2 f E2 E2 = Mf c2 1 + M 2γc4 − Mfc2 ∼ = Mfc2 (1 + 12 M 2γc4 ) − Mfc2 = Tf =

f

(4.7)

f

=

1 2

Eγ2 Mfc2

<< Tγ .

Pertanto nella (4.5) Tf pu`o essere trascurata e, con buona approssimazione, risulta Eγ = Mi c2 − Mf c2 .

(4.8)

Si ha emissione di energia elettromagnetica tutte le volte in cui varia la conﬁgurazione di un sistema di cariche elettriche, di correnti elettriche e di momenti magnetici. Nel caso dei nuclei, la distribuzione della carica e della corrente `e determinata dai protoni e dal loro moto orbitale e quella dei momenti magnetici `e determinata dalla precedente corrente e dai momenti magnetici dei protoni e dei neutroni. Come sar` a descritto nei successivi paragraﬁ, una radiazione elettromagnetica `e esprimibile come sovrapposizione di funzioni ognuna caratterizzata da un momento angolare orbitale L(L + 1), da una parit` a deﬁnita e da una speciﬁca distribuzione angolare. Esistono due specie di radiazione dette radiazione di multipolo elettrico e radiazione di multipolo magnetico. La prima `e prodotta da una variazione della distribuzione di cariche elettriche e di momenti magnetici, la seconda da una variazione della distribuzione di correnti e di momenti magnetici. A parit` a di numero quantico L, la radiazione di multipolo elettrica `e pi` u intensa di quella magnetica. L’intensit` a di entrambe decresce molto rapidamente al crescere di L. Ogni livello nucleare `e caratterizzato dallo spin J, dalla parit` a P e dallo spin isotopico I. Nel decadimento γ spin e parit` a nucleari possono cambiare compatibilmente con la conservazione del momento angolare totale e della parit` a totale; vale a dire, compatibilmente con le seguenti condizioni: Ji = Jf + L ,

|Ji − Jf | ≤ L ≤ |Ji + Jf | , Pi = Pf Pγ .

(4.9) (4.10)

Inoltre, l’esperienza mostra che lo spin isotopico varia con le seguenti restrizioni: Ii − If = 0, ±1 ,

ΔI3 = 0 .

(4.11)

L’invarianza della terza componente I3 rispecchia il fatto che la carica elettrica (il numero Z di protoni) non varia nel decadimento γ. Una descrizione completa dell’emissione e dell’assorbimento della radiazione elettromagnetica da parte di un nucleo pu` o essere fatta solo nell’ambito della teoria quantistica della radiazione. In particolare, la probabilit` a per unit` a di tempo che avvenga la transizione dallo stato iniziale allo stato ﬁnale (in

94

4 Decadimento γ

altre parole, la costante di decadimento λ) `e stimabile nell’ambito della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo mediante la relazione 2 dN 2π ∗ w= Hψ dτ ψ (4.12) i f dE , dove ψf e ψi sono le funzioni d’onda del nucleo nello stato ﬁnale e iniziale, H `e l’hamiltoniana d’interazione tra cariche, correnti e momenti magnetici e il campo elettromagnetico, dN/dE `e la densit`a degli stati ﬁnali. Tuttavia, si possono ottenere utili informazioni anche dallo studio del campo di radiazione classico, come faremo nei successivi paragraﬁ.

4.2 Radiazione di multipolo 4.2.1 Equazioni di Maxwell Consideriamo il campo elettromagnetico nel vuoto emesso da una distribuzione di cariche, di correnti e di momenti magnetici variabili nel tempo conﬁnata entro un certo volume V , che supponiamo posto attorno all’origine di un sistema di coordinate polari (vedi ﬁg.4.2). Posto H = H (r, t), ρ = ρ (r , t) ,

E = E (r, t) ,

J = J (r , t) ,

M = M (r , t) ,

(4.13) (4.14)

le equazioni di Maxwell nel vuoto hanno la forma (nel sistema di Gauss): 1 1 ∂E + 4πJ , c ∂t c

(4.15)

1 ∂M 1 ∂H − 4π , c ∂t c ∂t

(4.16)

rotH = rotE = −

divH = −4π divM ,

(4.17)

divE = 4πρ .

(4.18)

Applicando l’operatore rot alla (4.15) e tenendo conto della (4.16) si ottiene 1 1 ∂2 1 ∂2 (4.19) rot rot + 2 2 H = 4π rotJ − 4π 2 2 M . c ∂t c c ∂t Applicando l’operatore rot alla (4.16) e tenendo conto della (4.15) si ottiene 1 1 ∂2 1 ∂2 (4.20) rot rot + 2 2 E = −4π J − 4π 2 2 rotM . c ∂t c c ∂t

4.2 Radiazione di multipolo

95

Fig. 4.2. Campo elettromagnetico nel punto r generato da cariche, correnti e momenti magnetici contenuti entro un volume V.

Ci proponiamo ora di mettere in evidenza alcune propriet` a del campo elettromagnetico dipendenti sia dalla forma generale delle equazioni di Maxwell sia dalla natura delle sorgenti. A tale scopo `e opportuno premettere alcune considerazioni sul concetto di parit` a. 4.2.2 Parit` a Data una grandezza funzione delle coordinate spaziali f (r ) nel sistema di riferimento O, indichiamo con f (r ) la grandezza che si ottiene eﬀettuando la sostituzione r → −r (che chiamiamo inversione delle coordinate). La sostituzione r → −r viene indicata tramite l’applicazione di un operatore P (detto operatore di parit` a ) tale che P f (r) = f (r) = f (−r) .

(4.21)

L’operatore P inverte le tre componenti di r , ossia produce le trasformazioni x → −x, y → −y,

z → −z

o, in coordinate polari, r → r,

θ → π − θ,

ϕ → ϕ + π.

Se risulta P f (r) = f (−r) = f (r) , la grandezza f `e detta pari ; se risulta P f (r) = f (−r) = −f (r) , `e detta dispari .

96

4 Decadimento γ

L’operazione r → −r pu` o essere eﬀettuata per successive inversioni delle tre componenti di r oppure per inversione di una componente (per esempio y → −y, ﬁg. 4.3b) seguita da una rotazione di 180o attorno alla medesima componente (ﬁg. 4.3c). L’inversione di una sola componente trasforma la grandezza f (x, y, z) nella sua immagine speculare fs (x,−y,z) rispetto al piano perpendicolare alla componente invertita (il piano xz).

Fig. 4.3. Inversione delle coordinate mediante una riﬂessione e una rotazione. a) Vettore reale ( r (x,y,z)). b) Vettore riﬂesso rispetto al piano xz, ( r (x,–y,z)). c) Rotazione di r di 180 o attorno all’asse y; si ottiene il vettore r (−x,−y,−z) che coincide con –r . d) Eﬀetto della rotazione di r attorno all’asse y ( r * (−x, y,−z)).

Va sottolineato che la grandezza speculare non `e ottenibile mediante una u assi coordinati, perch´e una rotazione di 180o del vettore r attorno a uno o pi` rotazione inverte due componenti (vedi ﬁg. 4.3d). L’operazione di inversione di un numero dispari (1 o 3) di componenti non `e riconducibile a una rotazione (inversione di un numero pari di componenti). Le implicazioni del concetto di parit`a saranno riprese e approfondite nel cap.9; qui ci limitiamo a osservare che sono dispari • i vettori posizione r, velocit`a v = dr/dt e impulso p = mv, • il vettore densit` a di corrente J = ρv, • l’operatore gradiente • e l’operatore rotore. Sono pari • le quantit` a indipendenti dalle coordinate spaziali, • il modulo di un vettore • e il prodotto vettoriale di due vettori dispari (quindi il momento angolare orbitale e, per omogeneit`a, lo spin).

4.2 Radiazione di multipolo

97

4.2.3 Parit` a orbitale e parit` a intrinseca Per ragioni di chiarezza di esposizione, l’operatore di parit` a pu`o essere scomposto nel prodotto di due operatori, come mostriamo tramite un esempio. Il campo elettrostatico generato da un dipolo elettrico pu` o essere espresso nel segue modo (nel sistema di Gauss): p·r . r3 Se applichiamo al campo elettrico l’operatore di parit` a P, si ha grad → −grad, r → −r e p → −p e il campo elettrico risulta dispari: E = −grad V = −grad

P E(r) = E(−r) = −E(r). Esprimiamo ora l’operatore P mediante il prodotto di due operatori di parit` a, l’uno (Pin ) agente sulle coordinate della sorgente del campo e l’altro (Po ) agente sulle coordinate delle altre quantit` a mediante le quali `e espresso il vettore E; i due operatori agiscono separatamente nel modo seguente: (−p) · r p·r = grad 3 = −E, r3 r p · (−r) p·r Po E = −(−grad) = −grad 3 = E . r3 r Pin E = −grad

Quindi Po Pin E(r) = −E(r) = P E(r). Pin mette in evidenza le propriet`a del campo elettrico dipendenti dalla sua sorgente e prende il nome di parit` a intrinseca; Po mette in evidenza le sue propriet`a geometriche e prende il nome di parit` a orbitale. Va comunque sottolineato che l’osservabile ﬁsica `e solamente la parit`a totale. 4.2.4 Il campo elettromagnetico nello spazio vuoto Incominciamo con il considerare il campo nei punti dello spazio in cui le sorgenti sono nulle: rot H =

1 ∂E , c ∂t

1 ∂H , c dt 1 ∂2 rot rot + 2 2 H = 0 , c ∂t rot E = −

(4.22) (4.23) (4.24)

98

4 Decadimento γ

1 ∂2 rot rot + 2 2 E = 0 . c ∂t

(4.25)

Il campo elettrico e il campo magnetico sono esprimibili come sovrapposizione di onde monocromatiche tramite il teorema di Fourier: ∞ H = Re H(r, ω)e−iωt dω , (4.26)

0 ∞

E = Re

E(r, ω)e−iωt dω ,

(4.27)

0

dove l’ampiezza dell’armonica di pulsazione ω `e una funzione delle coordinate spaziali e dipende dalle caratteristiche delle sorgenti del campo elettromagnetico. Ciascuna componente armonica deve soddisfare alle equazioni (4.22-4.27); ponendo in queste equazioni H = H(r, ω) e−iωt ,

(4.28)

E = E(r, ω) e−iωt ,

(4.29)

si ottiene il seguente sistema di equazioni nelle quali il tempo t non compare esplicitamente e k = ω/c: ω rot H = −i E ≡ −ikE , c

(4.30)

ω rot E = i H = ikH , c

(4.31)

rot rot H − k 2 H = 0 ,

(4.32)

rot rot E − k 2 E = 0 .

(4.33)

Esse ci consentono di mettere in evidenza pi` u agevolmente alcune propriet` a generali delle soluzioni delle equazioni di Maxwell che dipendono dalla coordinata r . 4.2.5 Parit` a orbitale del campo elettrico e del campo magnetico associati a deﬁnita (speciﬁcamente `e pari) e le soluL’operatore (rot rot − k 2 ) ha parit` zioni delle equazioni (4.30-4.33) possono essere sia pari sia dispari. Indichiamo le due specie nel modo seguente: pari: E+ = E(r) = E(−r) , H+ = H(r) = H(−r) ,

4.2 Radiazione di multipolo

99

dispari: E− = E(r) = −E(−r) , H− = H(r) = −H(−r) . Per la (4.30), se H `e pari, E `e dispari; se H `e dispari, E `e pari. Pertanto campo elettrico e campo magnetico associati hanno parit`a opposta: E− , H+

(4.34)

E+ , H−

(4.35)

La parit` a in discussione `e indipendente dalle sorgenti del campo ed `e, quindi, la parit` a orbitale. 4.2.6 Campi di multipolo Si hanno due diverse soluzioni delle equazioni di Maxwell a seconda che si assuma il campo elettrico come soluzione della (4.33) e il campo magnetico derivato da esso tramite la (4.31), oppure se si assume il campo magnetico come soluzione della (4.32) e il campo elettrico derivato da esso tramite la (4.30). i) Il campo elettrico E soluzione dell’equazione (4.33) pu` o essere espresso come combinazione lineare di campi di multipolo EL,M E=

∞ L

aL,M EL,M ,

(4.36)

L=0 M =−L

dove i coeﬃcienti aL,M dipendono dalle sorgenti della radiazione (vedi par. 4.3) e il vettore EL,M =

1 f (L, M, r)XL, M (θ, ϕ) kr

(4.37)

`e il campo di multiplo di ordine L, M . I fattori che compaiono nella (4.37) sono cos`ı deﬁniti: YL,M (θ, ϕ) XL, M = L (4.38) L(L + 1) sono le armoniche sferiche vettoriali; L = r × p = −ir × grad

(4.39)

YL,M

(4.40)

`e il momento angolare;

100

4 Decadimento γ

sono le funzioni armoniche sferiche1 e f(L,M,r) `e la soluzione dell’equazione 2 d L(L + 1) 2 f (L, M, r) = 0 − + k dr2 r2 con il seguente andamento asintotico: 1 f −→ exp i(kr − πL). r→∞ 2 Le (4.38-4.40) implicano le seguenti propriet` a delle componenti EL,M del campo elettrico: a) EL,M `e autofunzione del quadrato del momento angolare e della sua terza componente: L2 EL,M = L(L + 1)EL,M ,

Lz EL,M = M EL,M ,

con −L ≤ M ≤ L. Vale a dire, la componente EL,M del campo elettrico “trasporta” un momento angolare orbitale L con componente sull’asse z uguale a M . a di YL,M (θ, ϕ), cio`e Po = (−1)L ; b) La parit` a di EL,M `e uguale alla parit` la parit` a Po `e indipendente dalle sorgenti del multipolo e rappresenta la parit` a orbitale; c) Poich´e Y0,0 = costante, E0,0 = 0; ossia non c’`e campo di multipolo con L = 0. d) Poich´e r × grad YL,M (θ, ϕ) `e ortogonale a r, EL,M `e perpendicolare a r; ossia, il vettore EL,M ha componente nulla lungo r. Per la (4.31), il campo magnetico associato a EL,M `e i 1 HL,M = − rot (4.41) f (L, M, r) XL,M (θ, ϕ) . k kr 1

Le armoniche sferiche dei primi ordini sono le seguenti: Y0,0 =

`

1 4π

Y2,0 =

´1 2

`

5 16π

Y1,0 = ´1 ` 2

`

3 cos2 θ − 1

3 4π

´1 2

cos θ

´

Y2,±2 =

¯ Y1,±1 = + ¯ Y2,±1 = +

`

15 32π

´1 2

` 15 ´ 1

sen2 θ e±2iϕ

8π

2

`

3 8π

´1 2

sen θ e±iϕ

senθ cos θ e±iϕ

4.2 Radiazione di multipolo

101

Tenuto conto delle propriet` a dell’operatore rot e di quelle del vettore EL,M , risulta che a) la parit` a orbitale di HL,M `e Po = (−1)L+1 , ossia `e opposta a quella di EL,M , conformemente alle (4.34-4.35), b) H0,0 = 0, c) HL,M ha una componente radiale.2 La coppia di campi di multipolo associati Em L,M =

1 f (L, M, r) X L,M (θ, ϕ) kr

(4.42)

non radiale, Po = (−1)L , i 1 = − (θ, ϕ) Hm rot f (L, M, r) X L,M L,M k kr

(4.43)

radiale, Po = (−1)L+1 prende il nome di campo di multipolo magnetico di ordine L, M . I momenti con L = 1 sono chiamati “di dipolo”; quelli con L = 2, “di quadrupolo”, quelli con L = 3, “di ottupolo”, ecc. ii) In modo simile al caso i), se si considera H come soluzione dell’equazione (4.32) e il campo E ad esso associato in conformit`a alla (4.30), si ottiene la coppia di campi di multipolo associati i 1 (4.44) EeL,M = − rot f (L, M, r) XL,M (θ, ϕ) k kr radiale, Po = (−1)L+1 , HeL,M =

1 f (L, M, r) X L,M (θ, ϕ) kr

(4.45)

non radiale, Po = (−1)L , che prende il nome di campo di multipolo elettrico di ordine L,M . Le propriet` a formali di EeL,M (di HeL,M ) sono uguali a quelle di Hm L,M (di m EL,M ). 2

Il rotore di un vettore in coordinate polari ha » la seguente espressione: – h i ∂ (rAϕ ) ∂Aθ 1 ∂ 1 1 ∂Ar − rot A = r senθ ∂θ (senθ Aθ ) − ∂ϕ ur + r senθ uϑ + ∂ϕ ∂r h i θ) r + 1r ∂(rA − ∂A uϕ ∂r ∂θ Anche se Ar = 0, (rot A)r = 0.

102

4 Decadimento γ

4.2.7 Parit` a intrinseca Consideriamo ora l’equazione (4.20), che mette in relazione il campo elettrico con le sue sorgenti. Se eseguiamo l’inversione delle coordinate della sorgente (r → −r ), la densit`a di corrente J cambia segno e, per l’omogeneit`a dei termini di questa equazione, anche il vettore campo elettrico E deve cambiare segno. Questa propriet` a deﬁnisce la parit`a intrinseca Pi del vettore campo elettrico: diremo che esso `e intrinsecamente dispari (Pi = −1). In modo analogo, dalla (4.19) si deduce che il campo magnetico H non cambia segno per l’ inversione r → −r , perch´e ha le stesse propriet`a di rot J ; diremo che il campo magnetico `e intrinsecamente pari (Pin = +1). 4.2.8 Parit` a totale La parit` a totale `e data dall’eﬀetto combinato delle inversioni di coordinate a orbitale e della parit` a r → −r e r → −r , ossia dal prodotto della parit` intrinseca. Tenendo conto dei risultati dei precedenti paragraﬁ, la parit` a totale P dei campi di multipolo risulta deﬁnita come nella tab. 4.1. Tabella 4.1. Parit` a totale. Pin

Po

P = Pin Po

EeL,M

−1

(−1)L+1

(−1)L

HeL,M

+1

(−1)L

(−1)L

Em L,M

−1

(−1)L

(−1)L+1

Hm L,M

+1

(−1)L+1

(−1)L+1

I vettori campo elettrico e campo magnetico della radiazione di multipolo elettrico hanno le stessa parit`a totale, cos`ı come i due campi della radiazione di multipolo magnetico. In entrambi i casi la parit` a totale coincide con la parit` a orbitale del campo magnetico. 4.2.9 Dipolo di radiazione elettrica e di radiazione magnetica. Chiariamo le precedenti considerazioni formali mediante ﬁg.4.4 relativa ai campi di multipolo elettrico e magnetico generati da un dipolo elettrico e da un dipolo magnetico oscillanti. Nel caso del dipolo elettrico la radiazione `e di multipolo elettrico con L = 1 e la parit` a totale `e (−1)1 ; nel caso del dipolo magnetico, la radiazione `e di multipolo magnetico con L = 1 e la parit` a `e a totale dei campi `e messa in evidenza graﬁcamente in (−1)2 = 1. La parit` ﬁg.4.4 dalla diﬀerente orientazione del campo E reale e del suo speculare e dalla uguale orientazione del campo H reale e del suo speculare.

4.2 Radiazione di multipolo

103

4.2.10 Regole di selezione I principi di conservazione del momento angolare e della parit` a espressi dalle (4.9-4.10) e le propriet` a dei campi di multipolo comportano restrizioni sulla radiazione che pu` o essere emessa nei decadimenti dei nuclei, dette regole di selezione. Per quanto dipende dalla conservazione della parit` a esse sono e e m m riassunte in tab.4.2 dove e sta per (EL,M , ML,M ) e m sta per (EL,M , ML,M ). Per una transizione con variazione dello spin nucleare da Ji a Jf , il numero quantico L pu` o assumere i valori L = |Ji − Jf | , |Ji − Jf | + 1, |Ji − Jf | + 2, ....., |Ji + Jf | . Tenuto conto anche delle restrizioni su L imposte dalla conservazione della parit` a (tab.4.2), i multipoli con minimo valore di L che possono essere emessi sono indicati in tab.4.3. I momenti di multipolo (elettrico e magnetico) del campo di radiazione elettrica sono indicati con eL, dove L `e il pi` u piccolo valore del momento angolare orbitale compatibile con la parit` a indicata e con il valore di |Ji − Jf | indicato; i momenti di multipolo del campo di radiazione magnetica sono indicati con mL. Tabella 4.2. Conservazione della parit` a. Pi , Pf e Pγ sono le parit` a del nucleo iniziale, di quello ﬁnale e del quanto di radiazione emesso nella transizione fra i due nuclei, rispettivamente. Pγ

e

m

P = (−1)L

P = (−1)L+1

Pi = Pf

+1

L =pari

L =dispari

Pi = −Pf

−1

L =dispari

L =pari

m Tabella 4.3. Regole di selezione. e1 sta per (Ee1,M , He1,M ), m1 sta per (Em 1,M , H1,M ), ecc.

|Ji − Jf |

Pγ 0

1

2

3

+1

e2m1

e2m1

e2m3

e4m3

−1

e1m2

e1m2

e3m2

e3m4

104

4 Decadimento γ

Fig. 4.4. Parit` a totale del campo magnetico generato da un dipolo magnetico associato a una corrente circolare oscillante (a sinistra) e del campo elettrico generato da un dipolo elettrico oscillante (a destra). In alto i campi reali e in basso i campi speculari. La corrente speculare ha lo stesso verso della corrente reale rispetto all’asse z; il dipolo speculare `e orientato in verso opposto a quello reale. Pertanto, passando dai sistemi ﬁsici reali, (campo magnetico e spira, campo elettrico e dipolo) a quelli speculari si ha H → H, E → −E. I due sistemi hanno simmetria cilindrica attorno all’asse z e quindi sono invarianti per rotazione di 180o attorno a tale asse.

Chiariamo il signiﬁcato di tab.4.3 considerando alcuni casi particolari. Se si ha una transizione fra due livelli nucleari con Ji = Jf = 1, il momento angolare pu` o valere L = 0, 1, 2, ma la radiazione elettromagnetica non pu` o avere L = 0; quindi il valore minimo del momento angolare `e L = 1; se i due livelli nucleari hanno la stessa parit` a (non importa se +1 o −1), allora Pγ = 1 e, per la tab. 4.2, il quanto pu` o essere un dipolo di radiazione magnetica m1 o un quadrupolo di radiazione elettrica e2. Se Ji = 3 e Jf = 1, allora pu` o essere L = 2, 3, 4. Se Pγ = 1 , per L = 2 pu` o essere emesso un momento di

4.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico

105

quadrupolo di radiazione elettrica e2 o un ottupolo di radiazione magnetica m3. Va sottolineato che non pu` o avvenire emissione γ in transizioni fra stati con Ji = Jf = 0 perch´e in tali casi si ha L=0. Esempi di transizioni fra livelli eccitati nucleari con emissione di diﬀerenti campi di multipolo sono dati in ﬁg.4.5.

Fig. 4.5. Emissione di radiazione di dipolo magnetico (M1) e di quadrupolo elettrico (E2) osservata nel decadimento di livelli eccitati del Np-237 prodotti dal decadimento α dell’242 Am. I numeri situati vicino alle frecce sono le energie dei γ in MeV.

4.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico Generalizzando l’eq. (4.36), un campo elettromagnetico generico pu` o essere sviluppato in termini di multipolo come segue: E=

∞ L

e m aL,M EeL.M + am L,M EL,M , L=1 M =−L

(4.46)

106

4 Decadimento γ

H=

∞ L

e m aL,M HeL.M + am L,M HL,M ,

(4.47)

L=1 M =−L

dove E = E(r, ω) ,

H = H(r, ω)

e le ampiezze aL,M dei multipoli sono determinate dalle sorgenti del campo elettromagnetico. Se le sorgenti sono costituite da distribuzioni di cariche elettriche e di correnti variabili periodicamente nel tempo, ossia: J (r , t) = J(r , ω) Re eiωt , (4.48)

ρ(r , t) = ρ(r , ω) Re eiωt ,

allora si pu` o dimostrare che i coeﬃcienti sono dati dalle seguenti relazioni valide per kd 1, dove d3 `e un piccolo volume contenente tutte le sorgenti3 : 4π aeL,M = − (2L+1)!!

QL,M = am L,M =

L

k L+2 QL,M , (4.49)

∗ rL YL,M (θ, ϕ) ρ(r )dV ,

4π (2L+1)!!

L+1 1/2

ML,M = − r

L+1 1/2 L

k L+2 ML,M , (4.50)

L

(r×J) ∗ YL,M (θ, ϕ) div c(L+1) )dV

.

QL,M `e detto momento di multipolo elettrico; ML,M `e detto momento di multipolo magnetico.4 Se la sorgente `e costituita da una distribuzione di momenti magnetici (o densit`a di magnetizzazione) variabile periodicamente nel tempo, 3 4

Poich´e k = 2π/λ ≤ 5 · 1010 cm−1 (vedi par. 4.1) e d ha le dimensioni del raggio nucleare, d ≈ A1/3 10−13 cm ≤ 6 10−13 cm, risulta kd ≤ 3 10−2 . Ricordiamo che il momento magnetico elementare generato da un elemento d di una spira circolare percorsa dalla corrente i `e dato dalla relazione dm = (1/2) i r × d, dove r `e un vettore che va dal centro della spira all’elemento d. Se la spira ha sezione dS e J `e la densit` a di corrente, si ha anche dm = (1/2) J dS r × d = (1/2) r × J dv , dove dv `e un volume elementare della spira. Dalla precedente relazione si ottiene inﬁne l’intensit` a di magnetizzazione o momento magnetico per unit` a di volume M = dm/dv = (1/2)r × J . che compare nella (4.50).

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica

M (r , t) = M(r , ω) Re eiωt ,

107

(4.51)

nelle (4.49-4.50) le quantit` a QL,M e ML,M vanno sostituite con le seguenti: ik ∗ rL YL,M (θ, ϕ) div(r × M) dV , (4.52) QL,M = − L+1 ∗ ML,M = − rL YL,M (θ, ϕ)divM dV . (4.53)

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica L’energia nell’unit` a di tempo attraverso l’unit` a di superﬁcie nella direzione r (o ﬂusso di potenza) trasportata da un’onda elettromagnetica di pulsazione ω `e data dal modulo del vettore di Poynting che, a grande distanza dalla sorgente, pu`o essere scritto nella forma c 2 c c 2 |E × H | ∼ E cos2 ωt ∼ H cos2 ωt . = = 4π 4π 4π E e H sono espressi dalle (4.28-4.29). Questa quantit` a varia rapidamente nel tempo e dal punto di vista pratico ci` o che ha interesse `e il suo valor medio su un periodo: 1 c 2 ∼1 c 2 S¯ = (4.54) E = H . 2 4π 2 4π Diamo ora alcuni risultati, senza dimostrazione, dell’applicazione della (4.54) alla radiazione di multipolo. Per le (4.42), (4.44), (4.46) e (4.49) e per le (4.43), (4.45), (4.47) e (4.50) l’energia emessa al secondo entro un angolo solido dΩ da una radiazione di multipolo elettrico e da una radiazione di multipolo magnetico `e data dalle seguenti relazioni (limitatamente a sorgenti costituite da cariche e da correnti) S=

2 c ZL,M (θ, ϕ) aeL,M dΩ , 2 2πk 2 c dΩ , ZL,M (θ, ϕ) am Um (L, M ; Ω) dΩ = L,M 2πk 2 Ue (L, M ; Ω) dΩ =

(4.55) (4.56)

dove 2

ZL,M (θ, ϕ) = |XL,M | = + 12 1 −

M (M +1) L(L+1)

!

2

|YL,M +1 | +

1 2

M2 L(L+1)

1−

2

|YL,M | +

M (M −1) L(L+1)

!

(4.57) 2

|YL,M −1 | .

La funzione Z descrive la distribuzione angolare della radiazione di multipolo rispetto a un asse z orientato come lo spin del nucleo; essa `e illustrata graﬁcamente per i casi con L = 1 e 2 in ﬁg.4.6.

108

4 Decadimento γ

Fig. 4.6. Distribuzione angolare dell’intensit` a di alcuni campi di multipolo. Le distribuzioni hanno simmetria cilindrica attorno all’asse z. La dipendenza da θ `e esplicitata nella seguente tabella: |X1,0 |2

` ´ = (3/8π) sen2 θ |X1,±1 |2 = (3/16π) 1 + cos2 θ

|X2,0 |2

= (15/8π) sen2 θ cos2 θ

` ´ |X2,±1 |2 = (5/16π) 1 − 3 cos2 θ + 4 cos4 θ ` ´ |X2,±2 |2 = (5/16π) 1 − cos4 θ

Va sottolineato che tale distribuzione `e osservabile solo se si osserva la diseccitazione di un elevato numero di nuclei e se questi sono polarizzati, cio`e con lo spin orientato in una direzione determinata, per esempio, tramite un campo magnetico esterno. Nel caso di nuclei non polarizzati, la distribuzione osservata `e isotropa. L’energia totale emessa al secondo `e data dall’integrale delle (4.55-4.56) su tutto l’angolo solido: Um (L, M ) =

c m 2 , a 2πk 2 L,M

(4.58)

4.4 Energia della radiazione elettromagnetica

c e 2 . a 2πk 2 L,M

Ue (L, M ) =

109

(4.59)

Finora abbiamo trattato la radiazione elettromagnetica in termini classici, ossia come un fenomeno ondulatorio con emissione continua di energia. Tuttavia, nella diseccitazione dei nuclei la radiazione viene emessa in modo discreto sotto forma di quanti di energia hν ≡ ω ≡ ck. Teniamo conto dell’aspetto quantistico dell’emissione calcolando la probabilit` a di emissione per unit`a di tempo di un quanto γ come rapporto fra l’energia totale espressa dalle (4.58-4.59) e l’energia del γ stesso; tenuto conto delle (4.49-4.50) e di sorgenti costituite anche da momenti magnetici (vedi le (4.52-4.53)), si ha

e = TL,M

e 2 UL,M 8π (L + 1) k 2L+1 = QL,M + QL,M , 2 ω L [(2L + 1)!!]

(4.60)

m TL,M =

e 2 UL,M 8π (L + 1) k 2L+1 . = ML,M + ML,M 2 ω L [(2L + 1)!!]

(4.61)

In questo contesto le distribuzioni angolari date dalle (4.55-4.56) rappresentano le probabilit` a che un quanto γ venga emesso entro un angolo solido dΩ. Mostriamo ora che la probabilit` a di emissione per unit`a di tempo decresce m e /TL,M 1. A questo scopo molto rapidamente al crescere di L e che TL,M facciamo una stima grossolana dell’intensit` a del multipolo elettrico e del multipolo magnetico deﬁniti dalle (4.49-4.50); se nella (4.49) poniamo YL,M ≈ 1 e r ≈ d (vedi par. 4.3), otteniamo ∗ QL,M = rL YL,M (θ, ϕ) ρ(r )dV ≈ dL ρ dV = dL q . (4.62) Se nella (4.50) poniamo YL,M ≈ 1, r ≈ d, div = ∂/∂x + .. ≈ 1/d, otteniamo (r×J) ∗ ML,M = − rL YL,M (θ, ϕ) div c(L+1) )dV 1 ≈ −dL−1 c(L+1) 1 ≈ −dL−1 c(L+1)

√ e

r × J dV

L(L+1) Mn

(4.63)

e ≈ −dL−1 cM . n

dove si `e approssimato l’integrale entro parentesi quadra con un momento magnetico espresso da un magnetone nucleare moltiplicato per il modulo del momento angolare. Tenendo conto delle (4.60-4.61) e delle (4.62-4.63), si vede che le probabilit` a di emissione dipendono da L come

110

4 Decadimento γ e TL,M ∝ (kd)2L ,

(4.64)

m TL,M ∝ (kd)2L d−2 .

(4.65)

Poich´e kd 1, entrambe le probabilit` a decrescono molto rapidamente con L; ci`o signiﬁca che sono in pratica importanti solo le radiazioni di dipolo e di quadrupolo (L = 1, 2). Poich´e 1 < d < 6 f m, per le (4.60), (4.61), (4.64) e (4.65) si ottiene m TL,M e TL,M

≈

=

e cMn d

2

1 (q=e)2

197.3 M eV ·f m 938 M eV · d

=

c

c2 M

2

nd

(4.66) ≈ 0.2 − 0.04 .

Quindi, a parit` a di L, la probabilit` a di emissione di un quanto di radiazione magnetica `e molto minore di quella di un quanto di radiazione elettrica.

Bibliograﬁa

1. J. M. Blatt e V. F. Weisskopf, Theoretical nuclear physics, John Wiley (1952) 2. J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley (1967) 3. K. N. Mukhin, Experimental nuclear physics, Mir Publishers (1987)

5 Decadimento α

5.1 Caratteristiche generali del decadimento α Il decadimento α `e un processo di carattere probabilistico in cui si ha la trasformazione di un nucleo con numero di massa A in uno con numero di massa A − 4 tramite l’emissione di un nucleo di 4 He, detto particella α, secondo la reazione A1 (Z, N ) → A2 (Z − 2, N − 2) + α .

(5.1)

Le caratteristiche essenziali del decadimento α sono l’energia liberata, data dalla diﬀerenza fra l’energia della massa iniziale e quella delle masse ﬁnali: Eα = m1 c2 − (m2 c2 + mα c2 ) , e la costante λ (o la vita media t¯ o il tempo di dimezzamento T1/2 ), che compare nella legge del decadimento radioattivo : nα (t) = nα (0) e−λt . L’energia liberata ha un campo di variabilit` a piuttosto ristretto, 4 M eV < Eα < 9 M eV, mentre il tempo di dimezzamento ha un campo di variabilit` a molto ampio: 10−7 s < T1/2 < 1010 a. Come vedremo nei prossimi paragraﬁ, il decadimento α `e una manifestazione delle interazioni forte ed elettromagnetica, della relativit` a ristretta (in particolare dall’equivalenza massa-energia) e del comportamento ondulatorio delle particelle (tramite l’eﬀetto tunnel); inoltre, esso `e una ricca sorgente di informazioni sulle propriet` a dei nuclei atomici (carica elettrica, dimensioni e struttura; energia, momento angolare, parit` a e isospin dei livelli energetici).

114

5 Decadimento α

Il decadimento α pu`o essere descritto tramite diagrammi a livelli energetici, come quello di ﬁg.5.1. Il livello pi` u basso corrisponde all’energia associata alle masse dei nuclei ﬁnali (di cui uno `e l’4 He); esso, convenzionalmente, viene assunto come valore zero della scala delle energie. Il livello pi` u alto corrisponde all’energia associata alla massa atomica iniziale; esso si discosta dal livello inferiore di una quantit` a uguale all’energia liberata Eα .

Fig. 5.1. Schema a livelli energetici del decadimento α.

5.2 Fenomenologia del decadimento α 5.2.1 Aspetti energetici La trasformazione (5.1) pu` o avvenire fra nuclei iniziali e ﬁnali (o nuclei genitori e nuclei ﬁgli) sia nello stato fondamentale che in stati eccitati. Prendiamo momentaneamente in considerazione i soli stati fondamentali. Supponendo in quiete il nucleo iniziale, il principio di conservazione dell’energia applicato alla (5.1) `e espresso dalla relazione m1 c2 = m2 c2 + mα c2 + T2 + Tα,

(5.2)

dove T indica l’energia cinetica. La (5.2) rappresenta un signiﬁcativo esempio di “trasformazione di massa in energia cinetica”. La reazione (5.1) pu` o accadere se `e soddisfatta la condizione Eα = T2 + Tα = m1 c2 − (m2 c2 + mα c2 ) = (5.3) = (A − 4)B2 + 4Bα − AB1 > 0, dove B indica l’energia di legame per nucleone. Noti i valori delle masse nucleari, l’energia liberata pu` o essere calcolata per tutti i nuclei tramite la (5.3). Prendendo in considerazione solo i nuclei pi` u stabili, Eα in funzione di A ha l’andamento mostrato in ﬁg. 5.2. Facciamo rilevare le seguenti peculiarit` a. Prima di tutto, sono individuabili tre regioni di A:

5.2 Fenomenologia del decadimento α

115

1. Per A < 140 risulta Eα < 0, cos`ı che il decadimento α `e escluso in modo assoluto. 2. Per 140 < A < 210, Eα `e positiva, ma “piccola” (< 3 MeV); il decadimento `e energeticamente possibile, ma ha una probabilit` a per unit` a di tempo di veriﬁcarsi molto piccola, cos`ı che nella maggior parte dei casi non `e osservabile.1 3. Per A > 210, Eα `e relativamente grande (> 3 M eV ) e i decadimenti sono eﬀettivamente osservati. Appartengono a questa regione di A i nuclei delle famiglie radioattive naturali.

Fig. 5.2. Energia liberata in funzione del numero di massa A.

Inoltre l’andamento di Eα `e caratterizzato da due massimi, uno in corrispondenza di A ∼ 145 e l’altro di A ∼ 212. Si constata che il primo corrisponde a decadimenti con nuclei ﬁnali aventi un numero magico di neutroni N = 82 e il secondo a decadimenti con nuclei ﬁnali aventi un numero magico di neutroni N = 126. L’origine di questi picchi risulta chiara dall’esame di ﬁg. 5.3, dove `e dato l’andamento di Eα in funzione di A e di Z per tutti i nuclei con A > 196 e Z > 82. In questa ﬁgura le linee congiungono isotopi. A partire da Z = 89 (Ac), esse hanno un andamento regolare decrescente; vale a dire, per ogni valore di Z, Eα decresce al crescere di A. Risulta anche che, per ogni valore di A, Eα cresce al crescere di Z. 1

Esistono nuclei che decadono α anche nella regione con A < 140, per esempio 8 Be e 9 B, e in quella con 140 < A < 212. In questa seconda regione si hanno due nuclei con tempo di dimezzamento molto grande (162 Gd e 174 Hf , tempo di dimezzamento maggiore di 1014 a) e vari nuclei molto poveri di neutroni (Z ∼ 60 − 80) con vita media molto breve (da decine di secondi a millisecondi).

116

5 Decadimento α

Fig. 5.3. Andamento dell’energia liberata in MeV in funzione di A e di Z dei nuclei emettitori. Sono considerate transizioni tra stati fondamentali. [4]

5.2 Fenomenologia del decadimento α

117

Per Z < 89, le linee degli isotopi non hanno andamento decrescente ma presentano massimi e minimi. Per esempio, Eα `e massima in corrispondenza dei seguenti decadimenti: 212 128 84 P o

→

208 126 82 P b

213 128 85 At

126 → 209 83 Bi

128 214 86 Em

→

210 126 84 P o

215 128 87 F r

126 → 211 85 At

nei quali i nuclei ﬁnali hanno 126 neutroni, ed `e minima in corrispondenza dei seguenti decadimenti: 209 126 83 Bi

→

205 124 81 T l

210 126 84 P o

124 → 206 82 P b

126 211 85 At

→

207 124 83 Bi

212 126 86 Em

124 → 208 84 At

nei quali sono i nuclei iniziali che hanno un numero magico di neutroni. La spiegazione di questo andamento `e la seguente. I nuclei con numero magico di protoni o di neutroni hanno un’energia di legame per nucleone pi` u elevata di quella dei nuclei contigui. Pertanto, se il nucleo ﬁnale `e magico, la diﬀerenza u elevato di quello relativo a (A − 4)B2 − AB1 nella (5.3) ha un valore pi` transizioni fra nuclei non magici ed Eα `e massima. Se, invece, `e magico il nucleo iniziale, la diﬀerenza (A − 4)B2 − AB1 `e minima e la (5.3) fornisce un minimo di Eα . Assumendo in quiete il nucleo iniziale, per la conservazione dell’impulso applicata alla (5.1) si ha (5.4) p2 + pα = 0 . Tenuto conto della relazione non relativistica fra impulso ed energia cinetica (T = p2 /2m), per la (5.3) e la (5.4) si ottiene Tα = Poich´e

m2 Eα . m2 + mα

(5.5)

m2 A−4 196 ≈ ≈ ≈ 0.98 , m2 + mα A 200

risulta Tα ≈ Eα , ossia quasi tutta l’energia liberata si ritrova come energia cinetica della particella α. Se le particelle α sono emesse da nuclei iniziali nello stato fondamentale con formazione di nuclei ﬁnali in stati eccitati con energia d’eccitazione Ei∗ , l’energia liberata presenta uno spettro discreto di valori, detto “struttura ﬁne”: Eαi = Eα − Ei∗ . L’energia massima `e quella emessa nella transizione fra stati fondamentali. Il nucleo ﬁnale eccitato pu`o passare allo stato fondamentale emettendo γ oppure decadere β o α. La probabilit` a di formazione di un particolare livello eccitato dipende dall’energia liberata e dalla parit` a e dal momento angolare

118

5 Decadimento α

dei nuclei iniziale e ﬁnale. Un esempio `e dato dal decadimento del 238 P u in 234 U illustrato in ﬁg. 5.4. Consideriamo ora il caso d’emissione α da parte di un nucleo iniziale che pu` o trovarsi in diﬀerenti stati eccitati. Per ﬁssare le idee, si consideri l’esempio di ﬁg. 5.5, dove gli stati eccitati del 212 P o, che `e un emettitore di α, si formano per decadimento β del 212 Bi. L’energia liberata `e Eαi = Eα + Ei∗ Anche in questo caso lo spettro energetico delle particelle α costituisce un insieme discreto di valori, ma alla transizione fra gli stati fondamentali corrisponde il valore minimo. Le particelle α emesse dai livelli eccitati pi` u elevati sono particolarmente energetiche e sono talvolta chiamate particelle a lungo percorso, perch´e sono in grado di percorrere tragitti pi` u lunghi delle altre nell’attraversare mezzi materiali. La probabilit` a di osservare l’emissione α a un livello eccitato dipende dalla probabilit` a di formazione del livello per decadia che il livello si disecciti per emissione mento β del 212 Bi e dalla probabilit` γ. Emissione α ed emissione γ sono processi fra loro concorrenti e in generale l’emissione γ ha una probabilit` a pi` u elevata di ordini di grandezza. Per questo l’osservazione di particelle a lungo percorso `e praticamente limitata ai decadimenti del 212 P o (vedi ﬁg.5.5) e del 214 P o.

Fig. 5.4. Decadimento α del 238 P u con transizioni dal livello fondamentale del P u a diversi livelli dell’ 234 U . Sono indicate le energie liberate nelle diﬀerenti transizioni e le relative probabilit` a, la parit` a e il momento angolare dei livelli e il tipo di radiazione di diseccitazione.

Poich´e i nuclei pesanti hanno pi` u neutroni che protoni, nel decadimento α i nuclei perdono percentualmente pi` u protoni che neutroni; pertanto il

5.2 Fenomenologia del decadimento α

119

Fig. 5.5. Schema dei livelli eccitati del 212 P o ottenuti per decadimento β del 212 Bi, dei relativi decadimenti α nello stato fondamentale del 208 P b e dei decadimenti γ verso lo stato fondamentale del 212 P o. Sono indicate le energie dei vari livelli, le probabilit` a relative dei decadimenti fra di essi e il tipo di radiazione elettromagnetica emessa nelle transizioni al livello fondamentale e al primo livello eccitato.

decadimento α favorisce la formazione di nuclei ﬁgli con eccesso di neutroni maggiore di quello dei genitori. Per questo motivo spesso i nuclei ﬁgli sono emettitori di β − , come `e messo in evidenza in ﬁg. 5.6. 5.2.2 Vita media Fig. 5.7 mostra l’andamento della vita media misurata in funzione dell’energia cinetica delle particelle α per decadimenti fra nuclei pari-pari negli stati fondamentali (transizioni favorite); la ﬁgura mostra anche la correlazione fra vita media, energia delle particelle α, numero di massa e numero atomico. Le linee continue collegano punti relativi a isotopi. La ﬁgura mette in evidenza quanto segue: a) per una data famiglia di isotopi (Z = costante), sono emesse particelle α con energia cinetica Tα decrescente e vita media t¯ crescente al crescere di A; b) per una famiglia di isobari (A = costante), sono emesse particelle α con Tα crescente e t¯ decrescente al crescere di Z; c) t¯ decresce al crescere di Tα . La correlazione fra A, Z e Tα `e quella gi`a rilevata, con maggiore evidenza, in ﬁg. 5.3.

120

5 Decadimento α

Fig. 5.6. Energia liberata nei successivi decadimenti α e β dei nuclei della famiglia dell’attinio. Ogni parabola corrisponde a una famiglia di isobari. Tutti i nuclei sono instabili per decadimento α. I cerchietti vuoti contraddistinguono nuclei instabili anche per decadimento β − . Modiﬁcato da [1]

5.3 Teoria del decadimento α 5.3.1 La barriera repulsiva coulombiana Consideriamo l’interazione fra una particella α di energia cinetica T e un nucleo pesante, per esempio un isotopo del torio (A = 234, Z = 90). Essa `e descrivibile tramite un potenziale costituito da un termine attrattivo a corto raggio (responsabile dell’interazione forte fra i nucleoni) e da un termine repulsivo coulombiano (vedi ﬁg. 5.8). Per ragioni di semplicit` a, supponiamo che il potenziale abbia simmetria sferica (sia quindi dipendente solo dalla distanza r fra i due nuclei interagenti), che al di sotto di una certa distanza R dipendente dai “raggi” dei nuclei sia rappresentabile mediante una “buca rettangolare” attrattiva e che, per distanze superiori, coincida con il termine coulombiano, ossia

5.3 Teoria del decadimento α

121

Fig. 5.7. Valori misurati del tempo di dimezzamento in funzione dell’energia cinetica delle particelle α per diﬀerenti valori di A e Z. Sono prese in considerazione transizioni fra stati fondamentali di nuclei pari-pari. Le linee collegano isotopi (Z = costante) e sono conformi all’eq. (5.31). Z cresce dal basso all’alto (Po, Z = 84; Fm, Z = 100).[4]

V (r) = Vn (r) + VC (r) Vn (r) = −Vo VC (r) = R = R A + Rα ,

Zze2 r

rR

RA ≈ 1.3 A1/3 f m ,

Rα ≈ 2 f m .

Il potenziale coulombiano ostacola l’avvicinamento dei due nuclei e per questo prende anche il nome di barriera repulsiva; al suo valore massimo B = VC (R) =

Zze2 R

(5.7)

viene dato il nome di altezza della barriera coulombiana. Secondo la meccanica

122

5 Decadimento α

Fig. 5.8. Potenziale d’interazione nucleo-particella α.

classica, se una particella α viene lanciata da distanza (idealmente) inﬁnita con energia cinetica T contro il nucleo, essa si avvicina a quest’ultimo ﬁno alla distanza b determinata dal principio di conservazione dell’energia: T + VC (∞) = VC (b) + T (b) =

Zze2 b

(5.8)

VC (∞) = T (b) = 0 ossia

Zze2 B = R (5.9) T T e poi si riallontana. Se T < B, allora b > R e i due nuclei non possono “toccarsi”; in altre parole, la particella α non pu` o accedere alla regione con r < R. Secondo la meccanica ondulatoria, le cose stanno diversamente. Il moto della particella α `e determinato dall’equazione di Schr¨ odinger e la particella α `e descritta da una funzione d’onda il cui modulo quadro d` a la densit`a di probabilit` a che la particella si trovi a distanza r dal nucleo. Questa probabilit` a `e in generale diversa da zero per qualunque r, quindi anche per r < R, anche se T < B. Una barriera repulsiva agisce sull’onda che descrive la particella α come un mezzo rifrangente posto sul cammino di un’onda luminosa: all’entrata e all’uscita dal mezzo l’onda viene in parte riﬂessa e in parte trasmessa. La particella α ha, pertanto, una certa probabilit` a di attraversare la barriera repulsiva e di penetrare nella regione con r < R. Questo fenomeno prende il nome di “eﬀetto tunnel”. Le modalit`a di attraversamento della barriera coulombiana sono identiche alle precedenti anche per una particella α che si trovi con energia positiva E < B all’interno del volume con r < R. Classicamente tale particella sarebbe “imbottigliata” senza possibilit` a di uscire; invece nell’ambito della meccanica ondulatoria ha una probabilit` a ﬁnita di abbandonare l’interno del volume nucleare. Classicamente il parametro b dato dalla (5.9) rappresenta la distanza dall’origine dove la particella α emerge dalla barriera repulsiva con energia b=

5.3 Teoria del decadimento α

123

cinetica nulla; essa poi si allontana indeﬁnitamente ﬁno a raggiungere l’energia cinetica T = Zze2 /b. In eﬀetti, come descritto nel par.5.2, noi osserviamo che da un certo numero di nuclei vengono emesse particelle α con energia cinetica minore dell’altezza della barriera coulombiana. Per esempio, nel decadimento 238 92 U

→ 234 90 T h + α

viene emessa una particella α con energia T = 4.2 M eV e, per le (5.6) e (5.7), si ha R ≈ 10 f m, B = 4.1 10−5 erg = 26 M eV . Classicamente, tenuto conto della (5.9), la particella α “sbucherebbe” all’esterno della barriera coulombiana alla distanza b = 61.7 f m, molto maggiore di R = 10 f m. 5.3.2 Le particelle α all’interno dei nuclei Le particelle α sono costituite da due protoni e da due neutroni fortemente legati, con un’energia di legame per nucleone di circa 7 M eV , superiore a quella dei nuclei contigui con A = 2, 3, 5 e 6. Un’elevata energia di legame per nucleone caratterizza anche i nuclei leggeri con numero di massa multiplo di 4, come messo in evidenza dall’andamento a cuspidi del diagramma di ﬁg. 5.9. Ci`o induce a pensare che questi nuclei siano costituiti da sottostrutture a particella α interagenti fra loro. Se cos`ı fosse, la diﬀerenza fra l’energia di legame eﬀettiva dei nuclei (BA ) e l’energia ottenuta moltiplicando l’energia di legame di una particella α (Bα ) per il numero di particelle α costituenti il nucleo (uguale a Z/2), Z ΔB = BA − Bα , 2 rappresenterebbe l’energia di legame fra le particelle α stesse. I valori numerici sono riportati in tab. 5.1. Come si vede, l’energia di legame fra le particelle α `e piccola rispetto all’energia di legame totale, ossia le particelle α risultano essere debolmente legate fra loro. Anzi, nel caso del 8 Be la diﬀerenza ΔB `e positiva, il che signiﬁca che le particelle α non sono legate. In eﬀetti, come abbiamo gi`a rilevato, il 8 Be `e instabile e decade in due particelle α liberando un’energia Eα = m(8 Be)c2 − 2mα c2 = 0.092 M eV uguale al valore dell’energia di legame fra particelle α riportato in tab. 5.1. Sottostrutture a particelle α con un debole legame, o l’assenza di legame, con gli altri nucleoni potrebbero formarsi in qualsiasi nucleo.

124

5 Decadimento α

Fig. 5.9. Energia di legame per nucleone in funzione di A. Tabella 5.1. BA = Energia di legame eﬀettiva di un nucleo A(Z,N). (Z/2)Bα = energia di legame calcolata supponendo il nucleo formato da Z/2 particelle α. Le energie sono in MeV. BA

Z Bα 2

ΔB

4 2 He

−28.29

8 4 Be

−56.50

−56.59

0.092

12 6 C

−92.16

−84.89

−7.27

16 8 O

−127.62

−113.18

−14.44

10 20 N e

−160.64

−141.48

−19.17

5.3.3 Trasparenza della barriera coulombiana o essere In quest’ottica, il nucleo di 238 U , gi`a preso ad esempio nel par. 3.1, pu` considerato come costituito da una particella α e un nucleo di 234 T h non legati fra loro, ma ugualmente trattenuti a distanze nucleari dalla barriera repulsiva coulombiana. L’esistenza di sottostrutture, anche con A > 4, all’interno dei nuclei `e ben provata da numerose osservazioni sperimentali e da adeguate interpretazioni teoriche, anche se molti problemi al riguardo sono ancora aperti. Qui ci

5.3 Teoria del decadimento α

125

limitiamo a considerare il decadimento α come un’evidenza dell’esistenza di tali strutture e assumiamo che negli emettitori α la probabilit` a dell’esistenza di sottostrutture α con energia positiva sia uguale a 1. Nel capitolo dedicato ai decadimenti “esotici”, verr` a presentata l’evidenza dell’esistenza di altre sottostrutture. La probabilit` a τ che una particella α attraversi la barriera coulombiana (che, per brevit` a, chiameremo “trasparenza” della barriera) `e un ben noto risultato della meccanica ondulatoria. La sua espressione, nel caso di moto della particella α e del nucleo residuo con momento angolare = 0, `e riportata nel punto c) di questo paragrafo, dopo aver richiamato in forma schematica il procedimento per il suo calcolo. a) Consideriamo prima il caso semplice del moto di una particella di massa m ed energia E (coincidente con la sua energia cinetica T ) nella direzione dell’asse x, lungo il quale `e disposta una barriera repulsiva di forma rettangolare come indicato in ﬁg. 5.10. Supponiamo che sia V > E. La particella `e in moto libero nelle regioni 1 e 3 ed `e soggetta all’azione del potenziale nella regione 2. Il moto `e descritto dall’equazione di Schr¨ odinger monodimensionale d2 u 2m + 2 (E − V )u = 0 dx2 − ∞ < x < 0,

V =0

a
V = Vo

0
(5.10)

La soluzione deve rappresentare nella regione 1 un’onda piana incidente proveniente da sinistra (u1i ) che in x = 0 viene in parte riﬂessa (u1r ) e in parte trasmessa nella regione 2 (u2t ); questa, a sua volta, in x = a viene in parte riﬂessa (u2r ) e in parte trasmessa nella regione 3 (u3 ). Nelle tre regioni le soluzioni hanno la forma u1 = A eikx + Be−ikx

−∞ < x < 0

u2 = C eKx + De−Kx

0
(5.11)

a
ikx

u3 = F e dove

k= K=

(2mE)1/2

=

[2m(Vo −E)]1/2

p

=

(5.12) P

Le ampiezze relative B/A, C/A, ecc. vengono determinate imponendo la continuit` a della funzione d’onda u e della sua derivata prima u = du/dx per x = 0 e x = a: u1 (0) = u2 (0)

u2 (a) = u3 (a)

u1 (0) = u2 (0)

u2 (a) = u3 (a)

(5.13)

126

5 Decadimento α

Fig. 5.10. Barriera di potenziale rettangolare. Sono mostrate le funzioni d’onda nelle regioni 1, 2 e 3.

L’andamento qualitativo dell’autofunzione u(x) `e rappresentato in ﬁg. 5.10. La trasparenza della barriera `e deﬁnita dal rapporto fra i ﬂussi emergente per x = a e incidente per x = 0: 2

τ=

2

2

|u3 | |F | v3 |u3 | = = 2 2 2 , v1 |u1 | |u1 | |A|

(5.14)

dove v1 e v3 sono le velocit`a, uguali fra loro, nelle regioni di moto libero 1 e 3. Tenuto conto delle (5.11) e delle (5.13), risulta ⎧ ⎨ τ=

1+

⎩

1 4

E Vo

1

1−

E Vo

Ka

e

−Ka

−e 2

⎫ 2 ⎬−1 ⎭

.

(5.15)

Si pu`o veriﬁcare che per una barriera molto larga (a → ∞) o per una barriera molto alta (Vo → ∞), la trasparenza tende a zero. Per Ka << 1, che signiﬁca una trasparenza molto piccola, la (5.15) diviene E E τ = 16 1− exp [−2K a] . (5.16) Vo Vo Il fattore che moltiplica l’esponenziale varia debolmente con E; esso tende a 0 per E → 0 e per E → Vo ma si discosta poco dal valore 1/4 per

Fig. 5.11. Barriera di potenziale di forma generica.

5.3 Teoria del decadimento α

127

0.2Vo ≤ E ≤ 0.8Vo . E’, invece, fortemente dipendente da E il termine esponenziale; pertanto, tenuto conto della deﬁnizione di K nelle (5.12), assumiamo per la trasparenza l’espressione approssimata 2 1/2 a . (5.17) τ = exp − (2m (Vo − E)) Questa relazione pu`o essere posta nella forma 2 a (2m (Vo − E)) τ = exp − 0

1/2

dx

che, riscritta nel seguente modo: 2 x2 1/2 (2m (V (x) − E)) dx , τ = exp (−γ) = exp − x1

(5.18)

(5.19)

fornisce la trasparenza nel caso di un potenziale repulsivo V (x) di forma qualsiasi (vedi ﬁg. 5.11). b) Per descrivere l’interazione fra nucleo e particella α, consideriamo il potenziale a simmetria sferica deﬁnito dalla (5.6); la soluzione della corrispondente equazione di Schr¨ odinger in coordinate polari si pu` o scrivere nella forma u (r) Ψ= Θ (ϑ) Φ (ϕ) r con u(r) soluzione dell’equazione ( + 1) 2 1 d2 u 2μ u = 0, + 2 E − V (r) − dr2 2μ r2 (5.20) mα m2 ∼ μ= = mα . mα + m2 μ `e la massa ridotta e il termine in rappresenta un potenziale repulsivo determinato dal momento angolare orbitale del moto relativo (potenziale centrifugo). E rappresenta l’energia liberata Eα . La (5.20) ha la stessa forma della (5.10) e quindi la trasparenza della barriera ha la forma (5.19) con ( + 1) 2 1 . (5.21) V (x) = V (r) + 2μ r2 Con riferimento a ﬁg. 5.8, V (r) `e il potenziale repulsivo coulombiano e i limiti di integrazione nella (5.19) sono x1 = R e x2 = b. c) E’ particolarmente interessante il caso in cui nella (5.21) `e = 0, perch´e l’integrale ha un’espressione analitica e il risultato si applica molto bene ai nuclei pari-pari. Per la (5.19), la trasparenza ha la forma

128

5 Decadimento α

"

1/2

(2μ) τ = exp(−γ) = exp −2

b

R

Zze2 −E r

#

1/2

dr .

Integrando e tenendo conto della (5.7) e della (5.9), si ottiene R E ≡Gf , γ = Gf B b 4Zze2 4Zz = , v 137 v/c 1/2 R 1/2 E ≡ f Rb = arc cos Rb 1− − b f B G=

= arc cos

E 1/2 B

−

E 1/2 1− B

(5.22)

(5.23)

(5.24) R 1/2 b E B

!

1/2 !

= (5.25) .

G `e detto “fattore di Gamow”. Per E << B, la (5.23) diviene γ=

π G. 2

(5.26)

La funzione f (E/B) decresce al crescere di E/B, come `e messo in evidenza anche dall’esempio di tab. 5.2. Alla luce delle considerazioni di questo paragrafo `e agevole interpretare la dipendenza dell’energia E da A e da Z (per A > 214) messa in evidenza da ﬁg. 5.3 e commentata nel par. 5.2.1. Per la (5.25), una particella α viene emessa da un nucleo con una probabilit` a non trascurabile se la sua energia E non `e troppo piccola rispetto all’altezza della barriera repulsiva B. Pi` u alta `e la barriera e maggiore deve essere l’energia. L’altezza della barriera `e B=

Zze2 Zze2 , ≈ R ro A1/3

ossia cresce al crescere di Z e decresce al crescere di A. Quindi ci si aspetta che, in una famiglia di isotopi (Z = costante), E diminuisca al crescere di A e che, in una famiglia di isobari (A = costante), E cresca al crescere di Z, in accordo con ﬁg. 5.3. 5.3.4 Costante di decadimento Come si `e gi`a detto, il decadimento α `e un processo probabilistico caratterizzato da una costante di decadimento λ che misura la probabilit` a per unit` a di tempo che un nucleo emetta una particella α. Ogni transizione da un particolare stato iniziale a un particolare stato ﬁnale si distingue per uno speciﬁco valore di λ. E’ intuitivo che la costante di decadimento debba dipendere dalla trasparenza della barriera coulombiana τ . Determiniamo quindi esplicitamente la dipendenza di λ da τ seguendo una procedura sempliﬁcata.

5.3 Teoria del decadimento α

129

Supponiamo che la particella α sia in moto libero con velocit`a v ∗ all’interno del volume nucleare, che supponiamo sferico di raggio R. La particella si muova lungo un diametro. Ogni volta che incontra la barriera repulsiva ha una probabilit` a τ di attraversarla e un probabilit` a 1 − τ di essere riﬂessa. Dopo n collisioni con la barriera, la probabilit` a che la particella sia ancora all’interno del nucleo `e (5.27) Pn = (1 − τ )n . All’istante t a partire dalla prima collisione il numero totale di collisioni `e n = (v ∗ /2R)t; quindi possiamo riscrivere la (5.27) nella forma v∗

v∗

P (t) = (1 − τ ) 2R t ≡ e 2R ln(1−τ )t .

(5.28)

Per τ 1, ln(1 − τ ) ∼ = τ e la (5.28) diviene P (t) = e− 2R τ t . v∗

(5.29)

Se abbiamo a che fare con un numero iniziale di no nuclei, la (5.29) dice che all’istante t ne sono ancora presenti (cio`e non si sono ancora disintegrati) n (t) = no e− 2R τ t . v∗

(5.30)

Questa espressione ha lo stesso signiﬁcato della legge del decadimento radioattivo e ha anche la stessa forma se si deﬁnisce la costante di decadimento come λ=

1 v∗ −G f ( E ) v∗ −G f ( R ) v∗ v∗ −γ B b . = = = τ= e e e t¯ 2R 2R 2R 2R

(5.31)

La (5.31) mette in relazione λ (o t¯) con l’energia liberata E, con il numero atomico Z e con il numero di massa A (tramite il raggio del nucleo RA = ro A1/3 ). Considerato che la variabilit` a della vita media dipende in modo sostanziale dal rapporto E/B attraverso la funzione f (E/B), come apparir`a evidente dall’esempliﬁcazione numerica di tab. 5.2, la (5.31) unitamente alla (5.25) indica che a parit` a di vita media (a parit` a di trasparenza) i) per A = costante, B cresce con Z, quindi E cresce al crescere di Z; ii) per Z = costante, B decresce con A, quindi E decresce al crescere di A. Questa dipendenza coincide con quella gi` a rilevata a commento di ﬁg. 5.7, che mette anche in evidenza una grande variabilit` a della vita media al variare dell’energia cinetica delle particelle α. Come appare dall’esempio di tab. 5.2 relativo al decadimento 238 92 U

→ 234 90 T h + α

Eα = 4.2 M eV

t¯ = 6.3 109 a

tale variabilit` a dipende essenzialmente dall’esponenziale e−γ nella (5.31). Per i parametri nucleari nelle (5.24), (5.25) e (5.31) sono stati usati i seguenti valori, alcuni dei quali sono stati calcolati nel par. 5.3.1:

130

5 Decadimento α

Tabella 5.2. Vita media calcolata in funzione dell’energia liberata E(M eV ) per il decadimento α dell’238 U . `E´

2R v (10−21 s)

γ

eγ

1.12

147.0

6.8 1063

1.66

3.58 1035

113

0.81

91.6

6.2 1039

1.44

2.85 1011

0.047

111

0.79

87.4

9.1 1037

1.40

4.06 109

0.19

0.052

102

0.72

73.4

7.9 1031

1.29

3.24 103

0.31

0.065

80

0.48

38.3

4.3 1016

1.02

1.39 10−12

E

E B

β

G

3

0.12

0.040

132

4

0.15

0.046

4.2

0.16

5 8

z=2

R = 10f m

f

B

B = 26 M eV Z = 90

t¯(a)

mα c2 = 3727.3 M eV

La velocit`a v ∗ che compare nella (5.31) `e la velocit`a per r < R, quantit` a di valore incerto, determinata dall’energia cinetica T ∗ = E + Vo all’interno del nucleo. Supponendo che essa non sia molto diversa dalla velocit` a v per r > R, poniamo E v∗ v . β= = = 2 c c mα c2 Tab. 5.2 mostra che per una variazione dell’energia E di un fattore 2.6, eγ e t¯ variano di molti ordini di grandezza. Si vede anche che per E = 4.2M eV , la vita media `e dello stesso ordine di grandezza di quella misurata (109 a). Ricordiamo che la (5.31) `e stata ricavata assumendo un potenziale alquanto grossolano per l’interazione nucleo-particella α (vedi la (5.6)); inoltre si `e assunto che i nuclei abbiano simmetria sferica e si `e tenuto conto solo di particelle α emesse con momento angolare orbitale = 0. Nonostante queste limitazioni e sempliﬁcazioni, la (5.31) fornisce un andamento della vita media in funzione dell’energia cinetica delle particelle α, di Z e di A in ottimo accordo con le osservazioni sperimentali relativamente a transizioni fra gli stati fondamentali di nuclei pari-pari. 5.3.5 Eﬀetto della barriera centrifuga Nella (5.20) `e presente il termine centrifugo che, per α = 0 , contribuisce a innalzare la barriera repulsiva, come messo in evidenza in ﬁg. 5.12. Di conseguenza, esso provoca una diminuzione della trasparenza della barriera. Tuttavia la diminuzione non `e molto elevata, cos`ı che in pratica `e possibile osservare l’emissione di particelle α con diﬀerenti valori di α . Per esempio, la probabilit` a di emissione di una particella α con α = 5 da un nucleo pesante diminuisce di un fattore circa 13 rispetto al caso di emissione con α = 0.

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti

131

Fig. 5.12. Eﬀetto congiunto della barriera coulombiana e di quella centrifuga.

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti Oltre che alle restrizioni imposte dai principi di conservazione dell’energia e dell’impulso, il decadimento α `e soggetto a quelle dovute ai principi di conservazione del momento angolare (J ), della parit` a (P ) e dello spin isotopico (I). Quest’ultima restrizione ha origine dall’interazione forte. Poich´e lo spin e lo spin isotopico della particella α sono nulli e la sua parit` a `e +, i predetti principi sono espressi dalle seguenti relazioni (dove gli indici i e f si riferiscono al nucleo iniziale e a quello ﬁnale e α `e il momento angolare orbitale del moto relativo): |Jf − Ji | ≤ α ≤ |Jf + Ji | J i = J f + α

α

Pi = Pf (−1) Ii = If

Se Pi = Pf , α deve essere pari; se Pi = Pf , α deve essere dispari. Se α = 0, nucleo iniziale e nucleo ﬁnale hanno lo stesso spin, la stessa parit` a e lo stesso spin isotopico. E’ il caso dei decadimenti fra stati fondamentali dei nuclei pari-pari di ﬁg. 5.7 ed `e anche il caso trattato nei par. 5.3.3 e 5.3.4. Questi decadimenti sono usualmente chiamati “permessi”, ma `e meglio deﬁnirli “favoriti”. Se si applica l’eq. (5.31) a decadimenti α fra livelli eccitati di nuclei paripari o a decadimenti di altri tipi di nuclei, si ottengono valori della costante di decadimento pi` u piccoli di quelli misurati (o vite medie pi` u grandi) anche di ordini di grandezza. Ci` o dipende dal fatto che questi nuclei sono governati da meccanismi non considerati nella trattazione dei par. 5.3.3 e 5.3.4. Per esempio, nella trattazione svolta si `e assunta uguale a 1 la probabilit` a di formazione della particella α nel nucleo; presumibilmente questa probabilit` a `e minore in nuclei con A dispari. Inoltre si `e considerato un potenziale a simmetria sferica (quindi nuclei a struttura sferica) e non si `e tenuto conto di una possibile dipendenza dell’interazione dallo spin. Per questo motivo questi decadimenti sono usualmente chiamati “proibiti”, ma sarebbe meglio chiamarli “sfavoriti”; anche essi, infatti, pur essendo meno probabili di quelli “favoriti”, avvengono nel rispetto dei vari principi di conservazione. Senza

132

5 Decadimento α

entrare in ulteriori dettagli, illustriamo alcune peculiarit` a dei decadimenti sfavoriti con due esempi. Tabella 5.3. Esempio di decadimento sfavorito: 5/2+ → 5/2− . JP

frequenza

Pi /Pf

α

5/2+ 7/2+ 5/2 7/2 5/2

+

− −

241 95 Am

13%

+1

2, 4, 6

85%

+1

0, 2, 4

0.2%

−1

1, 3, 5

0.4%

−1

1, 3, 5

237 93 N p

Fig. 5.13. Esempio di decadimento sfavorito: J = 1(livello iniziale fondamentale)→ J = 3 (livello ﬁnale fondamentale).

Una caratteristica dei decadimenti favoriti `e l’aumento regolare della costante di decadimento (o la diminuzione della vita media) all’aumentare dell’energia della particella α (vedi ﬁg.5.7); ci` o equivale a dire che la probabilit` a del decadimento aumenta con l’energia. Tab. 5.3 mostra, invece, che nel decadimento

5.4 Decadimenti favoriti e decadimenti sfavoriti 241 95 Am

133

→ 237 93 N p + α

la transizione pi` u probabile non `e quella in cui viene liberata pi` u energia, ma quella fra i livelli energetici con uguale spin e uguale parit` a (= 5/2+ ). Una situazione simile si presenta nel decadimento 212 83 Bi

→ 208 81 T l + α

illustrato in ﬁg. 5.13, in cui la transizione pi` u probabile `e quella fra livelli energetici con lo stesso momento angolare (= 1).

Bibliograﬁa

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6 Nuclei e decadimenti esotici

6.1 Introduzione In questo capitolo verranno illustrati decadimenti peculiari di nuclei radioattivi artiﬁciali e decadimenti non usuali di nuclei radioattivi naturali. Relativamente ai primi, considereremo nuclei con grande eccesso di neutroni o di protoni e nuclei transuranici. Teoricamente, protoni e neutroni possono unirsi per formare nuclei secondo svariatissime combinazioni. Nella realt`a, tuttavia, i nuclei corrispondenti alla maggioranza di queste combinazioni non esistono: se anche si riuscisse nell’intento di crearli, essi decadrebbero troppo rapidamente per permetterne un’osservazione diretta. Come sappiamo, in natura esistono circa 270 nuclei stabili e circa 75 nuclei radioattivi, tra cui quelli appartenenti alle famiglie radioattive dell’ uranio e del torio. Esiste poi un elevato numero di nuclei instabili artiﬁciali, cos`ı che il numero complessivo dei nuclei osservati sperimentalmente `e circa 2 700. Essi sono distribuiti nel piano Z, N come mostrato in ﬁg.1.1 del Cap. 1. I nuclei artiﬁciali sono caratterizzati da un eccesso di protoni o da un eccesso di neutroni rispetto agli isobari stabili corrispondenti o da un elevato numero di massa. I nuclei osservati con eccesso di protoni occupano praticamente tutta la regione del piano Z, N prevista teoricamente per la loro esistenza; invece quelli con eccesso di neutroni occupano solo una parte della regione prevista teoricamente (eccettuata la regione dei nuclei leggeri che `e tutta occupata; vedi ﬁg. 6.1). I nuclei pesanti (con A > 210 ) sono suscettibili di decadimento α e alcuni di essi decadono, con piccola probabilit` a, emettendo anche nuclei leggeri con A > 4. I nuclei vicini alla banda di stabilit` a sono suscettibili di decadimento β; se sono molto lontani dalla banda di stabilit` a, sono suscettibili anche di decadimenti con emissione di protoni e neutroni con varie modalit` a. Nuclei lontani dalla regione di stabilit` a e decadimenti non convenzionali sono detti “esotici”. L’osservazione e la misura dei nuclei esotici presentano notevoli dif-

138

6 Nuclei e decadimenti esotici

Fig. 6.1. Tavola dei nuclei leggeri. Le caselle scure individuano nuclei stabili o radioattivi naturali. Le caselle vuote si riferiscono a nuclei di cui ` e provata la non esistenza. Nuclei con il massimo eccesso di neutroni o di protoni sono al conﬁne della regione dei nuclei possibili.

ﬁcolt` a1 ; altrettanto si deve dire dei decadimenti esotici che in genere hanno 1

Lo studio dei nuclei esotici presenta varie diﬃcolt` a sperimentali sia nella fase di produzione che in quella dell’identiﬁcazione dei prodotti del decadimento. Presentiamo come caso emblematico il 151 u comune per la formazione 71 Lu. Il metodo pi` di un nucleo esotico `e basato sulla fusione di due nuclei con formazione di un nucleo contenente la maggior parte dei nucleoni dei due nuclei iniziali. La fusione ha una certa probabilit` a di veriﬁcarsi nelle collisioni fra nuclei. Nel caso della 52 30 80 formazione del 151 Lu la reazione `e 96 +58 → 151 + p + 2n. Aﬃnch´e 44 Ru 28 N i 71 Lu la fusione avvenga in modo signiﬁcativo, occorre che l’energia di collisione cada in un intervallo piuttosto ristretto. Infatti la fusione ha luogo solo se i due nuclei giungono a una distanza relativa dell’ordine della somma dei loro raggi nucleari, ossia se la loro energia cinetica relativa `e superiore all’altezza della barriera repulsiva coulombiana, che in questo caso `e di circa 162 M eV . D’altra parte la sezione d’urto per la precedente reazione ha un massimo per un’energia dei nuclei del 58 N i uguale a 261 M eV , che corrisponde a un’energia del moto relativo di circa 163 M eV (valore quasi uguale a quello dell’altezza della barriera coulombiana) e decresce per energie superiori. Anche nelle condizioni di sezione d’urto massima, solo una interazione su 1010 d` a luogo alla reazione desiderata. (L’energia del moto relativo E `e legata all’energia nel sistema del laboratorio E dalla relazione E = EM/(M + m), dove m = massa del proiettile e M = massa del bersaglio.)

6.2 Radioattivit` a con emissione di nuclei con A > 4

139

probabilit` a molto piccola rispetto a quelli convenzionali. I decadimenti che considereremo nel seguito possono essere compendiati mediante la reazione (A, Z) → (A1 , Z1 ) + (A2 , Z2 ) con A = A1 +A2 e Z = Z1 +Z2 , dove A1 `e un nucleo di massa molto maggiore di quella di A2 , e A2 `e un nucleo leggero; per esempio: A2 = n, p, ...12 C, ...20 N e, ... Decadimenti di questo tipo possono veriﬁcarsi se `e soddisfatta la condizione energetica: E = MA − MA1 − MA2 = BA1 + BA2 − BA = TA1 + TA2 > 0

(6.1)

Poich´e l’emissione di nuclei con A > 4 presenta caratteristiche diﬀerenti dall’emissione di nucleoni, discutiamo separatamente i due casi.

6.2 Radioattivit` a con emissione di nuclei con A > 4 Questi decadimenti sono, sotto vari aspetti, una generalizzazione del decadimento α e possono essere spiegati con le argomentazioni sviluppate nel cap. 5. In particolare, ad essi possono essere applicate le formule l`a introdotte sostituendo alla massa e alla carica elettrica della particella α quelle dei nuclei leggeri qui considerati. Risulta, tuttavia, che questi decadimenti possono veriﬁcarsi con probabilit` a molto pi` u bassa del decadimento α e ci`o rende diﬃcile la loro osservazione, in quanto i nuclei emettitori di nuclei leggeri sono anche emettitori di particelle α. La probabilit` a di disintegrazione del nucleo A `e determinata dalla probabilit` a che esso assuma la conﬁgurazione di due nuclei A1 e A2 con energia relativa positiva e dalla trasparenza della barriera coulombiana. Mentre `e diﬃcile valutare la probabilit` a P di formazione della coppia A1 , A2 (e non ci occuperemo nel seguito di questo problema), `e immediato comprendere la diversa probabilit` a di emissione delle particelle α e dei nuclei con A > 4 per quanto dipende dalla barriera coulombiana. Consideriamo, per esempio, due possibili decadimenti del nucleo di 232 92 U : 1.

232 92 U

24 → 208 82 P b + 10 N e

2.

232 92 U

→ 228 90 T h + α.

Un’altra diﬃcolt` a `e data dall’identiﬁcazione e dalla separazione dal fondo del nucleo esotico, il quale ha in molti casi una vita media molto breve (inferiore a 1 s). A questo scopo si utilizzano ﬁltri di velocit` a, cio`e una combinazione di campi elettrici e magnetici che separa gli ioni con masse (e quindi velocit` a) diverse.

140

6 Nuclei e decadimenti esotici

La barriera coulombiana `e:

z1 z2 e2 R 1/3 1/3 f m. Per i due modi di decadimento con R ≈ R1 + R2 = 1.3 A1 + A2 l’altezza della barriera coulombiana `e determinata dai seguenti fattori: UC =

1. R ∝ 2081/3 + 241/3 ≈ 8.80 fm

z1 z2 = 82 × 10 = 820;

2. R ∝ 2281/3 + 41/3 ≈ 7.70 fm

z1 z2 = 90 × 2 = 180.

I valori di R sono quasi uguali, ma quelli del prodotto z1 z2 sono molto diversi nei due casi. La barriera coulombiana per emissione di nuclei con A > 4 `e molto pi` u alta e quindi, a parit` a di energia delle particelle emesse, la sua trasparenza `e molto minore. Data la grande barriera coulombiana, perch´e decadimenti con A > 4 siano osservabili, occorre che sia la pi` u elevata possibile l’energia liberata espressa dalla (6.1). Una condizione favorevole `e che il nucleo (A2 , Z2 ) o il nucleo (A1 , Z1 ) (o entrambi) abbiano massa piccola, cosa che si veriﬁca se essi sono magici, ossia con numero di neutroni o di protoni uguali, per esempio, a 2, 8, ...82, 126. Eﬀettivamente, ﬁnora sono stati osservati solo decadimenti esotici con nuclei residui pesanti magici ed emissione di soli nuclei leggeri di carbonio, magnesio, silicio e neon, quali, per esempio: 222 88 Ra

126 → 208 + 14 82 P b 6 C

234 92 U

128 → 210 + 24 82 P b 10 N e

234 92 U

126 → 208 + 26 82 P b 10 N e

234 92 U

126 → 206 + 28 80 Hg 12 M g

238 94 P u

126 → 208 + 30 82 P b 12 M g

238 94 P u

128 → 210 + 28 82 P b 12 M g

241 95 Am

126 → 207 + 34 81 T l 14 Si.

I tempi di dimezzamento misurati sono riportati in ﬁg. 6.2 assieme al rapporto fra la probabilit` a di emissione di un nucleo x e la probabilit` a di emissione di una particella α da parte dello stesso nucleo emettitore. La vita media dei decadimenti esotici `e compresa fra circa 1012 e 1022 a, molto pi` u lunga di quella dei pi` u longevi emettitori α considerati (≈ 1010 a). Corrispondentemente, la probabilit` a di emissione di un nucleo x `e inferiore per un fattore compreso fra 1015 e 1020 ! Se il decadimento con emissione di un nucleo leggero da parte di un campione di n nuclei `e in competizione con il decadimento α, `e evidente che

6.3 Emissione di protoni e neutroni

141

Fig. 6.2. Logaritmo del tempo di dimezzamento in secondi misurato per l’emissione di nuclei leggeri da parte di vari nuclei emettitori (+) e logaritmo del rapporto fra la probabilit` a di emissione di un nucleo x e la probabilit` a di emissione di una particella α da parte dello stesso nucleo emettitore. Si tenga presente che 1 a ≈ 3 · 107 s. Le coppie di valori contrassegnate dal simbolo > rappresentano limiti inferiori. [9]

l’attivit` a del primo processo, A1 = λ1 n, `e molto minore di quella del secondo, Aα = λα n. Inoltre, la costante di decadimento `e determinata sostanzialmente dal decadimento α: λ = λ1 + λα ∼ λα .

6.3 Emissione di protoni e neutroni 6.3.1 Emissione di protoni La condizione energetica per l’emissione di un protone `e data dalla seguente relazione: Ep = M (A, Z) − M (A − 1, Z − 1) − Mp = = B(A − 1, Z − 1) − B(A, Z) = TM + Tp > 0 .

(6.2)

In generale un nucleo in grado di emettere un protone `e suscettibile anche di decadimento β e i due processi sono in competizione. Le costanti di decadimento dei due processi concorrenti (λβ e λp ) contribuiscono alla costante di decadimento totale secondo la relazione

142

6 Nuclei e decadimenti esotici

λtot = λβ + λp ,

(6.3)

da cui si ricava la relazione fra i tempi di dimezzamento 1 1 1 + p . tot = β T1/2 T T1/2 1/2

(6.4)

L’ emissione di protoni pu` o avvenire secondo due modalit` a: (a) dallo stato fondamentale di un nucleo (emissione diretta) e (b) da uno stato eccitato di un nucleo prodotto da un decadimento β (emissione β−ritardata). La possibilit`a di osservare l’emissione diretta dipende dalla vita media di questo decadimento rispetto a quella del decadimento β competitivo, quindi dall’energia del protone. Questa non deve essere n´e troppo bassa (altrimenti il nucleo decade praticamente solo β) n´e troppo alta (in questo caso il nucleo si disintegrerebbe emettendo un nucleone in un tempo troppo breve per rilevarne l’esistenza). Condizioni favorevoli per l’osservazione sono riscontrabili nei nuclei con Z ∼ 50 e Z ∼ 80 dai quali possono essere emessi protoni con energia nei seguenti intervalli: 0.5 < Tp < 1.5 M eV per nuclei con Z ∼ 50 1.0 < Tp < 2.5 M eV per nuclei con Z ∼ 80 I limiti a sinistra e a destra corrispondono a tempi di dimezzamento dell’ordine di 0.1 s e 10−12 s, rispettivamente. Inoltre, condizioni pi` u favorevoli si hanno nei nuclei con A dispari, in quanto l’energia di legame di un nucleone spaiato `e minore di quella di uno accoppiato. L’emissione diretta di protoni fu osservata per la prima volta nel 1982 151 Lu, che ha 24 neutroni in meno dell’isotopo stabile 175 con il nucleo di 71 71 Lu. L’energia dei protoni `e di 1.23 M eV e la vita media `e di 85 ms. Attualmente si conosce una decina di nuclei con emissione diretta di un protone. L’emissione diretta pu`o avvenire solo se fra le energie di legame dei nuclei iniziale e ﬁnale vale la relazione B(Z − 1, N ) − B(Z, N) > 0 ottenuta dalla (6.1) tenendo presente che l’energia di legame del protone libero `e zero. Tuttavia ci sono casi, e sono i pi` u frequenti, in cui la precedente relazione non `e soddisfatta per lo stato fondamentale del nucleo (Z, N ), ma lo `e per uno stato eccitato, ossia B (Z − 1, N ) − B (Z, N ) < 0, B (Z − 1, N ) − B ∗ (Z, N ) > 0. Ci`o `e possibile perch´e l’energia di legame di uno stato eccitato `e minore di quella dello stato fondamentale, cio`e:

6.3 Emissione di protoni e neutroni

143

B ∗ (Z, N ) < B (Z, N ) . Fig. 6.3 mostra uno schema di decadimento in queste condizioni. Il decadimento protonico del nucleo (A,Z − 1) verso il nucleo (A − 1,Z − 2) non `e energeticamente possibile dallo stato fondamentale, ma `e possibile da un livello eccitato. Questo pu`o essere prodotto dal decadimento β + del nucleo (A,Z). Poich´e il protone `e emesso dopo un decadimento β + il decadimento protonico `e detto “β−ritardato”. A basse energie del protone, la probabilit` a di emissione `e molto bassa (a causa della barriera coulombiana) e la diseccitazione del nucleo avviene principalmente per emissione γ. All’aumentare dell’energia del protone, la trasparenza della barriera aumenta e a partire da un certo valore di TP la probabilit` a di emissione di un protone diviene pi` u elevata di quella di emissione di un γ. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta nel 1962; attualmente si conoscono pi` u di 60 isotopi che emettono protoni β−ritardati2 Esaminiamo ora con qualche dettaglio alcuni esempi speciﬁci.

Fig. 6.3. Schema di emissione β−ritardata da livelli eccitati del nucleo A, Z − 1 in competizione con il decadimento β del nucleo A, Z.

6.3.2 Decadimenti del

151

Lu

Come primo esempio, consideriamo gli isobari con A = 151. Fig. 6.4 mostra l’andamento della loro massa nello stato fondamentale, MA = Zmp + N mn − BA , 88 e la pi` u in funzione di Z. Solo un isotopo `e stabile, l’151 63 Eu ; la sua massa ` bassa di tutta la serie (la sua energia di legame `e la pi` u elevata). I nuclei con 2

E’ stata osservata anche l’emissione ritardata di deutoni, per la prima volta nella successione di reazioni: 6 − 6 6 2 4 2 He → β + 3 Li , 3 Li → 1 H + 2 He .

144

6 Nuclei e decadimenti esotici

altre combinazioni di 151 nucleoni hanno masse che aumentano rapidamente con la distanza dal nucleo pi` u stabile. Gli isobari pi` u vicini al nucleo stabile decadono β perch´e `e soddisfatta la condizione energetica Eβ = M (A, Z) − M (A, Z ± 1) − me − Eν = = B(A, Z ± 1) − B(A, Z) ± (mp − mn ) − me − Eν > 0. I due isobari pi` u lontani possono decadere anche emettendo un nucleone

Fig. 6.4. (a) Masse atomiche in M eV per gli isobari con A = 151. Il quadratino 88 nero rappresenta l’unico nucleo stabile, l’151 63 Eu ; i cerchietti neri rappresentano gli isobari instabili osservati; i triangoli rappresentano le masse di nuclei previsti teoricamente ma non osservati. I nuclei con Z ≤ 62 e Z ≥ 64 decadono β − e β + , quelli con Z = 50 e Z = 71 sono emettitori di un neutrone e di un protone, rispettivamente. (b) Nell’inserto sono mostrati 3 modi possibili di decadimento per il 151 71 Lu (nucleo con difetto di neutroni).

perch´e `e soddisfatta anche la condizione energetica

6.3 Emissione di protoni e neutroni

EN = MA − MA−1 − MN = BA−1 − BA = TA−1 + TN > 0

145

(6.5)

In particolare l’inserto di ﬁg. 6.4 mostra i tre modi di decadimento dell’ isobaro 151 80 u ricco di protoni: 71 Lu , il pi` i) decadimento β normale: 151 80 71 Lu

81 → e+ + 151 + ν. 70 Y b

Una delle transizioni mostrate porta direttamente allo stato fondamentale; pi` u spesso accade che il nucleo ﬁglio si trovi in uno stato eccitato. I nuclei si portano successivamente nello stato fondamentale per emissione di raggi γ. ii) emissione di un protone β−ritardata: 151 80 71 Lu

∗

81 → e+ + 151 + ν, 70 Y b

151 81∗ 70 Y b

→ 150 69 T m + p .

Il nucleo iniziale decade β dando origine a un nucleo ﬁglio per il quale `e veriﬁcata la condizione energetica (6.5) che consente la successiva emissione di un protone. iii) emissione diretta di un protone: 151 80 71 Lu

6.3.3 Decadimenti del

21

80 → 150 + p. 70 Y b

Na

e assai instabile e decade per A causa della carenza di neutroni, il 21 11 N a ` emissione β + (τ1/2 = 0.12 sec) formando il nucleo 21 11 N a (vedi ﬁg. 6.5). Nel suo stato fondamentale, anche il 21 11 N a decade secondo lo schema convenzionale dell’emissione β + , tuttavia i nuclei che si formano per decadimento dell’isotopo di magnesio possono trovarsi in stati eccitati. L’energia di eccitazione addizionale `e suﬃciente a rendere il nucleo di 21 11 N a instabile nei confronti dell’emissione di un protone, con generazione dell’isotopo stabile 20 10 N e. Questa sequenza di decadimenti appare allo sperimentatore essenzialmente come un’emissione simultanea di un positrone e di un protone (il neutrino che pure viene emesso non pu` o essere osservato). I protoni che vengono emessi nel decadimento secondario trasportano una maggiore quantit` a di informazione rispetto ai positroni primari. I protoni emessi hanno infatti una energia ben deﬁnita, determinata esclusivamente dal salto energetico tra gli stati nucleari in questione. Nel decadimento β, invece, l’energia disponibile pu` o ripartirsi in tutte le proporzioni fra il positrone e il neutrino. Dallo spettro energetico del protone si possono dedurre gli stati e mostrato in eccitati del nucleo di 21 11 N a. Lo spettro energetico dei protoni ` ﬁg. 6.6. Non tutti i decadimenti β, tuttavia, possono condurre a uno stato suscettibile di decadimento per emissione protonica; negli altri casi si ha un ritorno allo stato fondamentale del 21 11 N a per emissione γ.

146

6 Nuclei e decadimenti esotici

Fig. 6.5. Decadimento protonico β−ritardato del 21 12 M g. Uno dei livelli eccitati del 21 11 N a, denominato “stato analogo”, costituisce un doppietto di spin isotopico con il nucleo iniziale. I due nuclei possono essere pensati come costituiti da un identico nocciolo di 20 nucleoni pi` u un protone e un neutrone, rispettivamente. La transizione β fra questi due stati `e molto favorita. [4]

6.3.4 Emissione protonica da un nucleo isomero Un’ interessante caso di emissione diretta di protoni si ha da un livello eccitato metastabile del nucleo di 53 27 Co (ﬁg. 6.7), osservata per la prima volta nel 1970. Questo nucleo eccitato `e ottenuto tramite la reazione 54 53 m 26 F e(p, 2n)27 Co .

La sua transizione allo stato fondamentale mediante emissione γ `e fortemente impedita dalla diversit` a di momento angolare tra gli stati iniziale e ﬁnale. Questo fatto, unitamente alle particolari condizioni energetiche, consente al nucleo di decadere sia β + che per emissione protonica diretta (1.5% dei casi),

6.3 Emissione di protoni e neutroni

147

Fig. 6.6. Spettro energetico dei protoni emessi conseguentemente al decadimento dei nuclei di 21 u stretti ed elevati a 6.2 e 4.7 M eV sono dovuti 11 N a. I due picchi pi` al decadimento dello stato analogo del 21 11 N a nel livello fondamentale e in un livello eccitato del 21 11 N a. [4]

con un tempo di dimezzamento complessivo di T1/2 = 0.247 s. L’energia dei protoni `e di 1.59 M eV . m `e un Facciamo rilevare che l’emissione di un protone da parte del 53 27 Co tipico esempio di decadimento in cui `e importante la barriera centrifuga, che risulta essere molto pi` u alta di quella coulombiana (vedi ﬁg. 6.8). Infatti il 53 m ha un momento angolare molto elevato (19/2), mentre il nucleo ﬁglio 27 Co e nello stato fondamentale, ha momento angolare nullo. Per la di 52 26 F e, che ` conservazione del momento angolare totale si ha: 19 1 =L+ → L=9 2 2 dove 1/2 `e lo spin del protone e L `e il momento angolare orbitale del sistema costituito dal nucleo ﬁglio e dal protone emesso. Vediamo ora alcune caratteristiche dei due decadimenti concorrenti. Il dee una reazione estremamente favorita, in quanto porta cadimento β + di 53 27 Co ` alla formazione di un nucleo speculare, il 53 26 F e. La sola diﬀerenza tra questi due nuclei `e che il numero di protoni e quello di neutroni risultano scambiati 53 (il 53 27 Co ha 27 protoni e 26 neutroni, mentre il 26 F e ha 26 protoni e 27 neutroni); i due nuclei costituiscono un doppietto di spin isotopico. Il tempo di β = 0.2537 s, valore un dimezzamento calcolato per il solo decadimento β `e T1/2 po’ pi` u grande del tempo di dimezzamento totale misurato (0.247 s). Medianβ tot e da quello calcolato di T1/2 si deduce te la (6.4), dal valore misurato di T1/2 p = 9.3 s. che il tempo di dimezzamento per la sola emissione protonica `e T1/2 Questo valore non pu` o essere spiegato semplicemente come eﬀetto della trasparenza delle due barriere di potenziale eﬃcaci, quella coulombiana e

148

6 Nuclei e decadimenti esotici

Fig. 6.7. Schema di decadimento del nucleo di

53 26 ∗ . 27 Co

quella centrifuga. Infatti, secondo la relazione (vedi cap.5) τ = e−γ 2 γ=

b $

2m

Zze2 2 L (L + 1) − E dr + r 2mr2

(6.6)

R

Zze2 Zze2 , b= , B E il tempo di dimezzamento dipendente dalla sola barriera coulombiana (L = 0) `e solo 10−19 s. Tenendo conto di entrambe le barriere, per L = 9, si ha T1/2 = 6·10−8 s, valore 8 ordini di grandezza pi` u piccolo dei 9.3 s ottenuti con la (6.4). p . Pertanto le sole barriere repulsive non riescono a spiegare l’alto valore di T1/2 Il grande tempo di dimezzamento viene attribuito alla grande diversit` a fra la struttura del nucleo iniziale e di quello ﬁnale, messa in evidenza anche dalla grande diﬀerenza di momento angolare, di cui non si tiene conto nella (6.6). R=

6.3.5 Emissione di neutroni L’emissione diretta di neutroni riguarda nuclei con eccesso di neutroni, che si trovano lontani dalla valle di stabilit` a, ai bordi della regione (N,Z) dei nuclei possibili. Questi nuclei sono costituiti da un nucleo e un neutrone non legati la

6.3 Emissione di protoni e neutroni

149

Fig. 6.8. Confronto fra le barriere coulombiana e centrifuga nel caso dell’emissione 26 ∗ protonica dal 53 . Il valore della barriera complessiva `e di 49 M eV alla superﬁcie 27 Co del nucleo. [4]

cui separazione `e impedita solo dalla barriera centrifuga, essendo il neutrone privo di carica elettrica. Le vite medie sono cos`ı piccole che l’emissione diretta di neutroni non `e mai stata osservata. In assenza della barriera centrifuga, il tempo di permanenza di un neutrone nel nucleo `e dato grossolanamente dal rapporto fra il diametro del nucleo (10−13 − 10−12 cm) e la velocit`a tipica del neutrone (109 cm/s), ossia esso `e dell’ordine di 10−21 − 10−22 s. La barriera centrifuga pu` o aumentare sostanzialmente tale tempo, ma soltanto in casi eccezionali questo `e maggiore di 10−16 secondi. Per questi motivi si pu` o parlare di radioattivit` a neutronica con vita media misurabile solo nel caso di emissione del neutrone β−ritardata. Il e staprocesso di emissione di neutroni β−ritardati `e noto dal 1939 e l’17 7 N ` to il primo nucleo identiﬁcato come emettitore di neutroni β−ritardati (nel 1948). Attualmente si conoscono pi` u di 70 nuclei in grado di emettere neutroni β−ritardati. In ﬁg. 6.9 viene mostrato come esempio di emissione neutronica β−ritardata il decadimento del 83 Li. E’ interessante notare che il decadimento β di

150

6 Nuclei e decadimenti esotici

questo nucleo nello stato fondamentale d` a origine al nucleo di 84 Be che, a sua volta, decade α; questo processo `e un ulteriore esempio di decadimento esotico detto decadimento α β−ritardato.

Fig. 6.9. Il nucleo 83 Li5 emette neutroni β−ritardati.

6.4 I nuclei superpesanti Abbiamo avuto occasione nel par. 5.1 del cap. 5 di mettere in evidenza una correlazione fra le caratteristiche energetiche e le vite medie del decadimento α e i numeri magici di neutroni e protoni. Questa correlazione `e di interesse anche nello studio dei nuclei transuranici superpesanti, la cui formazione `e fortemente ostacolata dalla repulsione coulombiana fra i protoni. Come sappiamo, i nuclei con numeri magici di protoni e di neutroni (Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) hanno un’energia di legame per nucleone pi` u elevata dei nuclei con Z e N prossimi ai valori magici (vedi ﬁg. 5.9 di cap. 5). Un’elevata energia di legame conferisce ai nuclei una elevata stabilit` a. Secondo studi teorici sulla struttura dei nuclei, dovrebbero essere magici anche il numero 114, per quanto riguarda i protoni, e 184, per quanto riguarda i neutroni (vedi ﬁg. 1.1 del cap. 1). Doppiamente magico, e quindi particolarmente stabile, sarebbe il nucleo con Z = 114, N = 184, A = 298 e la regione fra Z = 109 e Z = 115 costituirebbe un’“isola di stabilit` a” (vedi ﬁg. 6.10). In eﬀetti non ci

6.4 I nuclei superpesanti

151

si aspetta che questi nuclei siano stabili in senso stretto, piuttosto che siano pi` u stabili di altri possibili nuclei pesanti situati al di fuori dell’“isola” citata o non caratterizzati da Z = 114 o N = 184. In altre parole, ci si aspetta che i nuclei situati nell’“isola di stabilit` a” abbiano tempi di dimezzamento pi` u lunghi di quelli situati nei dintorni dell’isola.

Fig. 6.10. I cerchietti corrispondono agli isotopi pi` u longevi dell’uranio e dei nuclei transuranici, le crocette ai nuclei dell’isola di stabilit` a dei nuclei ultrapesanti (vedere anche tab. 6.1).# = nucleo doppiamente magico. Nel 1999 `e stata annunciata anche l’osservazione di tre esemplari di un nucleo con Z = 118 ([15]), ma la scoperta ` e stata successivamente smentita ([15]). Nel febbraio 2004 `e stata annunciata anche la scoperta di nuclei con Z = 113 e Z = 115 ([16] [17]).

Nuclei pi` u pesanti dell’Uranio con Z = 93 − 101 sono stati ottenuti bombardando nuclei pesanti con n, p, d e particelle α; nuclei con Z = 102 − 106 sono stati ottenuti bombardando Pt e Cf con nuclei leggeri quali C, B, Ne e O; nuclei con Z > 106 sono stati prodotti bombardando Pb e Bi con nuclei aventi Z > 23. L’osservazione di nuclei ultrapesanti `e sperimentalmente diﬃcile perch´e, in primo luogo, la sezione d’urto per la loro produzione `e molto piccola (se

152

6 Nuclei e decadimenti esotici

paragonata alla sezione d’urto geometrica dei nuclei, che `e dell’ordine di A2/3 10−2 barn); inoltre, essa decresce esponenzialmente all’aumentare di A (vedi ﬁg. 6.11).

Fig. 6.11. Sezione d’urto per la produzione di nuclei pesanti per bombardamento di Pb e Bi con Ca, Ti Cr, Fe Ni e Zn e bombardamento di U, Pu e Cm con Mg e S. [2]

Ricerche sui nuclei superpesanti (Z > 109) sono state eﬀettuate con successo in vari laboratori e hanno portato alla scoperta dei nuclei le cui caratteristiche (Z, N, A, tempo di dimezzamento) sono riportate in tab. 6.1. Come si vede, `e stato osservato anche l’elemento doppiamente magico con Z = 114 e N = 184: `e indicativo della diﬃcolt`a di queste ricerche il fatto che l’esistenza di questo elemento `e stata accertata in base all’osservazione di due soli esemplari! I nuclei ultrapesanti sono identiﬁcati tramite l’osservazione dei decadimenti che li caratterizzano (vedi gli esempi in ﬁg. 6.12). I nuclei di tab. 6.1 con Z < 110 sono i pi` u longevi delle rispettive famiglie di isotopi. La vita media decresce da valori molto elevati (109 a per l’U ) ﬁno ad alcune decine di ms. Addentrandoci nell”’isola di stabilit` a” si trovano nuclei con tempi di dimezzamento pi` u lunghi, per esempio 1.1 m per il nucleo con Z = 110 e N = 171 e 11 m per il nucleo con numero Z = 112 e N = 173. Gli isotopi con Z > 109 non hanno ancora ricevuto una denominazione e vengono indicati con termini che esprimono in latino e greco le cifre decimali che compaiono in Z. Cos`ı il nucleo con Z = 110 `e chiamato un-un-nilium (abbreviato in uun), quello con Z = 111 `e chiamato un-un-un (uuu), quello con Z = 112 `e chiamato un-un-bium (uub), ecc.

6.4 I nuclei superpesanti

153

Tabella 6.1. Nuclei transuranici. Per Z ≤ 109 `e riportato il nucleo pi` u longevo per ogni Z. I valori di Z e N con ∗ sono magici. Per Z ≥ 110 i dati sono presi da [3]. In alcuni casi gli errori sul periodo sono molto grandi, anche del 100%, e i valori riportati indicano semplicemente l’ordine di grandezza. L’elemento Z = 110 `e stato “battezzato” il 2.12.03 con il nome di Darmstadtium o Ds, in onore della citt` a dove `e situato il laboratorio in cui `e stato scoperto nel 1994. L’elemento con Z = 115, di cui sono stati osservati recentemente 4 nuclei, ha un periodo dell’ordine di 90 ms.

Z

N

A

T1/2

Np

93

151

244

2.1 · 106 a

Pu

94

150

244

8.1 · 107 a

Am

95

153

243

7.4 · 103 a

Cm

96

151

247

1.6 · 107 a

Bk

97

150

247

1.4 · 103 a

Cf Es Fm Md No Lr Rf Ha Sg Ns Hs Mt Ds

98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 110 110 110 110 110 110 111 112 112 112 112 112 114 ∗ 114 ∗ 114 ∗ 114 ∗ 114 ∗ 116

153 153 153 157 157 158 157 157 160 160 159 159 157 159 161 162 167 170 171 161 165 169 171 172 173 171 173 174 175 184 ∗ 173

251 252 253 258 259 261 261 262 266 267 267 268 267 269 271 273 277 280 281 272 277 283 285 284 285 285 287 288 289 298 289

9.0 · 102 a 471 g 3g 52 g 58 m 39 m 65 s 34 s 20 s 17 s 60 ms 70 ms 3, 1 μs 170 μs 58 ms 118 ms 3 ms 7, 5 s 1, 1 m 1, 5 ms 240 μs 0, 9 ms 177 s 9, 8 s 11 s 0, 6 s 5, 5 s 1, 8 s 21 s

uuu uub

uuq

uuh

0, 6 ms

154

6 Nuclei e decadimenti esotici

Fig. 6.12. Successione di decadimenti α che hanno consentito il riconoscimento di nuclei con Z = 116 ([13]), Z = 114 (Z magico ([18])) e Z = 112 ([3]). Sono riportate stime della vita media e l’energia liberata; FS indica una trasformazione tramite ﬁssione spontanea; i tre nuclei sono stati ottenuti mediante le seguenti reazioni: 245 244

Cm +48 116 →296 116∗ →296 116

P u +48 Ca →292 114∗ →289 114 + 3n 70

Zn +208 P b →277 112 + n

Bibliograﬁa

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7 Decadimento β

7.1 Caratteristiche generali del decadimento β Il decadimento β `e una trasformazione spontanea fra nuclei isobari che segue la legge statistica dei decadimenti radioattivi n(t) = n0 e−λt .

(7.1)

Esso include i seguenti processi: •

•

•

decadimento β − A(Z, N ) → A(Z + 1, N − 1) + e− + ν ,

(7.2)

A(Z, N ) → A(Z + 1, N − 1) + e+ + ν ,

(7.3)

decadimento β +

cattura elettronica (CE) A(Z, N ) + e− → A(Z + 1, N − 1) + ν .

(7.4)

dove e− `e l’elettrone; e+ `e la sua antiparticella, il positrone; ν e ν sono due particelle prive di carica elettrica chiamate neutrino e antineutrino. Neutrino e antineutrino sono particelle distinte, come sar` a messo in particolare evidenza nel par. 7.3 e nel cap. 9. Nel processo (7.3) un nucleo cattura un elettrone dell’atomo a cui appartiene. La (7.2) e la (7.3) hanno in comune l’emissione di un neutrino. I decadimenti (7.2-7.3) possono coinvolgere anche livelli eccitati dei nuclei, con eﬀetti secondari (emissione di raggi γ, raggi X ed elettroni atomici) che saranno illustrati in Appendice 7.7.5. La (7.2) e la (7.3) sono caratterizzate da una distribuzione energetica degli elettroni (positroni) fra 0 e un valore massimo dipendente dall’energia liberata nel decadimento (ﬁg. 7.1), che varia da 2.6 keV (187 75 Re) a oltre 20 M eV . Il tempo di dimezzamento ha un grande campo di variabilit` a, da ∼ 10−2 s a

158

7 Decadimento β

Fig. 7.1. Esempi di spettro d’impulso e di energia cinetica per i decadimenti β − e β + . L’impulso `e dato in unit` a Br con r raggio di curvatura misurato con lo spettrometro (vedi ﬁg. 7.9 e relativa didascalia). [1]

∼ 1017 a; tuttavia solo tre nuclei hanno un tempo di dimezzamento molto elevato: 115 14 49 In(10

a),

113 15 48 Cd(10

a),

50 23 V

(1017 a)

e un ristretto numero ha un tempo di dimezzamento maggiore di 105 a, mentre la stragrande maggioranza ha tempi di dimezzamento molto pi` u brevi. Il decadimento β `e ricco di implicazioni in diﬀerenti settori della ﬁsica: esso `e una conferma della validit` a della meccanica quantistica e della teoria della relativit` a (molto signiﬁcativa `e l’equivalenza massa-energia); `e una manifestazione di una delle interazioni fondamentali della natura, l’interazione “debole”, i cui fenomeni hanno la peculiarit` a di non essere invarianti per inversione delle coordinate spaziali (non conservazione della parit` a), a diﬀerenza delle interazioni gravitazionale, elettromagnetica e forte; contribuisce alla conoscenza delle particelle elementari, con particolare riguardo ai neutrini; `e una fonte di informazioni sulla struttura dei nuclei atomici; `e fondamentale nei processi ﬁsici sulle stelle e nei meccanismi di nucleogenesi. In questo capitolo verranno esaminate caratteristiche del decadimento β che non implicano la non conservazione della parit` a; quest’ultimo aspetto sar`a studiato nel cap.9.

7.1 Caratteristiche generali del decadimento β

159

Fig. 7.2. Distribuzione dei nuclei stabili in funzione di N e Z. Le frecce orizzontali e verticali sono tracciate in corrispondenza dei nuclei con numero magico di neutroni e/o di protoni. Coppie di isobari stabili si hanno per A > 35; per A = 96, 124, 130 e 136 si hanno tre isobari stabili.

Il decadimento β coinvolge gran parte dei circa 2 700 nuclei osservati sperimentalmente (con Z ≤ 114, N ≤ 165, A ≤ 277, vedi ﬁg.1.1 del cap.1). Infatti, di essi solo circa 263 sono stabili e sono distribuiti nel piano (N , Z) come `e mostrata in ﬁg.7.2, le caratteristiche della quale possono essere spiegate qualitativamente in base alle seguenti considerazioni. La forza nucleare `e pi` u intensa di quella coulombiana, ma a corto raggio (vedi par.7.6), cos`ı che l’energia di legame nucleare cresce linearmente con il numero A di nucleoni. Inoltre, poich´e essa `e mediamente pi` u attrattiva tra un neutrone e un protone che tra coppie di nucleoni identici, in un nucleo stabile il numero di protoni tenderebbe a essere uguale a quello dei neutroni. La forza coulombiana ha raggio d’azione inﬁnito e l’energia corrispondente cresce con il quadrato del numero di protoni; poich´e il numero di protoni `e dell’ordine di A/2, possiamo anche dire che l’energia repulsiva coulombiana

160

7 Decadimento β

cresce grossolanamente con A2 . Pertanto essa `e meno intensa di quella nucleare ma cresce pi` u rapidamente con A; `e relativamente poco importante nei nuclei leggeri, ma rilevante in quelli pesanti. Come risultato si ha che nei nuclei leggeri stabili il numero dei protoni `e uguale a quello dei neutroni, mentre nei nuclei pesanti esso `e minore e la diﬀerenza fra numero di neutroni e numero di protoni (eccesso neutronico) cresce con A. Il numero massimo di protoni aggregabili in nuclei stabili `e 92.

Fig. 7.3. Energia di legame per nucleone di nuclei stabili in funzione di A. I cerchietti si riferiscono a nuclei pari-pari, le croci a nuclei con A dispari; le croci oblique nell’inserto per A < 20 si riferiscono ai quattro nuclei stabili dispari-dispari. Le posizioni dei numeri magici corrispondono a massimi dell’energia di legame. [5]

I nuclei stabili sono ragruppabili in base al numero Z di protoni e N di neutroni come in tab.7.1. I nuclei stabili pari-pari sono pi` u legati dei nuclei pari-dispari e dispari-pari, come `e messo in evidenza in ﬁg.7.3. Il legame `e particolarmente forte nei nuclei con numero magico di neutroni e/o protoni. Tabella 7.1. Nuclei stabili. I nuclei stabili dispari-dispari sono solo 4: 21 H, 63 Li, e 14 7 N.

N pari N dispari

Z pari

Z dispari

pari-pari (pp) 60% pari-dispari (pd) 18%

dispari-pari (dp) 20.5% dispari-dispari (dd) 1.5%

10 5 B

7.1 Caratteristiche generali del decadimento β

161

Fig.7.2 mette anche in evidenza che il numero di isobari stabili per ogni valore di A `e molto limitato: per A dispari c’`e un solo nucleo stabile, per A pari ci sono al massimo 3 nuclei stabili. Questo fatto `e una conseguenza del decadimento β. Consideriamo, infatti, una generica famiglia di isobari con A dispari, il cui isobaro stabile abbia Z protoni e N neutroni. In ﬁg.7.4a `e dato l’andamento della massa in funzione di Z e N per A = 135. I valori delle masse si distribuiscono approssimativamente lungo una linea dall’andamento simile a quello di una parabola. A massa minore corrisponde energia di legame maggiore (in modulo) secondo la relazione1 MA = Zmp + N mn − BA . Gli isobari con N > N (ossia con eccesso di neutroni) si trasformano spontaneamente nell’isobaro (N , Z ) con successive reazioni del tipo (7.2). Isobari con Z > Z (ossia con eccesso di protoni) si trasformano spontaneamente nell’isobaro stabile (N , Z ) con successive trasformazioni del tipo (7.3) e (7.4).

Fig. 7.4. Massa atomica di isobari con A = 135 e con A = 14 (esempio di nucleo stabile dd). La massa di riferimento ` e, nei due casi, quella del 135 Bi e quella dell’14 N .

Consideriamo ora una generica famiglia di isobari con A pari. Essa include nuclei pp e nuclei dd. Come `e noto, l’energia di legame dei nuclei pp `e mediamente pi` u elevata di quella dei nuclei dd (questi sono quasi tutti instabili; 1

Per ragioni di opportunit` a e senza rischi di ambiguit` a, in alcuni casi le energie associate alla massa e all’impulso saranno indicate con mc2 e pc (con m misurata in M eV /c2 e p misurato in M eV /c), in altri saranno indicate semplicemente con m e p (entrambi misurati in M eV ).

162

7 Decadimento β

un’eccezione `e mostrata in ﬁg.7.4b) cos`ı che le masse dei pp si distribuiscono lungo una parabola pi` u bassa di quella lungo la quale si distribuiscono le masse dei nuclei dd, come messo in evidenza negli esempi di ﬁg. 7.5. Anche in questo caso, isobari con eccesso di neutroni decadono β − e isobari con eccesso di protoni decadono β + o per cattura elettronica. In ogni decadimento un nucleo pp si trasforma in un nucleo dd e viceversa. In taluni casi isobari dd possono decadere sia β − sia β + . In certi casi il decadimento da nuclei pp a nuclei dd `e impedito energeticamente. Le diﬀerenti situazioni sono esempliﬁcate in ﬁg. 7.4 e 7.5. Fig.7.5 mette in evidenza la caratteristica dei nuclei con A pari, gi` a menzionata, di possedere anche pi` u di un isotopo stabile per ogni valore di A2 .

Fig. 7.5. Massa atomica di isobari con A pari: due isobari stabili (A = 102) e tre isobari stabili (A = 96).

I nuclei instabili (circa 2 400, vedi ﬁg. 1.1 del cap. 1) sono per la maggior parte prodotti artiﬁcialmente. Di quelli naturali si `e parlato nel cap. 2 (vedi tab. 2.1 e 2.5). 2

L’esistenza di pi` u isotopi stabili `e da mettere in relazione anche con la bassissima probabilit` a della trasformazione fra coppie di nuclei pp secondo la reazione (detta doppio decadimento β) A(Z, N ) → A(Z + 2, N − 2) + 2e− + X. Per esempio, lo Zr in ﬁg.7.5 potrebbe energeticamente trasformarsi in M o, ma la vita media del decadimento `e cos`ı grande (> 1020 a) che tale nucleo `e da considerarsi praticamente stabile. Il doppio decadimento β `e un processo raro che ha un rilevante interesse concettuale e verr` a esaminato in dettaglio nei cap.14 e 15.

7.2 Condizione energetica per il decadimento β

163

Fig. 7.6. (a) Schema dei decadimenti β − e β + e della cattura elettronica per un nucleo generico in termini di masse nucleari (eq. (7.4)). (b) Stesso schema per il 64 Cu. Il processo di cattura elettronica avviene anche con formazione di un livello eccitato. (c) Cattura elettronica nel 7 Be.

7.2 Condizione energetica per il decadimento β Per il principio di conservazione dell’energia applicato alle reazioni (7.2-7.4) valgono le relazioni (vedere nota 1 e Appendice 7.7.1): β−

M (A, Z) = M (A, Z + 1) + TA + me + Te + Eν ,

β+

M (A, Z) = M (A, Z − 1) + TA + me + Te + Eν ,

CE

M (A, Z) + me − Be ∼ = M (A, Z) + me = = M (A, Z − 1) + TA + Eν ,

(7.5)

dove M = massa del nucleo, me = massa dell’elettrone, T = energia cinetica, Eν = energia totale del neutrino (e dell’antineutrino), Be `e l’energia di legame dell’elettrone nell’atomo, che `e trascurabile rispetto alle altre energie in gioco. Le reazioni (7.2-7.4) sono possibili se `e positiva l’energia liberata cos`ı deﬁnita: β−

Qβ − = M (A, Z) − M (A, Z + 1) − me = = TA + Te + Eν > 0 ,

β+

Qβ + = M (A, Z) − M (A, Z − 1) − me = = TA + Te + Eν > 0 ,

CE

QCE = M (A, Z) − M (A, Z − 1) + me = = Qβ + + 2me = TA + Eν > 0 .

(7.6)

164

7 Decadimento β

Nel seguito l’energia liberata sar`a indicata genericamente con Qo . Valori dell’energia liberata sono riportati in tab. 7.4 dell’Appendice 7.7.5. Poich´e QCE = Qβ+ + 2me , un nucleo che decade β + (Qβ + > 0), decade anche per cattura elettronica; come esempio consideriamo il decadimento di un isotopo del rame (per il quale `e soddisfatta anche la prima delle (7.6), cos`ı che `e suscettibile di tre tipi di trasformazione; vedi ﬁg.7.6 e 7.7): 64 29 Cu

β + 20% 64 −→ 28 N i CE 40% 64 −→ 28 N i β − 40% 64 −→ 30 Zn

Se QCE > 0 e Qβ + < 0 il nucleo decade solo per cattura elettronica; esempio (vedi ﬁg. 7.6 e 7.7): 7 −→ 73 Li. 4 Be CE 100%

Il neutrone libero decade β

−

secondo la reazione

n → p + e− + ν ,

(7.7)

che `e energeticamente possibile perch´e la massa del neutrone `e maggiore di quella del protone e Qβ− = mn − mp − me = 782 keV > 0. Il protone libero `e, invece, una particella stabile perch´e non `e suscettibile della reazione (caso particolare della (7.3)) p → n + e+ + ν ,

(7.8)

perch´e Qβ + = mp − mn − me = −1.81 M eV < 0 . L’esistenza dei nuclei stabili prova che i neutroni legati possono acquisire una completa stabilit`a, mentre il decadimento β + prova che protoni legati possono essere instabili. Si pu` o interpretare il fatto considerando che nucleoni legati in un nucleo sono caratterizzati da una massa eﬃcace data dalla diﬀerenza fra la massa del nucleone libero e l’energia di legame. Con riferimento al modello a strati del nucleo, la massa eﬃcace `e tanto pi` u piccola quanto pi` u basso `e il livello in cui il nucleone `e situato. Pu` o essere che per neutroni e protoni legati la (7.6) sia vietata perch´e Qβ− = mn − mp − me = (mn − Bn ) − (mp − Bp ) − me < 0 , ossia Bn − Bp > mn − mp − me = 0.782 M eV

7.2 Condizione energetica per il decadimento β

165

Fig. 7.7. Diagrammi come in ﬁg. 7.6 ma in termini di masse atomiche (eq. A1.2), che sono normalmente utilizzate invece di quelle nucleari.

dove B indica l’energia di legame del nucleone. Analogamente, pu` o essere che la (7.8) sia permessa perch´e Qβ + = mp − mn − me = (mp − Bp ) − (mn − Bn ) − me > 0 , ossia Bn − Bp > mn − mp + me = 1.811 M eV . Inoltre, transizioni energeticamente permesse possono essere impedite dalle restrizioni imposte all’occupazione dei livelli dal principio di Pauli (vedere ﬁg. 7.8). In generale la condizione limitativa Qβ − < 0 non si veriﬁca per neutroni situati nei livelli meno legati dei nuclei con eccesso di neutroni; la condizione permissiva Qβ − > 0 si veriﬁca per protoni poco legati nei nuclei con eccesso di protoni. Per i nucleoni che si trovano nei livelli pi` u bassi, totalmente occupati da neutroni e protoni, ogni decadimento `e impedito dal principio di Pauli. Queste considerazioni mostrano che i nuclei stabili sono il risultato di un complesso equilibrio fra interazione forte (attrattiva), interazione coulombiana (repulsiva), interazione debole (causa di instabilit` a) e il principio di Pauli. Alcune considerazioni sulla formazione dei nuclei verranno sviluppate nel par. 12.4 del Cap.12.

166

7 Decadimento β

Fig. 7.8. Eﬀetto combinato dell’energia di legame e del principio di Pauli sul decadimento di protoni e neutroni legati nei nuclei. I nucleoni dei livelli pi` u interni non possono decadere perch´ e i livelli sono totalmente occupati. I nucleoni dei livelli pi` u esterni possono decadere compatibilmente con la diﬀerenza fra le masse eﬃcaci del nucleone iniziale e di quello ﬁnale.

Fig. 7.9. Schema di spettrometro con campo magnetico B uniforme ortogonale al piano della ﬁgura. Gli elettroni che descrivono la traiettoria circolare di raggio r = OP/2 hanno impulso p = erB.

7.3 Esistenza del neutrino e dell’antineutrino Delle particelle ﬁnali, l’elettrone, che ha velocit` a mediamente relativistiche3 , `e quella di pi` u facile osservazione sperimentale. Il suo impulso pu` o essere misu3

La relazione relativistica fra velocit` a ed energia cinetica `e s «2 „ m v/c = 1 − T +m Per un’energia cinetica T = 0.5 M eV , per un elettrone (m = 0.5 M eV ) risulta v/c = 0.86 e per un nucleo, sia pure leggero come l’3 He (m = 2808 M eV ), risulta

7.3 Esistenza del neutrino e dell’antineutrino

167

rato mediante uno spettrometro magnetico come illustrato schematicamente in ﬁg. 7.9.4 Tenuto conto della piccola energia liberata nei decadimenti rispetto alla massa dei nuclei, i nuclei di rinculo hanno velocit` a molto piccole, e la loro misura richiede metodologie pi` u soﬁsticate. Il neutrino e l’antineutrino sono di osservazione estremamente diﬃcile perch´e, essendo privi di carica elettrica, non sono rivelabili con le tecniche usuali per le particelle cariche (fenomeni di ionizzazione e deﬂessione in campi elettrici e magnetici); essi sono suscettibili solo di interazione “debole” (vedi par. 7.6), per esempio tramite reazioni di assorbimento quali ν + p → n + e+ , 37 − ν + 37 17 Cl → 18 Ar + e ,

(7.9) (7.10)

che hanno una sezione d’urto molto piccola. Il neutrino e l’antineutrino sono stati prima ipotizzati sulla base dei principi di conservazione dell’energia, dell’impulso e del momento angolare (Pauli 1930) e solo pi` u tardi osservati sperimentalmente (Cowan e Reines 1953). Tuttavia, anche la sola conoscenza delle caratteristiche energetiche degli elettroni, unitamente a quella della vita media dei decadimenti, `e in grado di fornire informazioni fondamentali sui fenomeni microscopici che governano i decadimenti, come verr` a discusso nel par.7.5.

Fig. 7.10. Schema dell’esperimento per l’osservazione diretta dell’antineutrino

Esponiamo ora alcuni argomenti a favore dell’ipotesi del neutrino prima di descrivere schematicamente il primo esperimento che ha consentito l’osservazione diretta dell’antineutrino. 4

v/c = 0.019. Della misura dell’energia degli elettroni si parler` a pi` u diﬀusamente nel cap. 8.

168

7 Decadimento β

i) Se il decadimento β − fosse conforme alla reazione (A, Z) → (A, Z + 1) + e− in tutti i decadimenti di nuclei della specie considerata gli elettroni dovrebbero avere la stessa energia cinetica, come si deduce applicando i principi di conservazione dell’impulso e dell’energia (la situazione sarebbe analoga al caso del decadimento α). Come si `e gi`a detto, sperimentalmente si osserva che l’energia varia da decadimento a decadimento da 0 a un valore massimo e solo l’energia massima corrisponde al valore che ci si aspetta dalla reazione a due corpi sopra scritta. Negli altri casi la somma dell’energia cinetica dell’elettrone e del nucleo di rinculo non uguaglia l’energia liberata nel decadimento. Ci` o ha indotto a ipotizzare l’emissione di una terza particella che si faccia carico dell’energia mancante. ii) Poich´e la somma della carica elettrica del nucleo di rinculo e quella dell’elettrone uguaglia la carica del nucleo iniziale, la particella ipotizzata deve avere carica nulla. iii) D’altra parte, che essa sia neutra `e evidente dal fatto che non interagisce con la materia nei modi tipici delle particelle cariche (ad esempio, per ionizzazione). iv) Applichiamo, inﬁne, il principio di conservazione del momento angolare al decadimento del neutrone ignorando l’emissione dell’antineutrino: n → p + e− 1 1 spin 12 2 + 2 = 0, 1 Con due fermioni nello stato ﬁnale non `e possibile ottenere un momento angolare ﬁnale uguale a 1/2. Ci`o `e possibile se si ipotizza nello stato ﬁnale la presenza di un terzo fermione: 1 1 1 1 3 → , 1+ → , . 2 2 2 2 2 L’antineutrino fu osservato direttamente per la prima volta tramite la reazione di assorbimento (7.9) in un esperimento iniziato nel 1953 e perfezionato in anni successivi da Cowan e Reines. In ﬁg. 7.10 `e mostrato schematicamente l’apparato che consiste di tre grandi strati di rivelatore a scintillatore liquido (1.9 × 1.3 × 0.6m3 ), separati da due volumi di acqua, in cui `e sciolto un sale di cadmio. Gli scintillatori erano connessi a 110 fotomoltiplicatori. L’intero sistema era circondato da un involucro di piombo e paraﬃna ed era installato nel sottosuolo per proteggerlo dal fondo di neutroni e raggi γ. L’apparato era esposto al ﬂusso di antineutrini proveniente da un reattore nucleare. E’ stata presa in considerazione la seguente sequenza di reazioni (vedi ﬁg. 7.10): 0+

7.3 Esistenza del neutrino e dell’antineutrino

169

i) l’antineutrino viene assorbito da un protone contenuto in uno dei due spessori d’acqua secondo la reazione (7.9): ν + p → n + e+ ; ii) il positrone creato annichila con un elettrone in due γ da 0.5 MeV di energia, e+ + e− → 2γ (0.5 M eV ); i due fotoni sono emessi in versi opposti e sono rivelati dai due rivelatori contigui allo spessore d’acqua considerato; iii) il neutrone viene rallentato da collisioni con protoni e successivamente catturato dal cadmio tramite una reazione del tipo n + 113 Cd → mγ + 114 Cd; i γ, di energia complessiva ﬁno a 10 MeV, vengono rivelati dagli stessi rivelatori. L’assorbimento di un antineutrino viene identiﬁcato dalla registrazione dei due segnali in coincidenza dovuti ai γ emessi nell’annichilazione elettrone-positrone seguiti dai segnali dovuti ai γ emessi dal cadmio con un ritardo da 1 a 25 ms. Il numero di eventi `e correlato al numero Nν di antineutrini incidenti, allo spessore Δx del bersaglio e al numero di protoni ρ per cm3 tramite la relazione Nev = Nν ρ(cm−3 )Δx(cm)σν (cm2 ) . Da essa fu ricavato il seguente valore della sezione d’urto5 : σν = (1.1 ± 0.26) · 10−43

cm2 .

I neutrini sono stati osservati per la prima volta tramite la reazione (7.10) utilizzando come sorgente di neutrini il sole. Sottolineiamo che i neutrini solari non danno luogo alla reazione (7.9) e gli antineutrini da reattore non danno luogo alla reazione (7.10). Neutrino e antineutrino sono particelle distinte, non intercambiabili. Neutrini e antineutrini sono stati rivelati in seguito in numerosi altri esperimenti, dei quali si parler` a nei cap. 13 e 16. Il valore molto piccolo della sezione d’urto, paragonato ai valori delle sezioni d’urto nucleari che sono dell’ordine di 10−26 cm2 , giustiﬁca il termine di “debole” attribuito all’interazione che governa il decadimento β e i processi inversi.

5

La sezione d’urto verr` a calcolata sulla base della teoria del decadimento β nell’Appendice 7.7.3.

170

7 Decadimento β

7.4 Aspetti cinematici del decadimento β 7.4.1 Decadimento β ± Nel presente paragrafo, per semplicit`a, consideriamo solo il decadimento β − (reazione (7.2)), ma tutte le considerazioni valgono anche per il decadimento β + (reazione (7.3)). Indichiamo inoltre con l’indice 1 il nucleo iniziale e con l’indice 2 il nucleo ﬁnale. Per il principio di conservazione dell’impulso e dell’energia valgono le relazioni (vedi nota 1): M1 = E2 + Ee + Eν = M2 + T2 + me + Te + mν + Tν , 0 = p2 + pe + pν .

(7.11) (7.12)

Evidentemente l’energia liberata nel decadimento pu` o ripartirsi in vari modi tra le particelle ﬁnali, cos`ı come i relativi impulsi possono disporsi in vari modi per dare risultato nullo. In particolare, l’energia cinetica dell’elettrone pu` o variare da 0 a un valore massimo che corrisponde alla condizione di impulso nullo (energia cinetica nulla) per l’antineutrino. Se si tiene conto nelle (7.11) e (7.12) delle condizioni Tν = 0,

p ν = 0,

E ν = mν

p 2 = −p e

p2e + M22 , Ee = p2e + m2e ,

E2 =

si ottiene

(7.13)

(7.14)

2

Temax =

(M1 − mν − me ) − M22 , 2 (M1 − mν )

Eemax =

(M1 − mν ) − M22 + m2e , 2 (M1 − mν )

T2max =

(M1 − M2 − mν ) − m2e , 2 (M1 − mν )

E2max =

(M1 − mν ) + M22 − m2e . 2 (M1 − mν )

(7.15)

2

(7.16)

2

(7.17)

2

(7.18)

La (7.15) consente, in linea di principio, di ricavare il valore della massa dell’antineutrino dalla misura di Temax . Il risultato di numerosi esperimenti `e che la massa dell’antineutrino (e del neutrino) `e molto minore di quella dell’elettrone (mν < 3 eV , vedi cap. 8). Pertanto, ai ﬁni del presente capitolo, per ragioni di semplicit` a potremo porre senza perdita di generalit` a mν = 0 ,

7.4 Aspetti cinematici del decadimento β

171

da cui segue vν = c , pν = Tν = Eν . Il problema della misura della massa del neutrino verr` a esaminato nel cap. 8. Le implicazioni concettuali connesse con il fatto che la massa sia zero o diversa da zero verranno discusse nel cap. 14 e seguenti. Nell’ipotesi di massa del neutrino nulla, le eq. (7.15-7.18) divengono 2

Temax =

(M1 − me ) − M22 , 2M1

(7.19)

M12 − M22 + m2e , 2M1

(7.20)

Eemax =

2

T2max =

(M1 − M2 ) − m2e , 2M1

(7.21)

M12 + M22 − m2e . 2M1

(7.22)

E2max =

Dalle (7.19) e (7.21) si deduce che l’energia cinetica massima del nucleo ﬁnale `e molto pi` u piccola di quella dell’elettrone: 2

T2max (M 1 − M2 ) − m2e ∼ M 1 − M2 = << 1 . = 2 Temax M 1 + M2 (M 1 − me ) − M22

(7.23)

Le eq. (7.15-7.22) sono state ricavate supponendo p ν = 0; se si suppone, invece, che sia p e = 0, si ottengono i valori dell’energia dell’antineutrino Tvmax e Eνmax e quelli corrispondenti del nucleo ﬁnale semplicemente scambiando fra loro gli indici “e” e “ν”nelle relazioni precedenti. In particolare risulta 2

Eνmax (pe = 0) =

(M1 − me ) − M22 + m2ν , 2 (M1 − me )

T2max (pe = 0) =

(M1 − M2 − me ) − m2ν . 2(M1 − me )

(7.24)

2

(7.25)

L’energia cinetica del nucleo ﬁnale varia da 0 a un valore massimo T2max << M1 − M2 ,

(7.26)

come si deduce sia dalla (7.17) sia dalla (7.25), tenendo conto che M1 − M2 , me e mν sono molto minori di M1 . L’energia totale dell’elettrone varia fra me e Eemax (eq. 7.16) e, in corrispondenza, quella dell’antineutrino fra Eνmax (eq. 7.24) e mν . La loro somma E = Eν + Ee = M1 − E2 = M1 − M2 − T2

172

7 Decadimento β

varia fra il valore massimo Emax = M1 − M2 , e un valore minimo poco diverso dal massimo: E min = M1 − M2 − T2max ∼ = M1 − M2 . Pertanto la coppia elettrone-antineutrino trasporta in ogni caso la maggior parte dell’energia liberata che possiamo porre Emax ∼ = M1 − M2 .

(7.27)

7.4.2 Cattura elettronica Per la cattura elettronica, la conservazione dell’energia e la conservazione dell’impulso sono espresse dalle relazioni M1 + me − Be = E2 + Eν = M2 + T2 + Eν , 0 = p2 + pν , dove Be `e l’energia di legame dell’elettrone nei livelli atomici L o K. Risulta 2

T2 = mν =

(M1 − M2 + me − Be ) − m2ν , 2 (M1 − M2 − Be ) 2

(M1 − M2 + me − Be ) − 2T2 (M1 − M2 − Be ) .

7.5 Teoria di Fermi E’ ben noto che nel nucleo atomico non esistono elettroni. La loro ipotetica presenza condurrebbe a errate valutazioni dello spin di certi nuclei. Infatti, supponiamo che un nucleo sia composto da A protoni e da N elettroni, invece che da Z = A − N protoni e N neutroni; esso sarebbe costituito da A + N fermioni (spin 1/2). In questa visione il nucleo 14 7 N sarebbe costituito da un numero dispari (21) di fermioni e quindi lo spin totale dovrebbe essere semi intero. In realt` a lo spin `e 1 e quindi l’ipotesi sulla presenza degli elettroni nel nucleo `e falsa. L’argomento vale per tutti i nuclei dd. Si deve ammettere che la coppia elettrone-antineutrino non preesiste nel nucleo, ma viene creata al momento della trasformazione di un neutrone in un protone. Sotto certi aspetti il decadimento del nucleo `e simile al processo di diseccitazione di un atomo: nella diseccitazione l’atomo crea ed emette un fotone che non preesisteva nell’atomo. Analogamente, il neutrone pu` o essere visto come lo stato eccitato del nucleone che decade nello stato fondamentale rappresentato dal protone emettendo la coppia elettrone-antineutrino.

7.5 Teoria di Fermi

173

Nella teoria di Fermi il decadimento β `e considerato come il risultato dell’interazione di un nucleone del nucleo con il campo di forze prodotto dalla coppia elettrone-neutrino (interazione “debole”). A causa della debolezza dell’interazione `e possibile applicare i metodi della teoria delle perturbazioni, secondo la quale la probabilit` a per unit` a di tempo che un sistema passi da uno stato iniziale a uno ﬁnale `e data dalla relazione w=

2π 2 dN |Hif | , dE

(7.28)

dove Hif `e l’elemento di matrice di transizione dallo stato iniziale allo stato ﬁnale, che dipende dalle caratteristiche intrinseche delle forze che determinano l’interazione; dN/dE `e un fattore cinematico, chiamato densit` a degli stati ﬁnali, che dipende dall’entit` a dell’energia liberata nel decadimento; E `e l’energia disponibile per gli elettroni. Per il suo signiﬁcato, w coincide con la costante di decadimento λ della legge del decadimeto radioattivo. Nel seguito faremo anche uso della densit`a di probabilit` a cos`ı deﬁnita: 2 dw 2π 2 d N = |Hif | , dp dEdp

(7.29)

dove p `e l’impulso degli elettroni emessi nel decadimento. dw/dp esprime la probabilit` a che un elettrone venga emesso con impulso compreso fra p e p+dp. Poich´e le dimensioni di sono energia × tempo, valgono le seguenti relazioni dimensionali: [w] = tempo−1 [Hif ] = energia dN −1 dE = energia Le relazioni (7.28) e (7.29) ci consentiranno di descrivere la forma dello spettro energetico degli elettroni del decadimento β e di determinare, sulla base delle misure della vita media, l’intensit` a delle forze deboli. Esse saranno applicate solamente ai decadimenti “favoriti” (o “permessi”; il signiﬁcato di questi termini sar`a precisato nel par.7.5.7). Passiamo ora ad esplicitare i fattori che compaiono in queste relazioni. Faremo riferimento esplicito al decadimento β − , ma tutte le considerazioni saranno applicabili anche al decadimento β + . In ogni caso, gli aspetti distintivi dei due casi saranno messi in evidenza quando necessario. 7.5.1 Densit` a degli stati ﬁnali Per la (7.110), il numero di stati disponibili per gli elettroni in moto libero in un volume Ω con impulso compreso fra p e e p e + dp e `e dato dalla relazione dne =

4πΩ

2 3 pe dpe .

(2π)

(7.30)

174

7 Decadimento β

In corrispondenza di un valore dell’impulso dell’elettrone, l’antineutrino pu` o essere emesso con impulsi diﬀerenti. Il numero di stati disponibili per l’antineutrino con impulso compreso fra p ν e p ν + dp ν ha un’espressione simile alla (7.30). Fissati i valori dell’impulso dell’elettrone e del neutrino, l’impulso del nucleo di rinculo risulta determinato dalla relazione (7.12). Pertanto il numero totale di stati disponibili per i prodotti ﬁnali del decadimento `e dato dagli stati disponibili per la coppia elettrone-antineutrino, ossia dal prodotto 2

d N = dne dnν =

4πΩ (2π)3

2 p2e dpe p2ν dpν .

(7.31)

Invece che in termini d’impulso dell’antineutrino, questa relazione pu` o essere riscritta in una forma pi` u conveniente in termini di energia liberata nel decadimento. Per la (7.11), l’energia totale disponibile per la coppia elettrone-antineutrino `e (vedi nota 1) (7.32) E = M1 c2 − E2 = Ee + Eν = Ee + p2ν c2 + m2ν c4 . Quindi, per un valore ﬁssato di Ee , si ha c2 p2ν = (E − Ee )2 − m2ν c4 ,

(7.33)

c2 pν dpν = (E − Ee )dE . Per le (7.33), la (7.31) diviene % 2

d N=

&2

4πΩ (2π)

3

1 2 p (E − Ee ) c3 e

2

(E − Ee ) − m2ν c4 dpe dE .

(7.34)

Questa relazione esprime il numero di stati ﬁnali per impulso dell’elettrone compreso fra pe e pe + dpe ed energia disponibile per la coppia elettroneantineutrino compresa fra E e E + dE. La quantit` a dN/dE `e la densit`a degli stati che compare nella (7.28) e la quantit` a d2 N = dpe dE

%

&2

4πΩ 3

(2π)

1 2 p (E − Ee ) c3 e

2

(E − Ee ) − m2ν c4 .

(7.35)

`e la sua derivata che compare nella (7.29). 7.5.2 Elemento di matrice di transizione L’elemento di matrice di transizione `e deﬁnito dalla relazione Hif = Ψf∗ HΨi dτ ,

(7.36)

7.5 Teoria di Fermi

175

dove Ψi = ui `e l’autofunzione del nucleo iniziale e Ψf = uf Ψe Ψν `e il prodotto delle autofunzioni delle particelle ﬁnali (nucleo, elettrone, antineutrino). H `e un operatore (un potenziale) che `e responsabile della trasformazione n → p con emissione della coppia elettrone-antineutrino e della ristrutturazione del nucleo iniziale in quello ﬁnale. Nella teoria di Fermi viene fatta l’ipotesi che l’operatore H abbia la forma H = gδ(r e − r )δ(r ν − r ) ,

(7.37)

dove δ(x) `e la funzione delta di Dirac, r e `e un vettore di posizione associato all’elettrone, r ν un analogo vettore associato al neutrino e r `e associato al nucleone che decade. δ(r e − r ) `e la densit`a di probabilit` a che elettrone e nucleone si trovino a distanza r e − r ; simile `e il signiﬁcato di δ(r ν − r ). La speciale dipendenza di H dalle coordinate esprime l’ipotesi che il raggio d’azione dell’interazione sia nullo, cio`e elettrone, antineutrino e nucleone interagiscono solo quando sono “sovrapposti” o “a contatto”. La giustiﬁcazione qualitativa di tale ipotesi `e data dal fatto che nel decadimento del neutrone isolato l’interazione si manifesta solo per distanze molto piccole, inferiori alle a deldimensioni del neutrone stesso6 . g `e una costante che misura l’intensit` l’interazione; il suo valore non `e noto a priori e viene determinato sulla base di dati sperimentali, come vedremo. Essa ha un ruolo simile a quello della carica elettrica nel potenziale coulombiano. Anticipiamo che l’esperienza mostra che esistono due diﬀerenti valori della costante, che indicheremo con gF e gGT , caratteristici di due diﬀerenti tipi di interazione debole (di Fermi o Vettoriale e di Gamow-Teller o Assiale7 ). Per le (7.34) e (7.35) valgono le seguenti relazioni dimensionali: [Hif ] = energia [H] = energia/volume

(7.38)

[g] = energia × volume Per le peculiari propriet` a della funzione delta di Dirac8 , si ha Hif = g Ψe∗ (r e )Ψν∗ (r ν )u∗f (r )δ(r e − r )δ(r ν − r )ui (r )dr e dr ν dr = (7.39) = g Ψe∗ (r )Ψν∗ (r )u∗f (r )ui (r )dr .

6

7 8

Il raggio d’azione delle interazioni forti, cos`ı come il raggio classico del nucleone, `e dell’ordine di 1f m = 10−13 cm; ad esso corrisponde una sezione d’urto geometrica dell’ordine di 10−26 cm2 . Procedendo al contrario, possiamo ritenere che alla sezione d’urto dell’interazione debole di 10−44 cm2 (par.7.3) corrisponda un raggio d’azione dell’ordine di 10−22 cm = 10−9 f m 1 f m. IR termini vettoriale e assiale saranno chiariti nel cap. 9. f (x)δ(x − x )dx = f (x )

176

7 Decadimento β

7.5.3 Funzioni d’onda per elettrone e antineutrino. Dall’ipotesi di raggio d’azione nullo per H, segue che elettrone e neutrino, una volti emessi dal nucleo, sono particelle in moto libero, se si prescinde dall’interazione coulombiana fra elettrone e nucleo ﬁnale, la quale ha raggio d’azione inﬁnito. Pertanto, trascurando momentaneamente quest’ultima, possiamo descrivere elettrone e antineutrino con onde piane: Ψe =

Ψν =

1 Ω 1/2 1 Ω 1/2

ei

p e ·r

,

ei

p ν ·r

,

(7.40)

1 i (p e +p ν )·r 1 = eik ·r . e Ω Ω dove Ω `e un volume di normalizzazione arbitrario. Un’onda piana pu` o essere sviluppata in armoniche sferiche; per k · r 1 si ha9 : Ψe Ψν =

eikr cosθ =

∞ '

=0

(2 +1) i (2 +1)!! (kr) P (cosθ) =

(7.41)

= 1 + ikrcosθ + i2 13 (kr)2 21 (3cos2 θ − 1) + .... Il primo termine rappresenta il contributo all’onda piana dato da un’onda di momento angolare orbitale uguale a 0; il secondo il contributo di un’onda di momento angolare orbitale uguale a 1, ecc. `e il momento angolare del moto relativo della coppia elettrone-antineutrino rispetto al nucleo. Tenendo conto della (7.41), la (7.39) diviene

g

Hif = Mif , (7.42) Hif = Ω

(2 + 1)

(7.43) (kr) P (cos θ) u∗f (r) dr . (2l + 1)!! 2 Nell’ipotesi kr 1, l’elemento di matrice Mif ha valore massimo per = 0 e decresce rapidamente al crescere di . Di conseguenza le transizioni

= Mif

9

i

Questa condizione `e senz’altro realistica come si deduce dalla seguente valutazione: per Ee = 1 MeV, risulta √ pe = Ee2 − m2e = 0.86 M eV k=

pe (M eV ) c(cm/s)(M eV ·s)

=

0.86 3·1010 ×6.6·10−22

Rnucleo ≈ 10−13 cm kr ≈ 10−3 1

= 4.3 · 1010 cm−1

7.5 Teoria di Fermi

177

con emissione della coppia elettrone-antineutrino con momento angolare = 0 hanno probabilit` a molto maggiore di quelle con > 0. Per questo motivo le transizioni con = 0 sono dette “favorite”. Transizioni con diﬀerenti valori di sono caratterizzate anche da diﬀerenti forme dello spettro energetico dei β. Nei casi concreti il valore di dipende dalle caratteristiche dei nuclei iniziale e ﬁnale. Nel seguito ci limiteremo a considerare solo transizioni favorite. Quindi, considerando solo il primo termine ( = 0) della (7.41), le relazioni (7.40), (7.42) e (7.43) divengono Ψe Ψν ≈

Mif

1 , Ω

(7.44)

g Hif = Mif , Ω 0 = Mif = u∗f (r )ui (r )d(r ) .

(7.45) (7.46)

Mif `e una quantit` a che dipende unicamente dalle caratteristiche del nucleo iniziale e del nucleo ﬁnale. Il calcolo di Mif `e in generale complicato, salvo per alcuni casi che tratteremo in un successivo paragrafo. Prendiamo ora in considerazione l’interazione coulombiana fra elettrone e nucleo residuo. La funzione d’onda corretta dell’elettrone `e la soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger per il moto di una particella in un potenziale coulombiano (vedi [3]). In pratica, poich´e l’integrale nella (7.39) `e limitato al volume nucleare, `e suﬃciente tener conto dell’eﬀetto coulombiano per r ∼ 0; cosa che si ottiene ponendo 1 (7.47) |Ψe (0)| , Ψe Ψν = Ω 2

|Ψe (0)| =

2nπ e2nπ −1

,

(7.48) z = +1 per β + , z = −1 per β − , dove ke = pe / e μ = massa ridotta. Nel decadimento β − , Ψe (0)2 `e > 1, cresce per pe → 0 e tende a 1 per pe crescente; nel decadimento β + , Ψe (0)2 `e < 1, decresce per pe → 0 e tende a 1 per pe crescente (vedi Appendice 7.7.6). Per la (7.47), la (7.45) diviene 2

e n = μ zz 2 ke ,

Hif =

g |Ψe (0)| Mif . Ω

(7.49)

7.5.4 Densit` a di probabilit` a di transizione. Spettro energetico degli elettroni Tenuto conto della (7.35) e della (7.49), la (7.29) diviene

178

7 Decadimento β 2 1 2π dw 2 d N 2 2 |Hif | = = g 2 |Mif | |Ψe (0)| × dpe dpe dE 2π 3 7 c3 2 × (E − Ee ) p2e (E − Ee ) − m2ν c4 ,

(7.50)

dove, per la (7.27), E ∼ = M1 c2 − M2 c2 ≡ Eo . Sottolineiamo che questa relazione `e fondata sull’ipotesi di raggio d’azione nullo per l’interazione debole e vale per moto relativo della coppia elettroneantineutrino rispetto al nucleo in onda s. Facciamo rilevare che, per l’ultima condizione, la dipendenza della (7.50) dall’energia dell’elettrone proviene solo dalla densit` a degli stati ﬁnali e dal fattore coulombiano, ma non da Mif . Se si assume anche mν = 0, si ha inﬁne dw d2 N 2π 1 = g 2 |Mif |2 |Ψe (0)|2 (E − Ee )2 p2e . |Hif |2 = dpe dpe dE 2π 3 7 c3

(7.51)

Fig. 7.11. Eﬀetto del fattore correttivo coulombiano sullo spettro d’impulso e d’energia totale degli elettroni nel decadimento β.

La (7.51) `e una funzione a campana nell’intervallo pe = 0 e pmax corrie spondente a Temax ∼ = (M1 − M2 − me )c2 (vedi eq. (7.19)). Per le caratteristiche 2 del fattore |Ψe (0)| illustrate nel par. 7.3, l’andamento `e diﬀerente per β − e + β , come illustrato in ﬁg. 7.11. (dw/dpe )dpe rappresenta la probabilit` a che un elettrone venga emesso con impulso di modulo compreso fra pe e pe + dpe . Per ragioni pratiche, pu` o essere utile esprimere la densit`a di probabilit` a rispetto all’energia invece che rispetto all’impulso. La trasformazione da un’espressione all’altra si ottiene tenendo conto delle seguenti relazioni: dw dpe dw = , dEe dpe dEe Ee2 = p2e c2 + m2e c4 ,

7.5 Teoria di Fermi

179

Ee dEe = c2 pe dpe , per le quali la (7.50) diviene dw g 2 |Mif |2 dw = = ×|Ψe (0)|2 (E − Ee )Ee pe dEe dTe 2π 3 7 c5

2 (E − Ee ) − m2ν c4 . (7.52)

Per mν = 0 la (7.52) diviene

Fig. 7.12. Spettri d’impulso degli elettroni e dei positroni nel decadimento β del 64 Cu (eq. (7.51)). I cerchietti sono dati sperimentali e le linee sono curve teoriche. Sull’ordinata le unit` a sono arbitrarie. [5]

dw 2 2 = costante × |Ψe (0)| (E − Ee ) Ee pe Ee2 − me2 c4 . dEe

(7.53)

La funzione (7.53) `e una funzione a campana nell’intervallo Ee = me c2 , Ee ∼ = M1 c2 − M2 c2 . Sempre per ragioni di praticit` a, `e utile considerare la funzione di Kurie dw/dEe c2 e = = cos t. · (E − Ee ) (E − Ee )2 − m2ν c4 . K(Ee ) = |Ψdw/dp 2 2 2 |Ψe (0)| Ee pe e (0)| pe (7.54) Per mν = 0 la (7.54) diviene K(Ee ) = cos t. × (Eo − Ee ) ,

(7.55)

la quale ha un andamento lineare decrescente in funzione dell’energia dell’elettrone e interseca l’ascissa in Ee ∼ = M1 c2 − M2 c2 .

180

7 Decadimento β

Fig. 7.13. Diagrammi di Kurie per elettroni e positroni nel decadimento del (eq.7.53). [5]

64

Cu

La (7.51) descrive, a meno di una costante moltiplicativa, la distribuzione dell’impulso degli elettroni emessi nel decadimento β sotto le ipotesi e con le restrizioni sottolineate pi` u sopra. Essa `e in eccellente accordo con i risultati di vari esperimenti, come `e messo in evidenza dall’esempio di ﬁg. (7.12) riguardante il decadimento β ± del 64 Cu. Gli stessi dati sono confrontati in ﬁg. (7.13) con l’andamento della funzione (7.53). Va rilevato che una deviazione dei dati sperimentali dall’andamento lineare decrescente dell’eq.(7.53) `e un’indicazione immediata dell’esistenza di aspetti trascurati nella teoria. Deviazioni dall’andamento lineare sono dovute, per esempio, al fatto che la coppia elettrone-antineutrino trasporti momento angolare maggiore di 0 o al fatto che la massa del neutrino sia diversa da 0 (vedi cap.8). Il diverso andamento della (7.51) e della (7.53) `e messo in evidenza in ﬁg. (7.1). 7.5.5 Elemento di matrice nucleare L’elemento della matrice nucleare Mif =

u∗f (r )ui (r )dr

(7.56)

`e in generale diﬃcile da calcolare perch´e richiede la conoscenza delle funzioni d’onda dei nuclei iniziale e ﬁnale. Esistono, tuttavia, situazioni molto semplici e d’altra parte particolarmente signiﬁcative, per le quali la valutazione della (7.56) `e immediata. Si tratta dei casi in cui il nucleo iniziale e il nucleo ﬁnale

7.5 Teoria di Fermi

181

appartengono a uno stesso multipletto di spin isotopico (vedi ﬁg. 7.14): essi hanno lo stesso valore dello spin isotopico T e diﬀeriscono per la terza componente T3 = −T, ..., +T ; ai diﬀerenti valori di T3 corrispondono diversi valori di Z. Dal punto di vista dell’interazione forte questi nuclei sono “identici”: hanno gli stessi livelli energetici, lo stesso spin e la stessa parit`a; essi diﬀeriscono per la diﬀerenza di massa fra neutrone e protone e per l’intensit` a dell’interazione coulombiana, che ha eﬀetti limitati almeno nel caso di nuclei leggeri. Ecco alcuni decadimenti signiﬁcativi vedi ﬁg.7.14 e 7.15): i) Doppietto di isospin (T = 1/2, T3 = ±1/2): n → p;

3 1H

→ 32 He .

Trascurando l’interazione coulombiana, le funzioni d’onda dei nuclei iniziali e ﬁnali sono uguali e quindi Mif = u∗f (r )ui (r )d(r ) ≈ 1 . (7.57) ii) Tripletto di isospin (T = 1, T3 = −1, 0, +1; 14 8 O

→ 14 7 N ∗ .

Fig. 7.14. Esempi di nuclei appartenenti allo stesso multipletto di isospin. (a) Nuclei speculari: coppie di isobari A(Z’, N’) e A(Z”, N”) con Z’=N” e N’=Z”; esempio: T = 1/2, T3 = −1/2, +1/2. (b) Isobari con un nocciolo pari-pari identico e numero variabile di protoni e di neutroni nello strato pi` u esterno; esempio: T = 1, T3 = −1, 0, +1. [7]

182

7 Decadimento β

Anche in questo caso vale la (7.57); tuttavia, poich´e al decadimento possono contribuire entrambi i protoni dello stato esterno del nucleo di ossigeno, nella valutazione della probabilit` a di transizione il quadrato dell’elemento di matrice deve essere moltiplicato per 2, cosa di cui si terr`a conto negli esempi successivi. 7.5.6 Probabilit` a di transizione per unit` a di tempo. Costante di decadimento (vita media) La probabilit` a di transizione per unit` a di tempo (7.28) `e la probabilit` a che vengano emessi elettroni con impulso qualsiasi. Essa coincide con la costante di decadimento λ che compare nella legge di decadimento radioattivo10 . Essa `e data dall’integrale della (7.50) esteso all’intero campo di variabilit` a dell’immax pulso degli elettroni (con pmax corrispondente a T data dalle equazioni e e (7.15) o (7.19)): w(pmax )≡λ= e

1 = τ

pmax e

)= f (z, pmax e

pmax e

2

( 0 2

dw g 2 |Mif | )dpe = f (z, pmax ), e dpe 2π 3 7 c3

|Ψe (0)| (E − Ee ) p2e

0

2

(E − Ee ) − m2ν c4 dpe .

(7.58)

(7.59)

Fig. 7.15. I livelli fondamentali degli isobari 14 C e 14 O e lo stato eccitato del 14 N con spin-parit` a 0+ formano un tripletto di spin isotopico. I livelli energetici degli stati fondamentali non coincidono a causa della diﬀerente energia colombiana e della diﬀerenza fra le masse del neutrone e del prtotone. La transizione tra lo stato fondamentale dell’ossigeno e lo stato eccitato dell’azoto ` e una transizione di Fermi favorita (tempo di dimezzamento 71 s). La transizione dallo stato fondamentale del 14 C a quello del 14 N con grande tempo di dimezzamento (5 730 a) `e usata per datare resti organici in archeologia. 10

Vedi eq. (1.3) del cap. 1.

7.5 Teoria di Fermi

Se mν = 0, la (7.59) diviene ) f (z, pmax e

pmax

=

2

|Ψe (0)| (Eo − Ee )2 p2e dpe .

183

(7.60)

0

La (7.58) mette in relazione quattro fattori principali: f (z, pmax ), che dipene de essenzialmente dall’energia liberata ed `e calcolabile (tuttavia, in queste lezioni non ci occuperemo esplicitamente del suo calcolo), τ = 1/λ, che pu`o essere determinato sperimentalmente, Mif , che pu`o essere calcolato almeno in casi speciﬁci, e la costante d’interazione g, che non `e nota a priori e viene determinata proprio tramite la (7.58), quando sono noti gli altri fattori. 7.5.7 Classiﬁcazione dei decadimenti. Transizioni favorite Nel par. 7.5.3 abbiamo assunto che elettrone e antineutrino si muovano con momento angolare = 0. Ci`o comporta che lo spettro energetico dei β abbia l’andamento rettilineo espresso dalla (7.55) e che l’elemento di matrice nucleare sia dato dalla (7.56) e abbia un valore elevato (rispetto al caso di transizioni con ≥ 1). Per questo motivo queste transizioni sono chiamate favorite. Nel par. 7.5.5 abbiamo anche messo in evidenza che per particolari transizioni, caratterizzate da uguale isospin, spin e parit` a dei nuclei iniziale e ﬁnale, la (7.56) ha valore massimo (∼ 1). D’altra parte, elettrone e antineutrino possono avere complessivamente due diﬀerenti valori dello spin in base ai quali si hanno le seguenti denominazioni del decadimento β: •

spin 0; transizione di Fermi

•

spin 1; transizione di Gamow-Teller

Come vedremo, i due tipi di transizioni sono caratterizzati da due diversi valori della costante d’interazione g. Tenuto conto della parit` a dei nuclei iniziale e ﬁnale (Pi e Pf ) e della conservazione del momento angolare J i = J f + s + , diremo che le transizioni sono favorite se sono soddisfatte le seguenti condizioni11 :

11

Pf Pi = 1

Ji = Jf

=0

Pf Pi = 1

Ji = Jf

Ji = Jf ± 1 = 0

s=0

T ransizioni f avorite di F ermi s=1

T ransizioni f avorite di Gamow − T eller

Il prodotto delle parit` a `e +1 se le parit` a iniziale e ﬁnale sono uguali (entrambe +1 o −1).

184

7 Decadimento β

Transizioni fra nuclei con variazione della parit` a e con grande variazioni dello spin nucleare implicano che la coppia elettrone-antineutrino abbia momento angolare orbitale > 0: come rilevato nel par. 7.5.3 (vedi eq. (7.43)), l’elemento di matrice nucleare (e quindi la probabilit` a di transizione) ha un valore piccolo: per questo motivo queste transizioni sono dette sfavorite 12 . Transizioni fra stati di parit` a opposta sono sfavorite perch´e il prodotto di due autofunzioni di parit` a opposta d`a una funzione dispari il cui integrale tende ad annullarsi. Tabella 7.2. Esempi di decadimenti β favoriti e sfavoriti. GT e F indicano il quadrato dell’elemento di matrice nucleare opportunamente pesato. Le prime 5 transizioni sono favorite, (log(f τ ) ≈ costante), le altre sfavorite (valori di log(f τ ) da [5]).

spin e parit` a nucleari

T1/2

Q0 (MeV)

log(f τ )

GT

F

1+ 2

→

1+ 2

10.4 m

0.782

3.04

3 4

1 4

1+ 2

→

1+ 2

12.33 a

0.0186

3.06

3 4

1 4

→63 Li

0+ → 1+

0.807 s

3.508

2.52

2

0

→14 7 N∗

0+ → 0+

70.61 s

1.813

3.50

0

2

→34 16 S

0+ → 0+

1.526 s

5.492

3.50

0

2

39 18 Ar

→ 29 19 K

7− 2

269 a

0.565

9.03

10 4 Be

→ 10 5 B

0+ → 3+

1.5 · 106 a

0.556

12.05

→ 40 20 Ca

4− → 0+

1.28 · 109 a

1.311

15.60

→ 115 50 Sn

9+ 2

4.4 · 1014 a

0.495

22.86

n→p 3 1H

→ 32 He

6 2 He 14 8 O

34 17 Cl

40 19 K 115 49 In

→

→

3+ 2

1+ 2

La vita media dei nuclei dipende dalle caratteristiche intrinseche dell’interazione debole (g), dalle caratteristiche dei nuclei iniziale e ﬁnale (|Mif |) e )). Posto dall’energia liberata (f (z, pmax e f = f (z, pmax )/m5e c7 , e consideriamo la grandezza 12

Invece che favorite e sfavorite, usualmente le transizioni sono chiamate permesse e proibite; queste denominazioni non sembrano appropriate perch´e le transizioni menzionate sono tutte permesse, semplicemente sono pi` u o meno probabili.

7.5 Teoria di Fermi

fτ =

2π 3 7 c3 g 2 |Mif |

2

,

185

(7.61)

detta vita media ridotta. Per transizioni favorite, in cui l’elemento di matrice nucleare ha il suo valore massimo, il secondo membro `e indipendente dal particolare nucleo considerato e dall’energia liberata. Poich´e anche g non dipende dal nucleo, f τ ha circa lo stesso valore in tutte la transizioni favorite, come mostrato dagli esempi di tab. 7.2, nonostante le vite medie e le energie liberate varino notevolmente da nucleo a nucleo. Nel caso di transizioni sfavorite il valore di f τ cresce all’aumentare della diversit` a (parit` a e momento angolare) fra nucleo iniziale e ﬁnale, come messo in evidenza in tab. 7.2. 7.5.8 Valutazione della costante g dell’interazione debole Riscriviamo per comodit`a la relazione (7.58) pmax 2 e 1 dw g 2 |Mif | ) ≡ λ = ( )dpe = f (z, pmax ). = w(pmax e e 3 7 3 τ dp 2π c e 0

(7.62)

Ci si aspetta che la costante g, essendo una caratteristica intrinseca dell’interazione che provoca il decadimento, sia indipendente dal particolare nucleo radioattivo esaminato. Tuttavia, dall’esame dei dati si riscontrano due diversi valori, che mostrano che l’interazione debole `e di due specie. Un valore viene ricavato dallo studio dei nuclei caratterizzati da transizioni di Fermi (o Vettoriali) e l’altro da nuclei caratterizzati da transizioni di Gamow-Teller (o Assiali). Indicheremo i valori delle costanti nei due casi con gF = gV e gGT = gA . i) Un decadimento caratterizzato da una transizione di Fermi pura `e quello considerato in ﬁg. 7.15: 14 8 O

+ → 14 7 N ∗ +e + ν

0+ → 0+ T1/2 = 70.6 s 2

2 |Mif | = 2 La (7.62) diviene gF2 fO (z, pmax ). (7.63) e 2π 3 7 c3 Dalla (7.63) e da una dozzina di simili relazioni relative ad altri nuclei `e stato ricavato il valore medio λ(14 O) = 2

gf = 1.4149(8) · 10−62 joule × m3 . Tra parentesi `e dato l’errore sull’ultima cifra signiﬁcativa.

186

7 Decadimento β

ii) gGT pu` o essere ricavata dallo studio di una transizione pura di GamowTeller come il decadimento 6 2 He

→ 63 Li + e− + ν 0+ → 1+

T1/2 = 806.7 ms 2

2 |Mif | = 2 Una via alternativa `e quella di considerare il decadimento del neutrone nel quale compartecipano sia la transizione di Gamow-Teller sia quella di Fermi. Infatti, gli spin delle particelle ﬁnali possono essere disposti come segue: npeν ↑↑↑↓

s(e, ν) 0

↑↓↑↑

1

T ransizioni di F ermi T ransizioni di Gamow − T eller

I pesi statistici degli stati di singoletto e di tripletto di spin sono 1/4 e 3/4. Nel caso di due decadimenti in competizione, la costante di decadimento `e la somma delle due costanti speciﬁche dei due processi considerati separatamente; nel nostro caso una dipende dalla costante d’interazione di Fermi e l’altra da quella di Gamow-Teller. Con evidente signiﬁcato dei simboli, per la (7.62), si ha 2 T1/2 = 10.4 m |Mif | = 1 λ(n) = λF + λGT = =

2 1 gF2 3 gGT fn (z, pmax )+ fn (z, pmax )= e e 3 7 3 3 4 2π c 4 2π 7 c3

=

fn (z, pmax ) 1 2 3 2 e ( gF + gGT ). 3 7 3 2π c 4 4

Dividendo la (7.64) per la (7.63) si ottiene 2 λ (n) fO gGT 1 8 14 = −1 gF2 3 λ ( O) fn

(7.64)

(7.65)

La (7.65), sulla base dei valori sperimentali di λ, ha consentito di ricavare per il modulo del rapporto fra le due costanti d’interazione il seguente valore [20]: gGT gf = 1.26 ± 0.004 . Dunque, la costante di Gamow-Teller `e in modulo un po’ pi` u grande di quella di Fermi. Combinando la (7.65) con la (7.61) `e possibile ricavare |gGT |. Da esperimenti non discussi in queste lezioni risulta che le due costanti hanno

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

187

segno opposto. I valori delle costanti ricavati dalla media dei risultati di vari esperimenti sono [21]: gF = 1.4156(6) · 10−62 joule × m3 = 0.883 · 10−4 M eV · f m3 gGT = −1.7908(22) · 10−62 joule × m3 = 1.117 · 10−4 M eV · f m3 dove tra parentesi `e dato l’errore sulle ultime cifre signiﬁcative. 7.5.9 Osservazioni conclusive La teoria di Fermi precedentemente delineata nei suoi aspetti essenziali costituisce un primo approccio alla trattazione del decadimento β. Essa rende ragione della forma dello spettro energetico dei β e consente di mettere in evidenza l’esistenza di due tipi di interazione debole caratterizzati da due differenti valori della costante d’interazione g. Essa non d`a ragione dei fenomeni di non conservazione della parit` a e di polarizzazione che saranno descritti nel cap. 9. Una trattazione pi` u generale del decadimento β, comprensiva di tutti i fenomeni osservati, `e fondata sull’equazione relativistica di Dirac per la descrizione del moto libero di particelle di spin 1/2 e sull’utilizzo di operatori hamiltoniani relativisticamente invarianti per descrivere l’interazione debole. L’equazione di Dirac verr` a discussa nel cap. 10 e il modello d’interazione, in forma ridotta, verr` a descritto nel cap. 11. La teoria dell’interazione debole cos`ı formulata prende il nome di teoria Vettoriale-Assiale (teoria V − A). L’interazione di Fermi va riferita al termine Vettoriale e quella di Gamow-Teller al termine Assiale.

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole L’interazione che determina il decadimento dei nuclei, che abbiamo chiamato “debole”, `e stata introdotta nel par. 7.5.2 tramite un operatore di intensit` ag e di raggio d’azione nullo. Nel presente paragrafo confronteremo le sue propriet` a con quelle delle altre interazioni rilevanti a livello nucleare, ossia quella elettromagnetica e quella forte, sulla base di un semplice modello fondato sul concetto di potenziale. L’energia di interazione fra due particelle pu` o essere espressa mediante un potenziale caratterizzato da un’intensit` a (o costante di accoppiamento), che d`a una misura dell’intensit` a della sorgente del campo di forze, e una funzione delle coordinate spaziali che dipende dalla distanza fra le particelle. Esaminiamo prima le caratteristiche della funzione delle coordinate e successivamente quelle delle sorgenti. Come punto di partenza per le nostre considerazioni, richiamiamo brevemente alcune propriet` a del campo elettromagnetico e successivamente le estendiamo al caso delle interazioni forti e di quelle deboli.

188

7 Decadimento β

7.6.1 Dipendenza dalle coordinate spaziali Il campo elettromagnetico pu`o essere descritto in termini di potenziale scalare φ e di potenziale vettore A, che soddisfano alle equazioni (nel sistema di Gauss): 1 ∂2φ (7.66) ∇2 φ − 2 2 = −4πρ , c ∂t 1 ∂2A 4π ∇2 A − 2 2 = − j . (7.67) c ∂t c Limitiamoci a discutere il potenziale scalare e cominciamo col considerare il caso statico, ossia il caso in cui ρ e φ sono indipendenti dal tempo. La (7.66) diviene (7.68) ∇2 φ(r ) = −4πρ (r ) , dove si intende che φ `e valutato a distanza r dall’origine e la carica elettrica `e distribuita entro un volume descritto dal vettore r . La soluzione della (7.68) ha la forma ρ(r )dv φ(r ) = . (7.69) |r − r | L’energia (potenziale) d’interazione fra due distribuzioni di carica ρ(r ) e ρ(r ) `e ρ(r )dv ρ(r )dv V = . (7.70) |r − r | Se la carica `e puntiforme, rappresentiamo la distribuzione nella (7.68) e nella (7.69) con una funzione δ di Dirac: ρ(r ) = qδ(r ) ,

(7.71)

cos`ı che la (7.69) diviene q . (7.72) r Nel caso d’interazione fra due cariche puntiformi +q e −q poste nei punti r 1 e r 2 , l’energia (7.70) assume l’espressione φ(r) =

V (r) = −

q2 q2 =− . |r 1 − r 2 | r

(7.73)

L’eq. (7.68), valida per il campo elettrostatico, `e un caso particolare di un’equazione pi` u generale. Consideriamo infatti l’equazione ∇2 φ(r ) −

1 φ(r ) = −4πs(r ) , a2

(7.74)

dove a `e un parametro avente le dimensioni di una lunghezza, il cui signiﬁcato ﬁsico verr` a chiarito pi` u avanti, e s(r ) `e una distribuzione di sorgenti di natura non precisata. Si pu` o dimostrare che la soluzione della (7.74) ha la forma

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

φ(r ) =

s(r

e− )dv |r

|r −r | a

− r|

,

189

(7.75)

che rappresenta il potenziale generato in r dalla sorgente s. Se la sorgente `e puntiforme con intensit` a f, s(r ) = f δ(r ) , la (7.75) diviene

e− a , r r

φ(r) = f

(7.76)

come si veriﬁca facilmente.13 L’energia d’interazione di due sorgenti puntiformi di intensit` a +f e −f poste alla distanza r, per analogia con la (7.73) ha l’espressione e− a , r r

V (r) = −f 2

(7.77)

che ha la forma della funzione di Yukawa. La (7.77) `e caratterizzata da un’intensit` a f 2 e da una funzione della distanza fra le sorgenti che tende a zero per r → ∞ con una rapidit` a che dipende dal parametro a. Per indicare questa sua propriet` a, a viene chiamato raggio d’azione dell’interazione. La (7.73), che si riferisce all’interazione coulombiana fra cariche elettriche, `e il caso particolare della (7.77) per a → ∞. Per questo si dice che l’interazione elettrostatica ha raggio d’azione inﬁnito: l’energia d’interazione tende a zero pi` u lentamente di qualunque altra energia potenziale compatibile con la (7.77). Se nella (7.77) si pone a = 1.41 fm, si ha il potenziale d’interazione nucleonenucleone (interazione forte) introdotto da Yukawa: e− 1.41 . r r

V (r) = −gf2

(7.78)

gf rappresenta la carica “forte”. Per a molto piccolo (a ∼ 0), la (7.77) `e diversa da zero solo in un intorno molto piccolo di r = 0 e possiamo scrivere 1 e− a 1 r r ≈ −gd2 δ( ) = −Vd δ( ) , r a a a a a r

V (r) = −gd2 13

(7.79)

L’operatore div grad in coordinate sferiche ha la forma „ « „ « 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂ 1 ∂ ∇2 = 2 r2 + 2 senθ + 2 . r ∂r ∂r r senθ ∂θ ∂θ r sen2 θ ∂ϕ2 Poich´e il potenziale (7.75) `e indipendente da θ e ϕ, si veriﬁca facilmente che „ « ∂ 1 1 ∂ r2 φ(r) = 2 φ(r) ∇2 φ(r) = 2 r ∂r ∂r a

190

7 Decadimento β

dove δ(x) `e la delta di Dirac e gd rappresenta la carica “debole”. Questa espressione richiama l’hamiltoniana d’interazione debole introdotta nel par. 7.5.2, che ha raggio d’azione nullo. Dunque, le diﬀerenti interazioni fondamentali possono essere rappresentate mediante una comune dipendenza dalle coordinate ma si diﬀerenziano per il raggio d’azione (vedi ﬁg. 7.16). Diamo ora un signiﬁcato pi` u profondo a questo parametro. A questo scopo consideriamo l’equazione (7.66) con ρ = 0, che descrive la propagazione di un’onda elettromagnetica nello spazio vuoto. Consideriamo, per semplicit` a, il caso particolare di un’onda piana che si muove lungo l’asse x; φ `e quindi indipendente da y e da z:

Fig. 7.16. Andamento della funzione di Yukawa per l’interazione coulombiana (a = ∞) (a), per l’interazione forte (a = 1.4 fm) (b) e per l’interazione debole (a = 2.210−3 f m) (c).

∂2 1 ∂2 φ − φ = 0. (7.80) ∂x2 c2 ∂t2 Questa equazione `e ricavabile anche con le seguenti considerazioni quantisticorelativistiche. La relativit` a prevede l’esistenza di particelle di massa nulla, per le quali la relazione impulso-energia `e E 2 − (pc)2 = 0 .

(7.81)

Se trasformiamo la (7.81) in una relazione fra operatori tramite le sostituzioni E → i

∂ , ∂t

px → i

∂ , ∂x

(7.82)

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

191

e applichiamo la nuova relazione a una funzione φ, otteniamo proprio la (7.80). Dunque, la (7.80) `e sia l’equazione di un’onda elettromagnetica che l’equazione del moto libero di una particella di massa 0 (il fotone). La (7.80) `e un caso particolare dell’equazione ∂2φ 1 ∂2φ 1 − 2 2 − 2φ = 0, 2 ∂x c ∂t a

(7.83)

che, infatti, diventa la (7.80) per a → ∞. Il signiﬁcato ﬁsico della (7.83) e del parametro a pu` o essere ottenuto considerando che per una particella di massa m in moto libero la relazione relativistica impulso-energia ha la forma E 2 = p2 c2 + (mc2 )2 .

(7.84)

Se si tiene conto delle sostituzioni (7.82), si ottiene l’equazione relativistica di Klein-Gordon 1 ∂ 2 φ m2 c2 ∂2 φ − − 2 φ = 0, (7.85) ∂x2 c2 ∂t2 che, come `e noto, `e adatta alla descrizione del moto di particelle di spin intero (bosoni). La (7.83) e la (7.85) coincidono se si pone a=

c , mc2

(7.86)

che `e la lunghezza d’onda Compton di una particella. Quindi la (7.85) descrive il moto libero di una particella di massa m = /ac. Come sappiamo, se m = 0 la particella `e un fotone, quanto d’energia emesso da una sorgente elettromagnetica; per analogia, per un valore generico di m la particella `e il quanto d’energia emesso da una sorgente generica. Va sottolineato che la (7.74) con s = 0 non `e altro che il caso statico della (7.83). Abbiamo cos`ı una relazione fra il raggio d’azione del campo generato da una sorgente e la massa associata al quanto d’energia emesso dalla medesima. Questa relazione pu`o essere chiarita dalle seguenti considerazioni. Un sistema di cariche elettriche genera nello spazio circostante un campo elettrico (o un potenziale) al quale `e associata una densit`a d’energia. Se qualche variazione avviene nel sistema di cariche (si pensi, per esempio, a un atomo o a un nucleo che si diseccita), questa si riﬂette in una modiﬁca del campo e dell’energia associata, che si manifesta tramite l’emissione di un’onda elettromagnetica o, equivalentemente, di fotoni. I fotoni emessi da una sorgente possono investire un altro sistema di cariche ed essere assorbiti; si realizza in questo modo un’interazione fra due sistemi di cariche con trasferimento di energia da una regione all’altra dello spazio. Nel caso in cui un sistema di cariche, una volta costituito, permanga in una conﬁgurazione stabile (si pensi al sistema protone-elettrone nello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno), non si veriﬁca nessuna variazione di energia e non viene osservata nessuna emissione di onde elettromagnetiche o di fotoni. Tuttavia, anche una condizione stazionaria pu` o essere interpretata

192

7 Decadimento β

tramite l’emissione e l’assorbimento di fotoni che chiamiamo virtuali , intendendo che essi non sono osservabili o che il loro scambio avviene con variazione energetica mediamente nulla. A questo ﬁne, consideriamo un sistema isolato di due sorgenti generiche (non necessariamente due cariche elettriche) a un certa distanza l’una dall’altra. Supponiamo che la sorgente 1 emetta un quanto di energia ΔE sotto forma di una particella di massa m (quindi ΔE `e al minimo uguale a mc2 ). Per il principio d’indeterminazione, ΔE `e osservabile solo se sussiste per un intervallo Δt ≥ /ΔE. Supponiamo allora che il quanto d’energia incontri dopo un intervallo di tempo Δt < /ΔE la sorgente 2 e venga da essa assorbito. In questo modo le due sorgenti hanno interagito senza scambi osservabili di energia. Evidentemente, la distanza fra le due sorgenti deve essere al massimo a = cΔt = c/ΔE. Posto ΔE = mc2 , la lunghezza a non `e altro che il raggio d’azione dell’interazione dato dalla (7.86). Se le sorgenti precedenti sono cariche elettriche, il quanto scambiato `e un fotone; essendo la sua massa uguale a zero, il raggio d’azione `e inﬁnito, come gi` a sappiamo. Se le sorgenti sono due nucleoni, ossia sorgenti di cariche forti, il quanto scambiato `e un mesone di massa m = 140 M eV , cui corrisponde un raggio d’azione a = 1.4 fm. Se l’interazione `e debole, i quanti scambiati sono i bosoni W ± e Z 0 , le cui masse sono dell’ordine di 90 · 103 M eV ; a esse corrisponde un raggio d’azione molto piccolo, dell’ordine di 2 · 10−3 fm, che giustiﬁca l’ipotesi di raggio d’azione nullo fatta nel par 7.5.2. Nel caso di una carica elettrica isolata, l’esistenza del campo elettrico attorno ad essa pu`o essere interpretata come dovuta a ripetuti atti di emissione e di assorbimento di fotoni virtuali da parte della stessa carica. Si suole dire che la carica elettrica `e circondata da una “nuvola” di fotoni virtuali. L’ipotesi quantistica di emissione e assorbimento di fotoni virtuali da parte di una carica elettrica ha lo stesso fondamento dell’ipotesi classica di campo elettrostatico circondante la stessa carica: infatti, n´e i fotoni virtuali, n´e il campo elettrostatico sono osservabili direttamente. Ci`o che `e misurabile `e la forza tra due cariche elettriche. Analogamente, un nucleone isolato pu` o essere immaginato come avvolto da una nuvola di mesoni virtuali continuamente emessi e assorbiti. 7.6.2 Intensit` a delle interazioni a) Interazione elettromagnetica Passiamo ora a considerare l’intensit` a delle sorgenti dei campi elettromagnetico, forte e debole. Per quanto riguarda il campo elettromagnetico basta porre nella (7.73) q = e (carica elementare dell’elettrone); si ottiene che l’intensit` a `e e2 con dimensioni di energia × lunghezza. Si preferisce esprimere l’intensit`a in una forma adimensionale dividendo e2 per c = 197 M eV · f m; si ottiene α=

e2 ∼ 1 = c 137

(7.87)

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

193

quantit` a nota come costante di struttura ﬁne. b) Interazione forte Il valore dell’intensit` a dell’interazione forte che abbiamo indicato con gf2 (vedi eq. (7.78)), pu` o essere ricavato risolvendo l’equazione di Schr¨ odinger per un sistema di due nucleoni con potenziale dato dalla (7.78) e imponendo che il livello pi` u basso dell’energia degli stati legati sia uguale all’energia di legame del deutone nota sperimentalmente. Poich´e la soluzione dell’equazione non `e agevole, preferiamo valutare gf2 in modo approssimato procedendo in modo semiclassico in analogia con il caso dell’atomo di idrogeno. L’energia del sistema elettrone-protone `e14 B = T + Vc =

1 e2 α 1 μ v2 − = μv 2 − c , 2 r 2 r μ=

mp me . mp + me

(7.88)

Nel caso di orbite circolari deve essere soddisfatta la condizione forza centrifuga = forza coulombiana: μv 2 e2 = 2, r r ossia v2 =

e2 . μr

(7.89)

Tenendo conto della (7.89) nella (7.88), si ottiene B=−

1 e2 . 2 r

(7.90)

Se si pone la condizione che il momento angolare sia quantizzato, L = rp = μvr = n 14

n = 1, 2, 3, · · ·

(7.91)

L’energia totale del sistema in quiete costituito da due particelle 1 e 2 interagenti in uno stato legato (elettrone e protone nell’atomo di idrogeno; neutrone e protone nel nucleo di deuterio; ecc.) `e individuata dalla massa che, relativisticamente, `e data dalla somma di tutte le energie in gioco: m12 c2 = m1 c2 + m2 c2 + B B =T +V T `e l’energia cinetica del moto relativo e V l’energia potenziale d’interazione; B rappresenta l’energia di legame ed `e la quantit` a espressa dalla (7.88) e dalla (7.94).

194

7 Decadimento β

e si tiene conto della (7.89), si ottiene che il raggio classico delle orbite pu`o assumere i valori discreti n 2 2 e2 μ

rn =

(7.92)

e l’energia corrispondente (7.90) ha i valori discreti 1 e2 μ =− Bn = − 2 rn 2

e2 n

2

α2 1 = − μc2 2 2 n

(7.93)

La (7.93) coincide con l’espressione che si ottiene risolvendo l’equazione di Schr¨ odinger per un potenziale coulombiano. Applichiamo ora la procedura semiclassica al caso dell’interazione forte tra due nucleoni, in particolare fra protone e neutrone, assumendo che l’interazione sia descritta dalla (7.78). L’energia totale del sistema `e e− a 1 2 μv − gf2 . 2 r r

B = T + Vf (r) =

(7.94)

La forza radiale `e F r = −gradr Vf = −

∂ Vf (r) = gf2 ∂r

1 1 + r a

e− a . r

Per orbite circolari deve essere soddisfatta la relazione r 1 1 e− a μv 2 = Fr = gf2 + r r a r

r

(7.95)

(7.96)

e per la (7.91) si ha 2

v =

n rn μ

2 .

(7.97)

Combinando la (7.96) con la (7.97) si ottiene gf2

=μ

n μrn

2

e 1 rn

rn a

+

1 a

.

(7.98)

Inﬁne, combiniamo le eq. (7.94), (7.96) e (7.98), otteniamo la seguente relazione fra l’energia e il raggio classico dell’orbita: rn 1 n2 2 1 a −1 . n (1, 2, 3 ...) (7.99) Bn = 2 μa2 rn 2 ran + 1 a

Per n = 1 si ha l’energia dello stato fondamentale del deutone che `e nota sperimentalmente:

7.6 Interazione elettromagnetica, interazione forte e interazione debole

195

B1 = −2.225M eV . La (7.99) `e quindi un’equazione in r1 che pu`o essere risolta numericamente; essa risulta soddisfatta per r1 = 1.22 fm. Per n = 1, la (7.98) fornisce il seguente valore per gf2 : gf2 = 86M eV · f m = 0.4c . Questo valore `e dello stesso ordine di grandezza di quello ottenibile con procedure pi` u soﬁsticate (gf2 = 0.28c). c) Interazione debole Per quanto riguarda l’intensit` a dell’interazione debole, facciamo riferimento alla (7.79) e al fatto che nell’ambito della teoria di Fermi del decadimento β abbiamo gi`a espresso l’intensit`a nella forma gF = 1.415 · 10−62 J · m3 = 0.883 · 10−4 M eV · f m3 . Se dividiamo questa quantit` a per un volume, che assumiamo essere deﬁnito dal cubo della lunghezza d’onda Compton del protone, otteniamo: B=

gF mp c

3 =

0.883 10−4 M eV · f m3 3

(0.21 f m)

= 9.53 10−3 M eV .

Interpretiamo questa energia come l’energia potenziale dell’interazione debole data dalla (7.79) e valutiamo l’intensit` a dell’interazione ponendo: gd2 = Vd ≡ B , a da cui otteniamo

Ba (7.100) c = 1.04 10−7 c , c dove a `e la lunghezza d’onda Compton del bosone Z 0 (MZ0 = 91.2GeV /c2 ): gd2 =

a=

c = 2.16 10−3 f m . mZ 0 c2

(7.101)

L’esposizione precedente ci ha consentito di mettere in evidenza con argomenti semplici le caratteristiche essenziali e le diﬀerenze pi` u rilevanti delle interazioni fondamentali. Sottolineiamo che la trattazione `e estremamente sempliﬁcata, come appare dalle seguenti osservazioni limitate al caso dell’interazione forte. Innanzi tutto i nucleoni non sono puntiformi, come le sorgenti da noi considerate, ma hanno una struttura costituita da tre quark. In secondo luogo i mesoni scambiati sono di vario tipo per quanto riguarda la massa e altre propriet` a intrinseche (carica elettrica, isospin, spin, parit` a), cos`ı che i potenziali φ associati al loro scambio possono non essere scalari, come nel caso da noi trattato.

196

7 Decadimento β

Tabella 7.3. Caratteristiche delle interazioni fondamentali. L’intensit` a dell’interazione gravitazionale `e deﬁnita come Gm2p = (Gm2p /c)c, dove G `e la costante di gravitazione universale e mp `e la massa del protone. Per quanto riguarda gd , usualmente viene riportato un diﬀerente valore (gd = 1.02 · 10−5 ) ottenuto dividendo “ ”3 gF ermi per mp c2 mc . 2 pc

interazione

gravitazionale

debole

elettromagnetica

forte

raggio d’azione (fm)

∞

10−3

∞

1

1/137

0.28

fotone

mesoni

0 particelle cariche

≥ 139 M eV /c2 adroni

2

intensit` a (f /c) particelle scambiate massa particelle soggette all’interazione

5.9 · 10

−39

gravitone tutte

−7

1.04 · 10 ±

W ,Z

0

≈ 90 GeV /c leptoni e adroni

2

A ogni mesone corrisponde un raggio d’azione che decresce al crescere della massa. L’energia d’interazione nucleone-nucleone `e esprimibile mediante la somma di termini corrispondenti ai diversi mesoni, alcuni dei quali sono attrattivi (energia d’interazione negativa), altri sono repulsivi; il risultato `e un’energia d’interazione attrattiva per r grande e repulsiva per r piccolo. Per r molto piccolo la trattazione dell’interazione in termini di scambi mesonici diviene inadeguata e occorre tener conto della struttura a quark dei nucleoni. La (7.78) `e signiﬁcativa solo per r molto grande. L’andamento qualitativo dell’interazione nucleone-nucleone ha l’andamento illustrato in ﬁg. 7.17. L’interazione elettromagnetica fra due cariche elettriche q1 e q2 (per esempio, due elettroni) pu` o essere rappresentata nel piano (x, t) nella forma di un diagramma (diagramma di Feynman) come in ﬁg. 18a. Le semirette rappresentano l’evoluzione spazio-temporale delle particelle prima e dopo l’interazione. In accordo con i principi di conservazione delle cariche elettriche esse non hanno discontinuit` a. Esse cominciano a −∞ terminano a +∞. Ogni particella `e caratterizzata da un quadrimpulso. Le semirette si incontrano in corrispondenza di vertici dai quali si diparte una linea tratteggiata che rappresenta il quanto (fotone) scambiato nell’interazione. √ Ogni vertice `e caratterizzato da un peso di valore α e il prodotto dei pesi dei due vertici connessi d`a l’intensit` a dell’interazione, che vale appunto α. Analoghe rappresentazioni possono essere fatte per l’interazione forte e l’interazione debole, come esempliﬁcato nelle ﬁg. 7.18b e c, che non richiedono speciﬁche spiegazioni.

7.7 Appendici

197

Fig. 7.17. Energia d’interazione nucleone-nucleone costruita tenendo conto di tutti i possibili scambi mesonici. Notare che essa diventa repulsiva per piccoli valori di r. Per r grande questa funzione ha l’andamento della funzione (b) di ﬁg 7.16. La ﬁgura mostra anche il livello energetico del deutone.

Fig. 7.18. Esempi di diagrammi di Feynman per l’interazione elettromagnetica (a), forte (b) e debole(c).

7.7 Appendici 7.7.1 Energia liberata, masse atomiche ed energia di legame Invece che tramite le masse dei nuclei, il bilancio energetico delle reazioni (7.2), e (7.3) del par. 7.1 pu` o essere fatto tramite le masse atomiche (che sono le quantit` a eﬀettivamente misurate con gli spettrograﬁ di massa) o tramite le energie di legame dei nuclei. La massa atomica `e correlata alla massa nucleare dalla relazione Ma (A, Z) = M (A, Z) + Zme − Be ∼ = M (A, Z) + Zme ,

(7.102)

o essere trascurata. dove Be `e l’energia di legame degli elettroni atomici, che pu` Sostituendo questa espressione nelle (7.6) del par. 7.2 si ottiene

198

7 Decadimento β

β− β

+

CE

Qβ − = Ma (A, Z) − Ma (A, Z + 1) , Qβ + = Ma (A, Z) − Ma (A, Z − 1) − 2me ,

(7.103)

QCE = Ma (A, Z) − Ma (A, Z − 1) .

La massa nucleare `e esprimibile mediante le masse del protone e del neutrone liberi e l’energia di legame: M (A, Z) = Zmp + (A − Z)mn − B(A, Z) .

(7.104)

Sostituendo questa relazione nelle (7.6) del par. 7.2 si ottiene β−

Qβ − = mn − mp − me − B(A, Z) + B(A, Z + 1) ,

β+

Qβ + = mp − mn − me − B(A, Z) + B(A, Z − 1) ,

CE

QCE = mp − mn + me − B(A, Z) + B(A, Z − 1) .

(7.105)

7.7.2 Densit` a degli stati Deﬁniamo come stato di una particella in moto libero l’insieme dei valori delle componenti px , py e pz del suo impulso p. Una terna di valori px ,py e pz identiﬁca un punto nello spazio degli impulsi (vedi ﬁg. 7.19). In coordinate polari le componenti dell’impulso sono px = p senθ cos φ , py = p senθsenφ , pz = p cosθ . Un volume inﬁnitesimo dello spazio degli impulsi dpx dpy dpz o, in coordinate polari, p2 dpsenθdθdφ, individua gli stati accessibili alla particella per variazioni inﬁnitesime dell’orientazione e del modulo dell’impulso, ossia per impulso compreso nell’intervallo fra p e p + dp. L’integrale di tale volume su θ e φ ρ 2π dφ senθdθ = 4πp2 dp, pdp 0

0

`e lo spazio compreso fra le superﬁci sferiche di raggi p e p + dp e individua l’insieme degli stati accessibili corrispondenti allo stesso modulo dell’impulso ma a diﬀerenti orientazioni. Estendiamo ora queste considerazioni a particelle descritte secondo la meccanica ondulatoria. Una particella in moto libero lungo un segmento di lunghezza L `e caratterizzata da un moto stazionario con lunghezza d’onda e impulso

7.7 Appendici

λ=

L , n

199

n = 1, 2, 3, ...

2π 2π = n. λ L Ogni valore di n deﬁnisce un valore dell’impulso o, equivalentemente, uno stato della particella. Il numero di stati compreso fra n e n + Δn `e p=

Δn =

L Δp . 2π

(7.106)

Se la particella si muove liberamente in un cubo di lato L, la relazione (7.106) vale per ciascuna delle componenti px , py , pz dell’impulso. In questo caso uno stato `e deﬁnito dalla terna di valori nx , ny , nz. . Il prodotto 3 L Δpx Δpy Δpz (7.107) Δnx Δny Δnz = 2π rappresenta il numero totale di stati con valori di px , py , pz compresi nel “volume” dello spazio degli impulsi Δpx Δpy Δpz .

Fig. 7.19. Spazio degli impulsi.

Supponiamo ora che il numero di stati possibili entro un intervallo Δp sia molto elevato in modo tale che il rapporto Δn/Δp sia costante al diminuire di Δp e possa essere sostituito dalla relazione fra inﬁnitesimi dp/dn. Allora la (7.107) diviene 3 L 3 dpx dpy dpz . (7.108) d N = dnx dny dnz = 2π dpx dpy dpz rappresenta il volume inﬁnitesimo nello spazio degli impulsi in coordinate ortogonali. Conviene esprimere la (7.108) in coordinate polari

200

7 Decadimento β

d3 N =

Ω

3p

(2π)

2

dp senθ dθ dφ ,

(7.109)

dove Ω rappresenta un volume sferico. Se integriamo su θ e φ, otteniamo dN =

4πΩ 2 p dp , (2π)3

(7.110)

quantit` a che rappresenta il numero di stati con modulo dell’impulso compreso fra p e p + dp e orientazione arbitraria. 7.7.3 Sezione d’urto ν + p → e+ + n Esiste una semplice relazione fra la sezione d’urto σ di un processo e la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo w (deﬁnita nel par. 7.5). Con riferimento a ﬁg. 7.20, si consideri un fascio di particelle incidenti con velocit` av su un bersaglio di sezione A e spessore dx contenente n particelle per unit` a di volume. La probabilit` a che una particella incidente interagisca con una particella del bersaglio `e dP = (σ/A)(nAdx); quindi la probabilit` a per unit` a di tempo `e dP σ nAdx = = nσv . dt A dt dP/dt pu`o essere interpretata come la probabilit`a di transizione fra due stati,

Fig. 7.20. Schema di fascio parallelo di particelle puntiformi incidenti su un bersaglio di densit` a n costituito da particelle aventi sezione s.

quello che precede e quello che segue l’interazione, ossia ha lo stesso signiﬁcato di w. Pertanto, posto dP/dt = w, risulta σ=

w 1 · . v n

Per un bersaglio costituito da una sola particella in un volume Ω, si ha inﬁne σ=Ω

w . v

(7.111)

Consideriamo ora la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo per la reazione ν + p → e+ + n:

7.7 Appendici

201

2π 2 |Hif | ρ . ρ `e la densit`a degli stati ﬁnali (vedi 7.119): w=

ρ=

dN 4πΩ 1 = pe Ee , 3 dEo (2π) c2

con pe ed Ee impulso ed energia dei positroni; Eo `e l’energia totale in gioco e, tenuto conto che Mn >> me , ha l’espressione: Eo = Eν + Ep = En + Ee ∼ Mn c2 + p2e c2 + m2e c4 . Con le ipotesi e le approssimazioni usuali per le funzioni d’onda del neutrino e del positrone e per la densit`a di hamiltoniana H (vedi par. 7.5) e tenuto conto che nello stato ﬁnale non c’`e interazione coulombiana, per la matrice di transizione si ha g g ∗ ∗ Ψn∗ Ψp dτ = |Hif | = Ψe Ψn HΨp Ψν dve dvν dτ = |Mif | , Ω Ω dove |Mif | `e la componente nucleare della matrice di transizione. Pertanto risulta g2 2 1 1 1 pe Ee . (7.112) w= |Mif | 2 Ω c π 4 o essere ricavata tramite le relazioni (7.58) e (7.64) La quantit` a g 2 |Mif |2 pu` relative al decadimento del neutrone: 2

|Mif | = 1 , g2 =

1 2 3 2 . gF + gGT 4 4

(7.113) (7.114)

Per la (7.111) e la (7.112) si ha15 σ (Ee ) = Ω

w g 2 cpe Ee = . vν π4 c4 βν

Essa pu`o essere espressa in funzione dell’energia dell’antineutrino. Poich´e Ee = Ep − En + Eν ∼ (Mp − Mn ) c2 + Eν 2 pe = 1c Ee2 − m2e c4 = 1c [(Mp − Mn ) c2 + Eν ] − m2e c4 , si ha, infatti,

15

Si tenga presente che, a causa della piccola massa dell’antineutrino, in tutte le formule che seguono si pu` o porre βν = 1.

202

7 Decadimento β

σ (Eν ) =

g2 1 (Mp − Mn ) c2 + Eν × π4 c4 βν ( )1/2 2 (Mp − Mn ) c2 + Eν − m2e c4 .

(7.115)

Tenuto conto della (7.114) e dei seguenti valori numerici (vedi par. 7.5.8): gF = 1.41 10−62 joule · m3

gGT = −1.79 10−62 joule · m3

= 1.05 10−34 joule · s risulta g2 = 0.925 10−22 m2 /joule2 = 2.375 10−44 cm2 /M eV 2 , π4 c4 ( )1/2 1 2 σ (Eν ) = 2.37 10−44 × [Eν − 1.29] [Eν − 1.29] − 0.26 cm2 . βν (7.116) Poich´e nell’esperimento di Cowan e Reines, descritto nel par. 7.3, erano utilizzati antineutrini con energia distribuita fra 0 e 9 MeV circa (vedi ﬁg. 13.6 di cap. 13), calcoliamo la sezione d’urto per un valore intermedio, precisamente per Eν = 1 M eV ; risulta 3.76 · 10−43 cm2 , valore dello stesso ordine di grandezza di quello misurato. La (7.116) implica che l’energia dei neutrini sia superiore a un valore di soglia: Eν > (Mn − Mp ) c2 + me c2 = 1.79M eV . Per Eν >> 1.79 M eV la (7.116) pu` o essere scritta nella forma approssimata σ(Eν ) ∼ =

g 2 Eν2 π4 c4 βν

(7.117)

7.7.4 Densit` a degli stati ﬁnali per ν + p → e+ + n Calcoliamo la densit`a degli stati ﬁnali per la reazione ν + p → e+ + n Trattandosi di una reazione a due corpi ﬁnali, il numero dN di stati ﬁnali per un intervallo dE o di energia disponibile `e determinato dal corrispondente numero di stati elettronici: dN =

4πΩ

2 3 pe dpe

(2π)

Poich´e l’energia in gioco `e Eo = Eν + Ep = Ee + En ∼ = e

p2e c2 + m2e c4 + mn c2

(7.118)

7.7 Appendici

203

pe c2 dEo ∼ dpe , = dEe = Ee la (7.118) diviene 4πΩ dN = pe Ee . 3 dEo (2π) c2

(7.119)

7.7.5 Emissione di elettroni, raggi X e γ conseguente al decadimento β Il decadimento β `e, nella maggior parte dei casi, seguito dall’emissione di raggi γ, raggi X ed elettroni atomici. L’emissione di soli β `e limitata ai seguenti nuclei [12]: 3

H,

14

C,

32, 33

P,

35

S,

36

Cl,

45

Ca,

63

N i,

90

Sr,

90

Y,

99

T c,

147

P m,

204

Tl

L’emissione secondaria di raggi γ e X e di elettroni `e dovuta a vari processi che descriviamo in modo schematico qui di seguito con riferimento anche a ﬁg.7.21. a) Il nucleo ﬁnale pu` o essere in uno stato eccitato dal quale pu`o passare allo stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ) o trasferendo l’energia di eccitazione direttamente a un elettrone delle orbite pi` u interne dell’atomo a cui il nucleo appartiene; il secondo processo `e detto conversione elettronica interna. Schematicamente, possono avvenire le seguenti reazioni: A(Z) → A∗ (Z + 1) + β − + ν , A∗ (Z + 1) → A(Z + 1) + nγ , A∗ (Z + 1) → A(Z + 1) + e− . Un esempio `e mostrato in ﬁg. 7.22. L’emissione elettronica `e possibile solo per quegli elettroni atomici per i quali `e soddisfatta la relazione Te = E − Ij > 0 , dove Te `e l’energia cinetica dell’elettrone, E `e la diﬀerenza fra l’energia del nucleo iniziale eccitato e quella del nucleo ﬁnale nello stato fondamentale e Ij `e il potenziale di ionizzazione dell’elettrone nel livello j. Pertanto i a del possibili valori di Te costituiscono un sistema discreto. La probabilit` processo di conversione interna decresce al crescere di E, aumenta con Z e decresce al crescere di I. In ﬁg. 7.23 `e mostrato lo spettro d’impulso dei β emessi nel decadimento dell’131 I, rappresentato dalla linea regolare, sul quale sono sovrapposti

204

7 Decadimento β

Fig. 7.21. Schema dei processi atomici e nucleari che danno luogo all’emissione secondaria di raggi X, raggi γ , elettroni e positroni.

picchi corrispondenti agli elettroni di conversione dell’atomo eccitato dello 131 Xe. I processi di conversione interna e di emissione di raggi γ sono in competizione fra loro e la costante di decadimento di un livello eccitato `e data dalla somma delle costanti di decadimento dei processi concorrenti: λ = λe +λγ . b) Con una probabilit` a 104 volte pi` u piccola, la diseccitazione di un nucleo pu` o avvenire anche tramite la creazione di una coppia e+ e− , se l’energia di eccitazione `e > 2me = 1.022 MeV c) La conversione interna d`a origine a un livello vacante nella conﬁgurazione atomica, ossia a una conﬁgurazione eccitata dell’atomo, il quale pu` o passare allo stato fondamentale tramite l’emissione di raggi X o l’emissione di elettroni Auger. Nel secondo processo l’energia di eccitazione viene trasferita direttamente a un elettrone appartenente alle orbite pi` u esterne dell’atomo. Emissione di raggi X e di elettroni Auger si ha anche come conseguenza del processo di cattura elettronica. d) Nel caso di decadimento β + , i positroni emessi possono annichilare con gli elettroni atomici dando origine a una coppia di fotoni aventi circa la stessa energia secondo la reazione

7.7 Appendici

205

Fig. 7.22. Principali transizioni β dal livello fondamentale dell’131 I a vari livelli dello 131 Xe. Le transizioni γ sono in competizione con processi di conversione interna.

e+ e− → 2γ (0.511 M eV ). e) L’emissione di radiazione secondaria da parte dei nuclei ﬁnali accompagna anche i processi di assorbimento dei neutrini da parte dei nuclei atomici. Mentre gli elettroni emessi nel decadimento β sono caratterizzati da uno spettro continuo d’energia, gli elettroni e la radiazione elettromagnetica emessi nei processi secondari sopra descritti sono caratterizzati da spettri discreti. Essi costituiscono quindi delle sorgenti di radiazione “monocromatiche” molto utili ai ﬁni dello studio di rivelatori di particelle. A titolo esempliﬁcativo in tab. 7.3 sono riportate le caratteristiche di alcune sorgenti in uso nei laboratori. Inﬁne, la radiazione secondaria ha un ruolo rilevante nello studio di propriet` a del decadimento β (si veda, per esempio, il cap. 9 dedicato alla non conservazione della parit`a) e nell’identiﬁcazione dei processi di assorbimento dei neutrini (si veda, per esempio, l’esperimento di Cowan e Reins nel par. 7.3 e il cap. 13 dedicato allo studio dei neutrini solari) 7.7.6 Fattore coulombiano Ripetiamo per comodit`a il fattore correttivo coulombiano introdotto nel par. 7.5.6: 2nπ 2 |Ψe (0)| = 2nπ e −1

206

7 Decadimento β

Fig. 7.23. Spettro d’impulso degli elettroni emessi nel decadimento β dell’131 I e degli elettroni di conversione provenienti dai livelli K ed L dell’atomo di 131 Xe. I valori 80, 164, ecc. indicano in keV i livelli eccitati dell’atomo di Xe. Il punto ﬁnale pmax corrisponde a un’energia massima di 605 keV.[19] e Tabella 7.4. Esempi di nuclei radioattivi per decadimento β e cattura elettronica (CE) con emissione di γ (dovuti all’annichilazione e+ e− e a diseccitazione del nucleo ﬁglio) e di elettroni di conversione interna. Nel caso di decadimento β `e riportato il valore dell’energia massima degli elettroni e dei positroni. Gli atomi dei nuclei ﬁgli, eccetto quelli conseguenti al decadimento del 22 N a e del 60 Co sono anche sorgenti di raggi X. [16]

22 + 11 N a (β (545 keV 54 25 M n (CE, 57 27 Co (CE,

T1/2 = 0.855 a)

T1/2 = 0.744 a)

60 − 27 Co (β (316 137 − 55 Cs (β ,

keV ), T1/2 = 5.271 a)

T1/2 = 30.2 a)

133 56 Ba (CE, 207 83 Bi(CE,

), CE; T1/2 = 2.603 a)

T1/2 = 10.54 a)

T1/2 = 31.8 a)

γann (511 keV ); γ (1275 keV ) γ(835 keV ) γ(14; 122; 136 keV ) γ(1173; 1333 keV ) e− con (514; 1176 keV ); γ(662 keV ) e− con (45; 75 keV ); γ(81; 356 keV ) e− con (481; 975; 1047 keV ) γ(569; 1063; 1770 keV )

7.7 Appendici

n=μ

zz e2 , 2 ke

z = +1 per β + ,

207

z = −1 per β −

pe , μ = massa ridotta Posto x = |2nπ|, si veriﬁca facilmente che il fattore correttivo coulombiano ha l’andamento in funzione di pe descritto in tab. 7.5 e in ﬁg. 7.7.7. ke =

7.7.7 Misura della vita media del neutrone Il decadimento del neutrone libero `e l’unico caso di decadimento β in cui l’interazione debole non `e inﬂuenzata dal legame dei nucleoni nei nuclei. E’ evidente, quindi, l’importanza di conoscere con la pi` u elevata precisione e accuratezza possibili il valore della costante di decadimento da cui si ricava g 2 mediante la (7.62) . Purtroppo la sua misura non `e agevole poich´e non sono disponibili campioni di neutroni “fermi”. Illustriamo schematicamente le metodologie seguite a questo ﬁne. Tabella 7.5. Andamento di f (pe ) per decadimenti β − e β + β−

β+

f (x) =

x 1−e−x

x→0 p→∞

f (x) →

x x

x1 p→0

f (x) → x → ∞

→1

f (x) = f (x) → f (x) →

x ex

x ex −1 x x

→1

→0

Fig. 7.24. Andamento qualitativo di f (pe ).

208

7 Decadimento β

Esse sono fondamentalmente due: una si basa sulla misura dell’attivit` a in un fascio di neutroni in moto libero, l’altra sullo studio della diminuzione temporale del numero dei neutroni conﬁnati in un volume chiuso per un tempo pi` u lungo della loro vita media. Illustriamo le due metodologie con due esempi. a) Un apparato per l’applicazione del primo metodo utilizzando neutroni termici (E ≈ (0.5 − 5) · 103 eV, v ≈ (0.98 − 9.8) · 103 m/s) o freddi (E ≈ (0.5 − 5) · 102 eV, v ≈ (1.4 − 9.8) · 102 m/s) `e illustrato schematicamente in ﬁg. 7.25. Supponiamo che il fascio di neutroni sia monocromatico con velocit` a v, abbia divergenza nulla, abbia sezione S e ﬂusso Fn (numero di neutroni per unit` a di superﬁcie e per unit` a di tempo) costante nel tempo. Il numero dNn di neutroni contenuti nel volume S dx in un intervallo di tempo dt `e dNn = Fn Sdt = Fn S

dx , v

da cui segue che il numero di neutroni contenuti nel volume SL `e Nn = Fn SL/v

(7.120)

ed `e costante nel tempo. Fn /v `e la densit`a di volume dei neutroni.

Fig. 7.25. Schema dell’apparato per la misura dell’attivit` a di un fascio di neutroni.[18]

Un dispositivo ideale che circonda il fascio `e in grado di rivelare tutti i protoni o tutti gli elettroni emessi nei decadimenti che si veriﬁcano all’interno del volume SL. L’attivit` a relativa a questi decadimenti `e misurata dal rapporto fra il numero ΔNp di particelle rivelate in un intervallo di tempo Δt e l’intervallo stesso: A = λNn = da cui si ricava

ΔNp , Δt

7.7 Appendici

λ=

A Av = . Nn Fn SL

209

(7.121)

λ `e determinato dalla misura di A e di Fn . Il valore del ﬂusso Fn pu`o essere misurato mediante il rivelatore di neutroni situato a valle del volume SL; il rivelatore presenta al fascio una lamina su cui `e depositato un sottile strato Δx di 10 Be con numero di nuclei per unit` a di volume ρ(Be). Il berillio assorbe i neutroni secondo la reazione 10

Be + n →7 Li + α ,

di cui `e nota la sezione d’urto σ(n, α). Il numero ΔNα di particelle α prodotte `e dato dalla relazione ΔNα = ΔN σ(n, α)ρ(Be)Δx .

(7.122)

ΔN `e il numero di neutroni che incide sul bersaglio di berillio in un intervallo di tempo Δt; esso `e uguale al numero di neutroni contenuto in un volume di sezione S e lunghezza vΔt, ossia per la (7.120) ΔN = Fn SΔt.

(7.123)

Combinando le relazioni (7.123) e (7.122) si ottiene Fn . Si rileva che pu` o essere preferibile valutare l’attivit` a dei neutroni misurando i protoni di decadimento invece degli elettroni perch´e i protoni, avendo energia cinetica massima molto pi` u piccola (vedi eq. (7.22)) e conseguente distribuzione energetica molto meno dispersa, possono essere distinti pi` u facilmente dalla radiazione di fondo. Nel caso del decadimento del neutrone, per le relazioni (7.18) e (7.20) risulta T2max

Temax = 781 keV = 0.75 keV ≈ 10−3 Temax .

Ai ﬁni della rivelazione e della distinzione dal fondo, i protoni vengono accelerati ﬁno a conseguire un’energia dell’ordine di 15 − 40 keV. b) Fra i metodi basati sul conﬁnamento, consideriamo un esempio di conﬁnamento mediante campo magnetico, nel quale si utilizzano neutroni ultrafreddi (E ≈ 10−7 eV, v ≈ 4.4 m/s). I neutroni sono dotati di momento magnetico μ e, posti in un campo magnetico d’induzione B con μ e B paralleli e concordi, acquisiscono un’energia potenziale U = −μ · B = −μB . Se B non `e uniforme, essi sono soggetti a una forza F = −grad U = μ grad B .

210

7 Decadimento β

Se supponiamo che la forza abbia simmetria cilindrica attorno a un asse z, dipenda solo dalla distanza r dall’asse, sia attrattiva e di tipo armonico, sia cio`e F = Fr = −Cr, grad B deve avere diversa da zero solo la componente lungo r. Pertanto, in coordinate cilindriche deve essere Fr = μ grad B = μ

∂B = − Cr , ∂r

(7.124)

da cui, integrando fra 0 ed ro , si deduce B=

r2 Cr2 ≡ Bo 2 . μ ro

ro indica il raggio del volume cilindrico che racchiude il campo magnetico e Bo = B(ro ) `e il valore massimo del campo. Un campo d’induzione magnetica con tali caratteristiche `e detto campo di sestuplo magnetico ed `e ottenibile, per esempio, mediante sei conduttori rettilinei paralleli disposti simmetricamente su una superﬁcie cilindrica nei quali ﬂuiscono correnti di uguale intensit` a con versi alternati (vedi ﬁg. 7.26a). I neutroni vengono sospinti dalla forza F verso l’asse del cilindro. Nessuna forza agisce invece lungo l’asse del cilindro perch´e il campo magnetico `e costante lungo esso e quindi i neutroni non sono conﬁnati in questa direzione. Per ottenere un conﬁnamento totale `e suﬃciente incurvare il cilindro e i conduttori in modo da ottenere un anello toroidale (vedi ﬁg. 7.26b). In questo modo i neutroni tendono ad accumularsi lungo una circonferenza mediana del toro e a traslare lungo essa con velocit`a media costante. Con riferimento a ﬁg. 7.26b, la condizione perch´e i neutroni si muovano lungo un’orbita di raggio r nel piano zx `e che la forza centripeta (7.124) sia bilanciata da quella centrifuga: v2 con Ro − r < r < R o + r . r Un neutrone rimane intrappolato se la sua energia totale `e negativa: Fr (r ) = m

E = T + U = T − μB < 0 . Poich´e μ = 6.02 · 10−8 eV/tesla, per conﬁnare neutroni ultra freddi (per esempio, con T = 6 · 10−8 eV) occorre un campo d’induzione magnetica d’intensit` a maggiore di 1 tesla. Senza entrare in dettagli tecnici, la misura della costante di decadimento viene eﬀettuata iniettando pi` u volte nella trappola un numero No di neutroni e misurando il numero di neutroni residui N (ti ) per valori crescenti del tempo ti . Imponendo che i valori misurati soddisﬁno alla relazione N (ti )/No = e−λti , si ottiene il valore di λ e di τ = 1/λ. Il numero dei neutroni iniettati all’inizio di ogni ciclo e quello dei neutroni residui sono misurati con un rivelatore che utilizza la reazione

7.7 Appendici

211

Fig. 7.26. (a) Campo magnetico di sestupolo prodotto da sei correnti lineari. Le linee circolari punteggiate sono linee equipotenziali, quelle tratteggiate sono linee vettoriali del campo d’induzione. (b) Met` a trappola toroidale.[17]

n + 3 He → p + 3 H + 0.77 M eV . Il valore medio delle pi` u recenti misure della vita media `e (vedi anche ﬁg. 7.27b) τn = 887.0 ± 2.0s = 14.78 ± 0.03m. E’ istruttivo considerare l’evoluzione nel tempo della misura di τn mostrata in ﬁg. 7.27a. Come si vede, nelle successive misure diminuisce non solo l’errore, ma anche il valore medio. Fra la media delle misure ottenute prima degli anni 60 (∼ 17 m) e il valor medio attuale la diﬀerenza `e di 2 m ! In ﬁg. 7.27c `e riportata l’evoluzione nel tempo delle misure di gGT /gF ottenute dallo studio del decadimento del neutrone.

212

7 Decadimento β

Fig. 7.27. (a) Misure della vita media del neutrone tn secondo l’anno di pubblicazione nelle successive edizioni del Review of Particle Properties (RPP); (b) pi` u recenti misure di tn ; (c) valutazione di gGT /gF secondo l’anno di pubblicazione su [16].

Bibliograﬁa

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8 Misura della massa del neutrino

8.1 Introduzione Data l’importanza del neutrino nella ﬁsica delle interazioni fondamentali, in cosmologia e nella ﬁsica solare, sono stati eﬀettuati molti esperimenti al ﬁne di determinarne la massa. Ciononostante, le nostre conoscenze sono ancora incerte: infatti le misure pi` u accreditate riguardano solo il limite superiore della massa, peraltro compatibile con massa zero. u piccola di quella di qualunque Il neutrino1 ha sicuramente una massa pi` altra particella nota, escluso il fotone, come si deduce semplicemente sulla base del principio di conservazione dell’energia. Si consideri, infatti, una generica reazione A → B + e− + ν¯ . Per il principio di conservazione dell’energia si ha MA = MB + TB + me + Te + mν + Tν ,

(8.1)

dove M , m = massa e T = energia cinetica. Quindi mν = MA − (MB + me ) − (TB + Te + Tν )

(8.2)

≤ MA − (MB + me ) ≡ Q0 . Dall’esame dei nuclei β instabili risulta che il pi` u piccolo valore di Q0 `e fornito dal decadimento del renio: 187 75 Re 1

− → 187 ¯, 76 Os + e + ν

In questo capitolo usiamo per semplicit` a il termine neutrino in senso generico per indicare sia la particella che la sua antiparticella. A rigore dovremmo usare il temine antineutrino poich´e saranno considerati solo decadimenti β − . Per l’invarianza rispetto a CP ci si aspetta che le masse del neutrino e dell’antineutrino siano uguali. Inoltre useremo la notazione m con signiﬁcato di mc2 .

216

8 Misura della massa del neutrino

Q0 = M (Re) − [M (Os) + me ] = 2.663 ± 0.019 keV . Quindi mν < 2.66 keV. Sulla base degli esperimenti descritti schematicamente in questo capitolo, relativi alla misura “diretta” della massa, il neutrino potrebbe avere massa nulla. Tuttavia non esistono argomenti a priori a sostegno di essa, come nel caso del fotone per il quale massa zero `e in relazione col fatto che il potenziale coulombiano ha raggio d’azione inﬁnito, ossia decresce con la distanza come 1/r (vedi par. 7.6 del cap. 7). Inoltre, l’interpretazione del fenomeno dell’oscillazione di neutrino osservato in alcuni recenti esperimenti (vedi cap. 14 e 16) richiede che la massa sia diversa da zero, anche se non si `e in grado di determinarne il valore.

8.2 Decadimento del trizio 8.2.1 Spettro energetico dei β Il metodo tradizionale per la misura della massa del neutrino si fonda sullo studio dello spettro energetico degli elettroni emessi nel decadimento del trizio: 3

H → 3 He + e− + ν¯

(8.3)

Il trizio ha il pregio di avere il pi` u piccolo valore di Z (= 1), cos`ı che gli eﬀetti dell’interazione coulombiana sono i pi` u piccoli fra tutti i nuclei. Questo metodo `e detto “diretto”, perch´e si basa semplicemente sui principi di conservazione dell’energia e dell’impulso. Altri metodi sono detti “indiretti” perch´e forniscono indicazioni sulla massa attraverso lo studio di fenomeni che presuppongono che la massa sia diversa da zero quali il doppio decadimento β e le oscillazioni di neutrino (vedi i cap. 15 e 16). Il decadimento del trizio (eq. (8.3)), nel quale un neutrone si trasforma in protone, ha caratteristiche simili a quelle del decadimento del neutrone libero. Esso `e dato da una transizione favorita fra due nuclei speculari di isospin T = 1/2, spin I = 1/2 e parit`a +. Al decadimento contribuiscono sia l’interazione di Fermi che di Gamow-Teller. Il tempo di dimezzamento `e T1/2 = 12.33 ± 0.06 anni. Per questo decadimento si ha Q0 = M (3 H) − M (3 He) + me = 18.591 ± 0.001 keV .

(8.4)

Riportiamo, per comodit` a, alcune relazioni ricavate nel par. 7.5.6 del cap. 7 con alcune modiﬁche nelle notazioni. La distribuzione energetica degli elettroni `e dw N (E) = (8.5) = C F (Z, E) pE(E0 − E) (E0 − E 2 ) − m2ν , dE dove E `e l’energia totale dell’elettrone, pe il suo impulso, E0 l’energia totale massima, C `e una costante, mν `e la massa dell’antineutrino e F (Z, E) =

8.2 Decadimento del trizio

217

2

|Ψe (0)| tiene conto dell’interazione coulombiana fra l’elettrone e il nucleo residuo. N (E) si estende da E = me al valore massimo E0 = MA − MB − TB − mν

Fig. 8.1. Distribuzione dell’energia cinetica T = E − me dei β − emessi dal trizio. Nell’inserto `e mostrata in dettaglio la regione vicina al punto ﬁnale per due valori della massa del neutrino. [4]

E0 `e detto comunemente “punto ﬁnale”. Poich´e il valore di mν `e comunque piccolo rispetto a E0 , l’andamento di N (E) `e inﬂuenzato dal valore di mν solo in prossimit`a di E0 . L’andamento di N (E) per mν = 0 e mν = 35eV `e mostrato in ﬁg. 8.1; il valore di mν `e rappresentato dall’intervallo fra i punti ﬁnali delle due distribuzioni. I dati sperimentali sono spesso confrontati con la funzione di Kurie cos`ı deﬁnita: $ N (E) (8.6) K(E) = = C(E0 − E) (E0 − E)2 − m2ν , F (Z, E) pE perch´e, per mν = 0, ha il semplice andamento lineare √ K(E) = C(E0 − E) . Se mν = 0, K(E) `e una retta per E − E0 >> mν e decresce rapidamente a zero in prossimit`a di E0 − mν con pendenza verticale per E = E0 − mν (Fig. 8.2).

218

8 Misura della massa del neutrino

Fig. 8.2. Funzione di Kurie per massa del neutrino uguale a zero e diversa da zero.

In linea di principio, la procedura per determinare il valore di mν consiste nel misurare la distribuzione energetica dei β e nell’adattare a questa la distribuzione teorica (8.5) (o la (8.6)) con il metodo dei minimi quadrati, essendo C, E0 e m2ν parametri liberi. Tuttavia la distribuzione (8.5) non `e osservabile direttamente in quanto essa si riferisce al caso ideale di elettroni emessi da nuclei di trizio isolati che si trasformano in nuclei di elio isolati . Nel caso reale pi` u semplice, i nuclei di trizio sono inseriti in atomi di molecole biatomiche.2 Questo fatto ha varie conseguenze sulla distribuzione energetica. Innanzitutto, un elettrone emesso in un decadimento risente del campo coulombiano nucleare solo ﬁno a distanze corrispondenti alle orbite elettroniche, oltre le quali il potenziale, detto schermato, si annulla molto rapidamente con legge esponenziale:

V (r) ≈ ZZ e2

e−r/R r

R ≈ 105 f m . 2

Tenendo conto dei livelli atomici dell’atomo di He, si potrebbe veriﬁcare una particolare modalit` a di decadimento nella quale l’elettrone liberato dal trizio viene catturato dal nucleo di elio in un’orbita atomica; si avrebbe quindi la formazione di un atomo di elio ionizzato una volta e l’emissione di un antineutrino 3

H → 3 He+ + ν¯ .

Essendo la reazione con due soli corpi nello stato ﬁnale, gli antineutrini sarebbero monocromatici.

8.3 Spettrometro

219

R `e una lunghezza dell’ordine del raggio atomico. Ci` o comporta una correzione al fattore F , peraltro di piccola entit` a. Ha invece conseguenze rilevanti sulla forma dello spettro energetico il fatto che l’elettrone dell’atomo di elio che ha origine dal decadimento del trizio ha un’energia di legame nello stato fondamentale diversa da quella nell’atomo di trizio e, inoltre, pu` o essere in un livello eccitato. Evidentemente tutto questo avviene a scapito dell’energia cinetica disponibile per i β. Per tener conto dell’eccitazione atomica, la (8.5) pu` o essere modiﬁcata nel seguente modo:

F (E) = C W0n F (Z, E) pE(E0n − E) (E0n − E)2 − m2ν , (8.7) n

dove ogni addendo rappresenta la distribuzione energetica dei β emessi in decadimenti con formazione di atomi di elio nel livello elettronico eccitato nesimo. W0n `e la probabilit` a di transizione a tale livello, E0n `e l’energia massima disponibile per i β per le transizioni fra lo stato fondamentale dell’atomo di trizio e gli stati dell’atomo di elio. W0n e E0n sono stimabili teoricamente sulla base di argomenti di ﬁsica atomica. In Appendice 8.10.1 sono date alcune valutazioni numeriche esempliﬁcative di E0n ; i relativi diagrammi di Kurie per massa del neutrino uguale a zero e diversa da zero sono mostrati in ﬁg. 8.3a e b, rispettivamente. Nel caso di sorgenti di trizio molecolare la probabilit` a di eccitazione dei livelli elettronici `e stata stimata del 30% con valor medio dell’energia di eccitazione di circa 13 eV. Nel caso abituale di sorgenti costituite da trizio impiantato in un supporto inerte, nel quale atomi di trizio sostituiscono atomi d’idrogeno, una frazione dell’energia liberata nel decadimento viene spesa nell’eccitazione delle molecole del materiale di supporto; per i materiali comunemente usati la probabilit` a di eccitazione `e stata stimata del 40% con energia media di eccitazione di circa 19 eV. Vale a dire, nel 30 − 40% dei casi i β hanno mediamente un’energia inferiore di 13 − 19 eV rispetto a quella di emissione dal nucleo e il difetto di energia `e paragonabile al valore cercato della massa del neutrino! Poich´e sia l’eccitazione dell’3 He sia la massa del neutrino diversa da zero danno luogo a un abbassamento di E0 , il trascurare il primo fenomeno nell’analisi dei dati condurrebbe a sopravvalutare il valore del quadrato della massa. Quindi la (8.7) `e la distribuzione teorica che deve essere usata nell’analisi dei dati sperimentali per determinare il valore di mν .

8.3 Spettrometro La misura dello spettro β richiede una sorgente radioattiva, uno spettrometro e un rivelatore di elettroni. Una forma molto sempliﬁcata di spettrometro `e rappresentata in ﬁg. 8.4. Un fascetto di β collimato entro un angolo solido Ω viene immesso tramite un sistema di fenditure in una regione dove `e presente

220

8 Misura della massa del neutrino

Fig. 8.3. Diagrammi di Kurie in prossimit` a del punto ﬁnale che illustrano l’eﬀetto della formazione di atomi di 3 He prodotti dal decadimento del trizio. n = 1 riguarda la formazione di atomi di elio nello stato fondamentale e n = 2 e 3 in livelli eccitati. (a) considera il caso di massa del neutrino uguale a zero e (b) il caso di massa diversa da zero. Gli errori di misura non sono stati presi in considerazione. “Totale” indica la linea risultante dalla somma delle linee per n = 1, 2, 3. [8]

un campo magnetico uniforme B. Se l’impulso p dei β `e ortogonale a B, i β descrivono una traiettoria circolare di raggio R e incidono sul rivelatore se `e soddisfatta la relazione p = eRB. Il dispositivo gode della propriet` a che elettroni con la stessa velocit`a emessi in direzioni poco diverse (Ω piccolo) vengono focalizzati nello stesso punto del rivelatore. Utilizzando valori diﬀerenti del campo magnetico Bi `e possibile selezionare elettroni con diﬀerenti valori dell’impulso pi . Eﬀettuando conteggi di uguale durata temporale per i diﬀerenti valori del campo magnetico `e possibile costruire un istogramma che rappresenta un campionamento della distribuzione d’impulso. Invece di selezionare l’impulso degli elettroni variando B, si pu`o selezionare la loro energia mantenendo B ﬁsso a un valore opportunamente scelto e variando il valore di una diﬀerenza di potenziale frenante ΔV , come mostrato in ﬁg. 8.4. Hanno traiettoria di raggio R gli elettroni la cui energia cinetica E soddisfa alla relazione (eRB)2 p2 = = E − ΔV . 2me 2me Eﬀettuando conteggi di uguale durata temporale per diﬀerenti valori ΔVi, si ottiene un campionamento dello spettro energetico.

8.3 Spettrometro

221

Fig. 8.4. Schema di spettrometro per la misura dello spettro d’impulso dei β. ΔS = sorgente, D = rivelatore. La ﬁgura mette in evidenza la dipendenza della dispersione dell’impulso Δp dall’accettanza angolare Δφ e dall’estensione della sorgente ΔS.

Fig. 8.5. Schema di spettrometro adottato dal gruppo di Zurigo: (8.1) sorgente, (8.2) elettrodi per decelerare i β, (3,4) avvolgimenti percorsi da corrente, (8.6) rivelatore, (8.7) e (8.8) diaframmi. [8]

Nei casi pratici la sorgente e il rivelatore non sono puntiformi, ma hanno estensioni ﬁnite ΔS e ΔD e l’angolo solido non pu` o essere troppo piccolo. Da ci`o segue che sul rivelatore incidono elettroni con impulso variabile entro un intervallo Δp (energie entro ΔE). Le caratteristiche dello spettrometro che determinano la qualit` a della misura sono il potere risolutivo R = E/ΔE (E `e l’energia cinetica media e ΔE la sua dispersione attorno a E) e la luminosit`a L = ΔS (Ω/4π) (prodotto dell’angolo solido accettato dallo spettrometro per la superﬁcie della sorgente), caratteristiche fra loro contrastanti: normalmente una grande luminosit` a `e ottenuta a scapito di un elevato potere risolutivo e viceversa; nei casi pratici ci si deve adattare a un ragionevole compromesso.

222

8 Misura della massa del neutrino

La sorgente emette elettroni in modo isotropo. Per una buona risoluzione il fascio di elettroni immesso nello spettrometro deve essere il pi` u collimato possibile, in modo che la divergenza degli elettroni accettati sia la pi` u piccola possibile. Ci`o riduce la frequenza di conteggio, a scapito della signiﬁcativit` a statistica della misura. Si tenga presente che la probabilit` a di decadimento nella regione vicina al punto ﬁnale E0 `e molto piccola: assumendo Mν = 0, risulta che nell’intervallo (E0 − 100 eV, E0 ) essa `e solo 3 · 10−7 ! Per aumentare la frequenza occorre allentare la collimazione. Ai ﬁni di ottenere un’elevata risoluzione e un basso fondo, negli spettrometri eﬀettivamente utilizzati negli esperimenti si ricorre a particolari accorgimenti costruttivi che li rendono molto pi` u complessi del semplice dispositivo di ﬁg. 8.4. Per esempio, nell’apparato rappresentato in forma schematica in ﬁg. 8.5, si ricorre all’accorgimento di far percorrere agli elettroni un percorso tortuoso attraversante pi` u fenditure.3

8.4 Risoluzione In generale in corrispondenza di un valore nominale E dell’energia di un β, lo spettrometro fornisce un valore E , pi` u o meno diverso da E a seconda della sua risoluzione. Questa `e deﬁnita da una funzione R che rappresenta la distribuzione energetica misurata in corrispondenza di una sorgente di elettroni monoenergetici (vedi Appendice 8.10.2). R `e una funzione dell’energia misurata E e di quella primaria E. Se la sorgente, come nel caso d’interesse, emette elettroni con energia distribuita con continuit` a secondo la funzione F (E) (vedi eq. (8.7)), la distribuzione osservata `e data dalla convoluzione fra R e F(E) (vedi Appendice 8.10.2): FR (E) = R(E) ⊗ F (E) = R(E − E )F (E )dE (8.8) E’ chiaro che FR (E) si discosta da F (E) tanto meno quanto pi` u “stretta ” `e la funzione R. In prima approssimazione, la funzione R pu` o essere determinata sperimentalmente utilizzando gli elettroni monocromatici emessi per conversione interna da atomi nei quali `e avvenuto il processo di cattura elettronica. In realt` a, gli elettroni di conversione interna non sono rigorosamente monocromatici, ma hanno una certa dispersione con una coda a basse energie dovuta a interazioni secondarie. Una possibile conseguenza della limitata risoluzione dello spettrometro `e che la distribuzione energetica si estenda oltre il valore ﬁnale E0 (vedi ﬁg. 8.6). La risoluzione spesso `e indicata sinteticamente con la larghezza a met`a altezza del picco della funzione R. Si ha una buona risoluzione quando tale 3

Uno spettrometro ispirato a criteri completamente diﬀerenti dai precedenti `e illustrato nel par.3.

8.5 Perdita d’energia per ionizzazione

223

Fig. 8.6. A causa della risoluzione ﬁnita, lo spettro pu` o estendersi oltre Eo .(curva continua).

larghezza `e (molto) minore del valore atteso della massa del neutrino. Tuttavia, nel caso in esame, ha grande importanza la forma di R e in particolare, la sua estensione alle basse energie.

8.5 Perdita d’energia per ionizzazione Usualmente le sorgenti non sono di trizio gassoso, ma sono costituite da trizio impiantato in opportuni materiali. Ci` o ha come conseguenza che i β − emergenti devono attraversare uno spessore di materiale variabile con l’angolo di emissione, con conseguente perdita di energia per ionizzazione ed eccitazione. Per contenere il pi` u possibile questa perdita, gli atomi di trizio vengono impiantati in strati superﬁciali di supporti materiali di opportuna struttura molecolare e di grande superﬁcie. A causa della perdita di energia per eccitazione e ionizzazione lo spettro energetico degli elettroni emergenti dal mezzo `e diverso da quello di emissione dai nuclei (o dagli atomi) originari. Le due distribuzioni, iniziale e ﬁnale, sono a correlate come segue. Sia f (Ei , E, x) la distribuzione che misura la probabilit` che un elettrone di energia iniziale Ei emerga con una energia compresa fra E e E + dE (o che perda un’energia ΔE = Ei − E) dopo un percorso di lunghezza x. La funzione f `e caratterizzata, in generale, da un picco largo e da una lunga coda che si estende nella regione di basse energie. Sia EL (Ei , E) la distribuzione media di f (Ei , E, x) su tutti i percorsi compatibili con lo spessore della sorgente e l’angolo solido di accettanza dello spettrometro. Se FR (Ei ) `e la distribuzione energetica dei β data dall’eq. (8.8), la distribuzione modiﬁcata dalla perdita di energia per ionizzazione `e (8.9) Fexp (E) = EL ⊗ FR (E) = EL (E − E )FR (E )dE . E’ questa distribuzione (con altre modiﬁche di minor conto che qui non sono prese in considerazione) che deve essere confrontata con i dati sperimentali al ﬁne di ricavare il valore di mν .

224

8 Misura della massa del neutrino

Fig. 8.7. La funzione di risoluzione nell’esperimento di Zurigo data dalla convoluzione della risoluzione dello spettrometro (−R) e dalla perdita di energia per ionizzazione (EL ). Essa si riferisce all’allargamento di una riga monoenergetica situata sullo 0. [8]

Riassumendo, le cause principali che rendono diversa la distribuzione sperimentale da quella attesa data dalla (8.7) sono la risoluzione intrinseca dello spettromettro descritta dalla funzione R e la perdita di energia per ionizzazione descritta dalla funzione EL . L’eﬀetto strumentale totale `e dato dalla convoluzione Fstr (E) = R(E − E )EL (E )dE . (8.10) La convoluzione di questa funzione con la (8.7) coincide con la (8.9). Fig. 8.7 mostra un esempio delle funzioni R e EL e della loro convoluzione.

8.6 Radiazione di fondo Nella distribuzione energetica sperimentale si osservano segnali anche nella regione con E > E0 dovuta a radioattivit` a spuria. Evidentemente, segnali spuri sono presenti, mescolati ai segnali buoni, anche per E < E0 e se ne deve tener conto nell’analisi dei dati. Come mostra ﬁg. 8.8, la presenza del fondo estende la distribuzione a valori di E pi` u alti di Emax (o di E0 ). Pertanto, il trascurare il fondo porta a sottostimare il valore del quadrato della massa del neutrino.

8.7 Analisi dei dati In linea di principio l’analisi dei dati `e eﬀettuata adattando la funzione “teorica” data dall’eq. (8.9), addizionata di una funzione B = costante che descrive

8.7 Analisi dei dati

225

Fig. 8.8. Graﬁco di Kurie alterato dagli eﬀetti della risoluzione e del fondo.

la radiazione di fondo, alla distribuzione sperimentale con il metodo dei minimi quadrati. I parametri liberi determinati dalla minimizzazione di χ2 sono la costante C, l’energia E0 , la massa mν al quadrato, che compaiono nell’equazione di base (8.5), e la costante B. Altri possibili parametri liberi non sono ` evidente che la validit` stati introdotti in questa trattazione sempliﬁcata. E a dei risultati (cio`e la precisione dei valori dei parametri e la loro attendibilit` a) `e condizionata dalla statistica e dalla correttezza e completezza di tutte le modiﬁche che devono essere apportate alla distribuzione di base data dalla (8.5). Raggiungere una conoscenza completa di tutti i fattori che inﬂuenzano la misura di mν `e impresa veramente ardua ma essenziale, in quanto ognuno di essi introduce perturbazioni di entit` a confrontabile con la grandezza incognita, se non pi` u grandi. Gli sperimentatori si sono mossi lungo due vie parallele: sul piano teorico hanno perfezionato la conoscenza degli eﬀetti di perturbazione e sul piano sperimentale hanno realizzato condizioni in cui le perturbazioni fossero minime. Al ﬁne di mettere in luce eﬀetti sistematici residui `e estremamente eﬃcace anche il confronto fra esperimenti diversi condotti da gruppi indipendenti di ricercatori. Per mettere in evidenza che non tutto `e chiaro anche negli esperimenti pi` u raﬃnati, richiamiamo l’attenzione proprio sul parametro libero costituito dalla massa del neutrino. Di tale grandezza, l’analisi col metodo dei minimi 2 . Nonostante che ﬁsicaquadrati fornisce il quadrato con un errore, m2ν ± σm 2 2 o essere mente sia mν ≥ 0, in numerose analisi risulta mν < 0! Una causa pu` un inadeguato trattamento degli eﬀetti distorcenti lo spettro dei β. Infatti, se nella (8.5) il termine sotto radice assume la forma (E0 − E)2 + α

226

8 Misura della massa del neutrino

con α > 0 , la distribuzione si estende oltre il valore E0 senza annullarsi. Pertanto, se la distribuzione sperimentale si estende oltre E0 e nell’analisi non si tiene conto adeguatamente dei fattori distorcenti, pu` o risultarne un valore negativo della massa al quadrato α = −m2ν . Il problema del valore negativo del quadrato della massa non `e stato chiarito. Ciononostante anche in questi casi si pu`o tentare di ricavare un limite superiore per la massa: per esempio, si pu`o deﬁnire come limite superiore per il quadrato della massa il valore m2ν +3σm2 e da questo ricavare il limite superiore del valore di mν ; chiaramente il risultato `e aﬀetto da un errore sistematico. In letteratura vengono utilizzati procedimenti statistici pi` u raﬃnati, ma nessuno completamente soddisfacente.

8.8 Risultati sperimentali Come si `e rilevato in precedenza, la quantit` a dedotta direttamente dall’analisi dello spettro β non `e la massa del neutrino, ma il suo quadrato, il quale nella maggior parte degli esperimenti risulta negativo (vedi ﬁg. 8.9), sebbene compatibile con 0; il valore medio di varie misure eﬀettuate ﬁno al 1998 `e infatti4 m2ν¯ = −27 ± 20 eV 2 . Dalle misure del quadrato della massa sono stati dedotti contraddittori e controversi valori della massa del neutrino (o meglio, del limite superiore della massa). Un gruppo di analisi ha fornito valori del limite superiore della massa compatibili con massa zero.

Fig. 8.9. Valori del quadrato della massa del neutrino ottenuti in vari esperimenti. [18] 4

Per un aggiornamento di questo valore, vedere par. 8.3.

8.8 Risultati sperimentali

227

In ﬁg. 8.10 `e riportato l’andamento nel tempo di questi valori ottenuti in successivi esperimenti; si nota che il limite superiore diminuisce come conseguenza dell’aﬃnamento degli apparati e delle procedure di analisi. Il valore pi` u basso `e di 3 eV; esso `e stato ottenuto in un esperimento in cui `e stato usato uno spettrometro di nuova concezione (vedere par. 8.3) e una sorgente di trizio allo stato gassoso [12]. Fig. 8.11 mostra il diagramma di Kurie nella regione prossima al punto ﬁnale ottenuto in una recente misura compatibile con massa zero. Questi risultati sono quelli che godono attualmente maggior credito presso la comunit` a scientiﬁca.

Fig. 8.10. Limite superiore della massa del neutrino elettronico in MeV in vari esperimenti aggiornato al 2003. ( [7])

Tuttavia, a causa dei valori negativi del quadrato della massa non ben compresi, permangono perplessit`a sull’eﬀettivo valore da attribuire al limite superiore della massa del neutrino. Cautela e ripensamenti sono messi in evidenza dal fatto che, mentre nel Review of Particle Properties del 1994 veniva dato un limite superiore di 7.1 eV sulla base dei precedenti esperimenti, nel Review of Particle Physics del 1998 viene dato un limite prudentemente pi` u elevato (15 eV) anche sulla base di osservazioni sperimentali di neutrini di origine stellare (vedere par. 12.5.2 del cap. 12). In ﬁg. 8.10 `e riportato anche un risultato (del 1980) con massa del neutrino incompatibile con zero, perch´e compresa nell’intervallo 14 − 46 eV. Questo esperimento `e stato oggetto di molte critiche e il risultato non `e generalmente ritenuto attendibile; tuttavia esso ha avuto il merito di suscitare grande interesse per questo tipo di misure. Nel 1985 apparve il risultato di un esperimento sul decadimento del trizio che dava alla massa del neutrino un valore straordinariamente elevato (17

228

8 Misura della massa del neutrino

keV). Successivamente altri cinque esperimenti sul decadimento di 35 S, 14 C e 71 Ge confermarono tale risultato con uno scarto sorprendentemente piccolo (∼ 0.5 eV!). Tuttavia, altri esperimenti condotti per veriﬁcare i precedenti, non trovarono alcuna evidenza di neutrini di massa 17 keV. Inﬁne alcuni gruppi, dopo aver riesaminato i loro esperimenti alla luce delle critiche ricevute, scoprirono alcuni errori nei loro esperimenti e ritrattarono i loro risultati favorevoli a 17 keV.

Fig. 8.11. Diagramma di Kurie [9]. Le curve c-e sono relative a una massa del neutrino di 0 (c), 10 (d), 20 (e) eV. La curva (a) `e un adattamento a tutti i dati sperimentali e la curva (b) ai soli dati negli ultimi 50 eV. Questa analisi ha fornito il valore limite mν ≤ 7.2 eV.

Fra i parametri liberi delle procedure di analisi degli spettri energetici ﬁgura, come si `e detto in precedenza, la diﬀerenza fra la massa del trizio e dela, l’3 He. Fig. 8.12 mostra l’evoluzione temporale delle misure di questa quantit` che va in parallelo con quella del limite superiore della massa del neutrino. Fig. 8.12 mostra una progressiva riduzione dell’errore e una convergenza verso un unico valor medio. Fig. 8.12 mostra la presenza di un errore sistematico in un certo numero di misure connesso con un valore negativo della massa al quadrato.

8.9 Spettrometro a trappola magnetica La diﬃcolt`a di raggiungere nello stesso tempo un elevato potere risolutore e un’elevata luminosit` a `e stata superata recentemente mediante apparati di con-

8.9 Spettrometro a trappola magnetica

229

Fig. 8.12. Misure di Q0 deﬁnita dalla (8.2) in keV.[5]

cezione diversa da quelli sommariamente descritti. Uno di essi `e rappresentato in forma schematica nella ﬁg. 8.13.

Fig. 8.13. Due solenoidi uguali S1 ed S2 generano un campo d’induzione magnetica non uniforme avente l’intensit` a minima nel piano mediano dell’apparato. Un serie di elettrodi cilindrici simmetricamente disposti rispetto allo stesso piano generano un campo elettrico le cui linee vettoriali hanno andamento simile a quelle del campo d’induzione, ma i versi sono opposti a sinistra e a destra del piano. La sorgente di trizio `e alloggiata nella cavit` a del solenoide S1, il rivelatore di elettroni nella cavit` a del solenoide S2. [3]

230

8 Misura della massa del neutrino

Qualitativamente il suo funzionamento `e il seguente. Gli elettroni prodotti dal decadimento del trizio sono emessi in modo isotropo; quelli emessi nell’emisfero a destra della sorgente (entro un angolo solido di circa 2π) vengono trattenuti (o intrappolati) nella regione dove `e presente il campo magnetico e fatti convergere verso il rivelatore; essi vengono rallentati dal campo elettrostatico nel moto dalla sorgente al piano di simmetria dell’apparato; se l’energia cinetica iniziale `e suﬃciente a superare la barriera repulsiva dovuta al potenziale elettrostatico (To > eUo ), essi oltrepassano tale piano, vengono riaccelerati e convergono sul rivelatore; in caso contrario vengono respinti verso la sorgente.

Fig. 8.14. Il campo elettrico generato da un elettrodo cilindrico `e la sovrapposizione di campi elettrici generati da coppie di cariche di uguale segno.

Fig. 8.15. Azione del campo magnetico sul moto degli elettroni.

8.9 Spettrometro a trappola magnetica

231

Analizziamo ora la situazione in termini quantitativi, sia pure in forma un po’ idealizzata. Consideriamo un elettrone con energia cinetica e velocit` a iniziali To e vo e trascuriamo momentaneamente la presenza del campo elettrostatico. Supponiamo anche che la velocit` a dell’elettrone non sia relativistica. In un generico punto della sua traiettoria scomponiamo la velocit` a dell’elettrone in una componente longitudinale (v ) e una trasversale (vt ) rispetto alla direzione del campo magnetico B (vedi ﬁg. 8.15). L’energia cinetica, che nel moto in un campo magnetico rimane costante, pu` o essere scomposta in una parte trasversale e in una longitudinale entrambe variabili: 1 1 (8.11) To = Tt + T = mvt2 + mv 2 . 2 2 Per eﬀetto della componente longitudinale della velocit` a l’elettrone trasla parallelamente a B e per eﬀetto della componente trasversale esegue un moto rotatorio attorno a B impressogli dalla forza di Lorenz F L = qv t × B . L’eﬀetto combinato dei due moti `e una traiettoria elicoidale attorno a una linea di B (vedi ﬁg. 8.13). Se nel corso di un ciclo del moto rotatorio B varia poco, possiamo ritenere che il moto impresso dalla forza di Lorenz sia un moto circolare uniforme con velocit`a lineare vt , raggio r e pulsazione ω; quindi si ha v2 (8.12) FL = qvt B = Bqrω = mω 2 r = m t . r Posto Tt = TBt B, dalla (8.11) si ottiene dTt Tt dB dT

d Tt dT

+ + =B + = 0. (8.13) dt dt dt B B dt dt Con un’opportuna conﬁgurazione del campo magnetico `e possibile che sia soddisfatta la condizione Tt dB dT

+ = 0, B dt dt cos`ı che per la (8.13) risulta d dt ossia

Tt B

Tt Tot , = costante = B Bo

= 0,

(8.14)

Tt = Tot

B , Bo

(8.15)

dove Tot e Bo sono i valori iniziali (sulla sorgente) dell’ energia cinetica trasversale e del campo magnetico. La (8.15) mostra che la componente trasversale dell’ energia cinetica diminuisce con B; poich´e sul piano mediano di ﬁg. 8.13a

232

8 Misura della massa del neutrino

il rapporto B/Bo pu`o avere un valore dell’ordine di 10−4 , su di esso l’energia cinetica trasversale `e trascurabile e l’energia longitudinale dell’elettrone coincide praticamente con l’energia totale iniziale To 5 : T = To − Tot ≈ To .

(8.16)

L’incertezza sull’energia, ossia la risoluzione, pu` o essere stimata con le seguenti considerazioni. Se indichiamo con αo l’angolo iniziale fra v o e B o , si ha vot = vo senαo , 1 m vo2 sen2 αo = To sin2 αo , 2 1 To = m vo2 cos2 αo = To cos2 αo . 2 Poich´e sen αo varia fra 0 e 1, l’escursione sia dell’energia cinetica trasversale sia di quella longitudinale `e molto grande all’origine: Tot =

ΔTot = ΔTol =

1 mv 2 = To , 2 o

ma molto piccola sul piano mediano: ΔTt =

B B ΔTot = To , Bo Bo

ΔT = Δ(To − Tt ) = −

B To . Bo

(8.17)

Quindi l’azione del campo magnetico su elettroni di uguale energia cinetica emessi in diﬀerenti direzioni entro un angolo solido di 2π `e di convogliarli con energia quasi inalterata entro un’area limitata del piano mediano e di focalizzarli poi sul rivelatore ﬁnale. E’ possibile ottenere valori di ΔT dell’ordine di 4 eV. In presenza del campo elettrico, gli elettroni sono rallentati nella traslazione a sinistra del piano mediano a causa della forza oppositrice F = −eE ; oltrepassano il piano se l’energia cinetica `e maggiore dell’altezza della barriera repulsiva, ossia se T ≈ To ≥ eUo , (8.18) 5

La (8.14) implica quanto segue. L’elettrone rotante `e assimilabile a una spira percorsa da corrente (vedi ﬁg. 8.15); ad esso compete quindi un momento magnetico orientato come B di modulo μ = (πr2 )i = (πr2 )qν = q(πr2 )

1 Tt vt 1 mvt2 = qrvt = = , 2πr 2 2 B B

dove si `e tenuto conto delle (8.11) e (8.13). Dunque, per la (8.14) μ rimane costante durante la traslazione.

8.10 Appendici

233

e vengono inﬁne accelerati verso il rivelatore. Variando il valore del potenziale Uo si seleziona l’energia minima degli elettroni che possono essere rivelati; la (8.17) d`a l’incertezza sul valore minimo, ossia misura la risoluzione energetica dello strumento. Riassumendo, la peculiarit` a di questo spettrometro `e la grande accettanza angolare (≈ 2π) unita a una elevata risoluzione. Negli spettrometri progettati secondo criteri di massima sopra esposti sono state utilizzate anche sorgenti di trizio puro (sorgenti di trizio gassoso conﬁnato in una trappola magnetica). Essi hanno consentito di ottenere per il quadrato della massa del neutrino il valore −1.1+2.4 eV 2 , a cui corrisponde un limite superiore della massa di 2 eV. ([22], [2], [10], [16]).

8.10 Appendici 8.10.1 Decadimento β del 3 H in livelli eccitati dell’3 He Consideriamo transizioni tra atomi di trizio nello stato fondamentale e atomi di elio ionizzati, cio`e con un solo elettrone in diﬀerenti livelli. L’energia di legame dell’elettrone atomico `e 1 En = − μc2 2

Zα n

2

1 ∼ = − me c2 2

Zα n

2

1 = − 0.511 2

Z n 137

2 M eV .

Quindi per il livello fondamentale dell’atomo di trizio (Z = 1, n = 1) e per i livelli pi` u bassi dell’atomo di elio (Z = 2, n = 1, 2, 3) risulta E1 (3 H) = −13.3 eV

E1 (3 He) = −53.2 eV

E2 (3 He) = −13.3 eV

E3 (3 He) = −5.9 eV

Per i principi di conservazione dell’energia e dell’impulso si ha M (3 H) = M (3 He) + T (3 He) + Ee + Eν p(3 He) + p e + p ν = 0 L’energia massima dei β si ha per Eν = 0, pν = 0. Poich´e Ee2 = p2e + m2e = p2 (3 He) + m2e , si ottiene (vedi eq. 7.21 e 7.22 del cap. 7) E(3 He) =

M 2 (3 H) + M 2 (3 He) − m2e , 2M (3 H)

3 2 M ( H) − M (3 He) − m2e . T ( He) = E( He) − M ( He) = 2M (3 H) 3

3

3

234

8 Misura della massa del neutrino

Queste relazioni valgono sia che si consideri il decadimento fra nuclei isolati che fra atomi; ovviamente sono diﬀerenti le masse in gioco. Tenuto conto anche dei livelli di eccitazione dell’elio, le relazioni fra masse atomiche e masse nucleari sono: Mat (3 H) = m(3 H) + me + E1 (3 H) , Mat (3 He) = m(3 He) + me + En (3 He) . Per la stima delle masse si pu`o fare riferimento ai valori delle energie di legame atomiche calcolate all’inizio e ai seguenti valori delle quantit` a nucleari: mp = 938.27231 ± 0.00028 M eV

mn = 939.56563 ± 0.00028 M eV

me = 0.51099906 ± 0.00000015 M eV B(3 He) = −7718.058 ± 0.002 keV

m(3 He) = 2808.392192 M eV

B(3 H) = − 8481.821 ± 0.004 keV

m(3 H) = 2808.921748 M eV

Data la piccola diﬀerenza fra masse atomiche e masse nucleari, il valore dell’energia cinetica dell’elio in corrispondenza del punto ﬁnale della distribuzione energetica dei β `e praticamente indipendente dai valori utilizzati; risulta T (3 He) = 3.33 eV . Il valore dell’energia ﬁnale dei β nel caso si considerino decadimenti fra nuclei isolati `e E0 = m(3 H) − m(3 He) − T (3 He) , e per decadimenti fra atomi E0n = Mat (3 H) − Mat (3 He) − T (3 He) = E0 + E1 (3 H) − En (3 He) I valori delle energie massime dei β − corrispondenti ai livelli eccitati con n = 1, 2 e 3 sono: E01 = E0 − E1 (3 He) + E1 (3 H) = E0 + 39.9 eV , E02 = E0 − E2 (3 He) + E1 (3 H) = 0 eV , E03 = E0 − E3 (3 He) + E1 (3 H) = −7.4 eV . E0 aumenta o diminuisce a seconda del livello ﬁnale. L’esempio di ﬁg. 8.3 mostra invece i diagrammi di Kurie in corrispondenza di tre valori decrescenti di E0 . 8.10.2 Convoluzione e risoluzione di uno spettrometro La convoluzione di una funzione (dell’energia) F (E) con una funzione R(E) `e deﬁnita dalla relazione

8.10 Appendici

FR (E) = F (E) ⊗ R(E) = Supponiamo che

F (E )R(E − E )dE .

235

(8.19)

R(E) dE = 1 .

Fig. 8.16. Risoluzione dello spettrometro. (a) La misura di una riga monoenergetica d` a una distribuzione di larghezza ﬁnita h . La riga A ` e risolta rispetto alle righe B e C; le righe B e C non sono risolte. (b) Distorsione di una distribuzione continua.

Se interpretiamo R(E) come causa deformante della funzione F (E), FR (E) `e la “deformata” di F (E). Se la funzione R(E) ha una forma a campana, la sua struttura viene sintetizzata mediante la sua larghezza a met`a altezza, che indichiamo con h. a) Supponiamo che la funzione F (E) sia una riga monoenergetica con E = Ei , a della funzione δ di Dirac ossia F (E) = Fo δ(E − Ei ); allora per le propriet` si ha (vedi ﬁg. 8.16a) FR (E) = Fo R(E − Ei )

(8.20)

236

8 Misura della massa del neutrino

e l’integrale di tale funzione `e uguale a Fo . La distribuzione “distorta” di una riga monoenergetica ha esattamente la forma della funzione distorcente.

Fig. 8.17. Larghezza naturale dell’energia di elettroni monocromatici di 7 302 keV emessi da una sorgente di 57 Co ed eﬀetto della risoluzione dello spettrometro.

b) Se due righe monoenergetiche sono separate da un intervallo ΔE < h, per eﬀetto della “distorsione” appaiono sovrapposte (o non “risolte”, vedi ﬁg. 8.15a). c) Sia F (E) una funzione continua. Suddividiamo il suo intervallo di deﬁnizione in intervalli uguali di ampiezza ΔEi centrati attorno ai valori Ei e consideriamo la seguente somma di funzioni δ:

F (Ei )ΔEi δ(E − Ei ) . (8.21) i

La (8.21), divisa per il fattore costante ΔEi , `e una rappresentazione discreta della funzione assegnata (vedi ﬁg. 8.16b). Ognuno degli addendi si trasforma per azione della funzione R(E) come la (8.20), quindi la “deformata” della (8.21) `e

F (Ei )ΔEi R(E−Ei ) . (8.22) i

Per ΔEi → 0 eseguiamo la sostituzione ΔEi → dE cos`ı che la (8.22) diviene proprio la convoluzione fra F (E) e R(E): FR (E) = F (E ) R(E − E )dE . Fig. 8.17 mostra un esempio di distribuzione sperimentale stretta (assimilabile a una δ) e della corrispondente misura mediante uno spettrometro.

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9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

9.1 Parit` a 9.1.1 Leggi di conservazione e propriet` a di invarianza. Le leggi ﬁsiche sono soggette a restrizioni date da principi generali che sono rappresentati dalle leggi di conservazione o, equivalentemente, dalle propriet` a di simmetria dello spazio-tempo. La conseguenza pratica di queste restrizioni `e che non tutto quello che potrebbe accadere in astratto accade eﬀettivamente. Richiamiamo in modo schematico le principali leggi di conservazione come premessa alla discussione sulla parit`a, facendo riferimento all’equazione di Schr¨ odinger come legge ﬁsica: i

∂ Ψ (r , t) = HΨ (r , t) , ∂t

(9.1)

2 2 ∇ + V (r , t) . 2m

(9.2)

H=−

a) Legge di conservazione dell’energia. Essa ha come corrispettivo il principio di invarianza delle leggi ﬁsiche per traslazione del tempo. Questo principio implica che: i) le leggi del moto e dell’interazione non dipendono dal tempo; ii) l’hamiltoniana di un sistema isolato non contiene il tempo come variabile esplicita, ossia nella (9.2) V (r , t) = V (r ); iii) un esperimento eﬀettuato in un laboratorio isolato a un dato istante d` a lo stesso risultato se eﬀettuato nello stesso laboratorio in un istante diverso.

240

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

b) Legge di conservazione dell’impulso. Essa ha come corrispettivo il principio di invarianza delle leggi ﬁsiche per traslazione delle coordinate spaziali (principio di omogeneit` a dello spazio). Questo principio implica che: i) l’impulso totale di un sistema non soggetto a forze esterne `e costante nel tempo; ii) l’hamiltoniana di una particella libera non contiene esplicitamente le coordinate di posizione, quindi nella (9.2) V (r ) = 0; iii) il potenziale d’interazione di due particelle non dipende dalla loro posizione assoluta ma solo dalla loro distanza, ossia nella (9.2) V (r 1 , r 2 ) = V (r 1 − r2 ) ; iv) un esperimento eﬀettuato in un laboratorio isolato d` a lo stesso risultato dopo una traslazione del laboratorio. c) Legge di conservazione del momento angolare orbitale. Essa ha come corrispettivo il principio di invarianza delle leggi ﬁsiche per rotazione delle coordinate spaziali (principio dell’isotropia dello spazio). Questo principio implica che: i) l’hamiltoniana non dipende dall’orientazione nello spazio, ossia nella (9.2) V (r ) = V (r); ii) un esperimento eﬀettuato in un laboratorio isolato d` a lo stesso risultato se viene eﬀettuato dopo una rotazione del laboratorio. 9.1.2 Inversione delle coordinate spaziali. Parit` a In questo paragrafo riprendiamo e sviluppiamo concetti gi` a introdotti nel par. 4.2.2 del cap. 4. Data una grandezza funzione delle coordinate spaziali f (r ), indichiamo con f (r ) la grandezza che si ottiene eﬀettuando la sostituzione r → −r (che chiamiamo inversione delle coordinate). La sostituzione r → −r viene indicata tramite l’applicazione dell’operatore di parit` a P tale che Pf(r ) = f (r ) = f (−r ). L’operatore P inverte tutte e tre le componenti di r , ossia produce la trasformazione x → −x, y → −y, z → −z , o, in coordinate polari, r → r, Se risulta

θ → π − θ,

ϕ → ϕ + π.

9.1 Parit` a

241

P f (r ) = f (−r ) = f (r ) , la grandezza f `e detta pari ; se risulta P f (r ) = f (−r ) = −f (r ) , `e detta dispari. Come si `e detto, la trasformazione P f (r ) = P f (x, y, z) = f (−x, −y, −z) implica l’inversione di tre coordinate. Si pu` o eﬀettuare un’inversione di coordinate anche mediante una rotazione di 180o attorno a un asse (per esempio l’asse y), ma in questo caso si ottiene l’inversione di due sole coordinate (f (−x, y, −z)). Combinando l’applicazione dell’operatore di parit` a con una rotazione (per esempio, attorno all’asse y), si ottiene l’inversione di una sola coordinata (f (x, −y, z)). E’ facile veriﬁcare che non `e possibile invertire un numero dispari (1 o 3) di coordinate con sole operazioni di rotazione. L’operazione di parit` a non `e riconducibile all’operazione di rotazione. La grandezza con un sola coordinata invertita f (x, −y, z) `e l’immagine speculare della grandezza f (x, y, z) rispetto al piano xz. Per costruire l’immagine invertita f (−x, −y, −z) `e conveniente costruire prima l’immagine speculare f (x, −y, z), che ha una particolare immediatezza visiva, e poi eﬀettuare una rotazione attorno all’asse y. Esempi di inversione delle coordinate e di riﬂessione speculare sono mostrati in ﬁg. 9.1. 9.1.3 Grandezze pari e grandezze dispari i) Vettori polari Le componenti di un generico vettore di posizione r cambiano segno per inversione delle coordinate, quindi esso `e una grandezza dispari. Un vettore dispari `e chiamato anche vettore polare (o semplicemente vettore). Sono vettori polari le grandezze vettoriali ottenute dal vettore posizione per derivazione rispetto al tempo e per moltiplicazione per una costante (velocit`a, accelerazione, impulso, forza, campo elettrostatico, densit`a di corrente elettrica, ecc.), cos`ı come l’operatore gradiente grad = ∇ = i

∂ ∂ ∂ +j +k . ∂x ∂y ∂z

ii) Vettori assiali Consideriamo il vettore momento angolare orbitale: L=r ×p Lx = ypz − zpy ecc. Poich´e sia r che p sono vettori polari, le loro componenti cambiano segno per parit` a e conseguentemente le componenti del momento angolare non

242

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.1. Esempi di riﬂessione speculare e di inversione delle coordinate. Nella parte alta della ﬁgura sono considerate le trasformazioni di una terna di assi (i, j, k); nella parte centrale quelle di un momento angolare; nella parte bassa quelle di una corrente circolare con il relativo momento magnetico. Gli oggetti invertiti possono essere costruiti agevolmente facendo seguire alla riﬂessione rispetto all’asse y una rotazione di 180o attorno allo stesso asse. Colonna a): “oggetti” reali; colonna b): “oggetti” speculari (x → x, y → −y, z → z); `e stata eﬀettuata l’inversione rispetto al solo asse y; colonna c): “oggetti” invertiti ; `e stata eﬀettuata un’inversione rispetto a tutti e tre gli assi.

9.1 Parit` a

243

cambiano segno. Pertanto il momento angolare orbitale `e una grandezza pari e viene denominato pseudovettore o vettore assiale. Ovviamente, quanto detto vale per il prodotto vettoriale di qualsiasi coppia di vettori polari, per esempio il campo d’induzione magnetica secondo la formula di Laplace: μo d × r . dB = i 4π r2 In particolare, `e una grandezza pari l’operatore vettoriale r × ∇. Inﬁne, per omogeneit`a con il momento angolare orbitale, anche lo spin `e un vettore assiale. iii) Scalari Il lavoro `e espresso dal prodotto scalare di due vettori polari: L = F · s = Fx sx + Fy sy + Fz sz quindi `e una grandezza pari (`e uno scalare in senso proprio). Similmente, poich´e le derivate seconde rispetto alle coordinate ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂ → = = , ecc. ∂x2 ∂x ∂x −∂x −∂x ∂x2 sono pari, l’operatore div grad = ∇ · ∇ = ∇2 `e una grandezza pari. iv) Pseudoscalari Invece l’elicit`a, prodotto scalare di un vettore assiale (spin) e di uno polare (impulso) σ·p h= (9.3) σp cambia segno per inversione delle coordinate; essa `e una grandezza dispari ed `e detta pseudoscalare. Sono pseudoscalari i prodotti tripli di vettori polari. 9.1.4 Conservazione della parit` a. Invarianza per inversione delle coordinate Nell’esperienza comune, cos`ı come nelle interazioni elettromagnetica e forte, le leggi ﬁsiche risultano essere invarianti per inversione delle coordinate ovvero, data una situazione ﬁsica descritta dalla grandezza ﬁsica f (x, y, z), esiste anche quella descritta dalla grandezza f (−x, −y, −z) o dalla grandezza speculare f (x, −y, z). Chiariamo questo fatto con un esempio. Si consideri il sistema di due spire circolari percorse da corrente di ﬁg. 9.2 (a sinistra dello specchio): aﬃnch´e la forza tra le due spire sia attrattiva, le due correnti devono essere equiverse. Ci`o pu`o essere realizzato in due modi: con correnti ﬂuenti in senso orario oppure in senso antiorario. Nella ﬁgura, le correnti reali sono state scelte in senso antiorario e a esse corrispondono correnti speculari in senso orario: pertanto ci` o che appare nel

244

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.2. Sistema di due spire circolari percorse da corrente e sua immagine speculare.

mondo speculare rappresenta una particolare situazione possibile nel mondo reale. Analizziamo ora le implicazioni del concetto di parit` a dal punto di vista quantistico con riferimento all’equazione di Schr¨ odinger (9.1) per il moto di una particella in un campo di potenziale V (r ). Facciamo l’ipotesi che il potenziale V sia uno scalare (grandezza pari); da questa premessa seguono i seguenti tre enunciati fra loro equivalenti: i) le leggi ﬁsiche sono invarianti per inversione delle coordinate (oppure: l’equazione del moto non cambia per inversione delle coordinate); ii) se un esperimento eﬀettuato nel laboratorio O fornisce un certo risultato, lo stesso risultato `e ottenibile se l’esperimento `e eﬀettuato nel laboratorio speculare; ci`o equivale a dire che, dato un fenomeno, `e osservabile anche il suo speculare; iii) la parit` a `e una costante del moto. Incominciamo con l’osservare che, per l’ipotesi fatta e per le propriet` a dela pari (uno scalare). Pertanto, l’applicazione l’operatore ∇2 , H `e una quantit` dell’operatore parit` a alla (9.1) conduce al seguente risultato:

i

∂ Pr Ψ (r , t) = Pr H Ψ (r , t) = HPr Ψ (r , t) ∂t i

∂ Ψ (− r , t) = HΨ (−r , t) ∂t

Quindi anche la funzione Ψ (−r , t) `e soluzione dell’equazione (9.1) cos`ı come Ψ (r , t); pertanto Ψ (r ) e Ψ (−r ) diﬀeriscono al pi` u per un fattore di fase di modulo uno: Ψ (−r ) = eia Ψ (r ) e 2

2

|Ψ (r, t)| = |Ψ (−r, t)|

(9.4)

9.1 Parit` a

245

Ci`o corrisponde all’enunciato i). Dalla (9.4) segue che la probabilit` a di trovare una particella entro un volume dV a distanza r dall’origine `e uguale alla probabilit` a di trovarla a distanza −r e la probabilit` a che la particella si muova entro un angolo solido dΩ lungo la direzione (θ, φ) `e uguale alla probabilit` a che si muova nella direzione opposta (π − θ, φ + π). Ci`o corrisponde all’enunciato ii). L’applicazione di Pr alla funzione d’onda Ψ (−r ) riconduce alla funzione originaria Ψ (r ), quindi Pr Ψ (−r , t) = Pr Pr Ψ (r , t) ≡ Ψ (r , t) , Pr2 = 1 , Pr = ±1 , Pr Ψ (r , t) = ±1 · Ψ (r , t) . Vale a dire, Pr `e un operatore con autovalori ±1 e la funzione d’onda soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger (9.1) `e o pari o dispari, cio`e ha parit` a deﬁnita. In un sistema isolato la parit` a della funzione d’onda non varia nel tempo. Infatti, consideriamo la funzione all’istante t + τ e facciamone lo sviluppo in serie: ∂2Ψ 1 ∂Ψ τ + 2 τ 2 + ... Ψ (t + τ ) = Ψ (t) + ∂t ∂t 2! Consideriamo i primi due addendi a secondo membro: se Ψ (t) `e pari, anche ∂Ψ/∂t · τ `e pari perch´e soddisfa all’equazione di Schr¨ odinger (9.1) che ha un’hamiltoniana pari. Quindi anche Ψ (t) +

∂Ψ τ ∂t

`e pari. Procedendo con i termini successivi dello sviluppo in serie e tenendo presente che ∂2Ψ ∂ ∂Ψ = ∂t2 ∂t ∂t si conclude che se Ψ `e pari all’istante t, `e pari in qualunque istante. Quindi la parit` a della funzione Ψ `e una costante del moto (ci`o corrisponde all’enunciato iii)). In uno stato degenere, il sistema ﬁsico pu`o essere descritto dalla sovrapposizione di funzioni d’onda di parit` a opposte. In questo caso lo stato non ha parit` a deﬁnita e la conservazione della parit` a implica la costanza del peso relativo di ciascuna funzione d’onda. 9.1.5 Parit` a orbitale, parit` a intrinseca, parit` a totale Consideriamo un sistema costituito da due sottosistemi A e B. Scriviamo la funzione d’onda nella forma

246

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

ΨAB = ΨA ΨB Ψ , dove ΨA e ΨB sono le funzioni d’onda che descrivono la struttura interna di A e B (in sistemi di coordinate con origine nei rispettivi baricentri) e Ψ

descrive il moto relativo dei due sottosistemi. L’applicazione dell’operatore di parit` a produce l’inversione di tutte le coordinate, che pu` o essere pensata come dovuta all’azione separata di diﬀerenti operatori di parit` a agenti sui diﬀerenti sistemi di coordinate che descrivono il sistema: PAB = PA PB P . In tal modo la parit` a di un sistema complesso risulta uguale al prodotto delle parit` a dei sottositemi A e B e della parit` a della funzione d’onda che descrive il moto relativo. Nel caso che il potenziale d’interazione fra A e B abbia simmetria sferica, la funzione d’onda del moto relativo di momento angolare ha la forma Ψ = R (r) Pm (cos θ) eimφ . Poich´e eimπ = (−1)m e

−m

Pm (cos θ) = (−1)

Pm (− cos θ) ,

risulta P Ψ = R (r) Pm (cos(π − θ)) eim(φ+π) = R (r) Pm (− cos θ) eimφ eimπ =

−m

= R (r) (−1)

Pm (cos θ) (−1)m eimφ = (−1) Ψ .

Vale a dire, la funzione d’onda del moto relativo `e pari o dispari dipendentemente dal momento angolare orbitale con autovalori dell’operatore di parit` a

P = (−1) . La parit` a totale del sistema AB `e

PAB = PA PB (−1) . Nel caso che il potenziale non sia a simmetria sferica (ossia che le forze non siano centrali), il momento angolare orbitale non `e una costante del moto, mentre lo `e il momento angolare totale. In tal caso il sistema, per un dato momento angolare totale, `e descritto dalla sovrapposizione di funzioni d’onda di diverso momento angolare orbitale: tuttavia, se la parit` a `e deﬁnita, possono contribuire solo onde con pari o solo con dispari. Per esempio, il deutone `e uno stato di due nucleoni con momento angolare totale (spin) 1, parit` a pari e conseguente sovrapposizione di sole onde parziali con pari, in particolare = 0 e 2. I sottosistemi A e B possono essere due nuclei complessi, per esempio due particelle α, o due nucleoni o altre particelle “elementari”. In questo secondo

9.2 Decadimento del

60

Co

247

caso, le parit`a PA e PB sono le parit`a intrinseche delle particelle, le quali sono determinate dalla loro struttura subnucleare. Ogni particella `e caratterizzata oltre che dalla massa, dalla carica elettrica, dallo spin, ecc., anche da una parit` a intrinseca. Se si assegna parit`a pari a protoni, neutroni ed elettroni, come `e convenzione, le altre particelle possono avere parit`a pari o dispari. Il mesone π `e il pi` u signiﬁcativo esempio di particella con parit` a intrinseca dispari. Chiamiamo parit` a totale il prodotto della parit` a intrinseca per la parit` a orbitale. Per un protone in uno stato di momento angolare = 0 (onda S) la parit` a totale `e pari , per un mesone π `e dispari . 9.1.6 Non conservazione della parit` a Supponiamo ora che il potenziale nell’hamiltoniana H sia una quantit` a pseudoscalare. Allora per inversione delle coordinate si ottiene un’hamiltoniana H = H: 2 2 2 2 H = Pr H = Pr − ∇ + V (r ) = − ∇ − V (r ) . 2m 2m Di conseguenza Ψ (−r ) `e soluzione di un’equazione diversa dalla (9.1); segue che 2 2 |Ψ (r )| = |Ψ (−r )| e che la probabilit` a che una particella si muova entro l’angolo solido dΩ lungo la direzione (θ, φ) non `e uguale alla probabilit` a che si muova lungo la direzione opposta (π − θ, π + φ). Il risultato di un esperimento eﬀettuato in un laboratorio, non `e ottenibile nel laboratorio invertito o in quello speculare. Oppure, dato un fenomeno, non `e osservabile nello spazio reale il suo inverso o il suo speculare. La non conservazione della parit` a `e peculiare delle interazioni deboli e sar` a messa in evidenza da opportuni esperimenti sul decadimento β dei nuclei che verranno descritti nei successivi paragraﬁ.

9.2 Decadimento del

60

Co

9.2.1 Introduzione La non conservazione della parit` a nel decadimento β `e messa in evidenza dalla misura di quantit` a pseudoscalari quali * + p ·I , pI dove p `e l’impulso di un elettrone emesso da un nucleo di spin I , e l’elicit`a

248

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

* h =

p ·σ pσ

+ ,

dove p `e l’impulso di una particella (elettrone o neutrino) e σ il suo spin. In entrambe le formule le parentesi indicano valor medio su molti decadimenti di nuclei della stessa specie. Se la parit`a fosse conservata, le precedenti quantit` a dovrebbero valere zero. Le prime osservazioni sperimentali che misero in evidenza che l’elicit`a degli elettroni `e diversa da zero furono eﬀettuate da Cox nel 1928, ma esse non furono prese in adeguata considerazione e furono successivamente dimenticate. La non conservazione della parit` a fu messa deﬁnitivamente in evidenza in un esperimento messo a punto nel 1957 da Wu, Ambler, Hayward, Hoppes e Hudson, alla cui descrizione `e dedicato questo paragrafo. L’elicit` a media di un fascio di particelle pu` o essere considerata come l’effetto della sovrapposizione di due fasci polarizzati longitudinalmente al 100%, l’uno con lo spin parallelo all’impulso (che contribuisce con la frazione N↑ ) e l’altro con lo spin antiparallelo (che contribuisce con la frazione N↓ ). Si ha < h >=

N ↑ (p · σ ↑) + N ↓ (p · σ ↓) pσ

Si presentano i seguenti casi: (a)

N↑ = N ↓

h = 0

(b)

N↑ = 0, N↓ = 1

h = h = −1

(c)

N↑ = 1, N↓ = 0

h = h = +1

(d)

N↑ = N↓

0 ≤ |h| ≤ 1

Nei casi (b) e (c) tutte le particelle hanno lo spin orientato parallelamente o antiparallelamente e l’elicit`a media coincide con l’elicit`a delle particelle. 9.2.2 Esperimento del

60

Co

60 − ¯ di ﬁg. 9.3. La non conSi consideri il decadimento 60 27 Co → 28 N i + e + ν servazione della parit`a viene messa in evidenza dalle caratteristiche dell’emissione dei β rispetto alla direzione dello spin del 60 Co. Condizione essenziale per l’osservazione `e che i nuclei di cobalto siano polarizzati, ossia che i loro spin siano orientati (prevalentemente) lungo un’unica direzione. A tale ﬁne l’apparato sperimentale era costituito come in ﬁg. 9.4. Un campione di 60 Co `e collocato, sotto vuoto, all’interno di un criostato ed `e immerso in un campo magnetico orientato verticalmente. In prossimit`a del campione, sulla verticale, `e collocato un rivelatore di β a scintillazione, i cui segnali luminosi sono trasmessi a un fotomoltiplicatore tramite un’asta di lucite. Due rivelatori di γ sono situati uno sull’asse verticale e l’altro nel

9.2 Decadimento del

60

Co

249

piano ad esso perpendicolare. Il campo magnetico (∼ 2 · 104 gauss) determina l’orientazione dei momenti magnetici dei nuclei (quindi degli spin) lungo la verticale. Il criostato consente di abbassare la temperatura del campione (ﬁno a ∼ 10−2 o K) in modo da aumentare il grado di polarizzazione. I rivelatori di γ consentono di misurare il grado di polarizzazione tramite la misura del grado di anisotropia della radiazione emessa. Per un campione totalmente polarizzato ci si aspetta che la radiazione γ sia emessa con la distribuzione angolare illustrata in ﬁg. 9.5 avente massima intensit` a nel piano equatoriale e intensit` a nulla lungo l’asse verticale (vedi par. 4.4 del cap. 4); per un campione completamente depolarizzato ci si aspetta una distribuzione isotropa.

Fig. 9.3. Schema di decadimento del 60 Co. Lo stato eccitato 4+ decade tramite l’emissione di due fotoni di radiazione di quadrupolo elettrico E2 prima al livello 2+ e poi al livello fondamentale 0+ .

La quantit` a studiata sperimentalmente `e la frequenza dei β emessi dal campione di 60 Co (numero di conteggi eﬀettuati dal rivelatore nell’unit` a di tempo) per due orientazioni opposte del campo magnetico (verso l’alto e verso il basso). Le osservazioni sperimentali sono riassunte in ﬁg. 9.6. Fig. 9.6a mostra le frequenze di conteggio dei rivelatori di γ: ad elevate temperature le frequenze sono uguali, rivelando un’emissione isotropa e quindi un campione depolarizzato; al diminuire della temperatura la frequenza di emissione lungo l’asse verticale diminuisce e quella nel piano orizzontale aumenta, rivelando che il grado di polarizzazione aumenta. Fig. 9.6b mostra la frequenza di con-

250

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

teggio dei β per le due opposte orientazioni del campo magnetico (e quindi dello spin). Mentre le frequenze sono uguali alle temperature per le quali il campione `e depolarizzato, esse si diﬀerenziano sempre pi` u all’aumento del grado di polarizzazione. Questo `e il risultato signiﬁcativo in relazione alla non

Fig. 9.4. Spaccato di parte dell’apparato utilizzato nell’esperimento del Ambler, Hayward, Hoppes, Hudson, Phys. Rev. 103(1957)1413)

60

Co. (Wu,

conservazione della parit` a. Sia θ l’angolo fra la direzione di emissione di un β (cio`e dell’impulso) e lo spin del nucleo. Sia ΔP (θ) = F (θ) ΔΩ la probabilit` a che i β siano emessi entro un piccolo angolo solido ΔΩ lungo la direzione θ. Fig. 9.6b indica che ΔP (180o ) > ΔP (0o ).

9.2 Decadimento del

60

Co

251

Fig. 9.5. Decadimento del 60 Co. La linea tratteggiata indica l’intensit` a dei γ in funzione dell’angolo θ rispetto alla direzione dello spin del nucleo. La distribuzione `e caratteristica della radiazione di quadrupolo elettrico con L = 2 e M = ±2 e dipende da θ come (1 − cos4 θ). La linea continua indica l’intensit` a degli elettroni emessi in funzione di θ.

Fig. 9.6. Decadimento del 60 Co. (a) Anisotropia γ. (b) Asimmetria β. Sull’ascissa `e riportato il tempo, intendendosi che ad ogni istante corrisponde un particolare valore della temperatura del criostato.

252

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.7. Non conservazione della parit` a nel decadimento del 60 Co. (a) Schema dell’esperimento reale. (b) Immagine speculare rispetto all’inversione dell’asse y. (c) Immagine speculare rispetto all’inversione dell’asse z. Per la simmetria cilindrica attorno all’asse z, questa immagine coincide con l’immagine invertita.

9.3 Elicit` a del neutrino

253

Si otterrebbe un risultato identico a quello di ﬁg. 9.6b se si mantenesse invariato il campo magnetico (per es., orientato verso l’alto) e si eﬀettuassero due misure, una col rivelatore di β nella posizione della ﬁgura e l’altra col rivelatore al di sotto del campione di Co. Pi` u in dettaglio, si osserva che la probabilit` a di emissione dei β varia da un minimo per θ = 0o a un massimo per θ = 180o ed `e invariante per rotazione attorno all’asse z. Possiamo riassumere gli aspetti peculiari delle osservazioni sperimentali dicendo che l’emissione dei β non `e simmetrica rispetto al piano perpendicolare alla direzione dello spin (asse z) o che la distribuzione di emissione dei β non `e invariante per inversione dello spin, ossia ΔP (θ) = ΔP (π − θ). Ci sarebbe invarianza se ΔP (θ) = ΔP (π − θ). Ci` o implica che il fenomeno “invertito” (o quello speculare) non `e ﬁsicamente osservabile. Illustriamo l’asserto tramite ﬁg. 9.7. Il fenomeno osservato `e schematizzato in ﬁg. 9.7a, dove il verso del campo magnetico `e correlato a quello della corrente che lo genera. In ﬁg. 9.7b `e data l’immagine speculare rispetto al piano xz (o all’inversione dell’asse y): la corrente elettrica speculare circola in verso opposto a quella reale e quindi il campo magnetico e lo spin speculari hanno versi opposti alle corrispondenti grandezze reali. La distribuzione riﬂessa dei β emessi `e invece uguale a quella reale. Nello spazio speculare i β sono emessi con maggiore probabilit`a con verso concorde con lo spin del 60 Co (contrariamente al caso reale). Lo stesso risultato `e ottenuto considerando l’immagine speculare rispetto al piano xy (inversione dell’asse z, ﬁg. 9.7c). In questo caso la corrente elettrica riﬂessa ha lo stesso verso di quella reale, mentre la distribuzione dei β `e opposta. Anche in questo caso i β sono emessi con maggiore probabilit`a nel verso dello spin. Le caratteristiche essenziali dell’esperimento sono espresse dalla seguente condizione, dove p `e l’impulso dei β: * + p ·I < 0. pI Analoghe misure eﬀettuate sul decadimento β + (per es., 58 Co →58 F e+β + +ν, T1/2 = 71 g) hanno mostrato che + * p ·I > 0, pI ossia, i positroni sono emessi con maggiore probabilit` a nel verso concorde con lo spin dei nuclei.

9.3 Elicit` a del neutrino L’elicit` a del neutrino fu misurata in un ingegnoso esperimento messo a punto da U. Goldhaber, L. Grodzins e A. W. Sunyar nel 1958 (Phys. Rev. 109(1958)1015). Esso mise in evidenza che essa ha il valore hν = −1.

254

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.8. Schema di decadimento dell’europio.

In questo esperimento un campione di 152 Eu viene irraggiato in un reattore in modo da produrre nuclei in uno stato isomerico con spin e parit` a 0− . Gli stati isomerici sono stati eccitati con vita media lunga a causa della grande diﬀerenza fra il loro momento angolare e quello dello stato fondamentale (da 0− a 3+ ). I nuclei nello stato isomerico decadono prevalentemente per cattura a 1− e questo decade elettronica nello stato eccitato del 152 Sm con spin e parit` nello stato fondamentale di spin e parit` a 0+ emettendo un γ di radiazione di dipolo elettrico (momento angolare 1; vedi ﬁg. 9.8). La conservazione del momento angolare stabilisce le seguenti relazioni fra gli spin delle particelle nei vari processi: 152

Eu + e− → ν + 152 Sm∗ ¯0 + 152

¯ 1 2

→

¯ 1 2

+¯ 1=

¯ 1 2

spin di ν e Sm∗ antiparalleli

Sm∗ → Sm + γ ¯ 1→0

+¯ 1=¯ 1

spin di γ e Sm∗ paralleli

Da ci`o segue che lo spin del ν e quello del γ devono essere antiparalleli. Se si tiene conto che gli impulsi del neutrino e del nucleo di Sm∗ sono antiparalleli, fra impulso e spin delle particelle si possono realizzare le conﬁgura-

9.3 Elicit` a del neutrino

255

zioni schematizzate in tab. 9.1. Pertanto la misura dello stato di polarizzazione del γ consente di risalire all’elicit`a del neutrino. Tabella 9.1. → pSm →

orientazione degli impulsi

pν ←

pSm∗ →

pγ →

orientazione degli spin

→ Sν

← SSm∗

← Sγ

hν < 0

orientazione degli spin

← Sν

→ SSm∗

→ Sγ

hν > 0

L’apparato sperimentale utilizzato `e schematizzato in ﬁg. 9.9. In esso si prendono in considerazione catture elettroniche da parte dell’europio con emissione di neutrini verso l’alto e di nuclei di Sm∗ verso il basso. Questi ultimi decadono allo stato fondamentale con una vita media molto breve (∼ 3 · 10−14 s), inferiore al tempo di rallentamento del nucleo di rinculo nel materiale della sorgente. Cos`ı la maggior parte dei decadimenti avviene con i nuclei di Sm∗ in moto. Consideriamo i γ emessi verso il basso nella ﬁgura. Essi incontrano sul loro cammino uno spessore di ferro che pu` o essere magnetizzato con campo magnetico B orientato verso l’alto o verso il basso. I γ emergenti dal ferro incidono su un campione di 152 Sm e, se la loro energia `e appropriata, sono assorbiti in modo risonante dal samario stesso, che successivamente si diseccita emettendo due γ di 961 e 839 keV (vedi ﬁg. 9.10), i quali vengono rivelati da un opportuno rivelatore (vedi ﬁg. 9.9). E’ noto che la trasmissione dei fotoni attraverso il ferro dipende dall’orientazione parallela o antiparallela del loro spin ripetto al campo magnetico. Misure ripetute del numero dei γ osservati dal rivelatore ﬁnale eﬀettuate con campo magnetico orientato verso l’alto (N ↑) e verso il basso (N ↓) hanno consentito di stabilire che il rapporto r=

1 2

N ↓ −N ↑ (N ↓ +N ↑)

ha il valore 0.017 ± 0.003. (Si fa rilevare che ai ﬁni della valutazione di r, il fondo non risonante di ﬁg. 9.10 viene sottratto dallo spettro dei γ). Il fatto che esso sia diverso da zero (anche tenendo conto dell’errore) indica che i γ sono polarizzati. Per stabilire l’entit` a e il tipo (verso l’alto o verso il basso) di polarizzazione, `e stato misurato con lo stesso apparato il rapporto r relativo a un fascio di γ di polarizzazione nota (spin orientato al 100% verso l’alto) ottenendo un valore compatibile entro gli errori con quello sopra riportato.

256

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.9. Schema dell’apparato sperimentale per la determinazione dell’elicit` a del neutrino. Lo schermo di piombo protegge il rivelatore dal fascio di γ diretto.

E’ lecito, pertanto, concludere che i neutrini hanno lo spin orientato al 100% verso il basso e la loro elicit`a `e −1. Se i neutrini hanno eﬀettivamente massa nulla e quindi velocit` a uguale a c indipendente dall’osservatore, anche l’elicit` a `e una loro propriet` a intrinseca indipendente dall’osservatore (vedere la discussione nel par. 9.6). Merita una precisazione, dal punto di vista energetico, l’assorbimento dei γ da parte dell’assorbitore di Sm successivo allo spessore di ferro. Si supponga che il Sm∗ sia in quiete; allora l’energia dei γ `e Eγ = (MSm∗ − MSm ) − TSm < MSm∗ − MSm , dove TSm = Eγ2 /M c2 ≈ 6 eV `e l’energia cinetica del nucleo ﬁnale. L’energia dei γ `e pertanto inferiore alla diﬀerenza di energia fra il livello eccitato e il livello fondamentale e i γ non possono essere assorbiti da un nucleo di Sm per compiere la transizione Sm → Sm∗ . Tuttavia, se i γ sono emessi da nuclei in moto e, in particolare, nel verso del moto, il bilancio energetico d` a Eγ = (MSm∗ − MSm ) − TSm + TSm∗ . o essere In tal caso, dipendentemente dal valore di TSm∗ , l’energia dei γ pu` suﬃciente ad eccitare il Sm, fatto che si veriﬁca nell’esperimento illustrato. Il moto del Sm∗ `e pertanto essenziale per l’eﬀettuazione dell’esperimento. Per l’antineutrino risulta hν¯ = +1.

9.4 Elicit` a degli elettroni

257

Fig. 9.10. Distribuzione energetica dei gamma osservati dal rivelatore di ﬁg. 9.9. La radiazione prodotta dalla cattura elettronica del 152 Eu eccita lo stato di 964 keV del 152 Sm (vedi ﬁg. 9.8); questo si diseccita emettendo gamma di 961 e 839 keV.

9.4 Elicit` a degli elettroni In ﬁg. 9.11 `e illustrato lo schema di un esperimento per la determinazione dell’elicit` a degli elettroni. Un fascetto di elettroni emessi da una sorgente β viene deﬂesso di 90o da un campo elettrostatico generato da un condensatore opportunamente sagomato. Se supponiamo che lo spin inizialmente sia orientato (mediamente) antiparallelamente all’impulso, all’uscita dal condensatore lo spin risulta orientato a 90o rispetto all’impulso: ossia, il fascio emergente risulta polarizzato trasversalmente. Successivamente gli elettroni incidono su un bersaglio materiale e vengono deﬂessi dalla loro traiettoria dall’interazione con il campo coulombiano nucleare. Il potenziale d’interazione include un termine spin-orbita (vedi par.9.7) che d` a luogo a diverse probabilit` a per deﬂessione a destra e a sinistra rispetto a un piano deﬁnito dalla direzione dell’impulso incidente e dallo spin (asimmetria destra-sinistra, vedi ﬁg. 9.11). La misura del grado di asimmetria consente di determinare la polarizzazione trasversale del fascio incidente e quindi l’elicit` a (o polarizzazione longitudinale) del fascio origi-

258

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.11. Schema dell’esperimento per la misura dell’elicit` a degli elettroni.

nato dai decadimenti. Risulta che gli elettroni sono parzialmente polarizzati longitudinalmente con spin mediamente antiparallelo e con elicit` a media h = −

v c

entro gli errori sperimentali. Per i positroni risulta v h = + . c Essendo una grandezza dipendente dalla velocit` a, l’elicit`a non `e una propriet` a intrinseca degli elettroni e dei positroni, ma dipende in valore e segno dall’osservatore. L’elicit`a sopra deﬁnita `e relativa all’osservatore solidale con la sorgente che emette i β (vedere par.9.6).

9.5 Correlazioni angolari L’elicit` a di e− e di ν¯ e la conservazione del momento angolare impongono particolari restrizioni all’angolo fra e− e ν¯ emessi nel decadimento β, con diﬀerenti conseguenze per le transizioni permesse di Fermi e di Gamow-Teller. Con riferimento a ﬁg. 9.12, nel caso di transizioni permesse di Fermi, lo spin della coppia elettrone-antineutrino `e zero, quindi gli spin delle due particelle sono antiparalleli e, tenuto conto delle elicit` a, ossia dell’orientazione degli spin rispetto agli impulsi, gli impulsi devono essere (preferibilmente) paralleli. L’impulso del rinculo deve essere tale da compensare la somma degli impulsi di e− e ν¯; diciamo che deve essere “grande”. Nel caso di transizioni di GamowTeller, gli impulsi devono essere (prevalentemente) antiparalleli e l’impulso del rinculo “piccolo”.

9.5 Correlazioni angolari

259

Fig. 9.12. Correlazioni angolari: (a) transizione di Fermi; (b) transizione di Gamow-Teller.

In base alle precedenti considerazioni qualitative ci aspettiamo che la distribuzione dell’angolo fra e− e ν¯ abbia un massimo per θ piccolo nelle transizioni di Fermi e per θ grande nelle transizioni di Gamow-Teller; in corrispondenza, ci aspettiamo che la distribuzione energetica del rinculo abbia un massimo per grandi valori dell’energia nel primo caso e per piccoli valori nel secondo. In eﬀetti, l’esperienza mostra che la distribuzione angolare `e compatibile con la relazione v f (θ) = 1 + α cos θ c con α ≈ 1 nel caso di transizioni di Fermi (massimo a 0o ) e α ≈ −1/3 per transizioni di Gamow-Teller (massimo a 180o ).

Fig. 9.13. Distribuzione energetica dei nuclei di rinculo nel decadimento dell’ 6 He (interazione di Gamow-Teller). Modiﬁcato da [8]. Mentre sull’ordinata sono riportati i valori della distribuzione energetica moltiplicata per l’energia, E · N (E), la linea tratteggiata d` a l’andamento della distribuzione energetica eﬀettiva N(E).

260

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Due distribuzioni tipiche dell’energia del rinculo per transizioni di GamowTeller e di Fermi sono mostrate in ﬁg. 9.13 e ﬁg. 9.14, relativamente ai decadimenti di 6 He (α = −0.39 ± 0.05) e di 35 Ar (α = +0.97 ± 0.04). Utilizzeremo questi risultati nel cap. 5 per uno studio pi` u approfondito delle caratteristiche dell’interazione debole.

Fig. 9.14. Distribuzione energetica dei nuclei di rinculo nel decadimento dell’ 35 Ar (interazione di Fermi). Modiﬁcato da [8]. Mentre sull’ordinata sono riportati i valori della distribuzione energetica moltiplicata per l’energia, E·N (E), la linea tratteggiata d` a l’andamento della distribuzione energetica eﬀettiva N(E).

9.6 Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP Nel cap. 7 abbiamo introdotto i termini “neutrino” e “antineutrino” con il solo scopo di distinguere i due fermioni di massa zero emessi, rispettivamente, nel decadimento del protone e del neutrone. Vogliamo ora mettere in evidenza che la terminologia usata ha un signiﬁcato ben preciso connesso con il fatto generale che a ogni particella corrisponde un’antiparticella, peraltro con aspetti peculiari per il neutrino. Incominciamo con il denominare con il termine di “leptoni” le particelle “leggere” (elettrone e neutrino) coinvolte nelle reazioni di trasformazione di protone in neutrone e viceversa tramite interazione debole1 ; le reazioni fondamentali sono riassunte in tab. 9.2, nella quale `e messo in evidenza che sono stati osservati solo neutrini levogiri e antineutrini destrogiri. Le elicit`a dell’antineutrino e dell’elettrone emessi nella reazione (a) misurate nel sistema di riferimento solidale col neutrone valgono rispettivamente +1 e −v/c. Evidentemente, in un sistema di riferimento in moto rispetto al precedente l’elettrone ha velocit`a v = v e anche elicit`a h = h; in particolare, h potr`a essere positiva, invece che negativa. Vale a dire, l’elettrone `e 1

Appartengono alla famiglia dei leptoni anche le particelle μ e τ con i rispettivi neutrini.

9.6 Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP

261

suscettibile di essere osservato sia in uno stato di elicit` a positiva che in uno di elicit` a negativa. Osserviamo anche che l’elettrone nello stato di elicit` a negativa `e l’immagine speculare dell’elettrone nello stato di elicit` a positiva. Diﬀerenti considerazioni valgono per l’antineutrino, se si assume che la sua massa sia zero: in tale caso la sua velocit`a, essendo uguale a c, `e indipendente dall’osservatore e quindi anche l’elicit` a `e uguale a +1 per qualsiasi osservatore. Ci` o esclude che l’antineutrino possa essere osservato in uno stato di elicit` a negativa. Vale a dire, l’immagine speculare dell’antineutrino di elicit` a negativa non `e uno stato osservabile.2 Simili considerazioni valgono per il positrone e il neutrino e portano ad escludere che il neutrino possa essere osservato in uno stato di elicit`a positiva. In analogia con il numero barionico B (±1 per i barioni e 0 per i leptoni), introduciamo il numero quantico leptonico , uguale a +1 per elettrone e neutrino, −1 per positrone e antineutrino e 0 per i barioni3 . E’ noto che a ogni particella corrisponde un’antiparticella. Formalmente i due stati ﬁsici sono correlati tramite l’operatore coniugazione di carica C. Per esempio, per le coppie elettrone - positrone, protone - antiprotone e neutrone - antineutrone scriviamo:

2 3

Come risulter` a chiaro nel cap. 10, l’elicit` a vale v/c per tutti i fermioni con massa diversa da zero. Evidentemente, l’elicit` a `e zero per una particella in quiete. L’introduzione del numero barionico e del numero leptonico `e suggerita dal fatto che la loro conservazione caratterizza famiglie di reazioni osservate sperimentalmente e consente di giustiﬁcare la non osservazione di reazioni permesse dalla conservazione dell’energia e della carica elettrica. Consideriamo alcuni casi:

i) Il numero barionico e quello leptonico sono conservati nel decadimento p → n + e+ + ν, che `e per` o impedito dalla conservazione dell’energia. Questa consentirebbe, invece, decadimenti del tipo p → e+ + γ e p → e+ + π o , che per` o non sono mai stati osservati e sono impediti dalla mancata conservazione sia del numero barionico sia di quello leptonico (che varierebbero di un’unit` a). Questi “impedimenti” determinano la stabilit` a del protone. ii) La conservazione del solo numero barionico giustiﬁca la mancata conversione di un neutrone in un antineutrone, che comporterebbe una variazione del numero barionico uguale a 2. iii) La conservazione del momento angolare totale comporta in qualsiasi processo che a uno stato iniziale con un numero pari (dispari) di fermioni corrisponda nello stato ﬁnale un numero pari (dispari) di fermioni e quindi Δ(B + ) ≡ (Bi + i ) − (Bf + f ) = 2n, n = 0, ±1, ±2, .... Questa relazione impone che, per esempio, in un eventuale decadimento del protone, per il quale ΔB = +1, anche debba variare, e precisamente |Δ| = 1, 3, .... Quindi non pu` o veriﬁcarsi il decadimento p → π + + π o . Vari argomenti di natura teorica inducono a ritenere che le leggi di conservazione del numero barionico e del numero leptonico non siano rigorosamente valide come quella della conservazione della carica elettrica e a studiare metodi sperimentali per rivelare possibili eﬀetti della loro violazione (vedi cap. 14).

262

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Ce− = e+ Cp = p¯ Cn = n ¯ e anche Ce+ =e− , ecc.4 Particella e antiparticella C-coniugate hanno massa e spin uguali, mentre hanno carica elettrica, momento magnetico, momento di dipolo elettrico, numero barionico e numero leptonico di segno opposto. C non agisce nello spazio ordinario, per cui non ha eﬀetto su impulso e spin. Tutte le particelle coinvolte nelle reazioni di tab. 9.2 sono fermioni (spin 1/2) e i loro numeri quantici B, , carica elettrica q ed elicit`a sono riportati in tab. 9.3, nella quale, per motivi che risulteranno chiari successivamente, sono incluse anche le antiparticelle dei nucleoni. Consideriamo ora le propriet` a del neutrino connesse con l’applicazione dell’operatore C e dell’operatore di parit` a P alla luce di tab. 9.2. L’applicazione Tabella 9.2. Le frecce in su e in gi` u indicano elicit` a positiva e negativa. La reazione (b) presuppone che il protone sia legato in un nucleo. (a)

n → p + e− + ν¯↑

(b)

p → n + e+ + ν↓

(c)

ν↓ + n → p + e−

(d)

ν¯↑ + p → n + e+

(e)

p + e− → n + ν↓

(f)

n + e+ → p + ν ↑

di C al neutrino prodotto nella reazione (b) di tab. 9.2 non d` a luogo all’antineutrino prodotto nella reazione (a). Infatti Cν↓ = ν¯↓ ossia, l’applicazione di C a ν produce un antineutrino di elicit` a negativa non osservato sperimentalmente. Anche l’applicazione dell’operatore di parit` a, che inverte l’elicit`a, d`a origine a una particella non osservata sperimentalmente, ossia il neutrino destrogiro: P ν↓ = ν↑ . Mentre C e P separatamente non trasformano una grandezza osservabile in un’altra grandezza osservabile, gode di questa propriet` a l’applicazione di entrambi gli operatori, ossia di CP ; infatti si ha 4

Per il protone e il neutrone si `e seguita la convenzione di indicare l’antiparticella con il simbolo della corrispondente particella soprassegnato.

9.6 Numero leptonico. Invarianza rispetto a CP

263

Fig. 9.15. Eﬀetto degli operatori di parit` a P e di coniugazione di carica C sugli stati di neutrino. Fino a oggi, solo gli stati (a) e (d) sono osservati in natura.

CP ν↓ = C(P ν↓ ) = Cν↑ = ν¯↑ . Quindi, il neutrino e l’antineutrino ﬁsici sono correlati fra loro non dall’operatore C, ma dall’operatore CP . Queste propriet`a sono illustrate graﬁcamente in ﬁg. 9.15. Tabella 9.3. Numero barionico, numero leptonico ed elicit` a coinvolti nel decadimento β Si considerano barioni non relativistici, cos`ı che la loro elicit` a `e circa zero. h, h

B

n

1

0

0

0

n ¯

−1

0

0

0

p

1

0

1

0

p¯

−1

0

−1

0

0

1

−1

− vc

e+

0

−1

+1

+ vc

ν

0

1

0

−1

ν¯

0

−1

0

+1

e

−

q

264

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Estendendo queste osservazioni, mostriamo che le relazioni di tab. 9.2 si trasformano l’una nell’altra proprio sotto l’applicazione di CP , cos`ı che il decadimento β e l’interazione debole appaiono invarianti per l’applicazione di CP (ma non di C o P separatamente). Innanzitutto facciamo rilevare che le reazioni in tab. 9.2 godono delle seguenti propriet` a fondamentali: i) il numero barionico `e conservato; ii) il numero leptonico `e conservato. iii) il numero leptonico e il numero barionico sono conservati se particelle nello stato ﬁnale (iniziale) vengono trasferite in quello iniziale (ﬁnale) e trasformate nelle corrispondenti antiparticelle; per esempio, si confrontino le reazioni (a) e (b) di tab. 9.2 per quanto riguarda neutrino e antineutrino. In altre parole, se chiamiamo “prodotte” le particelle che compaiono nello stato ﬁnale e “assorbite” quelle che compaiono nello stato iniziale, possiamo dire che la creazione (o l’assorbimento) di una particella equivale all’assorbimento (o alla creazione) della sua antiparticella. Ci` o premesso, se, per esempio, applichiamo CP alla reazione (a) di tab. 9.2, otteniamo la reazione n ¯ → p¯ + e+ + ν↓ . Applichiamo ora ai barioni l’osservazione iii): vale a dire, trasferiamo p¯ nel primo membro trasformandolo in p e trasferiamo n ¯ nel secondo membro trasformandolo in n; otteniamo la reazione (b) di tab. 9.2: p → n + e+ + ν↓ . Dunque, l’applicazione di CP pi` u la conservazione del numero leptonico e del numero barionico ci consente di trasformare l’una nell’altra le varie reazioni: ci`o mostra l’invarianza del decadimento β (dell’interazione debole) rispetto a CP (ma non rispetto a C o P separatamente). E’ istruttivo ridiscutere alla luce dell’invarianza rispetto a CP il risultato dell’esperimento sul decadimento del 60 Co descritto nel par. 9.2.2, secondo il quale gli elettroni vengono emessi con maggiore probabilit` a nel verso opposto a quello dello spin del nucleo emittente (nel verso concorde nel caso di emissione di positroni). Tuttavia, invece di una sorgente di nuclei di cobalto polarizzati, prendiamo in considerazione una sorgente ideale di neutroni polarizzati. In Fig. 9.16a sono messi in evidenza il campo magnetico B, lo spin s e il momento magnetico μ dei neutroni5 e l’impulso medio p degli elettroni. In accordo con l’osservazione sperimentale, l’orientazione relativa di s e p `e tale per cui p · s < 0. Fig. 9.16b mostra l’immagine riﬂessa di ﬁg. 9.16a, ossia la situazione determinata dall’applicazione dell’operatore di parit` a P; essa non `e 5

Ricordiamo che il momento magnetico del neutrone `e antiparallelo allo spin, quello dell’antineutrone `e concorde.

9.7 Appendice – Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita

265

ﬁsica perch´e p · s > 0. Fig. 9.16c `e l’immagine C-coniugata di ﬁg. 9.16a; essa `e ottenuta da quest’ultima sostituendo positroni a elettroni e antineutroni a neutroni. Campo magnetico e momento magnetico risultano invertiti rispetto a quelli di ﬁg. 9.16a perch´e sono determinati dal moto di cariche positive. Poich´e si tratta di emissione di positroni e risulta p · s < 0, la situazione non `e ﬁsica. Fig. 9.16d pu` o essere ottenuta o da ﬁg. 9.16c per applicazione dell’operatore di parit` a P , o da ﬁg. 9.16b per applicazione dell’operatore di coniugazione di carica C. Essa descrive il decadimento n ¯ → p¯ + e+ + ν che, per quanto osservato in precedenza, equivale a p → n + e+ + ν. Anch’essa riguarda l’emissione di positroni, ma ora p · s > 0 in accordo con le osservazioni sperimentali. Ritroviamo, dunque, che le due situazioni ﬁsiche osservate sono correlate fra loro dall’applicazione di CP.

9.7 Appendice – Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita Consideriamo un fascio di elettroni non polarizzato incidente su un bersaglio situato nell’origine delle coordinate di un sistema di riferimento con l’asse z orientato nella direzione del fascio, come in Fig. 9.17a. Se il potenziale che descrive l’interazione `e centrale (Vc (r ) = Vc (r)), le particelle sono diﬀuse attorno all’asse z con simmetria cilindrica e l’ampiezza di diﬀusione, soluzione dell’equazione di Sch¨ odinger, dipende solo dall’angolo θ e non da φ. La probabilit` a che un elettrone sia diﬀuso nella direzione θ entro un angolo solido dΩ `e proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza 2

dP (θ) = |f (θ)| dΩ. Ci`o signiﬁca che la probabilit` a di diﬀusione nella direzione θ nel piano zy con φ = +π/2 `e uguale a quella nello stesso piano con φ = −π/2 (ﬁg. 9.17b). Supponiamo ora che il fascio sia totalmente polarizzato trasversalmente alla direzione del moto e che lo spin sia orientato come l’asse x (ﬁg. 9.17a). Supponiamo inoltre che il potenziale d’interazione contenga un termine spinorbita, ossia V = Vc (r) + 12 σ · LVso (r) ,

σ·L σL

= cos( π2 − φ) ,

dove σ `e la matrice di spin di Pauli e L = b × p `e il momento angolare orbitale. Con riferimento al moto nel piano yz, L pu`o essere orientato nel verso dell’asse x, quindi dello spin, o in verso opposto. Quindi il potenziale

266

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Fig. 9.16. Decadimento di neutroni polarizzati (analogo al decadimento di una sorgente polarizzata di 60 Co). Fig. 9.16a mostra l’orientazione relativa prevalente del campo magnetico polarizzante B, dello spin sn e del momento magnetico μn di un neutrone che decade e dell’impulso pe dell’elettrone emesso. Sotto l’azione di CP ﬁg. 9.16a si trasforma in ﬁg. 9.16d, che descrive il decadimento di un antineutrone o di un protone polarizzato.

non `e centrale, perch´e non dipende solo da r ma anche dall’angolo fra lo spin e il momento angolare, cio`e da φ, e gli elettroni non sono diﬀusi con simmetria cilindrica attorno all’asse z. Con riferimento a ﬁg. 9.17d, diremo che essi sono deviati a sinistra se φ = −π/2, a destra se φ = +π/2. A seconda dell’orientamento di L il termine spin-orbita del potenziale ha segni opposti, in corrispondenza dei quali si avranno due diﬀerenti ampiezze di diﬀusione. Vale a dire, la probabilit` a che gli elettroni siano deviati nella direzione θ a 2 sinistra nel piano yz (|f (θ, −π/2)| ) `e diversa (per esempio maggiore come in ﬁg. 9.17c dove lo spin `e orientato come L e x) da quella di essere deviati a

9.7 Appendice – Asimmetria destra-sinistra e potenziale spin-orbita

267

Fig. 9.17. Asimmetria connessa con l’interazione spin-orbita. a)Diﬀusione di una particella a un angolo θ nel piano xz. b) Diﬀusione simmetrica da parte di un potenziale centrale. c) Diﬀusione asimmetrica da parte di un potenziale con un termine spin-orbita. d) Relazione fra momento angolare e diﬀusione a sinistra e a destra. 2

destra (|f (θ, +π/2)| ). Si deﬁnisce asimmetria destra-sinistra il rapporto A(θ) =

2

2

2

2

|f (θ, π/2)| − |f (θ, −π/2)| |f (θ, π/2)| + |f (θ, −π/2)|

.

Esso pu`o essere calcolato se il potenziale d’interazione `e noto, e pu` o essere ricavato sperimentalmente dalla misura degli elettroni deviati entro un angolo solido ΔΩ nella direzione θ sinistra e a destra: Am (θ) =

ΔND (θ) − ΔNS (θ) . ΔND (θ) + ΔNS (θ)

268

9 Non conservazione della parit` a nel decadimento β

Dalla conoscenza a priori di A(θ) e dalla misura di Am (θ) si pu` o ricavare il grado di polarizzazione P di un fascio. Infatti, se il fascio non `e polarizzato al 100%, ma la sua polarizzazione `e P , l’asimmetria misurata `e Am (θ) = P A (θ) .

Fig. 9.18. Invarianza della diﬀusione spin-orbita rispetto alla parit` a.

Nel caso che ci interessa, gli elettroni sono diﬀusi dal campo coulombiano del nucleo bersaglio. Il termine spin-orbita ha origine dall’interazione del momento magnetico μ = −(1/2)γσ dell’elettrone con il campo magnetico B che si manifesta quando l’elettrone si muove con velocit` a v in un campo elettrostatico E . Il vettore induzione magnetica `e dato dalla seguente espressione, con ovvio signiﬁcato dei simboli, B = (1/c2 )E × v = − (1/c2 ) grad VC × v = −(1/c2 ) =−

p 1 ∂VC r× = . r ∂r m

1 1 ∂VC L. mc2 r ∂r

L’energia d’interazione fra il momento magnetico e il campo magnetico `e 1 1 1 ∂VC 1 V = −μ · B = − γ( 2 )σ · L = − σ · LVSO 2 mc r ∂r 2 e contiene il prodotto scalare fra spin e momento angolare orbitale. Sottolineiamo che σ·L `e una quantit` a scalare, a diﬀerenza di p·I che caratterizza l’esperimento del 60 Co, che `e uno pseudoscalare. Essendo il potenziale d’interazione uno scalare, la parit` a `e conservata e l’esperimento di diﬀusione `e invariante per riﬂessione speculare come `e messo in evidenza graﬁcamente in ﬁg. 9.18. La situazione speculare `e realizzabile in laboratorio invertendo il verso dello spin e facendo incidere sul bersaglio particelle provenienti da destra invece che da sinistra.

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10 Teoria di Dirac

10.1 Introduzione Lo studio del decadimento β ci ha reso familiari coppie di fermioni e antifermioni relativistici (e− e+ , ν ν¯; v/c ∼ 1) le cui caratteristiche rilevate sperimentalmente sono riassunte in tab. 10.1. Tabella 10.1.

massa carica elettrica spin elicit` a elicit` a media

particelle ν e− me 0 −e 0 1/2 1/2 −1 −v/c

antiparticelle e+ ν¯ me 0 +e 0 1/2 1/2 +1 +v/c

I valori di massa ed elicit`a, soprattutto per quanto si riferisce al neutrino, possono scostarsi dai valori riportati in tabella a causa degli errori sperimentali. Sebbene tali scostamenti possano avere signiﬁcative conseguenze ﬁsiche, delle quali ci occuperemo in successivi capitoli, ai ﬁni di questo capitolo considereremo questi valori come i pi` u attendibili. Qui di seguito ci proponiamo di mostrare come le diﬀerenti osservazioni sperimentali siano in felice corrispondenza con quanto previsto dalla teoria relativistica di Dirac del moto di particelle libere di spin 1/2.

10.2 Equazione di Schr¨ odinger Richiamiamo alcuni elementi di meccanica quantistica non relativistica.

272

10 Teoria di Dirac

L’equazione del moto di una particella libera di massa m `e ottenibile eﬀettuando nella relazione classica impulso-energia E=

p2 2m

(10.1)

la sostituzione

∂ , p → −i∇ , (10.2) ∂t e applicando gli operatori a una funzione complessa Ψ (x, t). Posto = c = 1, si ha ∂Ψ 1 2 (10.3) i + ∇ Ψ = 0. ∂t 2m Spesso si ha a che fare con particelle in moto, il cui numero si conserva nel tempo. La legge di conservazione classica `e espressa dall’equazione di continuit` a ∂ρ + ∇ · J = 0, (10.4) ∂t dove ρ `e la densit`a di volume delle particelle e J `e la densit`a di corrente. L’equivalente quantistico si ottiene sottraendo dalla (10.3) moltiplicata per Ψ ∗ la sua complessa coniugata moltiplicata per Ψ ; ossia ∂(Ψ Ψ ∗ ) i ∗ ∗ (10.5) +∇· − (Ψ ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ) = 0 . ∂t 2m E → i

Dal confronto con la (10.4) si ricavano le deﬁnizioni quantistiche di ρ e J : ρ = Ψ Ψ ∗ = |Ψ | ,

(10.6)

i (Ψ ∗ ∇Ψ − Ψ ∇Ψ ∗ ) . 2m

(10.7)

2

J =−

ρ `e interpretata come una densit`a di probabilit` a. Per esempio, supponiamo che la soluzione della (10.3) sia Ψ = N ei(p·x−Et) . Risulta

p 2 |N | . m ρdV rappresenta la probabilit` a di trovare una particella nel volume elementare dV ; J ds rappresenta il numero di particelle che nell’unit` a di tempo escono dal volume dV attraverso la superﬁcie elementare dS; con ovvio signiﬁcato dei simboli, si pu` o scrivere: 2

ρ = |N | ,

JdS = N 2

J =

dx dV p = N 2 dS = N 2 vdS = N 2 dS . dt dt m

10.4 Particelle e antiparticelle

273

10.3 Equazione relativistica di Klein-Gordon Per ottenere un’equazione che descriva il moto di una particella libera relativistica, si pu` o procedere in modo analogo a quello seguito per costruire l’equazione di Schr¨ odinger. Eseguiamo nella relazione relativistica impulso energia (10.8) E 2 = p2 + m2 la sostituzione (10.2) e applichiamo a una funzione φ gli operatori cos`ı ottenuti. Si ottiene l’equazione di Klein-Gordon −

∂2φ + ∇2 φ = m 2 φ . ∂t2

(10.9)

Moltiplicando la (10.9) per −iφ∗ e la sua complessa coniugata per iφ e sommando si ottiene la relazione ∂φ ∂ ∂φ∗ i φ∗ + ∇ · [−i (φ∗ ∇φ − φ∇φ∗ )] = 0 , −φ ∂t ∂t ∂t (10.10) ρ J dove le quantit` a entro parentesi quadra deﬁniscono, per analogia con la (10.1), densit` a di probabilit` a e densit`a di corrente.

10.4 Particelle e antiparticelle La (10.9) ammette soluzione della forma (onda piana) φ = N ei(p·x −Et)

(10.11)

per la quale risulta 2

ρ = 2E |N | ,

2

J = 2p |N | .

(10.12)

La (10.11) rappresenta la funzione d’onda di una particella in moto libero e quindi con energia positiva. Tuttavia, si ha una soluzione della (10.9) anche per una valore negativo dell’energia. Ci` o `e conseguenza dell’equazione di partenza (10.8) in cui l’energia compare al quadrato, da cui segue E = ± p2 + m2 = ± |E| . (10.13) Per la (10.12) un’energia negativa comporta anche una densit` a negativa. Che particelle in moto libero abbiano energia e densit` a negative appare del tutto privo di signiﬁcato, cos`ı che la soluzione di energia negativa appare, a prima vista, come un fatto puramente matematico privo di rilevanza ﬁsica. E’

274

10 Teoria di Dirac

tuttavia possibile stabilire una corrispondenza fra questa soluzione e quantit` a osservabili cos`ı da renderla signiﬁcativa e ricca di implicazioni in senso ﬁsico. Supponiamo che la particella considerata sia un elettrone con energia positiva e carica elettrica −e; allora la densit` a ρ e la densit`a di corrente J possono essere trasformate in densit`a di carica elettrica e densit`a di corrente elettrica moltiplicando la (10.12) per −e: ρ(e− ) = −e 2E |N | ,

J (e− ) = −e 2p |N | .

2

2

(10.14)

2

(10.15)

Analogamente, nel caso di positroni di carica +e si ha 2

ρ(e+ ) = +e 2E |N | ,

J (e+ ) = +e 2p |N | .

Le (10.15) si ottengono dalle (10.14) anche se, invece di cambiare il segno della carica elettrica, si cambia segno a energia e impulso: E → −E, p → −p. Cos`ı il segno ± dell’energia e dell’impulso pu` o essere assunto come carattere distintivo di elettroni e positroni, invece del segno della carica elettrica. Poich´e i positroni sono le antiparticelle degli elettroni, possiamo generalizzare quanto sopra assumendo che lo stato di energia e impulso positivi identiﬁchi una particella, quello di energia e impulso negativi identiﬁchi la corrispondente antiparticella. Abbiamo cos`ı attribuito signiﬁcato ﬁsico in modo non convenzionale al valore negativo dell’energia. D’altra parte, cambiare segno a energia e impulso equivale a invertire il tempo, ossia a eﬀettuare le sostituzioni t → −t, p → −p: t→−t p→−p

ei(p·x −Et)

−−−−−−→

ei((−p·x −E(−t))

−−−−−−→

(10.16)

E→−E p→−p

particella (elettrone)

antiparticella (positrone)

In questa visione, l’antiparticella `e dotata di energia positiva ma il tempo ﬂuisce a ritroso. Questa relazione fra particella e antiparticella pu` o essere illustrata graﬁcamente mediante il diagramma di Feynman della reazione di diﬀusione Compton (vedi ﬁg. 10.1) γ + e− → γ + e− . Si pu` o immaginare che questa possa svilupparsi in due passi (virtuali1 ) successivi secondo due modalit`a distinte ma equivalenti per quanto riguarda 1

In eventi reali i principi di conservazione dell’impulso e dell’energia impediscono che un fotone si converta in una coppia elettrone-positrone e che un elettrone non interagente con un’altra particella rallenti emettendo un fotone.

10.5 Equazione di Dirac

275

Fig. 10.1. Diﬀerenti modalit` a di sviluppo dell’eﬀetto Compton.

il risultato ﬁnale. Nella prima modalit` a (ﬁg. 10.1a) il fotone incidente si converte in una coppia elettrone-positrone (i quali evolvono nel verso positivo del tempo) e il positrone annichila con l’elettrone incidente producendo un fotone. Nella seconda, l’elettrone emette un fotone rallentando ﬁno a raggiungere un livello negativo di energia, stato equivalente a quello di un elettrone con energia positiva che regredisce nel tempo (ﬁg. 10.1b). L’elettrone assorbe il fotone incidente risalendo a un livello di energia positiva. Pertanto, la connessione fra i vertici A e B pu` o avvenire tramite un positrone che progredisce nel tempo o tramite un elettrone (la sua antiparticella), che regredisce nel tempo. Facendo riferimento, per comodit` a di rappresentazione, al moto di particelle uscenti da o entranti in un volume V , l’inversione del tempo trasforma un moto uscente in un moto entrante (e viceversa). Se le particelle provengono da una sorgente contenuta in V , diremo che esse sono emesse e le corrispondenti antiparticelle sono assorbite.

10.5 Equazione di Dirac L’equazione di Klein-Gordon, dedotta direttamente dalla relazione relativistica impulso-energia, contiene le derivate seconde rispetto al tempo e alle coordinate spaziali. Essa risulta appropriata per particelle di spin intero (bosoni). Per esempio, per m = 0 essa pu`o essere interpretata come l’equazione di un’onda elettromagnetica e descrive quindi il moto del fotone (spin 1). E’ possibile, tuttavia, costruire un’equazione che, pur soddisfacendo alla relazione (10.8), contenga solo le derivate prime spazio-temporali in modo lineare. Tale equazione fu proposta da Dirac e risulta appropriata per particelle di spin semintero. Si consideri la relazione EΨ ≡ i

∂Ψ = HΨ . ∂t

(10.17)

Il pi` u semplice operatore hamiltoniano lineare rispetto alle derivate spaziali (ossia rispetto all’impulso, per la corrispondenza (10.2)) ha la forma

276

10 Teoria di Dirac

H = α · pc + βmc2 ,

(10.18)

dove la grandezza vettoriale α e lo scalare β vengono deﬁniti imponendo che sia soddisfatta la relazione relativistica impulso-energia, ossia: H 2 ≡ (α · pc + βmc2 )(α · pc + βmc2 ) = p 2 c2 + m2 c4 .

(10.19)

Sviluppando i prodotti scalari si ottiene:

αi2 p2i c2 +

i

(αi αj + αj αi ) pi pj c2 +

i=j

+

3

2

2 4

(αi β + βαi ) pi mc + β m c =

i

(10.20) p2i c2

2 4

+m c .

i

La (10.20) `e soddisfatta se αi2 = 1 β2 = 1 (αi αj + αj αi ) = 0

(10.21)

(αi β + βαi ) = 0 i = 1, 2, 3 Queste relazioni esprimono le propriet` a fondamentali delle grandezze α e β. Le grandezze αi e β anticommutano fra loro e quindi non possono essere semplici numeri. Esse sono rappresentabili in forma di matrici di dimensione minima 4 × 4, cos`ı che la funzione Ψ `e un vettore colonna a 4 componenti (spinore). La forma esplicita di α e β non `e unica e la scelta viene fatta con criteri di opportunit` a ﬁsica, vale a dire in modo da poter attribuire signiﬁcato ﬁsico alle grandezze matematiche. Una scelta che soddisfa a queste ﬁnalit`a e rispetta le condizioni (10.21) `e la seguente: 0 σ I 0 α= , β= , (10.22) σ 0 0 −I dove σ `e la matrice di spin di Pauli di componenti: 01 0 −i 1 0 , σ2 = , σ3 = , σ1 = 10 i 0 0 −1

(10.23)

e I `e la matrice identit` a 2 × 2. L’equazione di Dirac `e rappresentabile tramite le matrici α e β, gi`a deﬁnite, u sotto. Con le sostituzioni (10.2), la e tramite le matrici γ μ , che deﬁniamo pi` (10.17) diviene ∂ (10.24) i Ψ + icα · ∇Ψ − βmc2 Ψ = 0 . ∂t

10.6 Propriet` a generali dell’operatore hamiltoniano

277

Moltiplicando la (10.24) a sinistra per β e deﬁnendo: γ = βα,

γ i = βαi

i = 1, 2, 3

(10.25)

γ0 = β si ottiene l’equazione ∂ Ψ + icγ · ∇Ψ − mc2 Ψ = 0 . (10.26) ∂t Le propriet`a delle matrici γ sono date in tab. 10.2. Spesso porremo = c = 1, cos`ı che la (10.26) diviene iγ 0

iγ 0

∂ Ψ + iγ · ∇Ψ − mΨ = 0 . ∂t

(10.27)

Consideriamo le seguenti quantit` a, la prima in forma covariante e la seconda in forma controvariante (vedi Appendice 10.14.4): ∂ ∂ ∂ , pμ = i , ,∇ ≡i ∂ct ∂x0 ∂xi 0 γ , γ ≡ γ0, γi . (10.28) i = 1, 2, 3 Per le (10.28), la (10.27) pu` o essere scritta nella forma compatta

∂ i γμ Ψ − mΨ = 0 ∂xμ μ

(10.29)

μ = 0, . . . , 3 dove talvolta il segno di sommatoria rispetto a μ sar`a sottinteso. La (10.29) rappresenta la forma covariante dell’equazione di Dirac. Essa mette in particolare rilievo il suo carattere relativistico perch´e le coordinate spaziali e temporale appaiono nello stesso modo, sia perch´e l’operatore iγ μ

∂ −m ∂xμ

(10.30)

`e relativisticamente invariante. Infatti `e evidente che per un osservatore inerziale con coordinate xμ l’operatore ha la stessa forma della (10.30) con xμ al posto di xμ (γ μ e m non dipendono dall’osservatore per deﬁnizione).

10.6 Propriet` a generali dell’operatore hamiltoniano L’hamiltoniana di Dirac per particella libera gode intrinsecamente di due notevoli propriet` a che qui ci limitiamo a presentare e per la cui dimostrazione rinviamo alle Appendici 10.14.1 e 10.14.2.

278

10 Teoria di Dirac Tabella 10.2. Forma controvariante delle matrici γ „

« 0 σ σ 0 „ « 01 σ1 = 10

„ « I 0 0 −I „ « 0 −i σ2 = i 0

α=

„ « 10 01 „ « 1 0 σ3 = 0 −1

β=

I=

α2k = β 2 = 1 „ γ k = βαk =

0 σk −σk 0

«

γ μ γ ν = −γ ν γ μ (μ = ν) `

γk

´†

= (βαk )† = αk β = −γ k

γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3

γ0 = β `

γk

`

γ0

`

γ5

´2 ´†

´2

`

γ0

= −I

´2

=I

(γ μ )† = γ 0 γ μ γ 0

= γ0

γ 5† = γ 5

=I

γ5 γμ = − γμ γ5 0

1 0 0 01 B 0 0 1 0C C γ1 = B @ 0 −1 0 0A −1 0 0 0 0 1 10 0 0 B0 1 0 0 C C γ0 = B @0 0 −1 0 A 0 0 0 −1

0

1 −i 0C C 0A 0 0 00 „ « B0 0 0I 5 B γ = =@ 10 I 0 01

0 B0 2 γ =B @0 −i

0 0 i 0

0

0 i 0 0

0 B 0 3 γ =B @−1 0 1 0 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

1 0 −1C C 0 A 0

1 0 1C C 0A 0

a) L’hamiltoniana commuta con l’operatore momento angolare 1 J = L + σ , 2

(10.31)

dove L `e il momento angolare orbitale e σ `e la matrice di spin di Pauli. b) L’hamiltoniana commuta con l’operatore di elicit` a pseudoscalare h=

σ · p , p

(10.32)

dove σ `e la matrice di Pauli generalizzata (vedi Appendice 10.14.1). L’hamiltoniana risulta cos`ı intrinsecamente idonea a descrivere il moto di particelle dotate di spin semintero (fermioni) orientato nella direzione del moto.

10.7 Soluzione dell’equazione di Dirac

279

10.7 Soluzione dell’equazione di Dirac Consideriamo l’equazione di Dirac (10.24) nella forma (con = c = 1) i i

∂ Ψ + iα · ∇Ψ − βmΨ = 0 ∂t

,

∂ ∂ αi Ψ − βmΨ = 0 . Ψ +i ∂t ∂xi i

Assumiamo la Ψ nella forma (onda piana) ⎛ ⎞ u1 i(p·r −Et) ⎜ u2 ⎟ φ i(p·r −Et) i(p·r −Et) ⎟ ⎜ = ⎝ ⎠e = , Ψ = ue u3 χ u4

(10.33)

(10.34)

dove u `e uno spinore a 4 componenti e φ e χ sono spinori a due componenti. Sostituiamo la (10.34) nella (10.33), eseguiamo le derivate e teniamo conto delle espressioni matriciali di αi e β. Si ottiene l’equazione matriciale (E − α · p − βm) u = 0 ,

da cui

I0 0 σ I 0 φ 0 E− ·p− m = , 0I σ 0 0 −I χ 0 Eφ − σ · pχ − mφ = 0 , Eχ − σ · pφ + mχ = 0 .

ovvero

σ·p χ, E−m σ·p φ. χ= E+m

(10.35)

(10.36)

φ=

(10.37)

Le (10.36) costituiscono un sistema omogeneo che ammette soluzione solo se si annulla il determinante dei coeﬃcienti, ossia se E 2 − p2 − m 2 = 0 , E = ± p2 + m2 .

(10.38)

Sono quindi possibili valori positivi e negativi dell’energia. Come nel caso dell’equazione di Klein-Gordon, interpreteremo gli stati di energia positiva come stati di particella e quelli di energia negativa come stati di antiparticella (ritorneremo su questo punto pi` u dettagliatamente nel par. 10.12). Per le propriet` a dei sistemi omogenei, delle due incognite φ e χ una `e arbitraria e l’altra `e funzione della precedente. Nella scelta della funzione arbitraria

280

10 Teoria di Dirac

ci facciamo guidare da considerazioni di opportunit` a ﬁsica. Tenuto conto del segno dell’energia, le (10.37) danno origine a quattro possibili soluzioni: E = |E| ,

E = − |E| , σ·p χ, |E| + m σ·p χ= φ. m − |E|

σ·p χ, |E| − m σ·p φ, χ= |E| + m

φ=−

φ=

(10.39)

Possiamo scegliere ad arbitrio χ oppure φ in ciascuno dei due casi. Per decidere, consideriamo il limite non relativistico: p2 E →m+ , 2m p → 0. |E| + m

p → 0, p p → p2 → ∞ , |E| − m 2m

Le (10.37) divengono E > 0,

χ → 0,

E < 0,

|φ| |χ| ,

φ → 0,

|χ| |φ| .

Due soluzioni si annullano; perci` o assumiamo come funzioni arbitrarie le altre due, che chiamiamo dominanti. Considerato che l’hamiltoniana caratterizza particelle di spin 1/2, scegliamo φ e χ coincidenti con gli autostati σ3 della matrice di spin 1/2: 1 0 φ= , , 0 1 (10.40) 1 0 χ= , . 0 1 Con questa scelta le soluzioni dell’equazione di Dirac sono le quattro seguenti: % & φ ei(p·r −|E|t) , E = |E| , Ψ+ = N u+ ei(p·r −Et) = N σ·p (10.41) |E|+m φ 0 1 φ= ≡ φ↓ , ≡ φ↑ . 1 0

i(p·r −Et)

E = − |E| , Ψ− = N u − e 0 1 χ= ≡ χ↓ , ≡ χ↑ . 1 0

& % σ·p φ i(p·r +|E|t) − |E|+m e =N , χ (10.42)

dove N `e una costante di normalizzazione; per

10.7 Soluzione dell’equazione di Dirac

$ N=

m + |E| 2 |E|

281

(10.43)

risulta Ψ † Ψ = 1. Le quattro soluzioni sono fra loro ortogonali: ur† us = 0, r = s . Con la scelta fatta, al limite non relativistico (p → 0) si ha φ 0 u+ = , u− = . 0 χ Siccome φ e χ sono autostati di σ3 , possiamo interpretare u+ e u− come autostati di spin in forma generalizzata, nel senso che sono autostati dell’operatore di spin generalizzato σ3 0 , σ3 = 0 σ3 come si veriﬁca immediatamente. Consideriamo ora il limite relativistico: m → 0, |E| → p; gli spinori u nelle (10.41) e (10.42) divengono: ⎞ % & ⎛ φ φ = ⎝σ · p ⎠ , u+ = (10.44) φ χ p % & % σ·p & φ − χ p = u− = . χ χ

(10.45)

La funzione φ nella componente inferiore di u+ rappresenta l’autostato dell’operatore di elicit` a σ·p p . Infatti, assunto l’asse z parallelo a p, si ha σ·p (10.46) φ ≡ σ3 φ = ±φ , p 1 0 a seconda che φ = ≡ φ↑ , oppure φ = ≡ φ↓ . Analogamente χ, 0 1 a ma con nella componente superiore di u− , rappresenta l’autostato dell’elicit` segni degli autovalori invertiti : −

σ·p χ ≡ −σ3 χ = ∓χ , p

Quindi, con le scelte fatte, le due componenti superiore e inferiore dello spinore u+ (u− ) risultano associate allo spin e all’elicit` a (all’elicit`a e allo spin). Per evidenziare il diverso orientamento degli spin useremo le notazioni u+↑ , u−↑ , u+↓ , u−↓ .

282

10 Teoria di Dirac

10.8 Operatori di proiezione di elicit` a positiva e negativa a) Particelle di massa nulla. Introduciamo gli operatori di proiezione Λ e Λr tali che u = Λ u + Λr u .

(10.47)

Assumiamo gli operatori nella forma 1 1 I − γ5 = Λ = 2 2 Λr =

1 1 I + γ5 = 2 2

I −I −I I

II . II

,

(10.48)

(10.49)

La matrice γ 5 , detta chiralit` a , `e deﬁnita in tab. 10.2. Si veriﬁca immediatamente che l’applicazione di questi operatori allo spinore di energia positiva con m = 0 deﬁnito dalle (10.44 e 10.45) porta al seguente risultato: 1 Λr u+↑ = φ , (10.50) Λ u+↑ = 0 , 1 ↑ 1 φ , Λr u+↓ = 0 . (10.51) Λ u+↓ = −1 ↓ Pertanto, per la (10.47), a seconda che u sia caratterizzato da spin ↑ oppure da spin ↓, risulta u ≡ u+↑ = Λr u+↑ , (10.52) u ≡ u+↓ = Λ u+↓ . Le (10.52) inducono a deﬁnire Λ operatore di proiezione dello stato di elicit`a negativa (o sinistrorsa, = left) e l’operatore Λr operatore di proiezione dello stato di elicit`a positiva (o destrorsa, r = right). Tenuto conto della (10.46), le relazioni (10.50), (10.51) e (10.52) mettono anche in evidenza che lo spinore `e intrinsecamente autostato di elicit`a +1 o autostato di elicit`a −1; questo non `e vero se m = 0, come si vedr`a pi` u avanti. Gli operatori di proiezione applicati allo spinore di energia negativa producono eﬀetti analoghi, ma opposti, ai precedenti: −1 Λ u−↑ = χ↑ , Λr u−↑ = 0 , (10.53) 1 1 Λr u−↓ = χ↓ . (10.54) Λ u−↓ = 0 , 1 ossia, per E < 0 l’operatore Λ estrae da u lo stato di elicit`a positiva e Λr quello di elicit` a negativa.

10.8 Operatori di proiezione di elicit` a positiva e negativa

283

b) Particelle con massa diversa da zero Deﬁnite le propriet` a degli operatori di proiezione tramite il caso di particelle con m = 0, consideriamo ora il caso generale con m = 0. Assumiamo come in precedenza che l’asse z sia parallelo a p. Consideriamo prima le soluzioni di energia positiva (10.41). Tenuto presente che σ · pφ↑ = pφ↑ , σ · pφ↓ = −pφ↓ , risulta

1 φ↓ , −1 p 1 1 1− φ↓ . = 1 2 |E| + m

Λ u+↓ = Λr u+↓

1 2

1+

p |E| + m

(10.55) (10.56)

Dunque, essendo le due proiezioni diverse da zero, l’autostato u+↓ = Λ u+↓ + Λr u+↓ risulta essere una sovrapposizione di stati di elicit` a positiva e negativa con pesi diversi. Calcoliamo l’elicit`a media che deﬁniamo nel seguente modo: (−1)P + (+1)Pr , (10.57) h = P + Pr dove le quantit` a P sono i pesi dei due stati di elicit` a che, per lo spinore u+↓ , sono espressi dalle seguenti relazioni: 2 1 |E| + m + p 2 , (10.58) P = |Λ u+↓ | = 2 |E| + m 1 Pr = |Λr u+↓ | = 2 2

|E| + m − p |E| + m

2 .

(10.59)

Introducendo le (10.58 e 10.59) nella (10.57) si ottiene: h = −

v p =− . |E| c

(10.60)

Con calcoli analoghi si veriﬁca che anche i rimanenti spinori u+↑ , u−↑ , u−↓ sono sovrapposizione di stati di elicit` a positiva e negativa. I corrispondenti valori medi dell’elicit` a sono riportati in tab. 10.3. I risultati del presente paragrafo saranno commentati nel par. 10.13. E’ utile, ai ﬁni del par. 14.2.1 del cap. 14, dare l’espressione del peso della componente destrogira dello spinore Λr u+↓ al limite relativistico, ossia per m p (quindi |E| ∼ = p): 2 2 m + |E| 1 m |E| + m − p 2 Ψ † Ψ = N 2 P = N 2 |Λr u+↓ | = ≈ · 4 |E| |E| + m 4 |E| (10.61) N `e deﬁnito dalla (10.42).

284

10 Teoria di Dirac

Tabella 10.3. Le quantit` a in corsivo corrispondono a stati ﬁsici eﬀettivamente osservati nel decadimento β. particelle u+↓ u+↑

antiparticelle u−↑ u−↓

h(m = 0)

−1

+1

+1

−1

h(m = 0)

−v/c

+v/c

+v/c

-v/c

10.9 Equazione aggiunta Consideriamo l’equazione di Dirac nella forma (10.27): iγ 0

∂ ∂ Ψ − mΨ = 0 . Ψ + iγ k ∂t ∂xk

(10.62)

La sua coniugata hermitiana `e −i

∂ † 0 ∂ † k Ψ −γ − mΨ † = 0 . Ψ γ −i ∂t ∂xk

(10.63)

Moltiplicando la (10.63) a destra per γ 0 e ricordando che γ 0 γ k = −γ k γ 0 , si ottiene i

∂ † 0 0 ∂ † 0 k Ψ γ γ +i Ψ γ γ + m Ψ †γ0 = 0 . ∂t ∂xk

Deﬁnito lo spinore aggiunto

(10.64)

2

Ψ¯ = Ψ † γ 0 , Ψ † = u† e−i(p·r −Et) = φ† Ψ¯ = u ¯ e−i(p·r −Et) = φ†

(10.65) χ† , e−i(p·r −Et) ,

(10.66)

−χ† e−i(p·r −Et) ,

(10.67)

si ottiene inﬁne l’equazione aggiunta i 2

∂ ¯ k ∂ ¯ 0 Ψγ + i Ψ γ + mΨ¯ = 0 . ∂t ∂xk

(10.68)

0 1 u1 „ « B u2 C ` ´ ∗ φ † 0 T 0 † 0 C , u† = φ† χ† , Ψ¯ = Ψ γ = Ψ γ → u ¯=u γ , u= =B @ A χ u3 u4 „ « ´ ` ´ I 0 ` ´ ` † † † u ¯ = φ† χ† = φ† −χ† = u1 u2 −u3 −u†4 . 0 −I

10.10 Invarianti relativistici

285

Moltiplichiamo la (10.62) a sinistra per Ψ¯ e la (10.68) a destra per Ψ e sommiamo; risulta ∂ ¯ k ∂ ¯ 0 Ψγ Ψ + Ψγ Ψ = 0 , ∂x0 ∂xk

(10.69)

che rappresenta l’equazione di continuit` a, se deﬁniamo (vedi la (10.4)) ρ = Ψ¯ γ 0 Ψ = Ψ † Ψ Jk = Ψ¯ γ k Ψ ,

(10.70)

k = 1, 2, 3 .

Moltiplicando le (10.70) per −e e per +e si hanno le densit` a di carica elettrica e di corrente elettrica per elettroni (particelle) e per positroni (antiparticelle). La funzione aggiunta ha la notevole propriet` a di consentire la costruzione di grandezze relativisticamente invarianti. Esse permettono di esprimere leggi ﬁsiche di validit` a generale, ossia indipendenti dall’osservatore.

10.10 Invarianti relativistici Consideriamo l’equazione di Dirac nella forma (10.29): ' i γ μ ∂x∂ μ Ψ − mΨ = 0 ,

(10.71)

μ

μ = 0, ..., 3 . Eseguiamo la trasformazione di Lorentz dal sistema O(x0 = ct, x1 , x2 , x3 ) al sistema O in moto lungo l’asse x1 con velocit`a β = v/c: ' aμν (β)xν xμ = ⎛

ν

−1/2 1 − β2 ⎜ 2 −1/2 ⎜ aμν (β) = ⎜ −β 1 − β ⎝0 0

−1/2 −β 1 − β 2 −1/2 1 − β2 0 0

⎞ 0 0 1 0

0 0 0 1

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(10.72)

Si ha invarianza dell’equazione di Dirac se esiste una funzione Ψ xμ che soddisfa all’equazione ' i γ μ ∂x∂ Ψ xμ − mΨ xμ = 0 , μ μ (10.73) μ = 0, . . . , 3 . Si pu` o mostrare che tale funzione esiste e che pu`o essere posta nella forma (vedere Appendice 10.14.3) Ψ = SΨ (10.74)

286

10 Teoria di Dirac

con S matrice che agisce solo sulla parte spinoriale di Ψ . La matrice S `e deﬁnita dalla relazione (10.111) che qui riportiamo:

S −1 γ μ S = aμν γ ν . (10.75) ν

Analoghe considerazioni valgono per la funzione aggiunta, con Ψ¯ = Ψ¯ S −1 ,

(10.76)

S −1 S = I .

Combinando opportunamente la funzione Ψ con la sua aggiunta si possono costruire grandezze relativisticamente invarianti. Si pu` o mostrare (cosa che qui non verr` a fatta) che esistono solo 5 grandezze fra loro indipendenti con tale propriet` a; esse sono elencate in tab. 10.4 aﬃancate da una denominazione che esprime le loro propriet`a rispetto all’operazione di inversione delle coordinate spaziali. Tabella 10.4. Invarianti relativistici. Inversione delle coordinate spaziali (Parit` a) Scalare Ψ¯ Ψ Vettore Ψ¯ γ μ Ψ

+ Componente spaziale: −

Tensore antisimmetrico Ψ¯ σ μν Ψ Vettore assiale Ψ¯ γ 5 γ μ Ψ Pseudoscalare Ψ¯ γ 5 Ψ σ μν =

i 2

Componente spaziale: + −

(γ μ γ ν − γ ν γ μ )

Mostriamo il carattere di invarianza dello scalare e del vettore. Per quanto riguarda lo scalare si ha: Ψ¯ Ψ −→ Ψ¯ Ψ = Ψ¯ S −1 (SΨ ) = Ψ¯ S −1 S Ψ = Ψ¯ Ψ . Lorentz

Questa relazione mostra che la quantit` a Ψ¯ Ψ `e indipendente dal sistema di riferimento, come richiesto per uno scalare. Per quanto riguarda il vettore si ha:

aμν Ψ¯ γ ν Ψ Ψ¯ γ μ Ψ −→ Ψ¯ γ μ Ψ = Ψ¯ S −1 γ μ (SΨ ) = Ψ¯ S −1 γ μ S Ψ = Lorentz

ν

10.11 Propriet` a di invarianza

287

dove si `e utilizzata la (10.75). La relazione precedente mostra che la quantit` a Ψ¯ γ μ Ψ si trasforma come le coordinate spazio-temporali e quindi `e un quadrivettore.

10.11 Propriet` a di invarianza a) Inversione dello coordinate spaziali. Parit` a Separiamo nell’equazione di Dirac nella forma (10.29) la parte temporale da quella spaziale: & %

∂ ∂ +i γk −m Ψ =0 (10.77) iγ 0 ∂x0 ∂xk k

ed eseguiamo la trasformazione r → −r : % &

0 ∂ k ∂ iγ −i γ − m Ψ (−r , t) = 0 . ∂x0 ∂xk

(10.78)

k

Ψ (−r , t) `e un’autofunzione con le coordinate spaziali invertite che non `e soluzione dell’equazione di Dirac perch´e l’operatore agente su di essa nella (10.78) `e diﬀerente da quello agente su Ψ nella (10.77). Cerchiamo una funzione d’onda con coordinate spaziali invertite che sia anche soluzione dell’equazione di Dirac e goda, quindi, delle relative propriet` a di invarianza per trasformazione di Lorentz. A questo scopo, moltiplichiamo la (10.78) a sinistra per γ 0 e teniamo conto della relazione γ 0 γ k = −γ k γ 0 ; si ottiene & %

0 ∂ k ∂ +i γ − m γ 0 Ψ (−r , t) = 0 . (10.79) iγ ∂x0 ∂xk k

Dal confronto fra la (10.79) e la (10.77) si ha γ 0 Ψ (−r , t) ≡ Ψ (r , t) ⇒ γ 0 Ψ (r , t) ≡ Ψ (−r , t) .

(10.80)

Questa relazione mostra che la matrice γ 0 rappresenta l’operatore che inverte le coordinate spaziali, ossia l’operatore di Parit` a. γ 0 cambia l’elicit`a dello stato come risulta dalla seguente relazione: I0 φ φ γ0u = = . 0 −I χ −χ Per quanto riguarda lo spinore aggiunto, si ha Ψ¯ (−r , t) γ 0 ≡ Ψ¯ (r , t) .

(10.81)

Le propriet`a degli invarianti relativistici per inversione delle coordinate messe in evidenza in tab. 10.4 si ottengono immediatamente tenuto conto

288

10 Teoria di Dirac

della (10.80), della (10.81) e delle propriet` a delle matrici γ date in tab. 10.2: Ψ¯ Ψ −→ Ψ¯ γ 0 γ 0 Ψ = Ψ¯ Ψ , Ψ¯ γ μ Ψ −→

r→−r

r→−r

Ψ¯ γ 0 γ μ γ 0 Ψ = −Ψ¯ γ k γ 0 γ 0 Ψ = −Ψ¯ γ k Ψ , = +Ψ¯ γ 0 γ 0 γ 0 Ψ = +Ψ¯ γ 0 Ψ ,

Ψ¯ γ 5 γ μ Ψ −→ Ψ¯ γ 0 γ 5 γ μ γ 0 Ψ = Ψ¯ γ 5 γ μ Ψ , r→−r

Ψ¯ γ 5 Ψ −→ Ψ¯ γ 0 γ 5 γ 0 Ψ = −Ψ¯ γ 5 Ψ . r→−r

b) Inversione del tempo i) Invertiamo il tempo nell’equazione (10.77): % &

0 ∂ k ∂ −iγ γ − m Ψ (r , −t) = 0 . +i ∂t ∂xk

(10.82)

k

Ψ (r , −t) non soddisfa all’equazione di Dirac (10.77). Facciamo la complessa coniugata della (10.82) e moltiplichiamo a sinistra per γ 3 γ 1 : % &

3 1 0∗ ∂ k∗ ∂ γ − m Ψ ∗ (r , −t) = 0 . (10.83) γ γ iγ −i ∂t ∂xk k

Poich´e γ μ = γ μ∗ (μ = 2),γ 2 = −γ 2∗ e γ 2 γ μ = −γ μ γ 2 ottiene & %

0 ∂ k ∂ γ − m γ 3 γ 1 Ψ ∗ (r , −t) = 0 . iγ +i ∂t ∂xk

(μ = 2), si

(10.84)

k

Dal confronto fra la (10.84) e la (10.77) si ottiene γ 3 γ 1 Ψ ∗ (r , −t) ≡ Ψ (r , t) ⇒ γ 1 γ 3 KΨ (r , t) = Ψ (r , −t) ,

(10.85)

dove K indica l’operazione di coniugazione complessa: KΨ = Ψ ∗ . Dunque, γ 1 γ 3 K `e l’operatore che inverte il tempo3 .

3

Notiamo che vale la relazione 1 3

γ γ = iσ2

„

I 0 0I

«

10.12 Particelle e antiparticelle

289

ii) Considerata un’equazione nella forma EΨ ≡ i

∂ Ψ = HΨ , ∂t

(10.86)

la (10.85) `e veriﬁcata se H`e hermitiano (cio`e i suoi autovalori sono reali4 ) e indipendente dal tempo. Infatti, se si cambia segno al tempo sotto la seconda ipotesi, si ha: HΨ (−t) = i

∂ Ψ (−t) . ∂(−t)

(10.87)

Facciamo il complesso coniugato della (10.86): H ∗ Ψ ∗ = −i

∂ ∗ ∂ Ψ =i Ψ∗ ∂t ∂(−t)

(10.88)

e moltiplichiamo a sinistra per l’operatore unitario5 γ1 γ3 ; se `e hermitiana, l’hamiltoniana soddisfa alla relazione H ∗ = (γ 1 γ 3 )† Hγ 1 γ 3 , ossia

γ 1 γ 3 H ∗ = Hγ 1 γ 3 ,

e per la (10.88) si ottiene: γ 1 γ 3 H ∗ Ψ ∗ = H(γ 1 γ 3 KΨ ) = i

∂ (γ 1 γ 3 KΨ ) . ∂(−t)

(10.89)

Confrontando la (10.89) con la (10.87), si ottiene la (10.85).

10.12 Particelle e antiparticelle a) Consideriamo la complessa coniugata dell’eq. (10.77): % &

∗ ∂ 0∗ ∂ k iγ +i γ + m Ψ ∗ (r, t) = 0 ∂x0 ∂xk

(10.90)

k

e moltiplichiamo a sinistra per iγ 2 ; poich´e γ μ = γ μ∗ (μ = 2), γ 2 = −γ 2∗ e γ 2 γ μ = −γ μ γ 2 , si ottiene % &

0 ∂ k ∂ iγ +i γ − m iγ 2 Ψ ∗ (r, t) (10.91) ∂x0 ∂xk k

4 5

Un operatore A `e hermitiano se A† = A, Aij = A∗ji . Un operatore A `e unitario se A† = A−1 o AA† = 1.

290

10 Teoria di Dirac

Confrontando la (10.91) con la (10.77) risulta che anche lo spinore iγ 2 Ψ ∗ (r, t) = iγ 2 KΨ (r, t)

(10.92)

`e soluzione dell’equazione di Dirac. Mostriamo ora che lo spinore iγ 2 KΨ (r, t) ha energia, impulso e spin opposti a quelli dello spinore Ψ (r, t); pertanto, se Ψ (r, t) rappresenta lo stato di particella, iγ 2 KΨ (r, t) rappresenta il corrispondente stato di antiparticella. b) Scriviamo la soluzione per energia positiva dell’equazione di Dirac (10.41) per m = 0 e ne mettiamo in evidenza gli spinori corrispondenti alle due conﬁgurazioni di φ e l’elicit`a: % & φ i(p·r−Et) =N ei(p·r−|E|t) , E = |E| Ψ+ = N u+ e σ·p φ |E|+m φ↑ h = +1 , u+↑ = φ↑ φ↓ h = −1 . u+↓ = −φ↓ (10.93) Secondo quanto convenuto nel par. 10.4, lo stato di antiparticella `e lo stato di particella con energia negativa e impulso invertito, situazione equivalente a quella di energia positiva con tempo e impulso invertiti. Assumiamo, quindi, quale stato di antiparticella la soluzione di energia negativa (10.42) con la sostituzione p → −p; per m = 0 si ha & % σ·p p χ i(−p·r+|E|t) ei(−p·r+|E|t) , Ψ− (−p) = N u− (−p) e =N χ % & χ↑ h = 1, u−↑ (−p) = (10.94) χ↑ & % −χ↓ h = 1. u−↓ (−p) = χ↓ Abbiamo cos`ı quattro autostati di energia positiva, due per particella dati dall’eq. (10.93) e due per antiparticella, dati dalla (10.94). Applicando agli autostati di antiparticella (10.94) gli operatori Λ e Λr deﬁniti dalle (10.48 e 10.49), si ottiene Λr u−↑ (−p) = u−↑ (−p) , Λ u−↓ (−p) = u−↓ (−p) .

(10.95)

10.12 Particelle e antiparticelle

291

Confrontando le (10.95) con le (10.52) si constata che lo stato di neutrino ﬁsico di massa nulla u−↓ `e autostato di Λ e quello di antineutrino ﬁsico di massa nulla u−↑ (−p) `e autostato di Λr . c) Mostriamo che, a meno di fattori di modulo uno, la (10.94) si ottiene dalla (10.93) per applicazione dell’operatore ⎛ ⎞ 0 0 0 1 ⎜0 0 −1 0 ⎟ 0 σ2 ⎟K . K=⎜ iγ 2 K = i ⎝ 0 −1 −σ2 0 0 0 ⎠ 1 0 0 0 A questo scopo, osserviamo che sussistono le seguenti relazioni: 0 1 1 0 = = −φ↓ , iσ2 φ↑ = −1 0 0 −1 0 1 0 1 = = φ↑ , iσ2 φ↓ = −1 0 1 0

(10.96)

(10.97)

le quali mostrano che l’operatore i σ2 inverte lo spin. Risulta quindi 2 iγ K Ψ+ = N iγ 2 u+ e−i(p·r−|E|t) ,

iγ 2 u+↑ =

2 iγ u+↓ =

0 −iσ2

0 −iσ2

iσ2 0 iσ2 0

φ↑ φ↑

φ↓ −φ↓

=

iσ2 φ↑ −iσ2 φ↑

=

−iσ2 φ↓ −iσ2 φ↓

=

−φ↓ φ↓

=−

φ↑ φ↑

, .

(10.98) Confrontando le (10.98) con le (10.94) si constatano le seguenti identit` a: ⎧ 2 ⎪ ⎨ iγ u+↑ ≡ u−↓ (−p) 2 iγ K Ψ+ ≡ Ψ− (−p) (10.99) ⎪ ⎩ 2 iγ u+↓ ≡ −u−↑ (−p) le quali mostrano che l’operatore iγ 2 K trasforma l’autofunzione di particella in autofunzione di antiparticella (e viceversa) con inversione dello spin e dell’elicit`a. Pertanto l’operatore trasforma neutrino ﬁsico in antineutrino ﬁsico. Se, concordemente con il par. 9.6 di cap. 9, indichiamo con a, 2 C l’operatore di coniugazione di carica e con P l’operatore di parit` iγ K ha il ruolo dell’operatore CP . d) Riassumiamo in forma qualitativa in tab. 10.5 l’eﬀetto separato e congiunto degli operatori di inversione delle coordinate spaziali e del tempo sulle grandezze che caratterizzano particelle e antiparticelle. L’eﬀetto combinato corrisponde a CP .

292

10 Teoria di Dirac Tabella 10.5. Eﬀetto dell’inversione delle coordinate spaziali e del tempo. r

p

σ(= r × p)

h = σ · p/p

r → −r

−r

−p

σ

−h

t → −t ﬀ r → −r t → −t

r

−p

−σ

h

−r

p

−σ

−h

10.13 Confronto fra teoria di Dirac e osservazioni sperimentali In questo paragrafo confrontiamo le principali propriet` a delle particelle descritte dall’equazione di Dirac (riassunte in tab. 10.3) con quelle ricavate dallo studio del decadimento β (riassunte in tab. 10.1). Per m = 0 abbiamo individuato quattro soluzioni dell’equazione di Dirac che descrivono il moto libero di particelle di spin 1/2, due soluzioni con energia positiva (che abbiamo associato alle particelle) e due per energia negativa (che abbiamo associato alle antiparticelle). Ogni soluzione `e una sovrapposizione di stati di elicit` a ±1. Per ogni energia le due soluzioni hanno elicit` a media di segno opposto (±v/c). Se la massa `e zero, per ogni energia i due autostati sono puri autostati di elicit`a massima ±1 (non sono sovrapposizione di stati di elicit` a opposte). Dal confronto fra tab. 10.1 e tab. 10.3, si rileva che si ha una sorprendente corrispondenza fra le caratteristiche delle particelle osservate sperimentalmente e quelle delle particelle descritte dalla teoria (i neutrini sono rappresentativi delle particelle con m = 0 e gli elettroni di quelle con m = 0). Tuttavia, gli stati previsti dalla teoria sono ridondanti rispetto a quelli osservati perch´e includono anche il neutrino con elicit` a positiva e l’antineutrino con elicit` a negativa. Nel corso di queste lezioni abbiamo prima esposto la fenomenologia del decadimento β, dalla quale abbiamo ricavato alcune caratteristiche di elettroni e neutrini, e successivamente abbiamo esposto la teoria nella quale queste caratteristiche sono inquadrate. Anzi, nell’esporre la teoria di Dirac ci siamo fatti guidare implicitamente dalle conoscenze empiriche. Storicamente, per` o, i fatti si sono svolti diversamente: la teoria `e stata formulata prima che molte conoscenze sperimentali fossero acquisite. La motivazione iniziale della teoria fu di carattere essenzialmente matematico, ossia la deﬁnizione di una densit`a di probabilit` a relativistica intrinsecamente positiva (vedere par. 10.4). Come risultato inatteso si ebbe la teoria che descrive particelle di spin 1/2. Il procedimento che abbiamo seguito per sviluppare la teoria pu` o sembrare come una serie di restrizioni o costrizioni imposte alla matematica per adattarla alla ﬁsica, il che pu` o apparire arbitrario e poco convincente. Sottolineiamo,

10.14 Appendici

293

tuttavia, che tutte le condizioni sono state imposte nel rispetto delle relazioni (10.21), che costituiscono la vera struttura portante della teoria. A seconda dei punti di vista, si pu` o considerare l’osservazione sperimentale come validazione e deﬁnizione della teoria; oppure si pu` o considerare la teoria, con la sua capacit`a di previsione, come una guida alla sperimentazione. Ricordiamo, per concludere, che le antiparticelle prima furono “pensate” e successivamente “scoperte”.

10.14 Appendici 10.14.1 Commutazione di H e J Mostriamo che l’operatore momento angolare totale 1 L + σ , 2 dove L `e il momento angolare orbitale e σ `e la matrice di Pauli generalizzata σ 0 , σ = 0 σ commuta con l’operatore hamiltoniano H = α · pc + βmc2 , ossia

1 L + σ , H = 0 . 2

Calcoliamo prima [L, H] e poi [σ , H]. Per deﬁnizione si ha L = Lx i + Ly j + Lz k = r × p i j k = x y z = (ypz − zpy ) i + (zpx − xpz ) j + (xpy − ypx ) k . p x py pz Tenendo conto delle seguenti regole di commutazione: [xj , xk ] = [pj , pk ] = 0 [Lj , β] = 0

[xj , pk ] = i δjk , [α, r ] = [α, p] = 0 .

¯ dove le prime due derivano dalla deﬁnizione dell’operatore impulso p = −i∇ e le ultime due dal fatto che le matrici α e β non dipendono n´e da r n´e da p, risulta

294

10 Teoria di Dirac

[Lx , H] = [Lx H − HLx ] = ic (αy pz − αz py ) , [Ly , H] = [Ly H − HLy ] = ic (αz px − αx pz ) , [Lz , H] = [Lz H − HLz ] = ic (αx py − αy px ) . Tenuto conto delle seguenti regole di commutazione:

risulta

[σk , αk ]

=

2 σx , H

2 σy , H

2 σz , H

e quindi

[σk , β]

= 0,

σj , αk = 2iαh

01 10

,

=

2

=

2

σx H − Hσx = −ic (αy pz − αz py ) , ! σy H − Hσy = −ic (αz px − αx pz ) ,

=

2

[σz H − Hσz ] = −ic (αx py − αy px ) ,

1 L + σ , H = 0 . 2

10.14.2 Commutazione di H e h Mostriamo che l’operatore di elicit`a generalizzato σ · p σ · p 1 0 h= = p p 0 1

(10.100)

commuta con l’operatore hamiltoniano. Per la deﬁnizione di β e per la seguente relazione: 0 σ 0 1 0 1 α·p = ·p =σ·p = σ·p, (10.101) σ 0 1 0 1 0 l’operatore hamiltoniano pu` o essere scritto nella forma 0 1 1 0 H= α·p + m. 1 0 0 −1

(10.102)

Eseguendo le operazioni sulle matrici si ottiene immediatamente [h, H] = [hH − Hh] = 0 .

(10.103)

10.14.3 Invarianza relativistica dell’equazione di Dirac Consideriamo l’equazione di Dirac per l’osservatore O e per l’osservatore inerziale O’ in moto rispetto a O. Per l’invarianza relativistica le due equazioni sono scritte nello stesso modo nelle rispettive coordinate:

10.14 Appendici

%

295

& γ μ pμ − m Ψ (xμ ) = 0 ,

(10.104)

μ

%

&

γ μ pμ

− m Ψ xμ = 0 ,

(10.105)

μ

xμ = pμ

=

' ν '

aμν xν , aμν pν .

(10.106)

ν

Cerchiamo un operatore S tale che Ψ = SΨ garantendo l’invarianza relativistica; assumiamo che S sia invertibile, ossia S −1 S = 1. A questo ﬁne poniamo nella (10.105) Ψ = SΨ , moltiplichiamo a sinistra per S −1 e teniamo conto della (10.106); risulta % & & %

S −1 γ μ Saμν pν − m Ψ = 0 . ν

μ

Questa equazione `e espressa mediante coordinate e impulso dell’osservatore O; essa coincide con l’equazione di Dirac (10.104) se

S −1 γ μ Saμν = γ ν . (10.107) μ

Moltiplichiamo a sinistra per la matrice di Lorentz per una trasformazione inversa di coordinate aλν (−β) e sommiamo su ν:

S −1 γ μ S aλν (−β) aμν (β) = aλν (−β)γ ν . (10.108) μ

Poich´e

ν

ν

aλν (−β)aμν (β) = 1 per λ = μ ,

(10.109)

aλν (−β)aμν (β) = 0 per λ = μ ,

(10.110)

ν

ν

la (10.108) diviene S −1 γ μ S =

aμν (−β) γ ν .

(10.111)

ν

Questa relazione deﬁnisce la matrice S. Confrontando la (10.111) con la (10.104), si vede che la grandezza S −1 γ μ S si trasforma come un quadrivettore.

296

10 Teoria di Dirac

10.14.4 Covarianza e controvarianza Sia a un trivettore nello spazio ordinario (di componenti ak , k = 1, 2, 3) e sia A il quadrivettore nello spazio-tempo di cui a rappresenta la parte spaziale. A viene deﬁnito in due forme dette controvariante e covariante, rispettivamente. La forma controvariante viene identiﬁcata ponendo in alto l’indice delle componenti del quadrivettore ed `e deﬁnita nel seguente modo: Aμ = (A0 , a)

(μ = 0, 1, 2, 3) ,

(10.112)

con A0 componente temporale. La forma covariante ha la componente spaziale di segno opposto a quello della forma controvariante e l’indice delle componenti viene posto in basso: Aμ = (A0 , − a)

(10.113)

con A0 = A0 . Si deﬁnisce prodotto scalare di due quadrivettori A e B la quantit` a

A·B = Aμ Bμ = Aμ B μ = A0 B 0 − a · b (10.114) μ

μ

Giustiﬁchiamo le precedenti deﬁnizioni calcolando il quadrato dei quadrivettori posizione e impulso, la cui forma controvariante `e cos`ı deﬁnita: X μ = (ct, x )

(10.115)

P μ = (E/c, p)

(10.116)

Posto nella (10.114) A = B = X e A = B = P , si ricavano immediatamente i due ben noti invarianti relativistici 2

X · X = X 2 = (ct) − x 2 P · P = P 2 = (E/c)2 − p 2 = (mc)

2

dove m `e la massa. Nel par. 10.5 e in quelli seguenti si far` a uso ricorrente del seguente operatore avente le caratteristiche di quadrivettore in forma covariante: ∂ ∂ ¯ =( , −∇) ∂xμ ∂ct

(10.117)

e dell’operatore energia-impulso a esso correlato: pμ = (i

∂ ¯ , i∇) ∂ct

(10.118)

Bibliograﬁa

1. 2. 3. 4.

A. S. Davydov, Teoria del nucleo atomico, Zanichelli (1966) S. De Benedetti, Nuclear interactions, Wiley (1966) L. J. Schiﬀ, Quantum mechanics, Mc Graw-Hill (1968) F. Halzen e A. D. Martin, Quark and leptons, Wiley (1984)

11 Teoria V − A del decadimento β

Le osservazioni sperimentali mostrano che nel decadimento β e nel suo processo inverso sono coinvolte particelle neutre di spin 1/2 caratterizzate con buona approssimazione da massa nulla ed elicit` a −1 (neutrini). Ad esse corrispondono antiparticelle di massa zero ed elicit` a +1 (antineutrini). Non sono stati osservati neutrini di elicit` a +1 e antineutrini di elicit` a −1. E’ stato anche osservato che nel decadimento β non viene conservata la parit` a e che esistono due tipi di interazioni, che abbiamo denominato “di Fermi” e “di Gamow-Teller”; esse sono caratterizzate da due distinti valori della costante ν ). Se θ `e d’interazione e da diﬀerenti correlazioni angolari fra e+ (e− ) e ν (¯ l’angolo fra e− e ν¯ (fra e+ e ν) emessi in un decadimento, la probabilit` a che e− (e+ ) sia emesso entro un angolo solido dΩ lungo la direzione θ `e data, con buona approssimazione, dalle seguenti relazioni nei due casi: Interazione di Fermi v f (θ)dΩ ∝ (1 + 1 cosθ)dΩ , c

(11.1)

Interazione di Gamow-Teller f (θ)dΩ ∝ (1 −

1 v cosθ)dΩ . 3 c

(11.2)

In precedenza si `e usata ripetutamente l’espressione “con buona approssimazione” perch´e, se si tiene conto degli errori sperimentali, la massa del neutrino potrebbe essere (poco) diversa da zero, l’elicit` a in modulo (poco) minore di 1 e i coeﬃcienti di cos θ (un po’) diversi da +1 e −1/3. Sulla base delle precedenti informazioni sperimentali, della teoria di Dirac esposta nel cap.10 e dei principi di invarianza `e possibile costruire un’hamiltoniana che generalizza l’operatore H introdotto con la teoria di Fermi del cap. 7 (vedi eq. (7.28) e seguenti) e che d`a ragione di tutti i fenomeni osservati. La trattazione matematica della teoria del decadimento β `e molto complicata ed esula dagli scopi di queste lezioni. Qui ci limiteremo ad esporre i fondamenti

300

11 Teoria V − A del decadimento β

e a evidenziare la connessione fra teoria e osservazioni sperimentali. Consideriamo come processo rappresentativo del decadimento β il decadimento del neutrone: n → p + e− + ν¯ , (11.3) Secondo quanto discusso nel par. 9.6 del cap. 9, questa reazione `e equivalente alla seguente: ν + n → e− + p . (11.4) Secondo la (11.3), un barione (il neutrone) si trasforma in un altro barione (il protone) creando una coppia leptone-antileptone; secondo la (11.4), il neutrone si trasforma in protone con assorbimento di un leptone e creazione di un altro leptone.

Fig. 11.1. (a) e (b) Diagrammi di Feynman rappresentanti il decadimento β del neutrone e del protone come emissione di un leptone (col tempo che ﬂuisce positivamente) e di un antileptone (col tempo che ﬂuisce nel verso negativo). Il verso del tempo `e indicato dalle frecce (positivo verso l’alto). (c) Diagramma relativo alla cattura elettronica (cattura ed emissione di un leptone). Questi diagrammi corrispondono a quello di ﬁg. 7.18c del cap. 7 nell’approssimazione di raggio d’azione nullo (massa inﬁnita del bosone scambiato nell’interazione).

La reazione (11.3) `e suscettibile della rappresentazione graﬁca (diagramma di Feynman) di ﬁg. 11.1a, dove lo stato di antineutrino `e caratterizzato dal tempo che ﬂuisce nel verso negativo; nella ﬁgura sono date anche le analoghe rappresentazioni per il decadimento del protone e per la cattura elettronica. Analogamente, la (11.4) `e suscettibile della rappresentazione graﬁca di ﬁg. 11.2a. Le reazioni (11.3) e (11.4), cos`ı come le loro rappresentazioni graﬁche, sono fra di loro equivalenti e in entrambe `e implicita la conservazione del numero leptonico. Tuttavia nel seguito faremo riferimento alla (11.4) a causa della particolare simmetria fra stato iniziale e stato ﬁnale, nel senso che in entrambi compare una coppia barione-leptone. Riconsideriamo la formula che d` a la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo (eq. (7.28) del cap. 7)

11 Teoria V − A del decadimento β

w=

2π 2 |Hif | ρ ,

301

(11.5)

dove ρ `e la densit`a degli stati ﬁnali e Hif `e l’elemento di matrice di transizione Hif = f |O| i ,

(11.6)

dove i indica le particelle nello stato iniziale (n e ν) e f quelle nello stato ﬁnale (e− e p). Poniamo l’attenzione sull’operatore O.

Fig. 11.2. (a) e (b) Diagrammi di Feynman rappresentanti la trasformazione del neutrone in protone, e viceversa, con assorbimento ed emissione di leptoni. Il tempo ﬂuisce per tutte le particelle nel verso positivo indicato dalle frecce.

Aﬃnch´e le leggi che governano l’interazione debole abbiano carattere generale, occorre che siano indipendenti dall’osservatore. Ci` o equivale a dire che l’hamiltoniana d’interazione deve essere costituita solo da invarianti relativistici (invarianti per trasformazione di Lorentz). Sappiamo dal cap. 10 che esistono cinque grandezze indipendenti con tale propriet` a aventi la forma bilineare in Ψ j = S, V, T, A, P (11.7) Ψ¯ Oj Ψ con OS = I OV = γ μ OT = (i/2)(γ μ γ ν − γ ν γ μ ), OA = γ 5 γ μ OP = γ 5

Scalare Vettore (μ = ν) Tensore Vettore Assiale Pseudoscalare

La denominazione scalare, vettoriale, ecc. derivano dalle propriet` a delle (11.6) rispetto all’inversione delle coordinate. Si ottengono quantit` a bilineari di parit` a opposta a quella delle (11.6) tramite l’introduzione della matrice γ 5 : Ψ¯ Oj γ 5 Ψ .

(11.8)

Nel cap. 10 abbiamo considerato invarianti costruiti con stati di una stessa particella, per es. Ψ¯e Oj Ψe e Ψ¯n Oj Ψn ; ma `e possibile costruire invarianti anche

302

11 Teoria V − A del decadimento β

con stati di diﬀerenti particelle, per es. Ψ¯e Oj Ψn . Possiamo anche interpretare lo spinore a sinistra nelle (11.6) come relativo a una particella ﬁnale di una interazione e quello a destra come relativo a una particella iniziale. In questo contesto le grandezze Oj vanno intese come operatori che trasformano neutroni in protoni (e viceversa) e che creano e distruggono leptoni. Termini scalari dell’hamiltoniana sono ottenuti moltiplicando fra loro due grandezze bilineari con lo stesso indice j del tipo (11.7) oppure due del tipo (11.8), una relativa alla coppia di nucleoni e l’altra relativa alla coppia di leptoni; termini pseudoscalari sono ottenuti moltiplicando fra loro una quantit` a del tipo (11.7) con una del tipo (11.8) con lo stesso indice. Poich´e l’ energia in gioco nel decadimento β `e dell’ordine di qualche MeV, i nucleoni hanno carattere non relativistico; in tal caso si pu` o dimostrare, cosa che non faremo, che le relative quantit` a bilineari (11.7) e (11.8) contenenti γ 5 possono essere poste uguali a zero. Se nell’interazione `e conservata la parit`a, l’hamiltoniana deve contenere solo termini scalari; diversamente, contiene anche termini pseudoscalari. Tenuto conto di tutto ci` o, la forma pi` u generale della densit` a di hamiltoniana pu` o essere scritta nella forma ' Hj + Hj F (r e − r , r ν − r ) = H= j ' gj Ψ¯p Oj Ψn Ψ¯e Oj Ψν + gj Ψ¯p Oj Ψn Ψ¯e Oj γ 5 Ψν × = j (11.9) ×F (r e − r , r ν − r ) j = S, V, T, A, P . a scalare perch´e prodotto di due fattori della stessa specie Hj `e una quantit` a pseudoscalare (scalare × scalare, vettore × vettore, ecc.); Hj `e una quantit` perch´e prodotto di fattori di parit` a opposta. gj e gj sono i pesi (o intensit` a) dei singoli termini d’interazione; essi sono chiamati costanti di accoppiamento. La funzione F d` a la dipendenza della densit` a di hamiltoniana dalla distanza fra le particelle interagenti, essendo r e e r ν le coordinate dei leptoni e r una coordinata relativa alla distribuzione della materia nucleare. Assumiamo come nel cap. 7 che l’interazione sia a raggio d’azione nullo, ossia (11.10) F = δ(r e − r )δ(r ν − r ) . Per l’elettrone e il neutrino liberi consideriamo le funzioni d’onda spinoriali di energia positiva i r e ·p e , (11.11) Ψ e = u+ e (pe ) e ir ν ·p ν , Ψν = u+ ν (pν ) e

(11.12)

dove `e stato omesso un fattore di fase dipendente dall’energia perch´e irrilevante. Per quanto riguarda il protone e il neutrone rileviamo solo che le loro autofunzioni contengono una parte spinoriale (di energia positiva in quanto si tratta di particelle) e una parte spaziale funzione di r. Tenuto conto della (11.11) e della propriet` a della funzione delta

11 Teoria V − A del decadimento β

303

δ (x − x ) f (x ) dx = f (x),

la (11.6) diviene Hif = H dr e dr ν dr = =

Ψ¯p Oj Ψn

(11.13) + + i r ·(p −p ) 5 + ν e dr . gj u ¯ e Oj u + + g u ¯ e O γ u ν j e j ν

j

Il termine esponenziale `e sviluppabile in serie e, per piccole energie dell’elettrone e del neutrino e/o per un piccolo volume d’integrazione, si pu` o tener conto solo del primo termine, che `e uguale a 1. Ci`o equivale a considerare solo il contributo all’interazione proveniente dall’onda S. La (11.13) diviene + ' ¯ + ¯ e Oj γ 5 u + . Hif = Ψp Oj Ψn dr · gj (¯ u+ e Oj uν ) + gj u ν j (11.14) j = S, V, T, A, P Abbiamo ricavato la (11.14) con l’attenzione rivolta al processo di emissione (11.3) nella forma (11.4) . Con lo scambio degli indici n e p e la sostituzione del segno + con − negli spinori, la (11.14) descrive il decadimento del protone. La (11.14) costituisce l’espressione pi` u generale dell’hamiltoniana d’interazione debole per transizioni in onda S (transizioni favorite). In essa compaiono le costanti gj e gj , il cui valore va determinato sulla base delle osservazioni sperimentali. In linea generale si tratta di quantit` a complesse e quindi la loro deﬁnizione richiede la conoscenza di 20 parametri. Possiamo per` o ridurne drasticamente il numero a priori supponendo che l’hamiltoniana sia invariante per inversione del tempo (non c’`e evidente opposizione a questa ipotesi). Ci`o a reali (vedi par. 10.11b del cap. 10) e le implica che gj e gj siano quantit` incognite si riducono a dieci. Se l’interazione debole conservasse la parit`a, l’hamiltoniana dovrebbe eso, che le cose non stanno in questo sere scalare e quindi gj = 0; sappiamo, per` modo. Rileviamo che non tutte le informazioni sperimentali mettono in evidenza la non conservazione della parit` a. Per esempio, la semplice osservazione della distribuzione continua dell’energia degli elettroni emessi nel decadimento β, che ha portato a ipotizzare l’esistenza del neutrino, o le correlazioni angolari richiamate all’inizio del capitolo, sono compatibili con la conservazione della parit` a. In base a queste osservazioni saremmo indotti a porre gj = 0. Solo esperimenti speciﬁci, quali quelli relativi ai nuclei polarizzati o allo stato di polarizzazione del neutrino e dell’ elettrone, hanno condotto alla scoperta della non conservazione della parit` a. Ricorriamo ora ad alcune informazioni sperimentali richiamate all’inizio del capitolo per deﬁnire i parametri incogniti gj e gj prendendo in considerazione solo aspetti riguardanti la parte leptonica dell’hamiltoniana.

304

11 Teoria V − A del decadimento β

Le correlazioni angolari espresse dalle relazioni (11.1) e (11.2) sono state determinate in esperimenti con nuclei non polarizzati, per i quali quindi possiamo porre gj = 0; pertanto esse dipenderanno solamente dai termini in gj . Il calcolo degli elementi di matrice 2 + u (11.15) ¯ e Oj u + ν (vedere Appendice (11.1)) porta alle seguenti espressioni per la probabilit` a che in un decadimento un elettrone sia emesso entro un angolo solido dΩ a un angolo θ dal corrispondente antineutrino: 3 4 v + 2 = 1 − cos θ , (11.16) 2 u ¯+ e OS u ν c 3 4 v + 2 = 1 + cos θ , (11.17) 2 u ¯+ e OV u ν c 3 4 1v + 2 =1+ O u 2 u ¯+ cos θ , (11.18) e T ν 3c 3 4 1v + 2 =1− 2 u ¯+ O u cos θ . (11.19) A e ν 3c Confrontando queste relazioni con le (11.1) e (11.2) ricavate sperimentalmente, `e immediato concludere che esistono solo due tipi di interazione: quella vettoriale che coincide con l’interazione di Fermi e quella assiale, che coincide con l’interazione di Gamow-Teller. Non appaiono eﬃcaci, invece, i termini di interazione scalare, tensoriale e pseudoscalare. Pertanto poniamo nella (11.14) gS = gT = gP = 0. Facciamo ora l’ipotesi che sia gj = −gj . La (11.14) diviene + ' ¯ ¯ Oj (1 − γ 5 )u+ . Ψp Oj Ψn dr · gj u Hif = j

e

ν

(11.20)

j = V, A (1 − γ 5 ) `e l’operatore di proiezione di elicit` a negativa (vedi eq.10.48 e 10.49 ` e la componente levogira; l’operatore (1 − γ 5 ) del cap. 10) 1 ; (1 − γ 5 )u+ ν esclude dall’hamiltoniana il coinvolgimento di una eventuale componente destrogira. Poich´e l’esperienza mostra che nel decadimento β non c’`e evidenza di una componente destrogira, l’ipotesi gj = −gj d` a all’hamiltoniana una forma perfettamente consistente con l’osservazione sperimentale. Tenuto conto della deﬁnizione data dalla (11.7) di OV e OA e delle propriet` a delle matrici γ (tab. 10.2 del cap. 10), la densit` a di hamiltoniana nella (11.20) diviene „ 1

Nell’espressione 1 − γ 5 , 1 indica la matrice 1 = 10).

« I 0 (vedi tab. 10.2 del cap. 0I

11.1 Appendice

Vif =

' j

305

+ ¯e Oj (1 − γ 5 )u+ gj Ψ¯p Oj Ψn · u ν =

+ μ ¯e γ (1 − γ 5 )u+ = Ψ¯p γ μ gV − gA γ 5 Ψn · u ν = JL · jL .

(11.21)

Le quantit` a fra parentesi quadra prendono il nome di corrente nucleare levogira (JL ) e corrente leptonica levogira (jL ). La (11.21) rappresenta l’espressione pi` u generale dell’hamiltoniana d’interazione per il decadimento β; la teoria relativa prende il nome di teoria vettoriale-assiale (V − A). I valori numerici di gA e gV sono quelli riportati nel par 7.5.8 del cap. 7 e dedotti dalla misura del tempo di dimezzamento di particolari nuclei radioattivi. Se si tiene conto delle incertezze sperimentali sulle grandezze misurate, non possono essere esclusi completamente dall’hamiltoniana i termini scalare, tensoriale e pseudoscalare. La loro incidenza `e comunque piccola e tale da essere mascherata dagli errori. Se il neutrino fosse destrogiro, nella (11.20) dovremmo porre gj = gj e l’hamiltoniana diventerebbe + ' ¯ ¯e Oj (1 + γ 5 )u+ Ψp Oj Ψn dr · gj u Hif = ν j (11.22) j = V, A con Vif =

' j

+ ¯e Oj (1 + γ 5 )u+ gj Ψ¯p Oj Ψn · u ν =

+ μ ¯e γ (1 + γ 5 )u+ = Ψ¯p γ μ gV + gA γ 5 Ψn · u ν = JD · jD

(11.23)

che rappresenta l’interazione V + A. Non si pu` o escludere che il neutrino (l’antineutrino) abbia massa diversa da zero; in questo caso esso avrebbe non solo una componente levogira (destrogira), ma anche una piccola componente destrogira (levogira). Il tema dei neutrini con massa diversa da zero verr` a approfondito nei cap. 14, 15 e 16.

11.1 Appendice A titolo d’esempio, calcoliamo la relazione (11.16) che `e data dal modulo quadro dell’invariante Ψ¯ Oj Ψ , dove OS = I, ossia da 5 Ψ¯e |Ψν 2 .

(11.24)

Lo spinore dell’elettrone `e dato dalla (10.41) del cap. 10, dove per semplicit` a poniamo |E| = E e teniamo presente che l’elettrone `e una sovrapposizione di stati di elicit`a negativa e positiva:

306

11 Teoria V − A del decadimento β

Ψe =

ue1 ue2

⎞ ⎛ 1/2 1 mc2 + E ⎝ cσ · p ⎠ φe , = 2E mc2 + E 0 1 , . φe = 1 0

(11.25)

Per il neutrino usiamo la precedente relazione con m=0 e teniamo presente che esso `e caratterizzato da un stato puro di elicit` a negativa: 1 uν1 1 = 21/2 φν , Ψν = uν2 σ·n (11.26) 0 . φν = 1 dove n = p ν /pν . Se introduciamo un sistema di riferimento con asse polare z concorde con il versore n (ﬁg. 11.3), si ha 0 σ · n φν = σ3 φν = −φν = − , 1 ⎛ ⎞ 0 ⎜ 1⎟ 1 ⎟ φν = ⎜ (11.27) ⎝ 0⎠. s·n −1

Fig. 11.3.

Se θ e φ sono gli angoli polari del vettore p nello stesso sistema di riferimento, tenuto conto delle espressioni delle matrici di Pauli (tab. 10.2 del cap. 10), risulta

11.1 Appendice

307

σ · p = σz pz + σx px + σy py = σz p cos θ + σx p senθ cos φ + σy p senθsenφ = 1 0 0 1 0 −i = p cos θ + p senθ cos φ + p senθsenφ . 0 −1 1 0 i 0 (11.28) Se scegliamo, per semplicit`a, il sistema di riferimento con l’asse x perpendicolare al piano (n, p) (vedi ﬁg. 11.3) si ha φ = π/2 e 1 0 0 −1 σ·p = p cos θ + i p senθ . (11.29) 0 −1 1 0 0 risulta Quindi per φe = 1 0 1 p cos θ − i p senθ , (11.30) σ · pφe = −1 0 ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎟ & 1 ⎟ 12 % 12 ⎜ 2 2 φ ⎜ ⎟ e mc + E mc + E cp ⎜ ⎟, cσ · p = Ψe = ⎜ ⎟ − i senθ φe 2E 2E ⎜ mc2 + E ⎟ mc2 + E ⎝ ⎠ cp − cos θ 2 mc + E 12 2 mc + E Ψ¯e = Ψe† γ o = × 2E ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜0 1 0 cp cp 0 ⎟ ⎜ ⎟= − cos θ 2 × 0 1 i senθ 2 mc + E mc + E ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ 0 0 0 −1 2 12 cp cp mc + E 0 1 −i senθ 2 cos θ 2 = . mc + E mc + E 2E (11.31) Quindi, tenuto conto della (11.27), (11.28) e (11.31), la (11.24) diviene 1/2 5 1 mc2 + E cp cos θ ¯ Ψe |Ψν = . (11.32) · 1− 2 E mc2 + E 1 Con procedura analoga, per φe = si ha 0 5 1 Ψ¯e |Ψν = 2

mc2 + E E

1/2 cp senθ . · −i 2 mc + E

(11.33)

L’ampiezza di transizione totale `e data dalla somma di (11.32) e (11.33) e il suo modulo quadro `e

308

11 Teoria V − A del decadimento β

" 2 2 # cp cos θ mc2 + E cp senθ · 1− = + 4E mc2 + E mc2 + E 1 cp = 12 1 − cos θ = (1 − β cos θ) . E 2

5 Ψ¯e |Ψν 2 =

(11.34)

Bibliograﬁa

1. 2. 3. 4.

S. De Benedetti, Nuclear interactions, Wiley (1966) A. S. Davydov, Teoria del nucleo atomico, Zanichelli (1966) R. R. Roy e B. P. Nigam, Nuclear physics theory and experiment, Wiley (1976) T. Tomoda, Double beta decay, Rep. Prog. Phys. 54(1991)53

12 Energia solare

12.1 Caratteristiche del sole Il sole, in una descrizione grossolana, pu` o essere considerato come una sfera di gas perfetto costituita prevalentemente da idrogeno ed elio ionizzati (plasma), ossia da una mescolanza di protoni, particelle α ed elettroni. Esso tende a contrarsi a causa dell’attrazione gravitazionale tra i suoi costituenti e a espandersi a causa del calore sviluppato nella regione centrale mantenendosi in condizioni di equilibrio idrostatico e termico. Il calore si sviluppa in una regione centrale di raggio ∼ (1/4) del raggio solare e si propaga all’esterno per convezione e radiazione. La potenza irradiata `e mediamente costante nel tempo. Temperatura, pressione e densit`a crescono dalla periferia al centro. Valori di parametri caratteristici del sole sono riportati in tab. 12.1. L’energia irraggiata ha uno spettro molto simile a quello di un corpo nero (ﬁg. 12.1). La maggior parte delle informazioni sulla struttura del sole proviene dalla radiazione elettromagnetica da esso emessa. Questa `e originariamente prodotta sotto forma di fotoni di elevata energia nella regione centrale del sole e u!!) la superﬁcie raggiunge (in un tempo stimato dell’ordine di 106 anni o pi` tramite una complicata successione di atti di assorbimento ed emissione che ne degrada progressivamente l’energia. Le informazioni sulla regione interna del sole trasportate dalla radiazione elettromagnetica vengono cos`ı profondamente alterate dai processi di trasmissione all’esterno. Tuttavia, circa il 2% dell’energia liberata nei processi termonucleari viene emessa sotto forma di neutrini. Questi, essendo soggetti solo a interazione debole, hanno una elevata probabilit` a di emergere senza interagire con la materia solare; pertanto essi mantengono inalterate le loro caratteristiche originarie fornendo informazioni dirette sui meccanismi che li hanno generati. Sfortunatamente, la bassa probabilit` a di interazione dei neutrini rende molto ardui gli esperimenti per la loro osservazione. Il problema della rivelazione dei neutrini solari sar` a considerato nel cap. 13.

312

12 Energia solare

Fig. 12.1. Distribuzione energetica della radiazione solare a livello del suolo e al di fuori dell’atmosfera (confrontata con la radiazione di corpo nero alla temperatura di ∼ 6 000K). I minimi nella distribuzione energetica al suolo corrispondono a lunghezze d’onda di assorbimento da parte di molecole di ozono, ossigeno acqua e anidride carbonica presenti nell’atmosfera. [5]

12.2 Origine dell’energia solare L’origine dell’energia irraggiata dal sole `e stata attribuita in passato a varie cause, ma il processo che fornisce una spiegazione quantitativamente accettabile della luminosit` a solare `e costituito dalla fusione di quattro protoni in un nucleo di elio mediata dalla reazione p + p → d + e+ + ν; ad esso viene principalmente dedicato questo capitolo. Mostriamo, prima, l’insuﬃcienza delle ipotesi chimica e gravitazionale. 12.2.1 Ipotesi chimica Prendiamo come esempio di fenomeno chimico esotermico la combustione del carbone (C + O2 → CO2 ) e supponiamo che la massa solare sia costituita da 1/3 di carbone e da 2/3 di ossigeno. Poich´e 1 g di carbone bruciando pu` o fornire circa 8 · 103 calorie = 3.35 · 1011 erg, il sole potrebbe fornire un’energia totale 1 E = 3.35 · 1011 · 1.99 · 1033 = 2.22 · 1044 erg . 3 Tenuto conto della sua luminosit` a, il sole avrebbe una durata t=

E 2.22 · 1044 erg = = 0.57 · 1011 s = 1.8 · 103 a , L 3.861 · 1033 erg/s

valore troppo piccolo rispetto all’et` a del sole di 109 anni, che si ottiene da dati geologici sulle rocce terrestri e lunari (vedi par. 3.2.3 del cap. 3).

12.2 Origine dell’energia solare

313

Tabella 12.1. Parametri solari. Le quantit` a in corsivo sono misurate, le altre calcolate dai modelli solari. [6] e [10]

Raggio

R = 6 .96 · 10 5 km

Massa (∼ 3 .33 · 10 5 masse terrestri )

M = 1 .99 · 10 33 g

Distanza terra-sole

d = 1 .49 · 10 8 km

Luminosit` a (potenza irradiata)

L = 3 .856 · 10 33 erg s −1 = 2 .41 · 10 39 MeV s −1 = 9 .22 · 10 25 cal s −1 = 3.856 · 1026 Watt

Luminosit` a dei neutrini Flusso medio di radiazione sulla terra per unit` a di superﬁcie all’esterno dell’atmosfera

0.023 L

Temperatura al centro alla periferia

1.56 · 107 K o 5.78 · 103 K

Pressione al centro alla periferia

2.5 · 106 atm. 0

Densit` a al centro alla periferia

158 g cm−3 0

Densit` a media Et` a Abbondanza iniziale di elio in massa Abbondanza iniziale di elementi pesanti Abbondanza di idrogeno al centro Flusso di neutrini dalla catena pp Flusso di neutrini dal 8 B Frazione di energia dalla catena pp Frazione di energia dal ciclo CNO

1.409 g cm−3 4 .55 · 10 9 anni 27% 2% 34% 6 · 1010 cm−2 s−1 6 · 106 cm−2 s−1 98.4% 1.6%

1 .36 · 10 6 erg cm −2 s −1 1 .95 cal cm −2 min −1 8 .5 · 10 11 MeV cm −2 s −1 1.36 · 103 W att · m−2 o

12.2.2 Ipotesi gravitazionale Si supponga che la materia solare sia inizialmente costituita da frammenti di massa dm a distanza inﬁnita, che successivamente si raccolgono per attrazione gravitazionale in un volume sferico di raggio R: in questo processo l’energia gravitazionale iniziale diminuisce trasformandosi (in parte) in energia cinetica delle particelle materiali. Per calcolare la diminuzione di energia potenziale, supponiamo che una quantit` a di massa m di materia solare si sia gi`a raccolta con simmetria sferica entro una sfera di raggio r < R; la variazione di energia relativa a un ulteriore accumulo di materia in uno strato inﬁnitesimo di

314

12 Energia solare

spessore dr `e mdm = −G dV = −G r

r 2

4πr ρdr 0

4πr2 ρdr r

dove ρ = ρ(r) `e la densit`a della materia solare. Per il calcolo della variazione totale di energia ΔV corrispondente alla costituzione del volume ﬁnale di raggio R, procediamo in modo approssimato assumendo ρ costante e uguale al suo valor medio: M ρ = ρm = 4 3 . 3 πR Risulta

R

dV = −G

ΔV = 0

(4π)2 2 R5 3 M2 ρm =− G . 3 5 5 R

Con i valori numerici dati in tab. 12.1 risulta ΔV = −2.26 · 1048 erg = −1.41 · 1054 M eV . Assumendo che tutta questa energia sia accumulata nel sole e venga irraggiata al ritmo oggi osservato (dato dalla luminosit` a), la durata del sole sarebbe t=

|ΔV | 2.26 · 1048 erg = 5.8 · 1014 s = 1.8 · 107 anni . = L 3.86 · 1033 erg · s−1

Anche questo `e un valore troppo piccolo: quindi anche l’energia gravitazionale non spiega (almeno da sola) la luminosit` a osservata. 12.2.3 Energia termonucleare Secondo le attuali conoscenze, la produzione dell’energia solare si basa sulla fusione termonucleare, ossia su una serie di reazioni esotermiche, indotte dal moto termico, nelle quali nuclei leggeri fondono formando nuclei pi` u pesanti. Le reazioni pi` u importanti sono quelle che portano alla fusione di 4 protoni in nuclei di elio, in particolare la catena protone-protone (pp), e il ciclo carbonioazoto-ossigeno (CN O) (vedere ﬁg. 12.2(a)). La catena pp `e la pi` u eﬃcace a temperature inferiori (dell’ordine di 107 K) ed `e quella che maggiormente interessa il sole. Essa prende il nome dalla pi` u importante delle reazioni iniziali, che consiste nella fusione di due protoni in un deutone. Per provocare la fusione di due protoni (o di altri due nuclei) occorre che sia attiva l’interazione nucleare forte, cosa che accade se le particelle interagenti vengono a trovarsi a distanza dell’ordine del raggio dei nuclei (∼ 10−13 cm). L’avvicinamento delle particelle `e ostacolato dalla repulsione coulombiana. Tuttavia, anche per energie di collisione inferiori alla barriera repulsiva coulombiana, i protoni hanno una certa probabilit` a di avvicinarsi a distanze nucleari per eﬀetto tunnel, fenomeno su cui si fonda anche l’interpretazione del decadimento α (vedi cap. 5). Maggiore `e l’energia cinetica dei protoni rispetto all’altezza della barriera coulombiana e pi` u alta `e la probabilit` a di interazioni ravvicinate.

12.2 Origine dell’energia solare

315

L’energia cinetica necessaria per il superamento della barriera coulombiana `e inizialmente data dall’energia termica accumulatasi nella fase di contrazione gravitazionale. Durante il processo di contrazione la temperatura del gas solare aumenta progressivamente ﬁnch´e raggiunge un valore tale da innescare i processi nucleari con conseguente emissione di energia suﬃciente a provocare un’espansione del gas e a controbilanciare la compressione gravitazionale. Viene inﬁne raggiunto uno stato di equilibrio durante il quale il sole mantiene un volume costante ed emette energia con potenza costante. In ﬁg. 12.2(a) sono indicate le diﬀerenti reazioni iniziali ipotizzate nei modelli solari e le varie ramiﬁcazioni (pp1, pp2, pp3), con le probabilit` a relative stimate che dipendono dalle sezioni d’urto in competizione, dalla composizione chimica, dalla temperatura e dalla densit` a. Le reazioni iniziali della catena pp sono due di cui una `e di gran lunga dominante sull’altra. Al crescere della temperatura, le diramazioni pp2 e pp3 tendono a prevalere su pp1 se l’abbondanza di 4 He `e suﬃcientemente elevata, mentre la cattura elettronica da parte del 7 Be in pp2 tende ad avere la stessa importanza della cattura del protone da parte del 7 Be in pp3. Tutte le diramazioni terminano con la produzione di 4 He. L’energia liberata nella diramazione pp1 per la formazione di un nucleo di 4 He `e di circa 27 M eV , come `e stimato in tab. 12.2. Tabella 12.2. Energia liberata nella diramazione pp1. La seconda reazione nella tabella `e l’annichilazione fra il positrone prodotto nella prima reazione e un elettrone del plasma solare. Se f (E) `e la distribuzione energetica dei neutrini, l’energia media RE di un neutrino `e 0 0 f (E)dE ed `e poco diversa da E0 /2.

Energia liberata p + p → d + e+ + ν

2mp − md − me = = mp − mn + Bd − me

= 0.42 M eV

e + e → 2γ

2me

= 1.02 M eV

d + p →3 He + γ

mp + md − m(3 He) = = B3 He − Bd

= 5.49 M eV

+

3

−

He +3 He →4 He + 2p

Energia totale liberata per formare un nucleo di 4 He Energia media trasportata dai 2 neutrini

2m(3 He) − 2mp − m(4 He) = B(4 He) − 2B(3 He) = 12.86 M eV = 2(0.42 + 1.02 + 5.49) + 12.86 = = 26.72 M eV ∼ = 0.52 M eV

316

12 Energia solare

La maggior parte dell’energia solare `e prodotta nella successione di reazioni denominata pp1, che `e anche la maggiore sorgente di neutrini. Per questo motivo la stima del ﬂusso di neutrini provenienti da questa diramazione `e poco dipendente dai dettagli dei modelli. Pi` u critica `e la stima del ﬂusso di neutrini dalle altre reazioni situate in stadi successivi della catena perch´e sono interdipendenti e hanno minore rilevanza quantitativa nel bilancio energetico. La frequenza della prima reazione della catena pp dipende dalla barriera repulsiva coulombiana, dall’interazione forte e dall’interazione debole. Il suo studio comporta un’interessante applicazione della teoria di Fermi del decadimento β e ad essa sar`a dedicato il successivo paragrafo. L’obiettivo `e la stima della luminosit` a del sole.

12.3 Velocit` a di produzione di deuterio nella catena pp La probabilit` a per unit` a di tempo che si veriﬁchi la reazione p + p → d + e+ + ν

(12.1)

`e determinata (i) dalla probabilit` a per unit` a di tempo che nella collisione pp un protone si trasformi in neutrone e si formi un deutone, (ii) dalla probabilit` a che venga superata la barriera repulsiva coulombiana, (iii) dalla temperatura media della regione centrale del sole, (iv) dalla distribuzione maxwelliana dell’energia dei protoni, (v) dalla densit` a di protoni. 12.3.1 Formazione del deutone Nella reazione (12.1) trascuriamo momentaneamente la repulsione coulombiana fra i protoni, che considereremo pi` u avanti, e supponiamo che essi vengano a trovarsi a distanza nucleare. Pu` o cos`ı stabilirsi fra i due protoni un legame necessariamente debole (non esiste stato legato stabile fra due protoni), che rappresenta lo stato iniziale del nostro sistema. Nello stato ﬁnale abbiamo un protone e un neutrone legati nel deutone; evidentemente un protone deve trasformarsi in neutrone attraverso un’interazione debole. Ricordiamo che la trasformazione di un protone in un neutrone non sarebbe possibile, per ragioni energetiche, se il protone iniziale e il neutrone ﬁnale fossero liberi, perch´e la massa di un protone `e minore di quella del neutrone. La trasformazione `e invece possibile se il protone che decade non `e libero ma interagisce con un altro protone. Data la bassa energia cinetica in gioco (anche alle temperature pi` u elevate), possiamo ritenere che i due protoni interagiscano in onda S (momento

12.3 Velocit` a di produzione di deuterio nella catena pp

317

(a) Catena pp

(b) Ciclo CN O Fig. 12.2. Principali catene di reazioni nucleari nel sole. I numeri accanto ai singoli rami indicano le probablit` a relative delle reazioni con rami connessi allo stesso vertice. [10]

318

12 Energia solare

angolare orbitale uguale a zero), quindi in uno stato simmetrico per quanto si riferisce alle coordinate spaziali. Essendo particelle identiche, per il principio di esclusione l’interazione avr` a luogo solo se i loro spin sono antiparalleli (spin zero, stato antisimmetrico) in modo tale che la funzione d’onda globale nelle coordinate spaziali e di spin sia antisimmetrica. D’altra parte il deutone ha spin 1 e si trova prevalentemente nello stato S, quindi uno dei due nucleoni deve trovarsi nello stato ﬁnale con lo spin invertito, altrimenti non pu` o stabilirsi uno stato legato fra i due nucleoni. L’inversione dello spin pu` o veriﬁcarsi se la trasformazione p → n + e+ + ν avviene tramite una transizione permessa di Gamow-Teller (o interazione assiale, vedere ﬁg. 12.3). 1

Fig. 12.3. Trasformazione di due protoni in un deutone tramite una transizione di Gamow–Teller.

Ci`o premesso, calcoliamo la probabilit`a di transizione per unit` a di tempo w per la reazione (12.1) mediante la formula di Fermi 2 2π dw 2 d N = |Hif | dpe dE0 dpe

(12.2)

con un procedimento simile a quello discusso nel cap. 7. dN/dE0 `e la densit`a degli stati ﬁnali, pe `e l’impulso del positrone e Hif `e la matrice di transizione (12.3) Hif = Ψf∗ HΨi dvdve dvν , 1

Due nucleoni sono particelle identiche di spin 1/2; quindi la loro funzione d’onda deve essere antisimmetrica rispetto a tutte la variabili (spaziali, di spin e di isospin). Se si trovano in moto relativo con momento angolare L = 0 (onda S), l’autofunzione spaziale `e simmetrica. Se i nucleoni sono due protoni l’isospin `e uguale a 1 (con terza componente uguale a +1) e l’autofunzione di isospin `e simmetrica; di conseguenza l’autofunzione di spin deve essere antisimmetrica e quindi lo spin uguale a 0. Il deutone `e un sistema di due nucleoni (prevalentemente) nello stato S e con spin 1; pertanto deve essere in uno stato di isospin antisimmetrico (isospin 0).

12.3 Velocit` a di produzione di deuterio nella catena pp

319

con ovvio signiﬁcato dei simboli. Consideriamo una densit` a di hamiltoniana con raggio d’azione nullo: H = gGT δ(r e − r )δ(r ν − r ) ,

(12.4)

dove gGT `e la costante di accoppiamento di Gamow-Teller e r `e la coordinata del nucleone che decade. Trascuriamo l’interazione coulombiana fra positrone e deutone e descriviamo positrone e neutrino con onde piane: 1 Ψe = √ eik e ·r e , Ω (12.5) 1 ik ν ·r ν Ψν = √ e , Ω dove Ω `e un volume di integrazione tale che Ψ ∗ Ψ dΩ = 1. Per k · r piccolo, approssimiamo le (12.5) con 1 Ψe = Ψν ∼ =√ . Ω L’approssimazione equivale a supporre che elettrone e neutrino si trovino in onda S (momento angolare orbitale uguale a zero, vedi par. 7.5.3, cap. 7). Per la coppia pp, in moto libero nello stato S prima della collisione, poniamo (vedi, per esempio, [3]) 1 sen kr ∼ 1 ψpp = √ =√ , Ω kr Ω

(12.6)

dove k = p/ e p `e l’impulso del moto relativo. Per l’ampiezza del deutone consideriamo solo il contributo in onda S in approssimazione di “ raggio d’azione nullo” (vedi, per esempio, [1]): 2Kd e−Kd r , (12.7) ψd = 4π r dove 1/Kd = 4.3 f m =“raggio del deutone”. Introducendo le eq. (12.5), (12.6) e (12.7) nella (12.3) si ottiene inﬁne (dv = 4πr2 dr): g ∞ 2K e−Kd r 2 g 2 8π d 2 (12.8) |Hif | = 3/2 dv = 3 3 . Ω 4π r Ω Kd 0 Per la densit`a degli stati ﬁnali usiamo la formula (7.35) del par. 7.5.1 del cap. 7: 2 2 (4πΩ) (E0 − Ee )2 (pe c , ) d2 N = (12.9) 6 dE0 dpe c3 c2 (2π) dove E0 = 2mp c2 −md c2 . Tenendo conto della (12.8) e della (12.9) nella (12.2) si ottiene

320

12 Energia solare

dw 2π = dpe

g 2 8π Ω 3 Kd3

%

2

2

(4πΩ) (Eo − Ee ) 2 pe 6 c3 (2π)

& .

(12.10)

Questa relazione pu`o essere integrata numericamente. E’ tuttavia istruttivo da un punto di vista didattico eﬀettuare un’integrazione approssimata nell’ipotesi che sia Eo me c2 , cos`ı da poter porre Eo2 = p2e c2 + m2e c4 ≈ p2e c2 . Risulta: po dw 1 4g 2 dpe = (Eo − Ee )2 p2e dpe ∼ 3 2 7 3 dpe Ω π Kd c 0 Eo Eo5 1 4g 2 4g 2 1 2 2 (E − E ) E dE = . ∼ o e e e 3 3 0 Ω π 2 Kd 7 c6 Ω π 2 Kd 7 c6 30

w=

po 0

(12.11)

La (12.11) rappresenta la probabilit` a per unit` a di tempo che due protoni in un volume Ω, una volta incontratisi a distanza nucleare dopo aver superato la barriera coulombiana, fondano in un deutone. Tenuto conto dei valori numerici dei parametri: g = gGT ∼ 1.79 · 10−49 erg cm3 = 1.12 · 10−43 M eV cm3 , Kd = 2.32 · 1012 cm−1 , E0 = 0.93 M eV , = 6.58 · 10−22 M eV s , per la (12.11) si ha 1 (12.12) 2.4 · 10−40 s−1 . Ω Questo valore `e pi` u grande di un fattore 2.5 di quello che si ottiene con una integrazione esatta della (12.10), quindi w=

w≈

1 −40 −1 s . 10 Ω

(12.13)

12.3.2 Trasparenza della barriera coulombiana Passiamo ora a considerare l’eﬀetto della barriera repulsiva coulombiana, rappresentata graﬁcamente in ﬁg. 12.4. L’altezza della barriera `e data dalla relazione 2 zZ 4.8 · 10−10 zZe2 M eV , (12.14) B= = R R(f m) · 10−13 · 1.6 · 10−6 dove R `e la “distanza” fra i nuclei interagenti. L’energia cinetica media del moto relativo dei protoni `e dipendente dalla temperatura del gas solare secondo la relazione 3 E = kT , (12.15) 2

12.3 Velocit` a di produzione di deuterio nella catena pp

321

Fig. 12.4. Barriera repulsiva coulombiana B per due protoni. R ` e la distanza classica fra i centri di due particelle interagenti allorch´e esse giungono a contatto superﬁciale. Per r < R `e attiva l’interazione forte. [10]

dove k = 1.36 · 10−16 erg/grado (costante di Boltzmann). Se l’energia cinetica del moto relativo di due nuclei di carica elettrica z e Z `e piccola rispetto all’altezza della barriera coulombiana, la probabilit` a che questa venga attraversata per eﬀetto tunnel (ossia la trasparenza della barriera) pu` o essere calcolata con la seguente formula approssimata (eq. (5.26) del cap. 5): τ = e−γ = 10−0.43γ zZ η zZ m = 2π c =√ γ = 2π 137β 137 2E E

(12.16)

In tab. 12.3 diamo alcune stime numeriche basate sulle formule precedenti, in particolare il valore della trasparenza a temperatura ambiente e a temperature di livello solare. Essa mostra che la trasparenza a temperatura ambiente `e praticamente nulla e a temperature dell’ordine di quella del centro del sole cresce molto rapidamente con la temperatura stessa: a una variazione di T di un fattore 10 corrisponde una variazione di τ di un fattore 108 ! Questo fatto ha notevoli conseguenze, come vedremo fra poco. 12.3.3 Distribuzione maxwelliana dell’energia Teniamo ora conto del fatto che in un gas a temperatura T le particelle hanno un’energia media data dalla (12.15), ma un’energia eﬀettiva che si discosta dalla media secondo la distribuzione di Maxwell √ − E 2 Ee KT dE (12.17) f (E)dE = √ 3/2 π (kT ) Stesse propriet`a valgono anche per l’energia cinetica del moto relativo di due particelle del gas. Pertanto, per una data temperatura media, la trasparenza della barriera coulombiana sar` a pi` u grande o pi` u piccola di quella corrispondente all’energia media a seconda dell’energia eﬀettiva della coppia di particelle.

322

12 Energia solare

Ai ﬁni pratici, ci` o che interessa `e il valore della trasparenza mediato sulla distribuzione di Maxwell: √ −(γ(E)+ E ) 2 kT dE = Ee 3/2 π(kT ) “ ” E √ − √η + kT 2 E √ Ee dE = π(kT )3/2

τ = (E)f (E)dE = √

τ `e sostanzialmente pi` u grande del valore di τ calcolato alla temperatura media: per T ∼ 107 K, si ha τ ∼ 105 τ , ossia τ ≈ 10−9.7 × 105 ≈ 2 · 10−5

(12.18)

Tabella 12.3. E’ stato considerato il moto di un protone di energia E contro un protone fermo. La velocit` a v `e quella di una particella di massa ridotta μ = m/2 : v = (2E/m)1/2 . R (pp) ∼ 2 f m B = 0.72 M eV T (K) E(M eV ) = 32 KT β τ

107 1.29 · 10−3 1.65 · 10−3 ∼ 10−12

1.5 · 107 1.94 · 10−3 2.03 · 10−3 10−9.7

108 1.29 · 10−2 5.24 · 10−3 10−3.76

300 3.88 · 10−8 8.27 · 10−7 ∼0

Questo notevole incremento `e conseguenza del fatto che la trasparenza della barriera coulombiana `e funzione rapidamente crescente dell’energia e c’`e una frazione consistente di particelle con energia superiore a quella media che contribuisce a rendere grande il valore di τ . La funzione “

f (E) − √ =e E

E kT

+ √η

”

E

che compare nell’integrando `e massima (vedi anche ﬁg. 12.5) per E = Emax =

ηkT 2

2/3 ,

(12.19)

che `e maggiore di 3/2 kT ; il maggior contributo al valore di τ proviene proprio dalla regione attorno al massimo. In conclusione, la componente di alta energia della distribuzione Maxwelliana `e essenziale ai ﬁni della corretta valutazione della produzione di energia solare.

12.3 Velocit` a di produzione di deuterio nella catena pp

323

Fig. 12.5. Andamento della funzione integranda f (E) nell’ eq. (12.18). La curva continua `e il prodotto della distribuzione di Maxwell (curva tratteggiata) e della funzione di Gamow per la trasparenza della barriera coulombiana (curva a puntolinea). La funzione f (E) ha il suo massimo a un’energia pi` u elevata di kT , valore per cui `e massima la distribuzione di Maxwell.

12.3.4 Luminosit` a del sole. Siamo ora in grado di stimare la luminosit` a del sole, in modo da poter confrontare il valore stimato con quello osservato sperimentalmente. A questo scopo calcoliamo il numero di deutoni prodotti nell’unit` a di tempo nelle collisioni fra N protoni contenuti in un volume Ω alla temperatura T , che indichiamo con dNd /dt. La velocit`a di formazione del deuterio per una coppia di protoni in un volume Ω alla temperatura T = 1.5 · 107 K `e dato dal prodotto della (12.13) e della (12.18) 1 (12.20) w τ ≈ 2 · 10−45 . Ω N protoni contenuti in un volume Ω possono combinarsi in un numero di coppie npp = N (N − 1)/2 ∼ N 2 /2 . (12.21) Dire coppie di protoni `e come dire numero di collisioni protone-protone. Pertanto la velocit`a di produzione dei deutoni `e dNd N2 = τ w . dt 2

(12.22)

Il volume solare interessato ai fenomeni termonucleari `e dato da una sfera di raggio circa 1/4 del raggio solare, ossia Ω ≈ 0.22 · 1032 cm3 .

(12.23)

324

12 Energia solare

La densit`a media di protoni in tale volume `e data dal rapporto tra la densit` a media della materia solare nella regione centrale (≈ 100 g/cm3 ) e la massa del protone 100 g · cm−3 np ≈ (12.24) ≈ 6.25 · 1025 p/cm3 . 1.6 · 10−24 g Il numero totale di protoni in tale volume `e N = np Ω = 1.38 · 1057 .

(12.25)

Quindi il numero di deutoni prodotti al secondo per una temperatura della regione centrale del sole T = 1.5 · 107 K in base alla (12.22) `e dNd 1.382 · 10114 · 2 · 10−45 ≈ 0.86 · 1038 s−1 (12.26) = dt 2 · 0.22 · 1032 a cui corrisponde una frequenza di produzione di 4 He dNHe 1 dNd = ≈ 0.43 · 1038 s−1 . dt 2 dt Poich´e la formazione di un nucleo di 4 He libera 26.72 M eV di energia elettromagnetica (vedi tab. 12.2), l’energia totale liberata al secondo (luminosit` a) `e L = 26.72 · (dNHe /dt) = 1.15 · 1039 M eV /s . (12.27) Il valore calcolato `e vicino a quello sperimentale (2.4 · 1039 M eV /s, vedi tab. 12.1) e questo conferma la bont` a del modello. Non dobbiamo, tuttavia, sopravvalutare il signiﬁcato di questa concordanza, che `e in parte casuale, tenuto conto di una certa arbitrariet` a nella scelta dei valori dei parametri, delle approssimazioni, della grande variabilit` a con la temperatura della trasparenza della barriera coulombiana e del fatto che si `e tenuto conto solo dell’energia prodotta nella catena pp1. Riteniamoci tuttavia soddisfatti di avere ottenuto l’ordine di grandezza corretto. Se tutto l’idrogeno del sole contribuisse alla formazione di 4 He, l’energia totale liberata sarebbe data approssimativamente dall’energia liberata nella formazione di un nucleo di elio moltiplicata per il numero di nuclei di elio prodotti (di massa circa uguale a 4 masse protoniche): E≈

2 · 1033 g Msole 4 E( He) ≈ × 26.72 M eV ≈ 8 · 1057 M eV . 4mp 4 · 1.67 · 10−24 g

La durata del sole sarebbe quindi t≈

8 · 1057 M eV E = ≈ 3.3 · 1018 s ≈ 100 · 109 a , L 2.4 · 1039 M eV /s

valore uguale a oltre 20 volte l’et` a attuale del sole (vedi tab. 12.1). In realt` a ci si attende che solo 1/10 circa dell’idrogeno dia origine a 4 He perch´e la temperatura delle regione esterna del sole ha temperatura troppo bassa e la struttura del sole cambia notevolmente quando l’idrogeno della regione centrale `e prossimo all’esaurimento. Pertanto la durata del sole si riduce a circa 10 milioni di anni, il doppio dell’et` a attuale.

12.4 Cenni di nucleosintesi

325

12.4 Cenni di nucleosintesi 12.4.1 Introduzione Nei par. 12.2 e 12.3 abbiamo mostrato come da un gas di soli protoni per eﬀetto combinato dell’attrazione gravitazionale, della repulsione coulombiana e delle interazioni forte e debole possano realizzarsi le condizioni per la fusione di coppie di protoni in deutoni, di coppie protone-deutone in 3 He, di coppie 3 He −3 He in 4 He e cos`ı via con ritmo costante: questa catena di reazioni `e un esempio di processo di nucleosintesi, cio`e di formazione di nuclei a partire dai costituenti elementari di essi. Pertanto il sole, cos`ı come le altre stelle, `e un laboratorio per la creazione di nuclei atomici. 12.4.2 Cenni sull’evoluzione delle stelle In seguito ai processi di fusione la composizione delle stelle `e in continua evoluzione con diminuzione della quantit` a di nuclei leggeri e aumento di nuclei via via pi` u pesanti; la teoria prevede che l’evoluzione avvenga attraverso processi iterativi e che stelle di massa diversa terminino la loro esistenza in modi diversi, secondo modalit`a a cui accenniamo molto sommariamente. Quando la maggior parte dei protoni nella regione centrale di una stella si `e trasformata in 4 He, la produzione di energia per fusione decresce rapidamente cos`ı che la temperatura tende a diminuire a causa dell’irraggiamento; allora il nucleo della stella si contrae a causa della compressione gravitazionale non contrastata dalla pressione termica e ci`o fa s`ı che la temperatura riprenda a salire. Quando essa raggiunge 108 K circa (superiore alla temperatura necessaria per la fusione dei protoni) hanno luogo i processi di fusione di nuclei di 4 He con nuova liberazione di energia. Le reazioni pi` u probabili sono: 4

He + 4 He → 8 Be ,

4

He + 8 Be → 12 C + γ ,

4

He +12 C → 16 O + γ .

Esauritosi l’4 He, nelle stelle aventi una massa piccola (per esempio, dell’ordine di quella del sole) i processi di fusione cessano e la luminosit` a della stella decresce gradualmente ﬁno al completo esaurimento dell’energia gravitazionale. Invece nelle stelle di grande massa `e possibile una nuova contrazione gravitazionale con conseguente innalzamento della temperatura. A circa 109 K diventano possibili fusioni di 12 C: 12

C + 12 C → 20 N e + α

≈ 50%

→

23

Na + p

≈ 50%

→

23

Mg + n

rara

→ 24 M g + γ

molto rara .

326

12 Energia solare

A temperature ancora pi` u elevate diviene possibile la fusione di nuclei di 16 O e cos`ı via. La liberazione di energia per fusione cessa quando nella regione centrale sono presenti solo nuclei con A = 56 (F e e N i, vedi ﬁg. 12.6). A questo punto la contrazione gravitazionale non viene pi` u contrastata dalla pressione termica e, dipendentemente dalla massa della stella, possono intervenire fenomeni catastroﬁci che in tempi brevi causano l’esplosione della stella.

Fig. 12.6. Struttura interna di una stella alla ﬁne dell’evoluzione [6]

12.4.3 Nuclei presenti sul sole e loro origine L’analisi dello spettro di radiazione emesso dalla superﬁcie solare ha permesso di stabilire che nella zona esterna del sole sono presenti praticamente tutti i nuclei ﬁno al P b, cio`e tutti i nuclei stabili a noi noti, anche se idrogeno ed elio sono di gran lunga i pi` u abbondanti. Come mostrato in ﬁg. 12.7, l’abbondanza degli elementi `e caratterizzata da picchi e gobbe, che riﬂettono particolari modalit` a di formazione dei nuclei, come cercheremo di spigare qualitativamente nei successivi paragraﬁ. Sulla base di quanto detto nel precedente paragrafo, solo i nuclei leggeri con A < 16 (quali quelli appartenenti alla catena pp e al ciclo CN O) possono essere stati prodotti dai processi di fusione nel nocciolo del sole. La presenza dei nuclei pi` u pesanti deve essere attribuita ad altri meccanismi. In primo luogo al fatto che il sole ha avuto origine, verosimilmente, dall’esplosione di una stella di grande massa alla ﬁne della sua esistenza. Come abbiamo gi`a detto, su una stella di questo tipo possono formarsi per fusione nuclei con A ﬁno a 56, che possono quindi essere presenti nella materia primigenia del sole. Secondariamente, nelle stelle, sia nella fase stazionaria che durante il collasso ﬁnale, vengono emessi neutroni che, assorbiti dai nuclei preesistenti, possono dar luogo a nuclei pi` u pesanti.

12.4 Cenni di nucleosintesi

327

Trascurando altri possibili fenomeni, dedicheremo il seguito di questo paragrafo a un’interpretazione qualitativa delle abbondanze dei nuclei sul sole prendendo in considerazione, per semplicit` a, solamente i processi di fusione e di assorbimento di neutroni e di protoni.

Fig. 12.7. Abbondanze degli elementi nel sole in funzione del numero atomico A. La distribuzione ` e normalizzata ponendo uguale a 106 l’abbondanza del silicio. Sono messi in evidenza gli elementi con numeri magici di neutroni (N = 50, 82, 126). I nuclei da He a Ca hanno A = 4n, n = 1, 2, 3, · · · [11]

12.4.4 Formazione dei nuclei con A ≤ 56 L’abbondanza sul sole dei nuclei leggeri `e spiegabile mediante il fenomeno della fusione. A questo scopo richiamiamo l’attenzione sull’andamento dell’energia di legame per nucleone B/A in funzione di A riportato in ﬁg. 12.8. L’energia di legame per nucleone B/A cresce in modo rilevante, da 1 a 8.5 M eV /A, da A = 2 ﬁno ad A ∼ 56, dove raggiunge il suo massimo, per decrescere poi lievemente ﬁno a 7.5 M eV /A per A ∼ 240. La crescita per A < 56 `e caratterizzata da un andamento irregolare con massimi per A = 4n (n = 1, 2, 3, · · · ). Questi nuclei sono particolarmente stabili perch´e sono pari-pari con Z = N .

328

12 Energia solare

Fig. 12.8. Energia di legame per nucleone B/A in funzione di A per i nuclei stabili.

Nuclei leggeri possono fondere per formare nuclei pi` u pesanti con A ≤ 56 con liberazione di energia; infatti per essi vale la relazione Q = M (A1 )c2 + M (A2 )c2 − M (A3 = (A1 + A2 )c2 ) = = A1 (B3 − B1 ) + A2 (B3 − B2 ) > 0 , dove gli indici 1, 2 e 3 indicano i due nuclei iniziali e quello ﬁnale. Ripetute fusioni possono portare alla formazione di nuclei ﬁno ad A ∼ 56, ma non di nuclei pi` u pesanti in quanto la disuguaglianza precedente non `e soddisfatta. Ci`o premesso, consideriamo la regione di ﬁg. 12.7 con A < 56. Si vede che l’abbondanza ha picchi in corrispondenza dei nuclei pi` u stabili con A = 4n come in ﬁg. 12.8. Manca il picco del 84 Be perch´e questo nucleo `e instabile per decadimento in 2α. L’altezza dei picchi `e mediamente decrescente, poich´e la probabilit` a di fusione decresce con Z a causa della barriera repulsiva coulombiana. Risulta per` o particolarmente elevato il picco del F e: ci`o `e dovuto al fatto che il F e `e elemento di accumulazione per tutti i nuclei pi` u leggeri soggetti a fusione ma non pu` o trasformarsi per fusione in nuclei pi` u pesanti. 12.4.5 Nucleosintesi e materia organica La sezione d’urto d’interazione di due nuclei assume valori particolarmente elevati per valori dell’energia di collisione in corrispondenza dei quali il nucleo risultante dalla loro fusione viene a trovarsi in uno stato eccitato; ci` o si riﬂette nella presenza di massimi nell’andamento della sezione d’urto in funzione dell’energia. Si suole dire che l’interazione e la sua sezione d’urto hanno carattere risonante. Questa modalit`a di fusione riguarda, in particolare, il 12 C, il

12.4 Cenni di nucleosintesi

329

pi` u leggero dei tre elementi che, assieme all’idrogeno, sono costituenti fondamentale degli esseri viventi (carbonio, azoto e ossigeno). Coppie di particelle α possono fondere in nuclei di 8 Be nello stato fondamentale, per la cui formazione `e richiesta un’energia di soli 92 keV . Come si `e gi`a detto, il 8 Be `e instabile e con un tempo di dimezzamento di 2 · 10−16 s decade in due α. Nonostante il piccolo tempo di dimezzamente, c’`e una probabilit` a relativamente elevata che il 8 Be catturi una terza particella α perch´e viene a formarsi un nucleo di carbonio nello stato eccitato con energia di 7.654 M eV (12 C ∗ ). In ﬁg. 12.9 sono riportati i livelli energetici del sistema di 3α, di α +8 Be e del 12 C (al riguardo si veda anche tab. 5.1 del cap. 5). Il sistema α +8 Be ha un’energia u elevata di α +8 Be. solo 92 keV pi` u elevata di 3α e il 12 C solo 288 keV pi` Quindi `e suﬃciente che l’ambiente fornisca un’energia al pi` u di 380 keV perch´e in un gas di particelle α possa formarsi 12 C ∗ . Questa condizione `e soddisfatta per una temperatura media della regione centrale del sole di ∼ 2 · 108 o K.

Fig. 12.9. Livelli energetici di diﬀerenti combinazioni di 3 particelle α.

La maggior parte dei nuclei di 12 C ∗ si dissocia in 3α, ma una frazione non trascurabile (0.04%) decade γ prevalentemente nello stato eccitato di energia 4.439 M eV e successivamente nello stato fondamentale. Questa frazione `e sufﬁciente per rendere ragione dell’abbondanza di 12 C osservata nell’universo. La conseguente formazione di 16 O per fusione di α e 12 C avviene senza fenomeni di risonanza. 12 C e 16 O sono i pi` u abbondanti nuclei leggeri prodotti dalla fusione di particelle α (vedi ﬁg. 12.7). Essendo essi essenziali nella costituzione della materia organica, `e presumibile che, senza il fenomeno dell’assorbimento risonante sopra descritto, l’evoluzione biologica dell’universo sarebbe stata completamente diversa. E’ interessante ricordare che l’assorbimento risonante `e stato ipotizzato (F. Hoyle, 1953) prima dell’osservazione sperimentale del livello eccitato del 12 C.

330

12 Energia solare

12.4.6 Formazione dei nuclei pesanti Come abbiamo gi`a anticipato, la formazione di nuclei con A > 56 pu`o essere spiegata mediante processi di assorbimento di neutroni e di protoni da parte di nuclei con A < 56. L’assorbimento di neutroni produce nuclei con eccesso di neutroni che, essendo instabili per decadimento β − , si trasformano in isobari stabili con Z pi` u elevato; a loro volta, questi possono assorbire neutroni, decadere β − , ecc. Facciamo presente che l’assorbimento di neutroni `e un processo poco probabile per i nuclei molto stabili costituiti da numeri magici di protoni e neutroni. Inoltre l’assorbimento di neutroni gioca un ruolo pi` u rilevante di quello dei protoni perch´e `e assente la barriera repulsiva coulombiana. La distribuzione di abbondanza per A > 56 ha un andamento decrescente con due picchi in corrispondenza di nuclei con numero magico di neutroni 82 126 e 208 ) preceduti da gobbe. Una ragionevole spiegazione di que(138 56 Ba 82 P b sta struttura `e fondata sull’ipotesi che la materia stellare sia investita da ﬂussi di neutroni di diﬀerenti intensit` a. Prendiamo in considerazione, molto schematicamente, i due casi estremi di nuclei prodotti da un ﬂusso di neutroni piccolo (detti processi s) e da un ﬂusso grande (detti processi r). a) Un ﬂusso di neutroni piccolo pu` o essere prodotto in reazioni secondarie che accompagnano i normali processi di fusione. Per esempio, una possibile sorgente di neutroni `e la seguente catena di reazioni, che ha origine dall’azoto che si forma nel ciclo CN O: 14 7 N

+α→

18 9 F 18 9 F

+γ →

18 8 O 18 8 O

+ e+ + ν + α → 22 10 N e + γ 22 25 10 N e + α →12 M g + n

E’ stato stimato che 1 g di materia solare pu`o fornire tramite queste reazioni 1021 neutroni, quantit` a suﬃciente per rendere ragione delle abbondanze osservate. Supponiamo che il ﬂusso di neutroni sia cos`ı piccolo, che la probabilit` a di assorbimento sia mediamente pi` u piccola della probabilit` a del conseguente decadimento β − . Per ﬁssare le idee, supponiamo che un nucleo stabile (Z, N ) possa catturare al pi` u 1 o 2 neutroni prima di decadere β − e dive o assorbire neutroni nire un nucleo con Z = Z + 1; questo, a sua volta, pu` ﬁnch´e non diventa instabile, decadere β − e trasformarsi in un nucleo con Z = Z + 2 e cos`ı via. Il punto rappresentativo nel piano (N, Z) di ﬁg. 12.10 si muove lungo la linea spezzata situata nella regione di massima stabilit` a (vedi ﬁg. 12.11). Il processo pu` o proseguire ﬁnch´e il valore ﬁnale di Z o di N non `e magico. A questo punto il processo di accrescimento di A si arresta perch´e i nuclei con numeri magici di nucleoni hanno bassa probabilit` a di assorbire neutroni (vedi ﬁg. 12.12). Poich´e la formazione di tali nuclei `e pi` u probabile della loro trasformazione, essi sono elementi di

12.4 Cenni di nucleosintesi

331

accumulazione: ci`o d`a ragione dei picchi osservati in ﬁg. 12.7 in corrispondenza del Ba e del P b. b) I nuclei stabili non appartenenti alla linea continua di ﬁg. 12.10 (nuclei “isolati”) non sono producibili con il processo descritto in a). Essi sono ottenibili supponendo che si veriﬁchino ﬂussi di neutroni cos`ı elevati, che un nucleo iniziale (Z, N ) possa assorbire rapidamente pi` u neutroni, generando un nucleo sensibilmente lontano dalla linea di stabilit` a prima di decadere β − (i nuclei cos`ı generati si accumulano nelle regioni tratteggiate di ﬁg. 12.10). Grandi ﬂussi di neutroni possono essere prodotti nella fase di collasso del nucleo di ferro di stelle di grande massa, da cui traggono origine le stelle di neutroni.2 Il processo di assorbimento coinvolge con bassa probabilit` a, ovviamente, i nuclei magici e negli altri nuclei l’arricchimento di neutroni pu` o proseguire solo ﬁnch`e il numero totale di neutroni `e inferiore a un numero magico. I nuclei arricchiti subiscono una successione di decadimenti β − che li trasforma in nuclei stabili, fra i quali anche i nuclei isolati, con accumulo di nuclei stabili per valori di N di poco inferiori ai valori magici: ci` o spiega le gobbe che precedono i picchi del Ba e del P b (ﬁg. 12.7). Consideriamo, per esempio, i nuclei con N < 82. Essi assorbono neutroni ﬁno a raggiungere il valore N = 82, in corrispondenza del quale l’assorbimento si riduce drasticamente. Questi nuclei hanno un numero di protoni inferiore a quello dei nuclei stabili con N = 82, ossia inferiore a Z ≈ 65 e per successivi decadimenti β − si trasformano in isobari stabili con preferenza per i nuclei con Z = 50. I nuclei stabili con Z = 50 hanno un numero di neutroni N ≈ 70, quindi un numero di nucleoni A ≈ 120. Questo valore `e di poco inferiore al valore di A ≈ 128 in corrispondenza del quale appare una gobba nel diagramma di ﬁg. 12.7. c) Anche i processi di assorbimento di protoni (detti processi p) sono da collegarsi con la fase ﬁnale delle stelle. L’assorbimento di protoni d` a origine a nuclei ricchi di protoni non producibili mediante i processi s e r; i meccanismi principali sono reazioni di cattura del tipo (p, γ) e (p, n) e reazioni di fotodissociazione (vedi ﬁg. 12.11). Uno studio dell’abbondanza dei nuclei sul sole ha portato a individuare la presenza di nuclei pesanti prevalentemente prodotti da processi s (per esempio, Ba, La, Cs e P b, vedi ﬁg. 12.13) e di nuclei prevalentemente prodotti da processi r (per esempio, Eu, Gd, Dy, T h e U ).

2

I processi r sono stati ottenuti in laboratorio mediante l’irraggiamento di nuclei pi` u leggeri con elevati ﬂussi di neutroni. Particolarmente signiﬁcativa al riguardo `e la formazioni di nuclei di fermio (F m, Z = 100) per assorbimento di 17 neutroni da parte di nuclei di uranio (A = 238, Z = 92) e successivi decadimenti beta. [33]

332

12 Energia solare

Fig. 12.10. Formazione dei nuclei con A > 56 per assorbimento di neutroni. I nuclei collegati dalla linea continua nella regione di massima stabilit` a sono prodotti per assorbimento di neutroni di piccolo ﬂusso. I nuclei isolati sotto la linea precedente sono prodotti per eﬀetto dell’assorbimento di ﬂussi intensi di neutroni. Per maggiori dettagli vedere ﬁg. 12.11. Le bande tratteggiate indicano le regioni di accumulazione di nuclei instabili molto ricchi di neutroni. [11]

Fig. 12.11. Sezione della carta dei nuclei che mostra la formazione di nuclei tramite soli processi s, soli processi r, processi in parte s e in parte r. [12]

12.4 Cenni di nucleosintesi

333

Fig. 12.12. Andamento della sezione d’urto di assorbimento di neutroni di energia ≈ 30 keV da parte dei nuclei in funzione di Z. Sono evidenti i minimi nelle regioni isotopiche che includono nuclei con numeri magici di neutroni e protoni (Z, N = 28, 50, 82, 126; vedi ﬁg. 1.1 del cap. 1). [12]

Fig. 12.13. Contributo dei processi r alla produzione di nuclei sul Sole. Sono indicati con i nomi degli elementi quelli per i quali il contributo `e superiore al 70% o inferiore al 30%. [32]

334

12 Energia solare

12.5 Collasso della supernova SN1987A e limite superiore della massa del neutrino 12.5.1 Introduzione In questo paragrafo viene fatto un breve cenno alla fase terminale delle stelle di grande massa perch´e, dallo studio della distribuzione energetica e temporale dei neutrini emessi da una di esse, `e stato ricavato un limite superiore per la massa del neutrino elettronico sulla base di semplici considerazioni cinematiche, senza le complicazioni insite nell’analisi dello spettro del trizio discusse nel cap. 8. Tuttavia, il pregio della semplicit` a ha come contropartita la necessit`a di dover ricorrere a qualche ipotesi sulle modalit` a di emissione dei neutrini. Peraltro, l’ipotesi che verr` a utilizzata nel successivo paragrafo `e estremamente semplice. Il risultato `e in accordo con i pi` u attendibili fra quelli ottenuti nei complicati esperimenti con il trizio. Come si `e accennato nel par. 12.4.2, la teoria dell’evoluzione delle stelle prevede che esse terminino la loro esistenza in modi diversi dipendenti dalla loro massa. In particolare, ci si attende che una stella di grande massa (almeno 3 volte la massa del sole), una volta che la sua regione centrale si sia trasformata in un ammasso di nuclei di F e e N i, sia soggetta a un processo catastroﬁco che termina con l’esplosione dello strato esterno della stella e l’implosione del suo nocciolo che si trasforma in una stella di neutroni o in un buco nero. Le manifestazioni pi` u vistose di questi eventi sono un temporaneo ed enorme aumento della luminosit`a della stella, che pu`o raggiungere anche miliardi di volte quella del sole (da cui la denominazione di “supernova”) e l’emissione di neutrini elettronici generati dalla reazione di assorbimento e− + p → n + νe seguita da un’emissione di neutrini e antineutrini prodotti dalla reazione di annichilazione e− + e+ → ν + ν¯ . La teoria prevede che in un breve intervallo di tempo, della durata di qualche secondo, venga emessa un’enorme quantit` a di energia gravitazionale tramite un ﬂusso di circa 1058 neutrini di energia dell’ordine di 10 − 20 M eV . Una conferma di queste ipotesi fu fornita da una serie di avvenimenti accaduti il 23 e 24 febbraio 1987. Alle 2h 52m 36s a.m. del 23 febbraio un apparato sperimentale installato sotto il Monte Bianco (LSD), costituito da un rivelatore a scintillatore liquido, rivel` o cinque eventi distribuiti in 7 s attribuibili alle reazioni (12.28) νe + e− → νe + e− , ν¯e + p → n + e+ ,

(12.29)

12.5 Collasso della supernova SN1987A e limite superiore della massa del neutrino

con energia dei neutrini fra 7 e 11 M eV (con un’incertezza del 20%)3 . Il primo di questi eventi risult` o essere quasi simultaneo (in ritardo di 1.4 s) con un segnale particolarmente energetico captato da un’antenna dedicata allo studio delle onde gravitazionali installata a Roma. Alle 7h 35m 35s a.m. dello stesso giorno un apparato sperimentale installato in una miniera in Giappone (K2), costituito da un rivelatore ad acqua per luce Cherenkov, rivel` o 8 eventi compatibili con le reazioni (12.28) e (12.29) in 2 s seguiti, dopo una pausa di 7 s, da altri 3 eventi in 3 s. L’energia degli elettroni e dei positroni fu valutata fra 7 e 35 M eV .

Fig. 12.14. Distibuzione temporale ed energetica degli eventi osservati con gli apparati sperimentali LSD, K2 e IMB. Ee `e l’energia in MeV dei positroni o degli elettroni della reazione (12.28) e (12.29).

Quasi simultaneamente, alle 7h 35m 41s, un apparato sperimentale installato in una miniera degli Stati Uniti (IMB), pure costituito da un rivelatore ad acqua, rivel` o 8 eventi in 6 s (con energia liberata fra 20 e 40 M eV ). I neutrini rivelati in questi due esperimenti furono riconosciuti come provenienti dalla Grande Nebulosa di Magellano. Inﬁne, un apparato installato in Russia alle 7h 36m 06 s rivel` o 3 eventi in 5.7 s con energia superiore a 12.7 M eV . La distribuzione nel tempo dei positroni rivelati dai primi tre apparati e la loro energia sono rappresentati in ﬁg. 12.14. Alle 5h 31m 12s del 24 febbraio fu avvistato il bagliore di una supernova (indicata con la sigla SN1987A) nella Grande Nebulosa di Magellano e, sulla base delle teorie correnti sull’evoluzione delle stelle, le caratteristiche dei neu3

Oltre che dall’emissione del positrone, la reazione (12.29) `e identiﬁcabile dalla reazione secondaria n + p → d + γ dove i γ di energia uguale 2.2 M eV sono emessi con un ritardo medio di circa 170 μ s.

335

336

12 Energia solare

trini osservati (provenienza, ﬂusso, energia e durata delle registrazioni) furono giudicate compatibili con essa.4 Va rilevato che l’osservazione di neutrini provenienti da una supernova `e un evento intrinsecamente molto raro e che l’emissione dei neutrini dalla supernova SN1987A `e l’unico evento di questo genere osservato. Ci`o `e dovuto al fatto che il ﬂusso di neutrini da una supernova `e rivelabile sperimentalmente (cio`e il numero di neutrini per cm2 e per s sulla Terra `e suﬃcientemente elevato) solo se ha avuto origine a una distanza dalla Terra non troppo grande, in pratica entro la nostra Galassia, ed `e storicamente documentato che negli ultimi due mila anni nella nostra Galassia sono state osservate solo 8 supernove prima della SN1987A; l’ultima nel 1604!5 12.5.2 Limite superiore della massa del neutrino elettronico. In tab. 12.4 sono mostrate le caratteristiche dei primi otto eventi rivelati dall’apparato installato in Giappone (Kamiokande II)6 ; essa mostra la distribuzione temporale degli eventi e l’energia Ee degli elettroni o dei positroni rivelati, a seconda che si sia veriﬁcata la reazione (12.28) o la (12.29); le due reazioni hanno sezioni d’urto per βν ≈ 17 2g 2 me c2 σ(νe e− ) ∼ = F 4 Eν ≈ 1.65 · 10−44 Eν cm2 π(c) σ(¯ νe p) ∼ =

g2 E 2 ≈ 1.65 · 10−44 Eν2 cm2 π(c)4 ν

Poich´e non si sa quale delle due reazioni abbia avuto luogo, assumiamo, per semplicit`a, che tutti gli eventi siano dovuti alla reazione (12.28), la cui sezione d’urto `e molto pi` u elevata a parit` a di energia; in tal caso l’energia degli antineutrini `e Eν = mn + Tn + Ee − mp ∼ = mn + Ee − mp = 1.29 + Ee M eV Consideriamo le seguenti ipotesi relative alla distribuzione temporale degli eventi. 4

5

6 7

Esula dallo scopo della presente esposizione una discussione sulle caratteristiche particolari degli apparati, sulla correlazione fra le diﬀerenti misure e sui problemi interpretativi dei dati (per esempio, sulle oltre 4 ore che separano gli eventi registrati dall’apparato sotto il Monte Bianco e dagli altri apparati). Il numero di esplosioni di supernove osservate `e probabilmente inferiore al numero di quelle veriﬁcatesi. Secondo stime teoriche dovrebbe esserci in media l’esplosione di una supernova ogni 25 − 50 anni, quindi da 40 a 80 in due mila anni. L’apparato sperimentale, denominato Kamiokande II, `e lo stesso utilizzato per lo studio dei neutrini solari e sar` a descritto sommariamente nel cap. 13 La sezione d’urto della seconda reazione `e calcolata nell’App. 7.7.3 del cap 7.

12.5 Collasso della supernova SN1987A e limite superiore della massa del neutrino

a) Se i neutrini hanno massa zero, la loro velocit` a `e uguale a c indipendentemente dall’energia e la distribuzione temporale degli eventi osservata sulla Terra `e uguale a quella dei neutrini al momento dell’emissione dalla stella. b) Se i neutrini hanno massa mν = 0 e vengono emessi simultaneamente, essi arrivano sulla Terra distribuiti nel tempo dipendentemente dall’energia; prima i pi` u energetici e dopo i meno energetici. La distribuzione temporale `e ordinata corrispondentemente alla distribuzione energetica. Tabella 12.4. Distribuzione temporale ed energetica (t(s), E(M eV )) dei primi 8 eventi osservati con il rivelatore Kamiocande II. [14] 1

2

3

4

5

6

7

8

t

0.

0.107

0.303

0.324

0.507

1.541

1.728

1.915

Ee

20.0 ±2.9

13.5 ±3.2

7.5 ±2.0

9.2 ±2.7

12.8 ±2.9

35.4 ±8.0

21.0 ±4.2

19.8 ±3.2

Eν

21.3

14.8

8.8

10.5

14.1

36.7

22.3

21.1

c) Se i neutrini hanno massa diversa da zero e vengono emessi dalla stella casualmente entro un certo intervallo di tempo Δt, l’ordine d’arrivo sulla Terra pu`o non rispecchiare l’ordine energetico rilevato in b) e gli eventi u lungo o pi` u possono essere distribuiti entro un intervallo di tempo Δt pi` corto di Δt. Tab. 12.4 mostra che neutrini meno energetici sono arrivati prima di neutrini pi` u energetici; pertanto, delle tre ipotesi precedenti, sono verosimili la a) e la c). Valutiamo ora la relazione fra Δt e Δt per una coppia di neutrini. La distanza fra la Supernova e la Terra `e L ≈ 1.5 · 105 anni luce = = 1.5 · 105 × (3600 × 24 × 365 × c(cm/s) ) cm = c × 4.73 · 1012 cm . Tale distanza `e coperta nel tempo t = L/c = 1.5 · 105 a da neutrini di massa nulla8 . Per neutrini di massa diversa da zero si ha $ 2 mν , (12.30) v =c 1− Eν 8

Ci` o signiﬁca che l’esplosione della stella `e avvenuta 150 000 anni prima dell’osservazione sulla terra del corrispondente bagliore ﬁnale e dei neutrini!

337

338

12 Energia solare

tm

" 2 # 1 m L L L 1 ν ∼ , = = 2 = c 1 + 2 Eν v c mν 1 − Eν

(12.31)

dove l’approssimazione vale per mν Eν . Se t `e l’istante di emissione di un neutrino dalla stella, l’istante di arrivo sulla terra `e t = t + tm .

(12.32)

L’intervallo di tempo fra l’arrivo di due neutrini i e j `e ti − tj = (ti − tj ) + (tmi − tmj )

(12.33)

e il corrispondente intervallo di tempo all’emissione `e % & 1 L 1 ti − tj = (ti − tj ) − m2ν = 2 − E2 2c Eνi νj & % (12.34) 1 1 2 s. = (ti − tj ) − 2.36 mν (eV ) 2 (M eV ) − E 2 (M eV ) Eνi νj Se Eνi > Evj e ti − tj > 0, cio`e se il neutrino pi` u energetico giunge sulla terra dopo il neutrino meno energetico, risulta ti − tj > ti − t , cio`e l’intervallo di tempo che li separa sulla stella `e pi` u lungo di quello sulla terra. Applicando questa relazione ai due neutrini di tab. 12.4 che hanno la massima diﬀerenza in energia (i = 6 e j = 3), si ottiene: t6 − t3 = 1.238 + 0.029 m2ν s .

(12.35)

Se fosse noto l’intervallo di tempo sulla stella t6 − t3 , questa relazione consentirebbe di ricavare la massa del neutrino. In mancanza di questa informazione, stimiamo un limite superiore per la massa ricorrendo a una ipotesi. Se t6 − t3 `e inferiore a un valore Δt allora si ha anche m2ν < 0.029

Δt − 1.238 0.029

e in tab. 12.5 riportiamo il limite superiore della massa per diﬀerenti valori di Δt. Secondo le correnti teorie la durata totale dell’emissione di neutrini dalla Tabella 12.5. mν (eV ) ≤

0

6

8

10

12

16

Δt (s)

1.238

2.282

3.094

4.138

5.414

8.66

stella `e al massimo il doppio di quella osservata sulla terra (∼ 1.9 s, vedi tab.

12.6 Limite inferiore dell’et` a delle stelle e dell’Universo

339

12.4); se facciamo quindi l’ipotesi che sia Δt ≈ 4 s, dalla tabella si vede che questa limitazione impone alla massa del neutrino la restrizione mν < 10 eV , che include il valore zero. Si trovano risultati simili se si prendono in considerazione altre coppie di neutrini. La tabella mostra che anche aumentando il limite superiore di t6 −t3 , il limite su mν non varia drasticamente. In questo contesto si colloca anche la possibilit`a di valutare il limite superiore della massa del neutrino sulla base dell’energia del primo neutrino rivelato dall’apparato sotto il Monte Bianco (7 ± 1.4 M eV ) e del ritardo fra la sua rivelazione e quella del segnale dell’antenna per onde gravitazionali (Δt = 1.4 ± 0.5 s) ricordati nel paragrafo precedente. Assumendo per l’onda gravitazionale velocit` a c e attribuendo tutto il ritardo ad un eﬀetto della massa del neutrino, per la (12.30) si ha Δt = tm − t =

2

L L (mν (eV )) − = 2.36 2 , v c (Eν (M eV ))

da cui si ricava per la massa del neutrino il limite superiore mν ≤ 4.5 eV. Il limite superiore della massa del neutrino ricavato in questo paragrafo `e meno restrittivo di quelli pi` u recenti ottenuti dall’analisi dello spettro energetico degli elettroni emessi dal trizio (vedi cap. 8); non `e, tuttavia, in disaccordo con essi.

12.6 Limite inferiore dell’et` a delle stelle e dell’Universo Come mostrato in ﬁg. 12.7, lo studio dello spettro luminoso del Sole ha messo in evidenza la presenza su di esso di tutti i nuclei stabili e di nuclei a lunga vita media quali l’uranio e il torio. Gli stessi nuclei sono stati osservati anche sulle altre stelle con la stessa abbondanza riscontrata sul sole, il che fa pensare che i processi di formazione avvenuti sulle stelle siano gli stessi che hanno operato sul sole. Naturalmente, tenuto conto della maggiore distanza dalla terra delle stelle, la presenza di un nucleo particolare `e riconoscibile nello studio dello spettro luminoso d’emissione solo se la sua abbondanza `e suﬃcientemente elevata. Per questo motivo solo su alcune stelle `e stata rilevata la presenza di nuclei radioattivi a vita media lunga e ci` o rende possibile la stima della loro et`a o, meglio, il limite inferiore dell’et` a. I nuclei prodotti in processi r sono inizialmente presenti con abbondanze che rimangono immutate nel tempo per i nuclei stabili, mentre vanno via via diminuendo per i nuclei instabili. Dato il carattere impulsivo dei processi r,

340

12 Energia solare

l’abbondanza residua al tempo t, per esempio, di torio pu` o essere espressa mediante la relazione (1.41) del cap. 1: nT h (t) = n(0)e−λT h t , dove si `e supposto che l’evento impulsivo si sia veriﬁcato al tempo t = 0. Consideriamo ora il rapporto nT h (t) nT h (0) −λT h t , = e nX (t) nX (0)

(12.36)

dove nX (t) = nX (0) `e l’abbondanza di un nucleo stabile X prevalentemente prodotto, come il torio, da assorbimento r. Dalla (12.36) otteniamo la relazione nX (t) nT h (0) = λT h nT h (t) nT h (0) nT h (0) nT h (t) 1 , log10 − log10 = 2.3 λT h nX (0) nX (t)

t=

1

ln

(12.37)

che `e utilizzabile per ricavare l’et`a della stella. nT h (t)/nX (t) `e il rapporto fra le abbondanze misurato oggi ed nT h (0)/nX (0) `e il corrispondente rapporto alle origini che, come in tutti i problemi di radiodatazione, deve essere determinato per via indiretta. Nel caso speciﬁco si ricorre alla ragionevole ipotesi, gi` a ricordata, che i nuclei pesanti siano prodotti sul sole e sulle altre stelle con uguali modalit` a e che le relative abbondanze siano in rapporto costante, ossia nX nX = =k (12.38) nY sole nY stella dove con X e Y sono indicati due nuclei generici. Poich´e l’et`a del sole `e nota (ts = 4.5 · 109 a, vedi par. 3.2.3 del cap. 3), il rapporto fra le abbondanze iniziali di torio e del nucleo X `e dato dalla relazione nT h (0) nT h (0) nT h (ts ) = = eλT h ts (12.39) nX (0) stella nX (0) sole nX (ts ) sole dove nT h (ts )/nX (ts ) `e il rapporto odierno sul sole. Utilizzando la (12.39) nella (12.37), si ottiene l’et`a della stella. L’abbondanza del torio (232 T h, T1/2 = 14.05 · 109 a) `e stata misurata per due stelle, una denominata CS22892-052 e l’altra CS31082-001; per la seconda `e stata misurata anche l’abbondanza di uranio (238 U , T1/2 = 4.47 · 109 a).9 Ai ﬁni della datazione l’abbondanza del torio `e stata rapportata a quella dell’europio, prodotto prevalentemente da processi r (vedi ﬁg. 12.13). Il rapporto 9

Le stelle CS22892-052 e CS31082-001 appartengono all’insieme di stelle pi` u antiche della Via Lattea, stelle povere di metalli e situate nelle regioni periferiche della Galassia.

12.6 Limite inferiore dell’et` a delle stelle e dell’Universo

341

Tabella 12.6. Abbondanze relative attuali e all’origine sul Sole e attuali sulle stelle. Nella penultima colonna sono riportate le corrispondenti et` a e, nell’ultima riga, la loro media pesata. R 232

T h/Eu

238

U/Os

238 238

U/Ir

U/232 T h

Valor medio

log10 R (ts )

log10 R (0)

log10 R (t)

` ´ Et` a 109 a

−0.533

−0.336

−0.66 ± 0.04

15.2 ± 3.7

Sneden 96

−2.555

−1.27

−2.19 ± 0.18

13.6 ± 2.7

Cowan 99

−2.616

−1.30

−2.10 ± 0.17

11.8 ± 2.5

Cowan 99

−0.255 −0.10

−0.74 ± 0.15 −0.74 ± 0.15

10.6 ± 3.3 14.0 ± 3.3

Cowan 99 Goriely 99

12.9 ± 0.7

all’origine `e stato ricavato mediante la (12.39) dal rapporto del valore attuale sul Sole. I valori delle varie quantit` a che compaiono nella (12.37) e nella (12.39) e l’et`a della stella sono riportati in tab. 12.6. Nel caso dell’altra stella, l’et` a `e stata stimata in tre modi diﬀerenti, tenendo conto dei rapporti uranio/torio, uranio/osmio e uranio/iridio (tab. 12.6). I diﬀerenti valori dell’et` a di tab. 12.6 sono compatibili fra loro entro gli errori e la loro media pesata `e 12.9 ± 0.7 · 109 a; tenendo conto di 2σ, possiamo dire che il limite inferiore dell’et` a `e di circa 11.5 · 109 a. Evidentemente, questo valore costituisce anche un limite inferiore per l’et` a della Galassia e dell’Universo. Va osservato che la Supernova, la cui esplosione ha dato origine alle abbondanze sulle stelle esaminate, appartiene, evidentemente, a una generazione precedente di stelle e questo sottolinea ulteriormente il carattere di limite inferiore delle et` a stimate per quanto si riferisce alla Galassia. Nelle valutazioni precedenti si `e supposto che i nuclei siano stati prodotti da un unico processo impulsivo, ma nei fatti le cose potrebbero essere andate diversamente e ci`o ha inﬂuenza sul signiﬁcato dell’et` a. Supponiamo, per semplicit`a, che si siano veriﬁcati due processi impulsivi ai tempi t e t , con t > t . L’abbondanza relativa, per esempio di uranio, misurata al tempo t `e la media pesata delle abbondanze residue prodotte dai due eventi: nU (t, t ) nU (t, t ) nX (t ) + nX (t ) nU (t) nX (t ) nX (t ) = . nX (t) misurata [nX (t ) + nX (t )] Questa quantit` a ha un valore compreso fra i due valori di cui `e la media e di conseguenza anche l’et`a t dedotta supponendo che ci sia stato un solo processo impulsivo: nU (0) nX (t) 1 ln , t= λU nX (0) nU (t) misurata

342

12 Energia solare

ha un valore intermedio fra t e t . L’unico evento ﬁttizio si `e veriﬁcato pi` u recentemente del primo evento vero (t > t ). Questo `e un altro motivo che giustiﬁca il signiﬁcato di limite inferiore attribuito alle et` a stimate.

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13 I neutrini solari

13.1 Modelli solari e ﬂusso di neutrini Come osservato nel cap. 12, si ritiene che le reazioni pi` u importanti che forniscono l’energia emessa dal sole siano quelle appartenenti alla catena pp e al ciclo CN O (vedi ﬁg. 12.2 del cap. 12). Si `e anche rilevato che una piccola frazione dell’energia viene emessa sotto forma di neutrini (per esempio, 0.52/26.72 = 1.9% nella diramazione pp1; vedi tab. 12.2 del cap. 12). I neutrini hanno una piccola probabilit` a di interagire con la materia solare e quindi trasportano informazioni dirette (non distorte) sui meccanismi che li hanno generati. Infatti, poich´e la sezione d’urto d’interazione dei neutrini con i nuclei (σν ) `e dell’ordine di 10−43 cm2 e la regione centrale del sole ha una densit`a ρ di circa di 1025 nuclei/cm3 , il libero cammino medio dei neutrini `e dell’ordine di (σν ρ)−1 = 1018 cm, cos`ı che il sole `e praticamente trasparente ad essi essendo il suo raggio dell’ordine di 7 · 1010 cm. L’entit` a della produzione di neutrini dipende dalla struttura del sole e dalle reazioni coinvolte nella produzione di energia, le quali sono ipotizzate nell’ambito dei modelli di funzionamento del sole (principalmente nelle diﬀerenti versioni del modello solare standard, MSS). Dal confronto fra previsioni dei modelli e osservazioni sperimentali e dall’adattamento delle prime alle seconde si approfondisce la conoscenza della struttura e dell’evoluzione del sole e delle altre stelle. Nel cap. 12 abbiamo mostrato che la frequenza di produzione di deuterio da parte di coppie di protoni appartenenti a un gas di N protoni `e esprimibile mediante l’eq. (12.22), che riscriviamo in forma pi` u generale sostituendo τ w con wτ , in modo da tener conto anche della dipendenza di w dall’energia: √ − E +γ(E) 2 N2 N2 ) dE . (13.1) Ee ( kT rd = wτ = w(E) √ 2V 2V π (kT )3/2 Ricordando che σ (E) = w/v = w/ 2E/μ con μ massa ridotta (vedi l’eq. (7.111) del cap 7), la (13.1) pu` o essere generalizzata all’interazione fra due

346

13 I neutrini solari

nuclei qualsiasi presenti nelle quantit` a nj e nk : E 8 1 nj nk 1 rjk = Eσ (E) e−( kT +γ(E)) dE , Ω 1 + δjk πμ (kT )3/2

(13.2)

dove δjk vale 1 per j = k, altrimenti vale 0. La grandezza S(E) = Eσ(E)τ (E) = Eσ(E)e−γ(E)

(13.3)

`e chiamata “fattore astroﬁsico” e contiene tutti gli ingredienti che determinano la frequenza di fusione di due nuclei: l’interazione nucleare (forte e/o debole) tramite σ(E), la temperatura e la carica elettrica tramite γ(E). Per una generica reazione la dipendenza dai parametri citati `e pi` u complicata che per la reazione primaria pp → de+ ν perch´e la sua frequenza eﬀettiva dipende anche da quelle delle reazioni che la precedono nella successione, le quali determinano i valori di nj e nk . Tutti questi aspetti vengono elaborati nell’ambito dei modelli solari. L’obiettivo principale di qualsiasi modello solare `e la completa descrizione della dinamica e dell’evoluzione del sole. Un modello `e essenzialmente fondato su un insieme di equazioni nelle quali compaiono come grandezze incognite (funzioni della distanza dal centro del sole e del tempo) la densit` a, la pressione, la temperatura, l’abbondanza degli elementi chimici e l’energia emessa. In genere si assume che la fusione di protoni nella regione centrale del sole (4p →4 He + 2e+ + 2ne + 26.72M eV ) sia la fonte primaria dell’energia termica e della pressione termica (esercitata dal moto termico di elettroni e ioni) necessaria a contrastare l’azione della gravit` a. Le altre reazioni nucleari determinano la variazione della composizione chimica e contribuiscono, sia pure secondariamente, all’emissione di energia. Questa si propaga attraverso il sole per radiazione e convezione e viene inﬁne emessa come luce solare. Si suppone che la composizione chimica iniziale nel sole sia omogenea e che le varie grandezze siano distribuite con simmetria sferica. Una soluzione delle equazioni del modello `e deﬁnita dalla composizione chimica iniziale (frazione di idrogeno, elio e altri elementi pi` u pesanti), dalle distribuzioni attuali delle grandezze incognite sopra menzionate e di altre quantit` a ad esse correlate, fra le quali rientrano anche i ﬂussi di neutrini. La soluzione `e ottenuta con un procedimento iterativo in cui vengono variate le condizioni iniziali mantenendo ﬁssi i valori della massa totale, della luminosit` a totale, del raggio esterno e dell’et`a del sole. Sulla traccia precedente sono stati sviluppati vari modelli con risultati tipici quali quelli riportati, per esempio, in tab. 12.1 di cap. 12 e in tab. 13.1 di questo capitolo. I diﬀerenti modelli risultano essere sostanzialmente equivalenti (cio`e danno valori compatibili fra loro) se si utilizzano le stesse ipotesi ﬁsiche e gli stessi valori dei parametri d’ingresso. Le discrepanze che, di fatto, si riscontrano fra di essi sono da attribuire a diﬀerenti scelte dei valori dei parametri d’ingresso, a diﬀerente trattamento di eﬀetti particolari, ad approssimazioni nei calcoli. Sulla determinazione di alcune grandezze c’`e,

13.1 Modelli solari e ﬂusso di neutrini

347

comunque, un grande accordo indipendentemente dai dettagli (per esempio, sulla temperatura centrale del sole, sulla frequenza di produzione di neutrini dalla reazione primaria pp, ecc.). Su altre, invece, il disaccordo `e rilevante. Sia ri la frequenza per unit` a di volume di una generica reazione solare della catena pp o del ciclo CN O. Supponendo una emissione isotropa di neutrini, a di tempo dalla i-esima reazione `e il numero ni di neutrini prodotti per unit` dato dalla relazione: R0 x2 ri (x, P, T, . . .) dx , (13.4) ni = 4π 0

dove ri `e espressa come funzione della distanza x dal centro del sole, della pressione, della temperatura, ecc. e R0 `e il raggio solare. Il corrispondente ﬂusso sulla terra `e ni Φi = , (13.5) 4πd2 dove d `e la distanza media Terra-Sole. Se λi (E) rappresenta la distribuzione diﬀerenziale dell’energia dei neutrini sul sole, il ﬂusso diﬀerenziale sulla terra `e (13.6) φi (E) dE = Φi λi (E) dE . Tipici valori di Φi e tipici andamenti di φi (E) sono mostrati in tab. 13.1 e ﬁg. 13.1. Facciamo notare che i ﬂussi monoenergetici caratterizzano i neutrini Tabella 13.1. Flussi sulla terra ed energia massima dei neutrini prodotti dalle principali reazioni nel sole. I valori dei ﬂussi sono risultati del MSS secondo [34]. L’errore sui ﬂussi ha il signiﬁcato di 3 deviazioni standard. [5]

pp → e+ ν d −

+

Flusso (% rispetto al totale)

Eν (M eV )

5.99 · 1010 ± 1%

91.48

≤ 0.42

0.22

1.44

8

pp e → ν d 3

Flusso Φ (ne /cm2 · s)

1.42 · 10 ± 2%

4

3

He p → e ν He

7.93 · 10 ± 16%

7

4.89 · 109 ± 11%

Be e− → ν 7 Li

8

B → e+ ν 8 Be

13

N → e+ ν 13 C

15

+

15

+

17

O→e ν

17

F →e ν

N O

≤ 18.77 7.46

5.69 · 106 ± 16% 3.07 · 108 ± 30% 8

2.33 · 10 ± 30% 6

5.84 · 10 ± 52%

0.38 (10%) 0.86 (90%) ≤ 14.06

0.47

≤ 1.20

0.35

≤ 1.73 ≤ 1.74

348

13 I neutrini solari

provenienti da reazioni a due corpi nello stato ﬁnale, i ﬂussi continui caratterizzano i neutrini originati da reazioni a tre corpi ﬁnali (vedi tab. 13.1). I valori di Φi in tab. 13.1 sono il risultato del MSS nella versione di Bahcall e Pinsonneault. Nella tabella sono riportate in termini percentuali anche le incertezze stimate sui valori teorici. Poich´e i valori dei ﬂussi stimati in altre indagini teoriche si discostano dai valori di tab. 13.1 entro le incertezze indicate, possiamo considerare questi valori con le relative incertezze come rappresentativi delle capacit` a di previsione del MSS. Il ﬂusso pi` u rilevante e meglio stimato `e quello prodotto dalla prima reazione della catena pp1. L’incertezza sul suo valore `e piccola perch´e esso `e determinato essenzialmente dalla ﬁsica nucleare fondamentale e dalla luminosit` a del sole, non dai dettagli dei modelli. Gli altri ﬂussi hanno incertezze rilevanti, anche superiori al 50%, alla cui origine abbiamo gi` a accennato. La formazione di un nucleo di 4 He richiede la formazione preliminare di due deutoni con emissione di due neutrini. Quindi il numero di neutrini prodotto al secondo dalla catena pp1 `e dato approssimativamente dal doppio del rapporto fra la luminosit` a del sole e l’energia liberata nella catena pp1 per produrre un nucleo di 4 He: npp1 = 2

2.41 · 1039 M eV s−1 = 1.8 · 1038 s−1 26.72 M eV

Il corrispondente ﬂusso sulla terra `e Φpp1 =

npp1 1.8 · 1038 s−1 = = 6.4 · 1010 cm−2 s−1 2 2 4πd 4π (1.49) · 1026 cm2

Per una veriﬁca radicale delle varie formulazioni del MSS sarebbe utile misurare ﬂussi totali e distribuzioni energetiche (Φi e φi (E)) per tutte le reazioni ipotizzate. Per il momento si `e lontani da questo obiettivo ideale, ma molti esperimenti sono stati proposti e alcuni sono in preparazione a questo ﬁne.

13.2 Rivelazione dei neutrini Nel par. 7.3 del cap. 7 sono state fornite prove indirette dell’esistenza del neutrino e dell’antineutrino facendo uso di argomentazioni basate sui principi di conservazione ed `e stato descritto sommariamente il primo esperimento nel quale `e stata eﬀettuata l’osservazione diretta dell’antineutrino tramite la reazione ν¯ + p → n + e+ . La sorgente di antineutrini era un reattore nucleare. In questo capitolo e nel seguente ci occuperemo dell’osservazione diretta dei neutrini aventi come sorgente il sole. I neutrini solari sono rivelati tramite reazioni di assorbimento da parte dei nuclei: (13.7) νe + (A, Z) → e− + (A, Z + 1)

13.2 Rivelazione dei neutrini

349

Fig. 13.1. Spettro energetico dei neutrini solari secondo il MSS di J.N. Bahcall, Neutrino Astrophysics, Cambridge University Press (1989). I ﬂussi di neutrini continui sono dati in unit` a di (cm−2 s−1 M eV −1 ). I ﬂussi monoenergetici sono dati in −2 −1 (cm s ). [8]

o tramite processi di diﬀusione νe + e− → νe + e− , νe + (A, Z) → νe + (A, Z) ,

(13.8)

Le reazioni del tipo (13.7) sono caratterizzate da una energia minima dei neutrini (energia di soglia1 ) perch´e possano aver luogo (vedi tab. 13.2). In generale quindi, ogni nucleo consente l’osservazione solamente di una speciﬁca porzione energetica dei neutrini solari (vedi ﬁg. 13.1). Invece le reazioni (13.8) consentono, in linea di principio, l’osservazione di neutrini di qualunque energia. Se σ(E) `e la sezione d’urto diﬀerenziale per una qualsiasi delle precedenti reazioni e φk (E) `e il ﬂusso sulla terra dei neutrini prodotti dalla reazione solare k-esima, la frequenza d’interazione per nucleo bersaglio `e esprimibile mediante la relazione 1

Per mν = 0, l’energia di soglia `e Es =

[me + M (A, Z + 1)]2 − M 2 (A, Z) . 2M (A, Z)

350

13 I neutrini solari Tabella 13.2. Energia di soglia per la cattura di neutrini in vari nuclei. 7

Nucleo Es (M eV )

f

interazioni nucleo × s

37

Li

0.862

=

41

Cl

0.814

fk =

k

115

Ga

0.236

In

0.120

205

Tl

0.062

∞

φk (E) σ (E) dE .

(13.9)

Esoglia

k

Questa relazione pu`o essere sostituita da un’espressione approssimata nella quale si prende in considerazione la sezione d’urto mediata sull’energia σ:

interazioni = rk = σ Φk f nucleo × s k

con

k

∞

Φk =

φk (E) dE . 0

La frequenza d’interazione in N nuclei bersaglio di un isotopo (A, Z) `e interazioni interazioni M ηNA interazioni =f N =f f . s nucleo × s nucleo × s A (13.10) dove M `e la massa totale dei nuclei bersaglio in grammi, η `e l’abbondanza isotopica, NA il numero di Avogadro e A il numero di massa. Questa relazione permette di veriﬁcare la consistenza fra il valore di f misurato e il valore di f calcolato dai modelli. La frequenza d’interazione usualmente viene espressa pi` u convenientemente in numero d’interazioni al giorno: interazioni interazioni =f × 8.64 · 104 f (13.11) giorno s e in “unit` a di neutrini solari” (SN U ): interazioni , nucleo × s interazioni · 1036 . f (SN U ) = f s 1 SN U = 10−36

(13.12)

Fra la (13.11) e la (13.12) sussiste la relazione2 : 2

“ f

interazioni giorno

”

fa (SN U ) M (ton) η × 6.06 · 1023 × 106 g × (24 × 3600 s) 1036 A fa (SN U ) M (ton) η = 0, 052 . A

=

13.2 Rivelazione dei neutrini

f

interazioni giorno

= 0, 052

f (SN U ) M (ton) η . A

351

(13.13)

13.2.1 Reazioni di assorbimento Per riconoscere una reazione del tipo (13.7), si sfrutta il fatto che in molti casi il nucleo ﬁglio (A, Z + 1) `e instabile per cattura elettronica (vedi Appendice 7.7.5 del cap. 7), (13.14) (A, Z + 1) + e− → (A, Z) + νe e il nucleo ﬁnale (A, Z) o l’atomo corrispondente sono prodotti in uno stato eccitato; essi sono riconoscibili tramite i prodotti di diseccitazione. Sono eﬃcaci procedure diﬀerenti a seconda che la vita media sia dell’ordine di giorni o mesi (metodi radiochimici) o molto pi` u breve (dell’ordine di micro o millisecondi, metodi diretti). Se la vita media `e molto lunga (milioni di anni) sono eﬃcaci tecniche di spettroscopia di massa. Queste tecniche sono utilizzabili nello studio di nuclei (A, Z + 1) presenti nelle rocce ricche di nuclei (A, Z) (esperimenti geochimici) e permettono di mediare il ﬂusso di neutrini su tempi dell’ordine di 106 anni. Le reazioni di assorbimento consentono di misurare il ﬂusso totale dei neutrini e non lo spettro energetico. Tuttavia, misure con nuclei aventi diverse soglie energetiche consentono di avere informazioni integrate su diversi intervalli di energia. Esiste un lungo elenco di nuclei e di reazioni adatte alla rivelazione dei neutrini solari. Ne riportiamo alcuni esempi relativi a esperimenti eﬀettuati in tempi recenti (prima del 1998) o in progettazione in vari laboratori (fra cui, in Italia, il Laboratorio del Gran Sasso). (a) Reazioni usate nel metodo radiochimico: (i)

νe +37 Cl → e− +37 Ar −

Ar + e → νe + (ii)

37

Cl

νe +71 Ga → e− +71 Ge 71

−

Ge + e → νe +

71

Ga

Es = 814 keV T1/2 = 35 giorni Es = 233 keV T1/2 = 11.43 giorni

L’energia di soglia si riferisce alla prima reazione della coppia e il tempo di dimezzamento si riferisce alla reazione secondaria di cattura elettronica. Poich´e il tempo di dimezzamento `e suﬃcientemente lungo, `e possibile rimuovere con procedimenti ﬁsico-chimici i nuclei ﬁgli (A, Z + 1) dal campione ricco di nuclei genitori (A, Z) e studiare poi i decadimenti dei nuclei ﬁgli in un apposito ambiente. Queste reazioni sono utilizzate in esperimenti che saranno descritti nel par. 13.3. (b) Reazioni per le quali `e utilizzabile il metodo diretto:

352

13 I neutrini solari

(i)

νe +115 In →115 Sn∗ + e− 115

∗

Sn → Sn + 2γ

Es = 128 keV T1/2 = 3.3 μs

L’energia dei due γ `e Eγ1 = 115.7keV Eγ2 = 497.3keV La reazione `e studiata nell’esperimento Index. Data la piccola vita media dello stagno eccitato, questo non `e asportabile dal volume del bersaglio e il segnale dell’assorbimento del ν `e dato dalla rivelazione dei due gamma in coincidenza con l’elettrone. (ii)

νe +81 Br →81 Kr∗ + e− 81

Kr∗ →81 Kr + γ

Es = 472 keV T1/2 = 18.9 s

Eγ = 190.4 KeV Il segnale dell’avvenuto assorbimento del ν `e dato dalla concomitanza dell’emissione dell’e− e di quella del γ da 190.4 keV . La reazione `e utilizzata in un esperimento presso i Laboratori del Gran Sasso. E’ interessante anche l’utilizzo del boro (nell’esperimento Borex pure presso il Laboratorio del Gran Sasso) con le seguenti reazioni che portano a boro e carbonio eccitati: (iii)

νe +11 B → νe +11 B ∗ 11

(Es = 4.5 M eV )

B ∗ →11 B + γ

− 11 ∗ νe + 11 5 B6 → e + 6 C5 11 ∗ 6 C5

(Es = 6 M eV )

→ 11 6 C +γ

L’assorbimento del neutrino `e rivelato dal γ nella prima reazione e dall’emissione in coincidenza di e− e γ nella seconda. La reazione utilizzata nell’esperimento Icarus (presso il Laboratorio del Gran Sasso) `e la seguente: (iv)

νe +40 Ar → e− +40 K ∗ 40

(Es = 11 M eV )

K ∗ →40 K + γ

I metodi citati rivelano l’assorbimento di neutrini senza essere in grado di identiﬁcarne la sorgente. Pertanto la loro applicazione allo studio dei neutrini solari `e fondata sull’ipotesi che il sole sia la principale sorgente dei neutrini osservati. Tuttavia processi spuri dovuti alla radiazione ambientale (o radiazione di fondo, o semplicemente fondo) possono dare segnali con le caratteristiche di eventi solari veri o segnali tali da sovrapporsi a quelli veri impedendone l’identiﬁcazione.

13.2 Rivelazione dei neutrini

353

13.2.2 Radiazione di fondo Le sorgenti di fondo rappresentano un disturbo serio in ogni esperimento dedicato alla rivelazione di eventi rari (ossia di bassa probabilit` a) poich´e la frequenza degli eventi spuri non ﬁltrati `e di solito molto pi` u elevata di quella degli eventi attesi. Per sottolineare la rilevanza del problema, osserviamo che nell’esperimento con il 37 Cl descritto pi` u avanti in media ogni due giorni un solo atomo di Cl su ∼ 1030 si trasforma in Ar per l’assorbimento di un neutrino!!

Fig. 13.2. Schema di alcune sorgenti di neutrini naturali.

Per ovviare alla radiazione di fondo vengono adottate essenzialmente due strategie complementari: 1. abbattimento di tutte le possibili sorgenti di segnali spuri e 2. studio degli aspetti caratteristici dei segnali buoni al ﬁne di distinguerli da quelli spuri. La prima riguarda la realizzazione e la localizzazione dell’apparato, l’analisi e la selezione dei materiali utilizzati e il progetto di strutture di schermo. La seconda riguarda le caratteristiche tecniche del rivelatore (risoluzione direzionale, spaziale, energetica e temporale). Le principali sorgenti di fondo sono (vedi cap. 2 e ﬁg. 13.3): 1. i raggi cosmici, 2. la radioattivit` a ambientale e 3. quella dei materiali.

354

13 I neutrini solari

Fig. 13.3. (a)Esempio di produzione in cascata di muoni e di neutrini di varie specie innescata dalla collisione di protoni cosmici con protoni (o nuclei) atmosferici. (b) Intensit` a verticale dei μ in funzione della profondit` a espressa in metri d’acqua equivalenti. (1 Km di acqua equivale a 105 g cm−2 di roccia standard). I muoni a grande profondit` a sono prodotti da neutrini con pi` u di 2 GeV . [24]

La radiazione cosmica primaria (93% protoni, 6.3% α e 0.7% nuclei pi` u pesanti nell’alta atmosfera) d` a luogo al livello del mare a un rilevante ﬂusso di particelle secondarie penetranti (muoni 75% e protoni 0, 5-2.5%, vedi ﬁg. 2.9 del cap. 2). Fra queste, i muoni molto energetici (alcune centinaia di GeV ) possono raggiungere grandi profondit` a (ﬁno a 10 Km), costituendo la principale componente del fondo (ﬁg. 13.3). I muoni attraversando la materia perdono energia per ionizzazione ﬁnch´e non decadono o interagiscono con i nuclei provocandone la disintegrazione. Le particelle cariche possono interagire direttamente con il rivelatore producendo segnali spuri in genere distinguibili da quelli buoni, oppure possono interagire con i materiali dell’apparato producendo particelle secondarie quali α, p e n che, interagendo a loro volta con i materiali, danno origine a nuclei radioattivi. Fra questi possono esserci nuclei quali, per riferirci alle reazioni (a) del par. 13.2.1, 37 Ar e 71 Ge (per esempio, tramite reazioni del tipo 41 Ga(p, n)41 Ge, Ep > 1 M eV ): si hanno cos`ı prodotti dovuti al fondo indistinguibili da quelli dovuti all’assorbimento dei neutrini. Sono questi gli eﬀetti pi` u dannosi del fondo radioattivo. Per ridurre il fondo a un livello tollerabile il rivelatore viene posto a grandi profondit` a e circondato da schermi con elevato potere assorbente per speciﬁche particelle (per esempio, barriere di acqua o paraﬃna per neutroni veloci). Eﬀetti simili a quelli sopra descritti sono dovuti agli elementi radioattivi contenuti nei materiali utilizzati negli apparati e nelle rocce che li circondano, quali l’uranio e il torio e i loro prodotti di decadimento. I contaminanti pre-

13.3 Esperimenti

355

senti nei materiali possono essere ridotti a livelli insigniﬁcanti con opportuni trattamenti che eliminano le componenti radioattive. Esiste anche un fondo di neutrini elettronici di origine non solare. Essi sono prevalentemente prodotti nell’atmosfera dal decadimento in volo dei muoni (vedi ﬁg. 13.3) e hanno energia molto maggiore dei neutrini solari (fra 100 M eV e qualche GeV ) e intensit` a molto minore (confronta i ﬂussi dei muoni e dei neutrini solari nel par. 2.4 del cap. 2). Il fondo residuo viene studiato e valutato in apposite misure separate in modo che i dati ﬁnali possano essere ripuliti, per quanto possibile, da tale inquinamento.

13.3 Esperimenti In questo paragrafo vengono descritti gli aspetti essenziali dei principali esperimenti sui neutrini solari eﬀettuati ﬁno al 2001. 13.3.1 L’esperimento con

37

Cl

Il primo esperimento eﬀettuato sui neutrini solari si basa sull’osservazione della reazione (13.15) νe +37 Cl → e− +37 Ar , (suggerita da B. Pontecorvo nel 1948). Essa ha una soglia di 814 keV se il nucleo di 37 Ar `e nello stato fondamentale; la soglia sale a oltre 3 M eV se il nucleo `e a un livello eccitato (caso molto probabile). I nuclei eccitati si diseccitano in tempi molto brevi e i γ emessi non vengono presi in considerazione nella misura. I nuclei di 37 Ar sono suscettibili di cattura elettronica con un tempo di dimezzamento di ∼ 35 giorni secondo la reazione 37

Ar + e− →37 Cl + νe .

(13.16)

Gli atomi di 37 Cl si diseccitano emettendo raggi X e un elettrone Auger di energia caratteristica di 2.82 keV . E’ la misura di questo elettrone che contraddistingue l’avvenuto assorbimento di un νe secondo la reazione (13.15)3 . L’esperimento con il 37 Cl ha avuto inizio nel 1968 con un apparato installato nella miniera d’oro di Homestake (South Dakota, USA) a una profondit` a di circa 1500 m (equivalenti a 4100 metri d’acqua). Per 20 anni `e stato l’unico esperimento attivo sui neutrini solari. La scelta della reazione (13.15) fra le molte possibili `e stata dettata da motivi di carattere pratico: (a) l’abbondanza isotopica di 3

37

Cl `e relativamente alta (24.3%);

Ricordiamo che un bersaglio di 37 Cl fu esposto anche a un fascio di antineutrini prodotti dal decadimento di neutroni presso un reattore nucleare e la reazione (13.15) non fu osservata.

356

13 I neutrini solari

(b) i composti del cloro sono di facile reperibilit` a e di basso costo (il tetracloruro etilene `e utilizzato anche nel lavaggio a secco degli indumenti!); (c) l’argon `e un gas nobile e pu` o essere asportato facilmente dal composto di cloro; (d) il tempo di dimezzamento di 35 giorni della reazione (13.16) `e adatto per i metodi radiochimici. Sfortunatamente, essa presenta lo svantaggio di avere una soglia elevata (814 keV ) che consente essenzialmente la rivelazione dei neutrini solari energetici emessi dal 8 B, il cui ﬂusso `e basso e di incerta valutazione (vedi ﬁg. 13.1 e tab. 13.1 e 13.2). L’apparato esso consiste di un recipiente contenente 625 tonnellate di tetracloruro etilene liquido (C2 Cl4 )4 . Gli atomi di 37 Ar vengono prodotti con energia suﬃciente a sfuggire alle molecole di C2 Cl4 ; essi si disperdono nel materiale e possono essere rimossi facilmente per trascinamento da parte di un ﬂusso di elio fatto gorgogliare nel tetracloruro etilene. L’apparato viene mantenuto attivo per periodi di circa 60 giorni. Al termine di ogni periodo gli atomi di 37 Ar vengono rimossi dal tetracloruro etilene con un ﬂusso di elio della durata di circa 2 ore e immessi in una piccola camera proporzionale dove i nuclei di 37 Ar si trasformano in 37 Cl per cattura elettronica. La camera proporzionale consente di rivelare gli elettroni Auger emessi dagli atomi eccitati di 37 Cl. I segnali elettrici prodotti da tali elettroni si distinguono per l’altezza (corrispondente a un’energia di 2.82 keV degli elettroni) e per il tempo di salita molto breve. Fig. 13.4a mostra la distribuzione energetica dei segnali emessi dalla camera proporzionale in un intervallo di tempo uguale a 2T1/2 (70 giorni) subito dopo l’estrazione e ﬁg. 13.4b mostra la distribuzione registrata a partire dall’istante t = 3T1/2 . Nella prima ﬁgura `e ben evidente il picco in corrispondenza dell’energia di 2.8 keV degli elettroni Auger emessi dal 37 Cl prodotto dalla cattura elettronica dell’37 Ar. La larghezza del picco `e determinata dalle incertezze sulla misura dell’energia. Il picco `e sovrapposto a un fondo di segnali dovuti a particelle ionizzanti spurie non eliminate dai vari accorgimenti predisposti (la distribuzione di fondo sotto il picco `e evidenziata da una linea tratteggiata). Al passare del tempo il contributo alla distribuzione da parte degli elettroni da 2.8 keV si esaurisce, perch´e i nuclei di 37 Ar scompaiono per decadimento, mentre si accumula con ritmo costante quello delle particelle spurie: in ﬁg. 13.4b il picco perde evidenza perch´e sommerso dal fondo. Selezionando sulla base del tempo di salita i segnali forniti dalla camera proporzionale in corrispondenza del picco da 2.82 keV , si ottiene un campione di segnali in cui il contributo dovuto a particelle ionizzanti spurie `e ridotto in modo drastico. La distribuzione temporale di questi segnali `e mostrata in ﬁg. 13.4c. Sebbene essi siano prevalentemente conseguenza del processo di cattura 4

A tale massa corrispondono 2.20 · 1030 atomi di

37

Cl.

13.3 Esperimenti

357

elettronica dell’37 Ar, solo in parte sono connessi con la reazione di assorbimento di neutrini (13.15). Infatti, per eﬀetto sia della radiazione cosmica che della radioattivit` a delle rocce, il volume di C2 Cl4 pu` o essere attraversato da protoni che producono 37 Ar tramite la reazione 37 Cl(p, n)37 Ar.

Fig. 13.4. Distribuzioni energetiche e distribuzione temporale di segnali che dimostrano la produzione di 37 Ar conseguente alla cattura di neutrini da parte di nuclei di 37 Cl. (a) Spettro energetico raccolto nei settanta giorni subito dopo l’estrazione. (b) Spettro energetico raccolto a partire dal 205-esimo giorno dopo l’estrazione. (c) Distribuzione temporale degli eventi selezionati in base all’appartenenza all’intervallo energetico del picco di ﬁgura (a) e al tempo di salita del segnale. [5]

Il numero di atomi di 37 Ar presente nel rivelatore al momento dell’estrazione `e inferiore al numero di atomi prodotti nel periodo di accumulazione, perch´e parte di essi decade. Esso `e calcolabile considerando che il numero di atomi che si accumula nell’intervallo dt `e dato dal numero di atomi che si formano diminuito del numero di quelli che decadono (vedi par 1.3.4 del cap. 1): dN (t) = N0 rdt − λN (t)dt ,

358

13 I neutrini solari

dove r = rν +rf ondo `e la frequenza di produzione per nucleo bersaglio di atomi di Ar sia per assorbimento dei neutrini (vedi eq. 13.15)) che per eﬀetti spuri, N0 = 2.2 · 1030 `e il numero di atomi di 37 Cl nel bersaglio (vedi nota 4) e 1 = τ = T1/2 / ln 2 = 50.5 giorni λ `e la vita media dell’ 37 Ar. Integrando sull’intervallo di tempo di accumulazione (0, ta ≈ 60 g), per un numero iniziale di atomi uguale a zero si ottiene N (ta ) =

N0 r 1 − e−λta , λ

da cui si ricava il numero di atomi prodotto: Na = No r = λ

N (ta ) . 1 − e−λta

Se si trascura il breve intervallo di tempo richiesto per l’estrazione rispetto a quello di accumulo, Na `e il numero di atomi immesso nella camera proporzionale. Si assume che la distribuzione temporale di ﬁg. 13.4c sia rappresentabile mediante la funzione (13.17) f (t) = A e−t/τ + B , dove A `e correlato col numero iniziale di atomi di 37 Ar immessi nella camera proporzionale, τ `e la vita media per il processo di cattura elettronica e B misura il fondo residuo. I valori di A, B e τ sono determinati adattando questa funzione alla distribuzione sperimentale con metodi statistici (minimizzazione di χ2 ). La curva cos`ı ottenuta `e riportata in ﬁg. 13.4c e il suo andamento `e compatibile con una vita media di 50 giorni. Il contributo del fondo di origine cosmica `e stato a ed `e risultastimato misurando la produzione di 37 Ar a diﬀerenti profondit` to essere circa 1/10 del totale dei segnali; quello originato dalla radioattivit` a delle rocce `e stato determinato studiando il ﬂusso dei neutroni ed `e risultato essere circa 1/20 del totale. La produzione di 37 Ar attribuita all’assorbimento dei neutrini solari risulta avere una frequenza f = 2.55 ± 0.17 ± 0.18 SN U = 0.480 ± 0.047 atomi/giorno . Questo valore `e la media dei valori ottenuti in successive misure eﬀettuate fra il 1970 e il 1993, il cui andamento temporale `e dato in ﬁg. 13.5. Il valore misurato risulta pi` u piccolo (circa 1/3, vedi tab. 13.2) di quello stimato e la diﬀerenza non `e conciliabile anche tenendo conto degli errori. La discrepanza fra teoria ed esperimento `e all’origine del cosiddetto “problema dei neutrini solari”. Il signiﬁcato da attribuire a tale discrepanza `e stato oggetto di molte discussioni, perch´e l’esperimento `e sensibile essenzialmente ai neutrini solari di

13.3 Esperimenti

359

Fig. 13.5. Misure parziali della frequenza di assorbimento di neutrini (in atomi/giorno) eﬀettuate dal 1970 al 1993 nell’esperimento con il Cloro. [12]

pi` u elevata energia e di basso ﬂusso provenienti dal 8 B (vedi tab. 13.1) per i quali le previsioni teoriche presentano signiﬁcative incertezze, che potrebbero anche essere sottostimate. La discrepanza tra esperimento e previsioni teoriche ha innescato un vasto dibattito sia sul metodo sperimentale adottato (con proposte di varianti o di diﬀerenti metodologie) sia sulla validit` a dei modelli teorici. Esso si `e intrecciato con le speculazioni teoriche sui neutrini massivi dando forte impulso alle ricerche sulle oscillazioni di neutrino. 13.3.2 Esperimenti con

71

Ga

Diﬀerentemente dal caso dei ν da 8 B, il ﬂusso di neutrini dalla reazione fondamentale p + p → d + e+ + νe risulta quasi indipendente dalle incertezze sui parametri d’ingresso e ha circa lo stesso valore in tutte le versioni del MSS (e anche in quelle non standard). Ci` o `e dovuto al fatto che il ﬂusso di neutrini `e strettamente correlato alla luminosit`a solare che `e ben misurata. Ci`o ha indotto a realizzare esperimenti sensibili ai neutrini primari della catena pp. Una reazione che consente di rivelare una parte signiﬁcativa dei neutrini della reazione fondamentale pp (vedi ﬁg. 13.1 e tab. 13.3) `e, per esempio, la seguente: Esoglia = 233.2 keV (13.18) νe +71 Ga → e− +71 Ge con energia di soglia che supera di poco la met`a dell’energia massima dei neutrini della reazione pp (420 keV ). Il 71 Ge `e instabile per cattura elettronica con tempo di dimezzamento di 11.43 giorni. Possono essere catturati elettroni di diversi livelli atomici con emissione di raggi X e di elettroni Auger di energia caratteristica (vedi tab. 13.4). I vari modelli prevedono frequenze di cattura di neutrini provenienti dalle reazioni pp per il 53%, dal berillio per il 27% e dal boro per il 10% (vedi tab. 13.3). Il fondo pi` u pericoloso in questo tipo di misura proviene dal 71 Ge prodotto dalla reazione

360

13 I neutrini solari

p +71 Ga →71 Ge + n

(Es = 1.02M eV ) ,

dove i protoni possono essere prodotti secondari delle interazioni di μ cosmici, di neutroni veloci o di residui radioattivi nel bersaglio. Tabella 13.3. Contributo al ﬂusso di neutrini calcolato da [9] (vedi tab. 13.1) per gli esperimenti con Cloro e Germanio e da [35] per l’esperimento Kamiokande. [5]

Cloro

Gallio

SN U

%

SN U

%

pp

0.0

0

70.8

53.84

pep

0.2

2.5

3.1

2.36

1.2

15.0

35.8

27.22

6.2

77.5

13.8

10.49

0.1

1.25

3.0

2.28

0.3

3.75

4.9

3.73

8.0 ± 3.0 (3σ)

100

131.5+21 −17 (3σ)

100

7

Be

8

B

13

N

15 17

O F

Totale

Kamiokande (E ≥ 7.5 M eV ) neutrini/giorno neutrini (cm

−2

0.62 −1

s

5.8 ± 2.15 (3σ) 106

)

Tabella 13.4. Energie degli elettroni Auger e dei raggi X emessi conseguentemente al decadimento per cattura elettronica del 71 Ge. Energia totale degli e− Auger (keV ) 10.37 0.11 1.12, 1.15 1.3 0.16

Energia dei raggi X (keV )

10.26 9.25

Livelli degli e− catturati

Probabilit` a (%)

K K K L M

41.4 5.2 41.1 10.3 2.0

Due esperimenti (denominati Gallex e SAGE) hanno studiato questa reazione. Il primo `e stato eﬀettuato in una galleria sotto il Gran Sasso

13.3 Esperimenti

361

da una collaborazione europea e l’altro nel Caucaso da una collaborazione russo-americana.

Fig. 13.6. Apparato dell’esperimento GALLEX. Notare l’alloggio per la sorgente di 51 Cr.

L’apparato dell’esperimento Gallex `e rappresentato in ﬁg. 13.6. Il suo bersaglio `e costituito da 101 tonnellate di soluzione di GaCl3 contenente 30.3 tonnellate di Ga di cui 12 tonnellate di 71 Ga. Il 71 Ge viene estratto come GeCl4 , che `e un composto volatile, facendo gorgogliare azoto nel cloruro di gallio e viene convogliato in un piccolo contatore proporzionale. Fig. 13.7 mostra l’andamento temporale dei decadimenti di 71 Ge identiﬁcati dalla cattura di elettroni L e K riconosciuti in base all’altezza e al tempo di salita dei segnali. L’andamento della distribuzione `e compatibile con un tempo di dimezzamento di 11.4 giorni. Da una serie di misure eﬀettuate dal 1991 al 1997, il cui andamento nel tempo `e mostrato in ﬁg. 13.8(a), `e stato ricavato il seguente valor medio della frequenza di cattura di neutrini: fGallex = 76.4 ± 6.3 +4.5 −4.9 SN U , corrispondente a circa 0.7 neutrini al giorno con un 5% di segnali di fondo. Nell’esperimento SAGE, che ha avuto vicende controverse, inizialmente non erano stati osservati assorbimenti di neutrino, ma i risultati delle successive misure si sono gradualmente avvicinati a quelli di Gallex (vedere ﬁg. 13.8(b)). Il valore medio della frequenza di cattura aggiornato al 1997 `e

362

13 I neutrini solari +5 fSAGE = 74 +11 −10 −7 SN U .

I valori di f misurati dai due esperimenti risultano inferiori ai valori previsti dai modelli (circa il 60%, vedi tab. 13.3).

Fig. 13.7. Distribuzione temporale della frequenza degli eventi nell’esperimento GALLEX. [5]

13.3.3 Misura diretta Gli esperimenti di tipo radiochimico con 37 Cl e con 71 Ga hanno consentito di rivelare neutrini di caratteristiche energetiche compatibili con quelle dei neutrini solari emessi nella reazione primaria pp e in quella secondaria di decadimento del 8 B, ma non hanno dato indicazioni sulla loro eﬀettiva provenienza. Invece, un esperimento parallelo, fondato sul metodo diretto, ha consentito di veriﬁcare che la direzione di provenienza dei neutrini rivelati `e la direzione sole-terra. L’esperimento, denominato Kamiokande, studia la reazione di diﬀusione elastica (13.19) νe + e− → e− + νe . L’apparato `e rappresentato in ﬁg. 13.9; esso `e costituito da un volume di 3000 tonnellate di acqua che funge sia da bersaglio sia da sorgente di radiazione Cerenkov per la rivelazione degli elettroni di rinculo; esso `e installato nella miniera di Kamioka (Giappone) alla profondit` a di 1000 m (equivalenti a 2700 metri d’acqua) ed `e in grado di rivelare elettroni di energia superiore a circa 7.5 M eV , quindi essenzialmente solo neutrini da 8 B 5 . L’apparato consente di misurare il tempo di arrivo dei neutrini e la direzione di moto e l’energia degli elettroni di rinculo. 5

La soglia di 7.5 M eV non `e intrinseca alla reazione (13.19), ma `e dovuta a eﬀetti strumentali.

13.3 Esperimenti

363

(a) Evoluzione temporale delle misure di frequenza di assorbimento di neutrini nell’esperimento GALLEX, M = maggio, N = novembre. [20]

(b) Confronto fra andamento nel tempo delle misure di GALLEX e di SAGE. [12] Fig. 13.8.

La distribuzione angolare degli elettroni rispetto alla direzione laboratoriosole al momento della misura `e simile a quella mostrata in ﬁg. 13.10. Nella ﬁgura sono riconoscibili una componente piatta (f (cosθ) = costante), che possiamo attribuire a radiazione di fondo distribuita in modo isotropo e un picco per cosθ ∼ 1. Tenendo presente che la sezione d’urto della reazione (13.19) ha un massimo per θ = 0, possiamo ritenere che gli elettroni accumulati nel picco sono prodotti dall’interazione con neutrini solari. Per determinare il numero degli elettroni correlati ai neutrini solari si pu` o adattare con metodi statistici alla distribuzione angolare sperimentale una funzione del tipo f (cos θ) = A g (cos θ) + B , (13.20) dove g(cosθ) `e una opportuna funzione dipendente dalla sezione d’urto della reazione (13.19); A e B sono costanti che vengono determinate dal confronto con la distribuzione sperimentale. Il valore di A `e il numero cercato. Risulta che la frequenza di neutrini solari osservata `e f = 0.31 ± 0.025 ± 0.037 neutrini/giorno

364

13 I neutrini solari

Fig. 13.9. Apparato dell’esperimento Kamiokande.

Fig. 13.10. Distribuzione dell’angolo di emissione degli elettroni rispetto alla direzione terra-sole nell’esperimento Super-Kamiokande; l’istogramma ` e simile a quello ottenuto nell’esperimento Kamiokande, ma statisticamente pi` u ricco. [13]

13.4 Osservazioni riassuntive

365

corrispondente a un ﬂusso sulla terra 6 −2 −1 Φ = 2.89+0.22 s . −0.21 ± 0.35 · 10 cm

Questo valore `e la media di varie misure eﬀettuate fra il 1987 e il 1992 ed `e circa la met`a di quello atteso (vedi tab. 13.5). La distribuzione energetica degli elettroni `e simile a quella mostrata in ﬁg. 13.11. Essa si estende con continuit` a ﬁno a circa 15 M eV , che `e proprio l’energia massima dei neutrini emessi dal 8 B (vedi ﬁg. 13.1).

Fig. 13.11. Distribuzione energetica degli elettroni misurata nell’esperimento SuperKamiocande (croci) confrontata con la distribuzione attesa dal MSS per neutrini emessi dal 8 B (istogramma). La distribuzione sperimentale ` e simile a quella ottenuta nell’esperimento Kamiokande, ma statisticamente pi` u ricca. [32]

Riassumendo, questo esperimento misura neutrini energeticamente compatibili con quelli emessi dal 8 B ma con un ﬂusso inferiore a quello previsto dal MSS (circa 1/2); inoltre, identiﬁca nel sole la sorgente dei neutrini osservati, tramite l’identiﬁcazione della direzione di volo dei neutrini incidenti con la direzione terra-sole.

13.4 Osservazioni riassuntive I risultati sperimentali descritti nel precedente paragrafo e risultati tipici del MSS sono riassunti in tab. 13.56 . Anche se i risultati non sono esaurienti, questi 6

Nel presente paragrafo sono presi in considerazione i dati sperimentali e i calcoli teorici ﬁno al 1994. I successivi aggiornamenti, in parte riportati, non cambiano

366

13 I neutrini solari

esperimenti nel loro complesso forniscono un’evidenza diretta delle reazioni nucleari nel sole secondo lo schema di ﬁg. 12.2(a) del cap. 12; nell’ambito delle nostre conoscenze sul sole, quelle che erano, almeno parzialmente, solo ipotesi acquistano sempre pi` u la concretezza dei fatti. I valori del ﬂusso osservati appaiono sistematicamente inferiori a quelli calcolati, sia nel caso di esperimenti sensibili prevalentemente ai neutrini pp, sia a quelli sensibili prevalentemente ai neutrini da 8 B e 7 Be. Questa discrepanza ha dato origine al cosiddetto “problema dei neutrini solari”, a cui si `e gi`a accennato in precedenza. Ribadiamo che il problema dei neutrini solari deriva essenzialmente dal confronto fra due gruppi di risultati (gli uni sperimentali e gli altri teorici ) che possono essere entrambi aﬀetti da errori o incertezze valutati in modo non adeguato. Si `e a lungo dibattuto sulle ragioni della discrepanza. In ambito teorico si confrontano due diﬀerenti punti di vista: uno attribuisce la discrepanza datimodelli a una inadeguata formulazione degli ultimi nell’ambito della ﬁsica nota, l’altro a propriet` a ﬁsiche dei neutrini non ancora note. Ha un particolare rilievo l’ipotesi che la massa del neutrino sia diversa da zero con conseguente possibilit`a del fenomeno dell’ ”oscillazione di neutrino” (vedi par. 14.4.2 del cap. 14) che consiste nella variazione periodica del sapore (pi` u comunemente considerata) o del numero leptonico o dello stato di neutrino ﬁsico-sterile, variazione che si manifesterebbe nel percorso dal centro del Sole alla Terra. Lo studio dei neutrini solari risulta, cos`ı, strettamente connesso con tematiche pi` u ampie dei modelli solari. In ambito sperimentale, sono stati proposti nuovi esprimenti con lo scopo di conoscere in modo esauriente le caratteristiche di tutto lo spettro dei neutrini solari e di scoprire eventuali errori negli esperimenti gi` a fatti7 .

7

sostanzialmente i termini della discussione, eccetto, forse, quanto riferito in una successiva nota. Recentemente nell’esperimento Gallex `e stato misurata l’eﬃcienza dell’apparato, ossia la sua capacit` a di rivelare i neutrini, la quale `e data dal rapporto fra i neutrini eﬀettivamente rivelati e quelli assorbiti. A questo ﬁne si `e fatto ricorso a una sorgente di neutrini di intensit` a e energia note. La sorgente radioattiva `e costituita da nuclei di 51 Cr ottenuti tramite la reazione 51 n + 50 24 Cr → 24 Cr .

Essi sono radioattivi con tempo di dimezzamento T1/2 = 27.702 giorni secondo la reazione 8 <ν(750 keV ), 90% 51 51 + 24 Cr →23 V + e + :ν(430 keV ) + γ(320 keV ), 10% . Si `e trovato che il rapporto fra l’attivit` a della sorgente di 51 Cr misurata con l’apparato e quella nota a priori `e 0.92 ± 0.08, valore compatibile con 1. Ci` o indicherebbe che la “carenza” di ﬂusso di neutrini solari non pu` o essere attribuita a difetti strumentali.

13.5 Recenti sviluppi sperimentali

367

Tabella 13.5. Sommario dei risultati degli esperimenti sui neutrini solari e delle previsioni del MSS presentati nei paragraﬁ e nelle tabelle precedenti. R `e il rapporto fra dati sperimentali e previsioni teoriche; gli errori su R fuori parentesi provengono dai soli valori sperimentali, quelli entro parentesi quadra dalle sole incertezze teoriche (3σ). Ci si attende R ≈ 100% per un completo accordo fra dati e previsioni.

37 Cl ≥ 0.814 M eV SN U

71 Ga ≥ 0.235 M eV SN U

Segnale osservato

2.55 ± 0.17 ± 0.18a

76.4 ± 6.3 ± 4.7b 74 ± 10 ± 6c

2.9 ± 0.22 ± 0.35d,h

Segnale previstoe

8 ± 3 (100%)

132 ± 19(100%)

5.83 ± 2.15(100%)

R(%)

32 ± 3 ± [12]

60 ± 7 ± 4.5 ± [9]

50 ± 4 ± 6 ± [19]i

contributi parziali al segnale previsto pp + pep

0.2 (2.5%)

74 (56%)

0

1.2 (15%)

36 (27%)

0

0.4 (0.78%)

8 (6%)

100%

Segnale

7

Be

8

B

f

4.2

113

f

Kamiokande ≥ 7.5 M eV 106 cm−2 s−1

3.77 ± 0.55f

(a) [12], (b) [20], [21], (c) [14], [21], (d) [13], (e) vedi tab. 13.3, l’incertezza corrisponde a 3σ, (f ) [16], (h) Valore sperimentale aggiornato ottenuto con un apparato modiﬁcato (1997, Super-Kamiokande) e con una energia di soglia di 6 M eV : 2.37.1 ± 0.06 ± 0.08, [22]. (i)Valore aggiornato: 37.1 ± 1.0. L’esperimento GALLEX `e proseguito nell’esperimento GNO (Gallium Neutrino Observatory); combinando i risultati dei due esperimenti si ottiene 69.3 ± 4.1 ± 3.6. [36]

13.5 Recenti sviluppi sperimentali Per chiarire la situazione, `e stato proposto di studiare il ﬂusso dei neutrini solari non in base al confronto fra esperimenti e modelli, ma in base al confronto fra diﬀerenti esperimenti. Nell’ipotesi che il problema dipenda dal fenomeno dell’oscillazione di sapore, cio`e che il neutrino elettronico possa trasformarsi in neutrino mu-onico o tau-onico nel tragitto sole-terra, `e stato proposto di studiare reazioni aventi diﬀerenti sensibilit` a ai neutrini di diverso sapore. Le reazioni proposte consistono nell’assorbimento di neutrini da parte di deuterio, nella diﬀusione inelastica neutrino-deuterio e nella diﬀusione elastica neutrino-elettrone:

368

13 I neutrini solari

νe + d → p + p + e−

(Q = −2.144 M eV )

(13.21)

νy + d → p + n + νy

(Q = −2.2M eV )

(13.22)

−

−

νy + e → νy + e

(13.23)

La reazione (13.21) `e sensibile solo ai neutrini elettronici, mentre la (13.22) e la (13.23) sono sensibili ai neutrini di tutti i sapori (y = e, μ, τ ); tuttavia la sezione d’urto della reazione (13.23) per i neutrini μ e τ `e molto pi` u piccola di quella per i neutrini elettronici (∼ 1/6), mentre quella della reazione (13.22) `e della stessa entit`a per i vari tipi di neutrini. Prendiamo in considerazione, per semplicit` a, le sole reazioni (13.21) e (13.23) e supponiamo che i neutrini coinvolti siano quelli prodotti dal decadimento del 8 B, di cui `e noto lo spettro energetico. Supponiamo anche che il ﬂusso di neutrini, che all’origine `e costituito da soli neutrini elettronici, sulla terra sia costituito dalla mescolanza di un ﬂusso di neutrini elettronici e da un ﬂusso di neutrini non elettronici: Φ = Φe + Φx .

(13.24)

Il numero di eventi per unit` a di tempo dovuti all’interazione di neutrini solari con un mezzo materiale situato sulla terra `e dato dalla seguente relazione: n = k ρσ (E) Φλ (E) dE = ΦF , (13.25) dove ρ `e il numero di bersagli nucleari per unit` a di superﬁcie, σ(E) `e la sezione d’urto per la particolare interazione considerata, λ(E) `e lo spettro energetico dei neutrini, Φ `e il numero di neutrini incidenti per unit` a di tempo e di superﬁcie sulla terra e k `e una costante che tiene conto dell’eﬃcienza e della geometria dell’apparato sperimentale. Se σ e λ sono note, F `e calcolabile; pertanto la misura di n e il calcolo di F consentono di determinare per via sperimentale il valore del ﬂusso Φ = n/F dei neutrini solari. Ci`o premesso, la (13.25) applicata alle reazioni (13.21) e (13.23) d` a luogo alle seguenti relazioni: (13.26) n1 = Φe Fe1 , n3 = ne3 + nx3 = Φe Fe3 + Φx Fx3 .

(13.27)

Se il ﬂusso incidente `e eﬀettivamente di soli neutrini elettronici (Φx = 0), risulta n1 n3 Φ = Φe = = . (13.28) Fe1 Fe3 Se il ﬂusso di neutrini non elettronici `e presente, ma viene ignorato, ossia se si considerano tutti gli eventi come dovuti all’interazione di neutrini elettronici ponendo nx3 = 0 e ne3 = n3 , la (13.27) fornisce un ﬂusso ﬁttizio di neutrini elettronici di valore Φe3 maggiore dal valore vero fornito dalla (13.26): Φe3 =

n3 n1 > = Φe . Fe3 Fe1

(13.29)

13.5 Recenti sviluppi sperimentali

369

Pertanto, per appurare se esistono le oscillazioni (o altri fenomeni che modiﬁcano il ﬂusso dei neutrini elettronici) basta veriﬁcare se Φe3 `e uguale o diverso da Φe . Combinando le equazioni (13.26) e (13.27) si ottengono i ﬂussi parziali e totale: Φe =

n1 , Fe1

(13.30)

n1 Fe3 Fe1 , Fx3 n1 n3 − Fe3 n1 Fe1 . + . Φ = Φe + Φx = Fe1 Fx3 n3 − Φe Fe3 = Φx = Fx3

n3 −

(13.31)

(13.32)

Essendo note le sezioni d’urto delle reazioni (13.21) e (13.23), la (13.33) consente di ricavare il ﬂusso totale originario dei neutrini, che `e la quantit` a calcolata dai modelli solari. Invece gli esperimenti descritti nei paragraﬁ precedenti (o la misura della sola reazione (13.21)) forniscono solo il ﬂusso parziale Φe dato dalla (13.30): `e evidente che, alla luce dell’ipotesi delle oscillazioni di neutrino, l’origine del “problema dei neutrini solari” sta nel diﬀerente signiﬁcato del ﬂusso teorico e di quello sperimentale. La discussione precedente `e stata condotta nell’ipotesi di oscillazioni di sapore; consideriamo ora l’ipotesi di oscillazioni di stato ﬁsico-sterile, secondo la quale i neutrini elettronici originari di elicit` a +1 (neutrini ﬁsici) hanno una certa probabilit` a di trasformarsi in neutrini di elicit` a −1 (neutrini sterili). Questi ultimi non interagiscono con la materia, ossia hanno sezione d’urto d’interazione uguale a zero. Essi quindi non contribuiscono n´e alla reazione (13.21), n´e alla reazione (13.23). La relazione (13.27) assume la forma n3 = Φe Fe3 + Φs Fs3 , dove s signiﬁca sterile e quindi Fs3 = 0. Pertanto, da entrambe le reazioni (13.21) e (13.23) si ottiene lo stesso valore per Φe (con Φe3 = Φe ) che `e, per`o, inferiore al ﬂusso totale Φ. La reazione (13.21) `e stata misurata nell’esperimento SNO (Sudbury Neutrino Observatory) e la reazione (13.23) negli esperimenti SNO, Kamiokande (vedi par. 13.3.3) e Super-Kamiokande; quest’ultimo esperimento ha fornito il risultato pi` u preciso. L’apparato sperimentale dell’esperimento SNO (vedi ﬁg. 13.12) `e costituito da un bersaglio sferico costituito da 1000 ton di acqua pesante D2 O “visto” da 9500 fototubi e circondato da un volume di 7000 ton di H2 O agente sia da schermo che da rivelatore della radiazione di fondo. Le reazioni (13.21) e (13.23) sono riconosciute dalla misura del punto d’origine, della direzione di moto e dell’energia degli elettroni in base alla luce Cerenkov emessa dagli elettroni e vista dai fotomoltiplicatori.

370

13 I neutrini solari

L’apparato `e installato a 2 Km di profondit` a in una miniera di nichel di Sudbury (Ontario, Canad` a). L’apparato `e in grado di rivelare elettroni aventi energia maggiore di 6.75 M eV , prodotti praticamente solo dall’interazione di neutrini emessi dal decadimento del 8 B (vedi ﬁg. 13.1). I principali risultati delle misure, frutto di 241 giorni di presa dati fra il 1999 e il 2001, sono riassunti in tab. 13.6. Essi sono stati dedotti dall’identiﬁcazione di 975 ± 40 eventi appartenenti alla reazione (13.21), 106 ± 15 appartenenti alla reazione (13.22) e 87 ± 25 appartenenti alla reazione (13.23). 8 L’apparato sperimentale di Super-Kamyokande (vedi ﬁg. 13.13) `e una evoluzione di Kamiokande, descritto nel par. 13.3.3. Esso `e costituito da un bersaglio centrale di 32 500 ton di acqua (H2 O) visto da 11 146 fotomoltiplicatori per la misura della luce Cerenkov emessa dagli elettroni della reazione (13.23). Il rivelatore centrale `e circondato da un involucro spesso circa 2.5 m contenente acqua e visto da 1885 fotomoltiplicatori. Anche questo apparato rivela eventi prodotti da neutrini provenienti solo dal decadimento del 8 B fornendo informazioni sugli elettroni analoghe a quelle di SNO. I principali risultati sono mostrati in tab. 13.5 e nelle ﬁg. 13.10, 13.11 e 13.14. Come indicazione della particolare sensibilit` a dell’esperimento Super-Kamyokande, richiamiamo l’attenzione su ﬁg. 13.14, che mostra la variazione stagionale del ﬂusso di neutrini dipendente dalla variazione della distanza Terra-Sole nel corso dell’anno. Le principali conclusioni che possono essere tratte dall’esame di tab. 13.5 sono le seguenti: 1. I valori del ﬂusso ﬁttizio Φe3 ottenuti da SNO e da Super-Kamyokande sono in accordo fra loro entro gli errori, ma la misura di Super-Kamyokande `e molto pi` u precisa. Pertanto nel seguito verr` a usato quest’ultimo valore. 2. La diﬀerenza Φe3 − Φe , che mette in evidenza la presenza o meno di variazioni di sapore da parte degli originari neutrini elettronici, `e diversa da zero per 3.3σ a cui corrisponde una probabilit` a dello 0.04% che essa possa essere zero. Possiamo concludere che, con grande probabilit` a, `e avvenuta una variazione di sapore. 3. Il valore di Φe3 `e solo il 45% del ﬂusso totale stimato dai modelli solari, ma il valore di Φ = Φx + Φe `e uguale, entro gli errori, al valore stimato. Purtroppo l’errore su Φ `e molto grande, per cui questa aﬀermazione non `e suﬃcientemente stringente. Possiamo concludere aﬀermando che la misura delle due reazioni (13.21) e (13.23) consente di accertare che un fenomeno ﬁsico interviene a modiﬁcare la natura del ﬂusso di neutrini che all’origine `e costituito da soli neutrini elettronici. E’ anche verosimile che il fenomeno sia l’oscillazione di sapore e che la discrepanza fra predizioni teoriche e dati sperimentali sia eliminata. 8

SNO ha in programma anche la misura della reazione (13.4) tramite la soluzione nell’acqua di M gCl2 e l’osservazione del γ emesso dal Cl in seguito alla cattura del neutrone. In alternativa `e prevista l’installazione di un rivelatore di neutroni a 3 He e la misura del protone e del neutrone emessi nella reazione 3 He + n → p + t.

13.6 Appendice – Valutazione del fattore astroﬁsico

371

Fig. 13.12. Sezione dell’apparato dell’esperimento SNO. [33]

L’esistenza delle oscillazioni comporta che i neutrini ﬁsici siano massivi e siano sovrapposizione di neutrini di Dirac massivi (vedi Cap.14). Nell’ambito di tale fenomeno non `e per`o possibile determinare il valore della massa ma solo quello della diﬀerenza dei quadrati delle masse (Δm2 ) dei neutrini di Dirac. Secondo un’analisi dei dati di Super-Kamiokande del tipo illustrato nel cap. 16, Δm2 risulta dell’ordine di 10−6 eV 2 .

13.6 Appendice – Valutazione del fattore astroﬁsico La valutazione del ﬂusso di neutrini provenienti dalle varie reazioni concatenate fra loro in successione (vedi ﬁg. 12.2(a) del cap. 12), implica la valutazione della frequenza delle reazioni stesse (vedi eq. (13.2)), per la quale `e cruciale la conoscenza del fattore astroﬁsico S(E) a energie d’interazione molto basse, dell’ordine di 1 − 20 keV . Il fattore astroﬁsico dipende, a sua volta, dal prodotto della trasparenza della barriera repulsiva coulombiana e della sezione d’urto nucleare (relativa alla sola interazione forte) secondo la relazione S(E) = Eτ (E)σn (E) = E σ(E) ,

(13.33)

372

13 I neutrini solari

Fig. 13.13. Rivelatore di Super-Kamyokande. Ha forma cilindrica con diametro di 39.3 m e altezza di 42 m e contiene 50 000 ton di acqua. Il volume interno contiene 32 500 ton di acqua ed `e visto da 11 146 fototubi di 50 cm di diametro; il volume esterno `e visto da 1885 fototubi da 20 cm di diametro. [32]

dove con σ(E) = τ (E)σn (E)

(13.34)

indichiamo la sezione d’urto comprensiva dell’interazione coulombiana e di quella nucleare. La trasparenza della barriera coulombiana vale 1 a energie elevate e decresce rapidamente al decrescere dell’energia. Come sappiamo, ha un eﬀetto rilevante alle energie tipiche sul sole. La trasparenza della barriera coulombiana `e calcolata assumendo i nuclei “nudi”, ossia privi della nuvola elettronica atomica in quanto la materia solare `e costituita da plasma; con tale assunzione il potenziale repulsivo colombiano decresce con la distanza come 1/r. σn (E) `e ricavata da misure d’interazione fra nuclei in laboratorio. La valutazione di σn (E) presenta varie diﬃcolt`a, fra le quali segnaliamo le seguenti. a) Per la maggioranza delle reazioni la sezione d’urto `e misurata solo per energie superiori a quelle d’interesse sul sole e l’andamento ad energie inferiori `e dedotto per estrapolazione sulla base di ipotesi che possono

13.6 Appendice – Valutazione del fattore astroﬁsico

373

Fig. 13.14. Variazione stagionale del ﬂusso di neutrini. La curva mostra la variazione stagionale attesa in base alla variazione della distanza Terra-Sole. (Super-Kamyokande) Tabella 13.6. Valori dei ﬂussi di neutrini deﬁniti dalle relazioni (13.30), (13.31) e (13.29). ΦM SS `e il ﬂusso totale sulla terra dei neutrini emessi dal decadimento del boro secondo i modelli solari nei quali non si `e tenuto conto del fenomeno dell’oscillazione. Gli errori indicati includono quelli sistematici e quelli statistici. Φ(106 cm−2 s−1 )

Esperimenti

Φe

1.75 ± 0.12

SNO

Φe3

2.39 ± 0.34

SNO

Φe3

2.32 ± 0.08

Super-K. 2001

Φe3 − Φe

0.64 ± 0.40

SNO

Φe3 − Φe

0.57 ± 0.17

SNO + Super-K.

Φx

3.69 ± 1.13

SNO

Φe3 /ΦM SS

(45.1 ± 1.6)%

Super-K. 2001

Φ

5.44 ± 0.99

SNO + Super-K.

ΦM SS

∼ 5.14

374

13 I neutrini solari

essere verosimili ma non vere. In ﬁg. 13.15 sono mostrati i corrispondenti valori del fattore astroﬁsico della reazione 7

Be + p → 8 B + γ

ottenuti nel corso di 45 anni per diﬀerenti estrapolazioni a energia zero: essi diﬀeriscono fra loro per pi` u del 100% e la diﬀerenza diminuisce nel tempo!

Fig. 13.15. Evoluzione temporale dei valori del “fattore astroﬁsico” per la reazione 7 Be + p →8 B + γ estrapolati a energia zero (in eV · barn) sulla base di misure ottenute in vari esperimenti. [6]

b) Le sezioni d’urto σ(E) alle energie d’interesse sul sole hanno valori molto piccoli, cos`ı che gli esperimenti sono aﬀetti dai problemi tipici dei fenomeni rari, di cui si `e parlato in altri contesti. Per esempio, la sezione d’urto della reazione 3 He +3 He →4 He + 2p , (13.35) discussa in seguito, all’energia di 20 keV vale 10−13 barn! c) Negli esperimenti in laboratorio l’interazione avviene fra nuclei “vestiti”, ossia avvolti dalla nuvola elettronica degli atomi in cui sono inseriti. La nuvola elettronica annulla il campo coulombiano prodotto dai nuclei all’esterno della nuvola stessa e il potenziale elettrico eﬃcace (detto potenziale “schermato”) assume la forma Vc s ∝

Z1 Z2 −r/Ra , e r

dove il valore di Ra `e dell’ordine del raggio atomico. Sul sole, invece, le interazioni avvengono fra nuclei ”nudi”, ossia privi di elettroni atomici. A

13.6 Appendice – Valutazione del fattore astroﬁsico

375

parit` a d’energia d’interazione, poich´e il potenziale schermato decresce con r pi` u rapidamente di quello non schermato, la sua trasparenza `e maggiore di quella del secondo 9 . d) Il numero di interazioni fra un fascio di ni nuclei incidenti e un bersaglio di ρ nuclei per unit` a di superﬁcie per un’energia di interazione E in laboratorio `e dato dalla relazione n = ni ρσ(E) = ni ρτcs (E)σn (E) , dove τcs `e la trasparenza calcolata con un potenziale coulombiano schermato. Dalla misura di n e dal calcolo di τcs si ricava il valore della sezione d’urto nucleare: σ(E) σn (E) = . (13.36) τcs (E) Se la trasparenza non `e valutata correttamente (per esempio, per difetto), la (13.36) fornisce una valore errato della sezione d’urto (per eccesso). La sezione d’urto d’interazione sul sole `e σsole (E) = τ (E)σn (E) =

τ (E) σ(E) < σ(E) , τcs (E)

(13.37)

dove τ (E) `e calcolata con il potenziale coulombiano non schermato. La prima misura di una sezione d’urto a energie solari riguarda la reazione (13.36). Questo esperimento ha consentito di ricavare dagli stessi dati informazioni sia sulla sezione d’urto nucleare sia sulla trasparenza del campo schermato. L’andamento del fattore astroﬁsico per interazioni in laboratorio e sul sole `e rappresentato in ﬁg. 13.16, dove la linea continua si riferisce ai nuclei 9

La trasparenza pu` o essere calcolata agevolmente se si assume in modo drastico che il potenziale schermato coincida con il potenziale non schermato per r < Ra e sia nullo per r > Ra : Vcs (r) = Vc (r) =0

per r < Ra per r > Ra

Per le relazioni (5.18) e (5.19) del cap. 5, tenuto presente che RR R Ra [Vcs (r) − E]1/2 dr = R a [Vc (r) − E]1/2 dr = R Rb Rb = R [Vc (r) − E]1/2 dr − Ra [Vc (r) − E]1/2 dr risulta

» τcs = exp(−γcs ) = τc exp Gf (

– E ) , Vc (Ra )

dove τc `e la trasparenza del potenziale coulombiano non schermato (eq. (5.22) del cap. 5), G `e il fattore di Gamow (eq. (5.24) del cap. 5), Vc (Ra ) `e il potenziale coulombiano alla distanza r = Ra , E `e l’energia cinetica del moto relativo, E f ( Vc (R ) `e una funzione analoga alla (5.25) del cap. 5. E’ evidente che τcs > τc . a)

376

13 I neutrini solari

Fig. 13.16. Valori del fattore astroﬁsico relativo alla reazione fra nuclei “vestiti” 3 He +3 He →4 He + 2p ottenuti nell’esperimento LUNA (cerchietti pieni lungo la linea continua). I risultati si estendono nella ragione energetica d’interesse per il sole coperta dalla funzione di Gamow (vedi ﬁg. 12.5 del cap. 12). La linea punteggiata descrive l’andamento del fattore astroﬁsico per l’interazione degli stessi nuclei sul sole (nuclei “nudi”, vedi eq. (13.36)). [10]

vestiti e quella punteggiata ai nuclei nudi. Gli andamenti delle due linee sono coincidenti per E > 30 keV , ma divergono sempre pi` u per energia tendente a zero. Senza le misure a energie nella regione di Gamow l’eﬀetto dello schermo elettronico sarebbe diﬃcilmente valutabile e di conseguenza risulterebbero incerti anche la sezione d’urto e il fattore astroﬁsico relativo alle interazioni sul sole.

Bibliograﬁa

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14 Neutrini massivi

14.1 Introduzione Il neutrino emesso nel decadimento dei nuclei `e il pi` u leggero dei fermioni. Gli studi sperimentali dello spettro energetico dei β emessi nel decadimento del trizio (vedi cap.8) indicano che la sua massa `e inferiore a ∼ 3 eV e ﬁnora abbiamo supposto che essa sia zero (come la massa del fotone, il pi` u leggero dei bosoni). Come abbiamo visto nei precedenti capitoli, molte osservazioni sperimentali sono consistenti con tale ipotesi. Se questa viene abbandonata, cosa lecita in quanto le osservazioni sperimentali dirette indicano per la massa solo un limite superiore sia pure piccolo, sono ipotizzabili nuovi fenomeni, in particolare le oscillazioni di neutrino e il doppio decadimento β senza emissione di neutrini. Il primo fenomeno `e stato osservato in vari esperimenti (cap.16) e il secondo `e stato osservato in un solo esperimento ed `e oggetto di ricerche in vari laboratori (cap. 15). Spinte a indagare in questo senso provengono da vari settori: dalle teorie di grande uniﬁcazione, i cui modelli sulle interazioni fondamentali prevedono proprio l’esistenza di neutrini massivi; dalla cosmologia e dall’astroﬁsica in relazione alla velocit`a di espansione dell’universo e all’eccesso di materia oscura rispetto a quella luminosa; dai modelli solari. Nei paragraﬁ seguenti verranno analizzate le caratteristiche dei neutrini massivi e delle loro interazioni e verranno illustrati alcuni processi atti a evidenziarli. L’ipotesi dell’esistenza di neutrini massivi si intreccia con quella dell’esistenza di neutrini dal numero leptonico indeﬁnito (detti “di Majorana”), nelle cui interazioni il numero leptonico non `e conservato. Ricordiamo che elettrone e neutrino elettronico (e relative antiparticelle) costituiscono una delle tre famiglie di leptoni osservate sperimentalmente (il numero tre `e spiegabile in base a considerazioni teoriche). Le altre famiglie sono costituite dalla particella μ e dal neutrino muonico (e relative antiparticelle) e dalla particella τ e dal neutrino tauonico (con le relative antiparticelle; il neutrino τ `e stato osservato solo recentemente e in modo indiretto). Convenzionalmente le tre famiglie sono contraddistinte da un diverso “sapore”

380

14 Neutrini massivi

(elettronico, μ-onico, τ -onico). Nella teoria elettrodebole standard si assume che i tre neutrini siano di massa nulla e levogiri e che, separatamente per ciascun sapore, sia conservato il numero leptonico.

14.2 Neutrini massivi 14.2.1 Neutrini di Dirac Sulla base delle osservazioni sperimentali e dell’equazione di Dirac (cap. 10) sono stati identiﬁcati quattro stati di neutrino di massa nulla e in moto libero che diﬀeriscono per il numero leptonico e per l’elicit`a h come indicato nella seguente tabella:

h

ν↓

1

−1

ν¯↑

−1

1

antineutrino ﬁsico

ν↑

1

1

neutrino sterile

ν¯↓

−1

−1

neutrino ﬁsico

antineutrino sterile

Sperimentalmente sono stati osservati solo il neutrino levogiro ν↓ e l’antineutrino destrogiro ν↓ . Il neutrino destrogiro e l’antineutrino levogiro sono detti sterili in quanto, sino a evidenza contraria, sono solo ipotetici e non partecipano a interazioni. Neutrino e antineutrino ﬁsici, cos`ı come quelli sterili, sono correlati fra loro secondo le relazioni ν¯↑ = CP ν↓ ,

ν¯↓ = CP ν↑ .

I processi di emissione e di assorbimento dei neutrini e degli antineutrini da parte dei nuclei hanno messo in evidenza che neutrini e antineutrini sono particelle distinte (ν↓ = ν¯↑ ) non intercambiabili: per esempio, il neutrone emette un antineutrino destrogiro e assorbe un neutrino levogiro, ma non avviene il viceversa. Dall’insieme di queste osservazioni segue che nelle interazioni neutrino-nucleone `e conservato il numero leptonico (par. 9.6, cap. 9) e che l’hamiltoniana del decadimento β `e essenzialmente levogira (cap. 11). I neutrini dalle propriet` a sopra riassunte sono chiamati neutrini di Dirac (di massa nulla). Va rilevato che, se eﬀettivamente esistono solo il neutrino levogiro e l’antineutrino destrogiro, l’elicit` a `e suﬃciente per distinguere le due particelle e per giustiﬁcare le limitazioni alle loro interazioni con i nucleoni; il numero leptonico appare superﬂuo. Se si ammette che il neutrino sia massivo (ν m ), sulla base delle osservazioni sperimentali e dell’equazione di Dirac relative a una particella massiva quale l’elettrone, ci aspettiamo quattro stati di neutrino costituiti dalla sovrapposizione di stati di elicit` a opposta (+1 e −1; eq. (10.55) e (10.56) del cap.10):

14.2 Neutrini massivi

381

h

ν1m = aν↑m + bν↓m

1

v/c

(14.1)

ν↓m + a¯ ν↑m ν¯2m = b¯

−1

v/c

(14.2)

ν2m = aν↓m + bν↑m

1

v/c

ν↑m + a¯ ν↓m ν¯1m = b¯

−1

v/c

con ν¯2m = CP ν1m e ν¯1m = CP ν2m . L’elicit`a osservabile `e la media pesata di quella degli stati sovrapposti. Il peso a dell’eventuale componente destrogira del neutrino (levogira dell’antineutrino) `e proporzionale a (mν /Eν )2 ed `e, quindi, molto piccolo (eq. (10.61) del cap. 10). Inoltre, poich´e il rapporto v/c `e poco diverso da 1, i neutrini ν1m e ν¯2m sono i naturali corrispondenti massivi dei neutrini ﬁsici di massa nulla. Generalizzando il fatto che i neutrini osservati sono privi di carica elettrica, possiamo assumere che anche il neutrino massivo di Dirac sia neutro; tuttavia, come il neutrone, potrebbe avere un momento magnetico. Secondo stime teoriche, il valore atteso `e molto piccolo, in pratica non misurabile. Espresso in magnetoni di Bohr, il valore del momento magnetico risulta proporzionale alla massa del neutrino secondo la relazione μ ∼ 3 · 10−19 mν (eV )μBohr . 14.2.2 Neutrini di Majorana Il neutrino di Majorana di massa zero `e deﬁnito dall’identiﬁcazione tra stato di particella e stato di antiparticella: νM = CP νM .

(14.3)

Pertanto esso `e autostato di CP . Si veriﬁca immediatamente che questa propriet`a `e soddisfatta se il neutrino di Majorana viene espresso, per esempio, mediante la combinazione lineare degli stati di neutrino e di antineutrino di Dirac: νM = νD↓ + ν¯D↑ .

(14.4)

Infatti CP νM = CP νD↓ + CP ν¯D↑ = ν¯D↑ + νD↓ = νM . Il neutrino di Majorana di massa zero risulta essere una sovrapposizione di stati di neutrino levogiro e di antineutrino destrogiro. In altre parole, il neutrino di Majorana non ha n´e numero leptonico, n´e elicit` a deﬁniti. Se l’autostato di neutrino di Majorana soluzione dell’equazione di Dirac `e

382

14 Neutrini massivi

uM

φ = , χ

(14.5)

lo stato di antineutrino `e (vedi par. 10.12 del cap. 10) % & % & 2 φ φ = iγ K CP νM = CP χ χ &% & % & % φ∗ σ2 χ∗ 0 σ2 =i . =i −σ2 0 χ∗ −σ2 φ∗

(14.6)

Gli autostati (14.5) e (14.6) sono uguali se, per esempio, χ = −iσ2 φ∗ , quindi la (14.5) diviene

% νM =

φ −iσ2 φ∗

& .

(14.7)

Questa relazione mostra che le due componenti dello spinore sono correlate fra loro. Inoltre, se φ descrive uno stato di elicit`a positiva, ossia se φ = φ↑ , per la (10.96) del cap.10 la (14.7) diviene % & φ↓ (14.8) νM = φ↑ che mostra che le due componenti hanno elicit`a opposte. I neutrini di Majorana massivi sono esprimibili mediante la sovrapposizione di stati di neutrini di Dirac massivi: ν↑m + a¯ νM = ν1m + ν2m = aν↑m + bν↓m + b¯ ν↓m = (14.9) = a ν↑m + ν¯↓m + b ν↓m + ν¯↑m Infatti, si veriﬁca immediatamente che la (14.9) soddisfa alla (14.3). La (14.9) mette in particolare evidenza che essi sono sovrapposizione di stati di neutrino con elicit`a ±1 e di stati di antineutrino con elicit` a ±1. Poich´e particella e antiparticella hanno carica elettrica, momento magnetico e momento di dipolo elettrico di segno opposto, l’identit` a fra particella e antiparticella impone che i neutrini di Majorana non possiedano n´e carica elettrica, n´e momento magnetico, n´e momento di dipolo elettrico. 14.2.3 Osservazione Il problema dell’identit` a o meno fra particelle e antiparticelle si pone per tutte le particelle elettricamente neutre. Il neutrino distinto dall’antineutrino

14.3 Doppio decadimento β

383

`e, sotto certi aspetti, simile al mesone neutro K 0 , che `e distinto dalla sua antiparticella in virt` u del diverso numero quantico detto “stranezza”, o al neutrone, che `e distinto dall’antineutrone per il diverso numero barionico e la diversa orientazione del momento magnetico rispetto allo spin. Il neutrino coincidente con l’antineutrino sarebbe simile al mesone π o .

14.3 Doppio decadimento β Consideriamo la trasformazione di un nucleo di numero atomico Z in un isobaro di numero atomico Z + 2; le modalit`a principali secondo le quali essa pu` o veriﬁcarsi sono rappresentate dalle due reazioni seguenti: ν, (A, Z) → (A, Z + 2) + 2e− + 2¯

(14.10)

(A, Z) → (A, Z + 2) + 2e− ,

(14.11)

chiamate, doppio decadimento β con e senza emissione di neutrini , rispettivamente. Il doppio decadimento β `e osservabile, in linea di principio, nei nuclei pari-pari per i quali il decadimento β singolo `e vietato dal principio di conservazione dell’energia, ossia nei casi in cui M (A, Z) → M (A, Z ± 1) − me < 0 , (vedi ﬁg. 14.2 e cap.15). La reazione (14.10) pu`o avere un’interpretazione molto semplice: due neutroni del nucleo iniziale si trasformano (simultaneamente) in protoni emettendo ciascuno una coppia elettrone-antineutrino secondo le modalit` a che ci hanno portato alla deﬁnizione della teoria V −A (in particolare gli antineutrini hanno massa nulla ed elicit` a +1 e il numero leptonico `e conservato): & % n → p + e− + ν¯ → (A, Z + 2) + 2e− + 2¯ ν. (14.12) (A, Z) → − n → p + e + ν¯ La reazione (14.11) presenta caratteristiche non convenzionali. Osserviamo, innanzi tutto, che se l’elettrone ha numero leptonico +1, in questa reazione il numero leptonico non `e conservato, ma aumenta di Δ = 2. Inoltre l’assenza di neutrini nello stato ﬁnale suggerisce che questa reazione abbia luogo tramite l’emissione di un “neutrino” (che indichiamo con ν ∗ ) da parte di un primo neutrone e il successivo assorbimento dello stesso “neutrino” da parte di un secondo neutrone: & % n1 → p + e− + ν ∗ (14.13) → (A, Z + 2) + 2e− . (A, Z) → ν ∗ + n2 → e− + p ν ∗ deve apparire simile all’antineutrino di Dirac (numero leptonico −1 ed elicit`a positiva) all’emissione da parte del primo neutrone e simile al neutrino

384

14 Neutrini massivi

di Dirac (numero leptonico −1 ed elicit`a negativa) nell’assorbimento da parte del secondo neutrone. In altre parole, ν ∗ deve essere una sovrapposizione di stati di numero leptonico +1 e −1 e di elicit`a levogira e destrogira. Il fatto che ν ∗ appaia con elicit`a diversa dipendentemente dall’osservatore (l’uno o l’altro neutrone) indica che esso ha velocit` a inferiore a c ed `e quindi dotato di massa. Secondo la teoria di Dirac (par. 9.6 del cap. 9) ci` o equivale a dire che il neutrino `e una sovrapposizione di stati di elicit` a opposta.

Fig. 14.1. Decadimento 0 νββ: (a) Meccanismo impossibile; (b) meccanismo possibile.

Le caratteristiche descritte appartengono al neutrino di Majorana massivo deﬁnito dalla (14.9). L’emissione e l’assorbimento di tale neutrino possono avvenire sulla base di un’hamiltoniana di interazione contenente sia termini V − A, sia termini V + A (vedi ﬁg.14.1), come mostriamo qui di seguito. L’interazione fra nucleoni e neutrini di Dirac di massa nulla `e descritta dalla teoria V − A, secondo la quale la densit`a di hamiltoniana ha la forma (eq. (11.21) del cap. 11) + μ ¯e γ (1 − γ 5 )u+ Vif = Ψ¯p γ μ gV − gA γ 5 Ψn · u (14.14) ν = JL · jL , dove la corrente leptonica + μ jL = u ¯e γ (1 − γ 5 )u+ ν

(14.15)

coinvolge nell’interazione solo la componente levogira dei neutrini (o la componente destrogira degli antineutrini) per la presenza dell’operatore di proiezione dello stato di elicit`a levogira (1 − γ 5 ). Se i neutrini ﬁsici di massa nulla fossero destrogiri, la densit` a di hamiltoniana avrebbe la forma ( eq. (11.22) del cap. 11) + μ ¯e γ (1 + γ 5 )u+ Vif = Ψ¯p γ μ gV + gA γ 5 Ψn · u (14.16) ν = JD · jD caratterizzata dalla presenza della corrente leptonica + μ jD = u ¯e γ (1 + γ 5 )u+ ν

(14.17)

14.3 Doppio decadimento β

385

che contiene l’operatore di proiezione dello stato di elicit` a destrogira. Nel caso di emissione e assorbimento di neutrini di Dirac massivi, l’interazione deve tener conto sia della componente levogira che di quella destrogira. Tenuto conto della (14.1) e delle propriet` a degli operatori di proiezione dello stato di elicit`a negativa e positiva (vedi le relazioni (10.52) e (10.95) del cap. 10), si pu`o assumere una densit`a di corrente leptonica avente la forma + μ + μ m m ¯e γ (1 + γ 5 )ν1m = jDirac = jLm + jD = u ¯e γ 1 − γ 5 ν1m + u μ =u ¯+ bν↓m + am . e γ ↑ Analogamente, tenuto conto della (14.1) e della (14.2), otteniamo un’espressione della corrente leptonica adeguata all’emissione e all’assorbimento di neutrini di Majorana eﬀettuando nelle (14.15) e (14.17) la sostituzione, u+ e dato dalla (14.9): ν → νM dove ν M ` μ 5 ¯+ γ μ 1 − γ 5 (ν1m + ν2m ) = ¯+ jLM ajor = u e γ (1 − γ )uM = u m m aν↑ + bν↓m + a¯ ν↓ + b¯ (14.18) ν↑m = =u ¯+ γ μ 1 − γ 5 m + μ m =u ¯ γ bν↓ + a¯ ν↓ , M ajor μ 1 + γ 5 uM = u jD =u ¯+ ¯+ γ μ aν↑m + b¯ ν↑m . e γ

(14.19)

Combinando fra loro linearmente queste espressioni si ottiene: M ajor M ajor m jM + jD . ajor = jL

(14.20)

Per m = 0 (quindi per a = 0 nella (14.9)) la corrente leptonica (14.20) diviene m=0 μ jM ¯+ ν↓ ) ajor = u e γ b (ν↓ + η¯

(14.21)

m m μ bν↓ + a¯ jM ¯+ ν↓m . ajor = u e γ

(14.22)

e per η = 0 diviene

Queste due relazioni mettono in evidenza i distinti contributi all’indeﬁnizione del numero leptonico dovuti alla componente destrogira del neutrino di Majorana e alla sua massa. Se sia η che a sono uguali a zero, la corrente leptonica assume l’espressione data dalla teoria V − A, il neutrino di Majorana viene a coincidere con il neutrino di Dirac di massa nulla e non si ha doppio decadimento β senza emissione di neutrini. Sulla base degli studi sperimentali su questo processo, (vedere il par. 15.3.2 del cap. 5), si deve ritenere che la sua probabilit` a sia molto piccola o, equivalentemente, che i parametri η e a, se non sono nulli, siano molto piccoli. La forma pi` u generale utilizzata in letteratura per la densit` a di hamiltoniana del doppio decadimento beta con e senza emissione di neutrini `e data dalla

386

14 Neutrini massivi

combinazione della (14.20) con una generalizzazione analoga della corrente nucleare:1 Vif ∝ (JL + κJD ) (jL + ηjD ) = JL jL + ηJL jD + λJD jD + κJD jL λ = κη ,

(14.23)

dove le correnti nucleari sono date dalle seguenti espressioni introdotte nel cap. 11: (14.24) JL = Ψ¯p γ μ gV − gA γ 5 Ψn , (14.25) JD = Ψ¯p γ μ gV + gA γ 5 Ψn . Concludendo, in linea di principio l’osservazione del doppio decadimento β senza emissione di neutrini consente di scoprire se il neutrino gode delle propriet` a del neutrino massivo di Majorana e se esistono processi senza conservazione del numero leptonico. I valori di η, di λ e della massa del neutrino vengono determinati sulla base dei valori sperimentali della vita media. 14.3.1 Probabilit` a del decadimento ββ. Come2 per il decadimento β, anche per il decadimento ββ viene deﬁnita la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo w e la densit`a di probabilit` a rispetto all’energia (o all’impulso) degli elettroni (dw/dEe o dw/dpe ); quest’ultima quantit` a descrive la distribuzione energetica degli elettroni. w dipende dal modulo quadro dell’elemento di matrice di transizione, dalla densit` a degli stati ﬁnali e da un fattore che tiene conto dell’interazione coulombiana fra nucleo residuo ed elettroni ﬁnali. L’entit` a della densit`a degli stati ﬁnali dipende dall’energia totale liberata. La trattazione matematica del decadimento ββ `e molto complicata e qui ci limitiamo a illustrare alcuni aspetti di carattere generale e a dare alcuni risultati particolari a titolo d’esempio. Si pu` o supporre che la trasformazione dei due neutroni nelle modalit` a di decadimento (14.12) e (14.13) avvengano in successione. In un primo passo il nucleo iniziale (A, Z) si trasforma nel nucleo intermedio (A, Z + 1) e, in un passo successivo, quest’ultimo si trasforma nel nucleo ﬁnale (A, Z + 2). La transizione al nucleo (A, Z + 1) `e detta virtuale in quanto avviene con violazione del principio di conservazione dell’energia, poich´e la massa del nucleo (A, Z + 1) `e maggiore di quella iniziale. La violazione di questo principio per un ammontare di energia ΔE `e ammesso se si interpreta ΔE come un’indeterminazione dell’energia del sistema la quale sussista per un intervallo di tempo Δt piccolo rispetto a /ΔE (limite inferiore dell’intervallo di tempo necessario per la misura di ΔE in base al principio di 1 2

Usualmente il termine in κ viene trascurato. Questo paragrafo non `e necessario per la comprensione dei paragraﬁ successivi e pu` o essere omesso almeno in prima lettura.

14.3 Doppio decadimento β

387

indeterminazione, Δt ≥ /ΔE). In ogni caso, i prodotti del primo processo (decadimento) non si materializzano ﬁnch´e non si `e completato anche il secondo (assorbimento), cos`ı che i due processi vanno considerati simultanei e la successione temporale precedentemente considerata `e puramente ipotetica. Si prenda ora in considerazione l’esempio di ﬁg. 14.2 riferito al decadio essere mento ββ 82 Se →82 Kr. In questo processo, in linea di principio pu` coinvolto qualsiasi livello del nucleo intermedio 82 Br. Tuttavia, giocano un ruolo dominante solo gli stati che, per i loro numeri quantici di spin e parit` a, sono connessi ai nuclei iniziale e ﬁnale tramite transizioni permesse di Fermi o di Gamow-Teller. Tra questi stati sono pi` u importanti quelli di energia inferiore, perch´e implicano la messa in gioco di una energia inferiore. Si pu` o anche dimostrare che le transizioni di Gamow-Teller sono pi` u importanti di quelle di Fermi. Pertanto, essendo i nuclei iniziale e ﬁnale negli stati 0+ , sono u bassa del nucleo dominanti i contributi relativi agli stati 1+ di energia pi` intermedio.

82 82 Fig. 14.2. Schema dei livelli energetici nei nuclei 82 34 Se, 35 Br, 36 Kr. La massa del selenio `e maggiore della massa del bromo e ci` o impedisce il decadimento β singolo del selenio. Del selenio e del kripton sono indicati solo gli stati fondamentali. La linea continua con freccia indica la transizione ββ, quelle tratteggiate una della possibili transizioni a stati virtuali del nucleo intermedio.

Nell’esempio della ﬁgura il contributo dominante `e dato dalla transizione dallo stato 0+ del 82 Se allo stato 1+ del 82 Br di energia minima seguita dalla transizione allo stato fondamentale O+ del 82 Kr. Per le reazioni (14.10) e (14.11), secondo la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo al secondo ordine, l’elemento di matrice di transizione ha la forma [11]: 3 4 ∗ ∗ ∗ ∗ 6 χf Ψf |H| Ψv χv χv Ψv |H| Ψi 5 ∓ ∓ (14.26) β β ; (A, Z ± 2) |(A, Z) = v Wv − Ei + Ee + Eν dove v = numero dei livelli intermedi virtuali Ei = energia del nucleo genitore

388

14 Neutrini massivi

Wv = energia del v-esimo livello nucleare Ee = energia totale dell’elettrone intermedio Eν = energia totale del neutrino (antineutrino) intermedi Ψi , Ψf e Ψv sono le funzioni d’onda degli stati del nucleo genitore (A, Z), del nucleo ﬁglio (A, Z ± 2) e del nucleo intermedio virtuale (A, Z ± 1). χf e χv sono le funzioni d’onda degli stati leptonici ﬁnale e intermedio. Lo stato rappresentato da χv contiene una coppia elettrone-neutrino; χf pu` o contenere 2 elettroni e nessun neutrino oppure 2 elettroni e 2 neutrini. Nella (14.26) va utilizzata l’hamiltoniana adeguata al caso da esaminare; per esempio l’eq. (11.20) del cap. 11 per l’emissione di due neutrini di massa zero o l’eq. (14.23) in assenza di neutrini. In ogni caso, la (14.26) mostra che la probabilit` a di transizione da stato iniziale a stato ﬁnale dipende dal prodotto della probabilit` a di transizione fra lo stato iniziale e quello intermedio per la probabilit` a di transizione fra quello intermedio e quello ﬁnale; pertanto essa dipende dalla costante di accoppiamento come g 4 , il che comporta una vita media molto lunga (τ = 1/w). L’applicazione dell’eq. (14.26) a casi speciﬁci comporta calcoli complessi che esulano dallo scopo di queste lezioni. Nel seguito riportiamo, a titolo d’esempio, alcune espressioni esplicite della probabilit` a di transizione per unit` a di tempo relative a casi particolari di transizioni permesse di Gamow-Teller 0+ → 1+ → 0+ con un unico stato virtuale intermedio. 14.3.2 Decadimento 2νββ Viene utilizzata l’hamiltoniana V − A e la massa del neutrino `e posta uguale a zero. La probabilit` a di transizione w `e esprimibile mediante la relazione [13] 4 16gGT m11 1 T0 2 2 e w2ν = ξ2ν |MGT | [F (Z + 2)] f 2 T0 8!π 7 m e EN + 2 + me F (Z) =

2παZ , 1 − e−2παZ

f (ε) = ε7 1 + ε/2 + ε2 /9 + ε3 /90 + ε4 /1980 , dove gGT = 1.28 · 10−5 = costante di accoppiamento di Gamow-Teller deﬁnita tramite la massa del protone, MGT = elemento di matrice nucleare, f (ε) = tiene conto dello spazio delle fasi, α = 1/137 = costante di struttura ﬁne,

14.3 Doppio decadimento β

389

EN = energia del livello nucleare intermedio (A, Z + 1) rispetto al nucleo (A, Z), T0 = energia cinetica totale trasportata dai leptoni. 14.3.3 Decadimento 0νββ Per la (14.23) e la (14.26), la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo ha la forma generale w0ν (0+ → 0+ ) = A

mM ν me

2 +Bλ

mM mM ν +Cη ν +Dλ2 +Eη 2 +F λη , (14.27) me me

dove i coeﬃcienti A, B, ecc. dipendono dalla costante di accoppiamento gGT , dell’ elemento di matrice nucleare e dall’energia liberata. La (14.27) rappresenta un elissoide nelle variabili mν , λ e η e stabilisce limiti ai valori di queste variabili. In pratica essa consente di ricavare limiti superiori per questi valori, una volta che siano noti i coeﬃcienti A, B, ecc. (che, almeno in linea di principio, sono calcolabili) e la probabilit` a di transizione (ottenibile sperimentalmente mediante misure di vita media), come `e mostrato in ﬁg. 14.3. Dalla (14.27) si deduce un limite superiore per la massa

Fig. 14.3. Esempliﬁcazione dell’elissoide deﬁnito dall’eq. (14.27). Nel caso particolare in cui λ = 0 e C = 0, l’elissoide si riduce a un’ellisse nel piano (mν /me , η). Le coppie di valori di mν /me e η compatibili con un dato valore di w (eventualmente ottenuto sperimentalmente) appartengono alla linea ellittica di equazione (mν /me )2 η2 + =1 a2 b2 2 2 con a = w/A e b = w/D. I valori di mν /me e η sono limitati dalle disuguaglianze mν /me ≤ a e η ≤ b. mν /me = a per η = 0; η = b per mν /me = 0.

del neutrino dato dalla disuguaglianza

390

14 Neutrini massivi

mM ν me

2 ≤

w0ν ln 2 = A AT1/2

(14.28)

Il tempo di dimezzamento stimato per vari nuclei `e in generale molto grande, superiore a 1020 anni. Alcuni valori ricavati sperimentalmente sono riportati nella tab. 15.2 del cap. 15.

14.4 Oscillazioni di neutrino I neutrini massivi sono suscettibili di fenomeni di “oscillazione” e di “instabilit` a”. La possibilit` a di oscillazioni `e suggerita, fra l’altro, dall’osservazione ¯ 0 ). sperimentale di un fenomeno riguardante i mesoni neutri strani (K 0 e K 14.4.1 I mesoni K neutri. ¯ 0 costituiscono una coppia particella-antiparticella fra loro coniugaK0 e K te e sono distinte dal diverso valore di un particolare numero quantico detto ¯ 0 ). K 0 e K ¯ 0 vengono prodotstranezza (S = 1 per K 0 e S = −1 per K ti in processi governati dall’interazione forte, per esempio nell’annichilazione ¯ 0 , nei quali si conserva la stranezza. Essi sono protone-antiprotone p¯ p → K 0K autostati dell’operatore di parit` a: ¯ 0 = −K ¯0 , PK

P K 0 = −K 0 ,

(14.29)

e sono correlati dall’operatore CP , proprio come il neutrino e l’antineutrino: ¯0 CP K 0 = −K

¯ 0 = −K 0 . CP K

(14.30)

0

Sperimentalmente si osserva che i K sono instabili e decadono in 2 pioni con una vita media “breve” (τ1 ∼ 10−10 s) o in 3 pioni (o altre combinazioni di tre particelle) con una vita media “lunga” (τ2 ∼ 10−7 s). Un sistema di due 2 pioni costituisce un autostato di CP con autovalore +1 e uno di tre pioni un autostato di CP con autovalore −1. I K 0 appaiono quindi come una mescolanza di due tipi di particelle con diﬀerenti vite medie e autovalori di CP = ±1.3 Tenuto conto delle (14.30), si veriﬁca immediatamente che le seguenti ¯ 0: combinazioni lineari di K 0 e K 1 1 ¯ 0) , ¯ 0) K1 = √ (K 0 − K K2 = √ (K 0 + K (14.31) 2 2 non hanno stranezza deﬁnita e sono autostati di CP 4 : 3 4

Si noti che nei decadimenti citati, governati dall’interazione debole, non viene conservata la stranezza poich´e i mesoni prodotti hanno stranezza S = 0. CP K1 = CP K2 =

√1 (CP K 0 2 √1 (CP K 0 2

¯ 0) = − CP K ¯ 0) = + CP K

1 ¯0 √ (−K 2 ¯0 − √12 (K

+ K 0 ) = K1 + K 0 ) = −K2

14.4 Oscillazioni di neutrino

CP K1 = +K1 Si pu` o anche porre in forma matriciale: 0 K1 K = U ¯0 K K2

CP K2 = −K2 .

1 U=√ 2

1 −1 1 1

391

(14.32) .

(14.33)

¯ 0 come combinazioni lineari di K1 e Invertendo le (14.31), si ricavano K 0 e K K2 : 1 ¯ 0 = √1 (K2 − K1 ) . K (14.34) K 0 = √ (K1 + K2 ) , 2 2 Se si assume (cosa provata sperimentalmente) che K1 e K2 abbiano masse diverse, `e prevedibile un particolare fenomeno di interferenza che prende il nome di oscillazioni di stranezza. Dato un fascio iniziale di soli K 0 (S = +1), ¯ 0 (S = −1). al passare del tempo nel fascio si manifesta anche la presenza di K 0 0 ¯ varia nel tempo in modo periodico con periodo che La frazione di K e di K dipende dalla diﬀerenza di massa fra K1 e K2 . Esaminiamo il fenomeno in modo quantitativo. Supponiamo che all’istante t = 0 sia prodotto un fascio con il 100% di K 0 aventi velocit`a v. All’istante iniziale, pertanto, il contributo iniziale di K1 e K2 `e come nella prima delle (14.34). Poich´e K1 e K2 sono instabili, le loro ampiezze decadono nel tempo con legge esponenziale: e−t/2τ1 γ ,

e−t/2τ2 γ ,

(14.35)

dove τ1 e τ2 sono le vite medie in quiete e τ1 γ e τ2 γ sono le vite medie in moto con 1/2 . γ = 1/ 1 − β 2 Poich´e τ1 τ2 , al ﬂuire del tempo il fascio si impoverisce di K1 rispetto a K2 . Supponendo che K1 e K2 si muovano liberamente e siano descrivibili da onde piane, l’ampiezza all’istante generico t e a una distanza generica x dalla sorgente `e descritta dalla funzione d’onda t t i i 1 Ψ = √ e− 2τ1 γ e (E1 t−p1 x) Ψ (K1 ) + e− 2τ2 γ e (E2 t−p2 x) Ψ (K2 ) . (14.36) 2 Tenuto conto delle (14.31) e del fatto che la componente di K 0 in Ψ `e data ¯ 0 ) = 0), si ha inﬁne che la da Ψ ∗ (K 0 )Ψ (con Ψ ∗ (K 0 )Ψ (K 0 ) = 1 e Ψ ∗ (K 0 )Ψ (K 0 frazione di K all’istante t e nel punto x `e 0 ∗ 0 2 W K = Ψ (K )Ψ = “ ” t 1 t t − 2γ + τ1 −τ γ −τ γ 1 1 τ 1 2 = 4 e 1 + e 2 + 2e · cos [(E1 − E2 ) t − (p1 − p2 ) x] = “ ” t 1 − 2γ + τ1 − τ tγ − τ tγ cγ 1 τ 1 2 = 4 e 1 + e 2 + 2e · cos [(ct − βx) (m1 − m2 )] , (14.37)

392

14 Neutrini massivi

dove si `e tenuto conto che v1 = v2 = v e si `e fatto uso delle relazioni p = mcβγ E = mc2 γ ¯ 0 ) = |Ψ ∗ (K ¯ 0 )Ψ |2 , `e ¯ 0 , (W (K In modo analogo si ottiene che la frazione di K data dalla (14.37) a meno del segno davanti al termine in coseno che `e −.

Fig. 14.4. (a) Produzione di mesoni K 0 per annichilazione di antiprotoni su un bersaglio di idrogeno (esempio: p¯p → K 0 K − π + ) e diﬀerenti decadimenti dei mesoni ¯ 0 in funzione del tempo secondo l’eq. (14.37) per t τ2 . K 0 . (b) Frazione di K 0 e K 0 0 ¯ (c) Frazione di K e K per m1 = m2 , τ1 τ2 . Si `e assunto x = 0.

La (14.37) contiene termini esponenziali che dipendono dalle vite medie e un termine oscillante che dipende dalla diﬀerenza di massa fra K1 e K2 . E’ evidente che un fascio che all’inizio contiene solo K 0 (S = 1), all’istante t (o ¯ 0 (S = −1). In ﬁg. 14.4 `e nel punto x) contiene anche una componente di K ¯ 0 per t τ2 . esempliﬁcato l’andamento della percentuale di K 0 e K Le cause di tale andamento sono due: i) a parit` a di massa (m1 = m2 ), la diversa vita media. Poich´e τ1 τ2 , dopo un certo tempo nel fascio ci sono solo K2 , che sono una miscela di K 0 e ¯ 0 `e ¯ 0 . Se τ1 τ2 e m1 − m2 = 0, per t τ2 la frazione di K 0 e K K approssimativamente data dalla relazione ) t 1 ( − τ tγ e 1 + 1 ± 2e− 2τ1 γ 4 che tende al valore 1/4 per τ1 t τ2 . Ovviamente, per t → ∞, secondo ¯ 0 tendono a zero. la (14.37) sia la frazione di K 0 che quella di K

14.4 Oscillazioni di neutrino

393

ii) A parit` a di vite medie (τ1 = τ2 ), la diversit` a di massa. E’ proprio questa ¯ 0 . Queste che determina l’andamento oscillante della frazione di K 0 e K oscillazioni sarebbero presenti anche se K1 e K2 fossero stabili (τ1 = τ2 = ∞). Il periodo o la lunghezza d’onda delle oscillazioni ´e determinato dalla diﬀerenza di massa Δm. Se fosse Δm = 0, non ci sarebbero oscillazioni. Lo studio sperimentale delle oscillazioni di stranezza ha permesso di stabilire che la diﬀerenza di massa `e piccola ma non nulla: Δm = 3.52 · 10−6 eV (al ¯ 0 vari periodi fuori degli errori sperimentali). Il fatto che la frazione di K 0 e K dicamente comporta che vari corrispondentemente il contenuto di stranezza, da qui il nome di oscillazioni di stranezza al fenomeno descritto. 14.4.2 Oscillazioni di neutrino Fenomeni simili alle oscillazioni di stranezza possono essere pensati per i neutrini massivi (non importa se di Dirac o di Majorana). Ricordiamo al riguardo che esistono tre famiglie di leptoni di diﬀerente sapore, ognuna costituita da particelle e antiparticelle. Nell’ambito di ciascun sapore `e deﬁnito il numero leptonico con il relativo principio di conservazione nelle interazioni deboli. Normalmente si conviene che anche il sapore sia conservato. Rimuoviamo ora le restrizioni che governano le interazioni dei neutrini. Si ¯0 presentano vari casi di analogia con la trasformazione (oscillazione) K 0 ↔ K e la non conservazione della stranezza. Consideriamo la trasformazione (oscillazione) ν ↔ Cν fra neutrini dello stesso sapore (indicato dagli indici) e la non conservazione del numero leptonico. In questa oscillazione Cν `e un antineutrino sterile e non `e conservato il numero leptonico. Nell’analogia con i kaoni, la coppia neutrino-antineutrino ¯ 0 ; il numero leptonico corrispondi dato sapore corrisponde alla coppia K 0 , K de alla stranezza. Similmente si possono immaginare oscillazioni fra neutrini di sapore diverso (per esempio νe ↔ νμ ) e tra neutrini e antineutrini (per esempio νe ↔ ν¯e .) Esaminiamo pi` u in dettaglio il caso particolare delle oscillazioni di sapore. A questo ﬁne, supponiamo che i neutrini osservati nelle interazioni deboli non coincidano con i neutrini autostati dell’equazione libera di Dirac (autostati di massa), ma siano combinazioni lineari di questi. Supponiamo che i neutrini di Dirac siano tre con diﬀerenti masse e poniamo, in analogia con la (14.33), ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ νe ν1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ νμ ⎟ = U ⎜ ν2 ⎟ , (14.38) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ντ ν3 dove U `e una matrice 3 × 3. I neutrini ν1 , ν2 , ν3 , autostati di massa, hanno il ruolo di K1 e K2 , autostati di CP . Aﬃnch´e sussista il fenomeno delle oscillazioni occorre che le loro masse siano diverse. E’ possibile anche che i

394

14 Neutrini massivi

neutrini massivi siano instabili, cos`ı come i kaoni; tuttavia ignoreremo questa possibilit`a nel seguito. Per semplicit`a di esposizione, supponiamo ora che ci siano due sole famiglie di neutrini ﬁsici, che indichiamo con gli indici e (= elettronico) e x (include ogni altra specie di neutrino) e, in corrispondenza, due neutrini autostati di massa. Consideriamo la combinazione lineare ⎛ ⎞ % & ν1 νe =U⎝ ⎠, Ψ= v2 νx % U=

cos θ

sen θ

− sen θ

cos θ

& ,

(14.39)

U †U = 1 . La trasformazione (14.39) tra neutrini ﬁsici e autostati di massa `e una rotazione e ci`o garantisce l’invarianza della densit` a di probabilit` a Ψ † Ψ . Dalla 5 (14.39) otteniamo le seguenti relazioni : νe = cos θ ν1 + sen θ ν2 , νx = − sen θ ν1 + cos θ ν2 , ν1 = cos θ νe − sen θ νx , ν2 = sen θ νe + cos θ νx .

(14.40)

(14.41)

Supponiamo che i neutrini di massa siano descritti dalla funzione d’onda piana νk (t) = νk (0)e (p k x −Ek t) , i

(k = 1, 2)

(14.42)

e che si muovano con impulso uguale, p 1 = p 2 = p. Poich´e siamo interessati all’evoluzione temporale delle oscillazioni di neutrino, possiamo trascurare il fattore di fase dipendente da x nella (14.42), identico per k = 1 e 2. Consideriamo pertanto la funzione i

νk (t) = νk (0)e (−Ek t) ,

(k = 1, 2) .

All’istante t = 0 siano presenti solo neutrini elettronici; quindi & % νe (0) . Ψ (0) = 0

(14.43)

(14.44)

Per la (14.40), al tempo t si ha 5

√ Nel caso dei mesoni K o , senθ = cos θ = 1/ 2, θ = 45o (vedi eq. (14.31) e (14.33)).

14.4 Oscillazioni di neutrino

% Ψ (t) =

νe (t) νx (t)

&

% =

cos θ ν1 (t) + sen θ ν2 (t)

395

&

− sen θ ν1 (t) + cos θ ν2 (t)

.

(14.45)

Tenendo conto della (14.43) nella (14.45), risulta νe (t) = cos θ ν1 (0) e−iE1 t/ + sen θ ν2 (0) e−iE2 t/ , νx (t) = − sen θ ν1 (0) e−iE1 t/ + cos θ ν2 (0) e−iE2 t/ .

(14.46)

Inﬁne, tenendo conto nella (14.46) della (14.41) al tempo t = 0, quando νx (0) = 0, si ha 8 7 νe (t) = νe (0) cos2 θ e−iE1 t/ + sen2 θ e−iE2 t/ , (14.47) 8 7 νx (t) = νe (0) sen θ cos θ − e−iE1 t/ + e−iE2 t/ . Dunque, al tempo t `e presente anche una componente νx , completamente assente all’istante iniziale! La probabilit` a di osservare neutrini di tipo e e di tipo x all’istante t `e 1 E2 − E1 2 Pe (t) = |νe (t)| = 1 − sen2 2θ sen2 t , 2 (14.48) 1 E2 − E1 2 2 2 Px (t) = |νx (t)| = sen 2θ sen t . 2 Le (14.48) sono suscettibili di un’altra scrittura se si tiene conto che le masse dei neutrini sono attese di valore piccolo. Per mk c2 pc risulta 1 m2k c4 Ek = p2 c2 + m2k c4 ∼ pc + . (14.49) 2 pc Tenuto conto della (14.49) nelle (14.48) si ha 2 2 m1 c2 − m2 c2 2 2 2 1 t, Pe (t) = |νe (t)| = 1 − sen 2θ sen pc 4 2 2 1 m1 c2 − m2 c2 2 t, Px (t) = |νx (t)| = sen2 2θ sen2 4 pc

(14.50)

Queste relazioni mostrano che la presenza di neutrini di sapore x e di sapore e varia periodicamente nel tempo con periodo dipendente dalla diﬀerenza dei quadrati delle masse dei neutrini di Dirac di cui sono sovrapposizione; se le masse sono zero o sono uguali non c’`e oscillazione. L’entit` a della presenza di neutrini di sapore x, ossia l’intensit` a delle oscillazioni dipende dal parametro θ, il cui valore non `e speciﬁcato dal modello. Obiettivo degli esperimenti `e accertare l’esistenza delle oscillazioni (prova dell’esistenza di neutrini massivi), di misurare il loro periodo (equivalente a misurare la diﬀerenza del quadrato delle masse) e di misurare la loro intensit` a (che `e correlata con l’hamiltoniana che governa il fenomeno). L’osservazione delle oscillazioni indica che i neutrini sono massivi, ma non fornisce il valore della loro massa. Lo studio delle oscillazioni verr` a approfondito nel capitolo 16 dedicato agli esperimenti.

396

14 Neutrini massivi

14.5 Osservazioni conclusive: esistono diﬀerenti neutrini o esiste un solo neutrino multiforme? Nel par. 14.1 abbiamo denominato il neutrino in vari modi chiamandolo ﬁsico, sterile, di massa nulla, massivo, di Dirac, di Majorana, e gli abbiamo associato un’antiparticella, l’antineutrino, mediante l’applicazione dell’operatore CP . Non solo, abbiamo anche accennato al fatto che, oltre al neutrino elettronico coinvolto nel decadimento β dei nuclei, esistono altri neutrini di diﬀerente “sapore”, quello mu-onico, connesso con il decadimento del leptone μ, e quello tau-onico connesso con il decadimento del leptone τ . Nell’ambito di ciascun sapore, le propriet`a del neutrino e dell’antineutrino corrispondenti alle precedenti denominazioni sono riassunte in tab. 14.1. Ci proponiamo ora di capire se le diﬀerenti caratteristiche illustrate individuano diﬀerenti particelle o diﬀerenti propriet` a della stessa particella. Nel seguito, per ragioni di semplicit` a espositiva, sar`a usato il termine di neutrino in senso generico, intendendo sia il neutrino che l’antineutrino. Tabella 14.1. m

autostato

hν

ν

autostato

Dirac ﬁsico

0

ν↓

−1

1

ν¯↑ = CP ν↓

Dirac sterile

0

ν↑

+1

Dirac

= 0

Majorana

0

Majorana

= 0

m νD = aν↑m + bν↓m a ∼ m b = |E|

νM = ν↓ + ν¯↑ m νM

=

m νD

+

m ν¯D

m νD

− vc

+1

= =

hν¯

ν¯

+1 −1

ν¯↓

−1

m CP νD = m a¯ ν↑ + b¯ ν↓m b ∼ m = a |E|

+ vc

−1

ν¯M = νM m m ν¯M = νM

Come sappiamo, il neutrino ﬁsico di Dirac di massa nulla `e stato introdotto sulla base degli esperimenti di emissione (decadimento β) e di assorbimento (esperimento di Cowan e Reines) di neutrini e antineutrini da parte dei nuclei. Da queste osservazioni sperimentali emerge che neutrino e antineutrino sono particelle distinte in quanto coinvolte in diﬀerenti interazioni, nelle quali `e conservato il numero leptonico. Le stesse osservazioni hanno condotto a escludere l’esistenza dei neutrini sterili. D’altra parte, gli esperimenti non ci consentono di aﬀermare che la massa del neutrino sia rigorosamente zero, ma che essa `e certamente molto piccola. Cos`ı piccola da non poter essere determinata nel decadimento β, tenuto conto degli errori sperimentali. E’ pertanto lecito pensare che il neutrino abbia eﬀettivamente massa diversa da zero e sia quindi una sovrapposizione di stati di elicit` a positiva e negativa con valor medio ±v/c; essendo la massa molto piccola, la componente di elicit`a negativa,

14.5 Osservazioni conclusive: esistono diﬀerenti neutrini o esiste un solo neutrino multiforme?

il cui peso vale mν / |E|, `e trascurabile e v/c ≈ 1. E’ per questo che il neutrino appare, in prima approssimazione, come privo di massa. Esiste qualche esperimento che consenta di ottenere informazioni pi` u precise sulla massa? Secondo quanto discusso nel par. 14.4, se il neutrino ha massa, sono possibili fenomeni di oscillazione, nei quali si ha la trasformazione di neutrini con una data caratteristica in neutrini con caratteristiche diverse. L’osservazione delle oscillazioni implica che il neutrino abbia massa, ma non consente di stabilirne il valore. Possono essere presi in considerazione vari tipi di oscillazione:

Oscillazione sapore-sapore con conservazione del numero leptonico Oscillazione ﬁsico-sterile (variazione dell’elicit` a) Oscillazione particella-antiparticella (non conservazione del numero leptonico)

νe ↔ νμ ↔ ντ ν¯e ↔ ν¯μ ↔ ν¯τ ν↓ ↔ ν↑ ν¯↓ ↔ ν¯↑ ν ↔ ν¯

Gli esperimenti che mostrano la scomparsa di neutrini di date caratteristiche (per esempio νe ), provano l’esistenza delle oscillazioni; gli esperimenti che mostrano anche la comparsa di neutrini con caratteristiche diverse (per esempio νμ ) consentono di distinguere fra i vari tipi di oscillazione. Gli esperimenti descritti nei capitoli 13 (neutrini solari) e 16 (oscillazioni di neutrino) consentono di aﬀermare che il fenomeno delle oscillazioni esiste, e riguarda le oscillazioni di sapore. Ci` o indica che uno stesso neutrino `e anche portatore dei diversi sapori. Il neutrino manifesta all’origine sapore diverso a seconda che sia emesso nel decadimento di un nucleo, del leptone μ e del leptone τ ma allo scorrere del tempo oscilla da un sapore all’altro. Le oscillazioni sono compatibili sia con neutrini aventi le caratteristiche dei neutrini di Dirac, sia con neutrini con le caratteristiche di quelli di Majorana, purch`e massivi. Per appurare se il neutrino possiede anche le caratteristiche del neutrino di Majorana, si dovrebbe osservare il doppio decadimento β senza emissione di neutrini. Esso confermerebbe che il neutrino ha massa diversa da zero e consentirebbe di stabilirne il valore tramite la (14.27) o un limite superiore tramite la (14.28). L’osservazione del decadimento 2β0ν non `e ancora data per certa ed esso `e oggetto di numerosi esperimenti, come sar`a illustrato nel cap. 15. Tuttavia, dalle ricerche ﬁnora eﬀettuate si deduce che il decadimento 2β0ν ha una probabilit` a di veriﬁcarsi molto pi` u piccola (per un fattore inferiore a 10−10 ) di quella dei normali decadimenti β, che la vita media `e maggiore di 1025 anni e che la massa del neutrino `e inferiore a qualche eV . Alla luce di quanto esposto si pu` o pensare che esista un solo tipo di neutrino dotato di una massa estremamente piccola, che in prima approssimazione pu`o essere

398

14 Neutrini massivi

posta uguale a zero. Per questo, la componente di elicit` a positiva `e largamente dominante (quindi l’elicit` a media `e ≈ 1) e nelle interazioni la conservazione del numero leptonico `e violata con probabilit` a cos`ı bassa, che pu`o essere trascurata. Il neutrino pu` o quindi essere descritto come una miscela di autostati di neutrino massivo di Dirac e di neutrino massivo di Majorana: m m m ν = νD + ε νM = (aν↑m + bν↓m ) + ε νM

con b ∝ m/ |E| ed ε “piccoli”. Il fatto che la massa sia diversa da zero comporta implicitamente che il neutrino sia anche una sovrapposizione di stati di diverso sapore. Per individuare le varie caratteristiche sono necessari diﬀerenti esperimenti sensibili all’una o all’altra di esse.

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15 Doppio decadimento β

15.1 Introduzione Il doppio decadimento β `e un fenomeno osservabile in nuclei pari-pari. Per esempio, si consideri il diagramma di ﬁg. 15.1, dove `e riportata la massa degli isobari con A = 136 in funzione del numero atomico Z e sono messe in evidenza le diﬀerenti collocazioni dei nuclei pari-pari e dispari-dispari.

Fig. 15.1. Massa degli isobari con A = 136.

Dalla ﬁgura appare evidente che i due decadimenti β ± fra nuclei pari-pari e dispari-dispari contigui Xe → Cs + β − + ν¯ , Ce → La + β + + ν

402

15 Doppio decadimento β

non sono energeticamente possibili, essendo le masse dei nuclei ﬁnali maggiori di quelle dei nuclei iniziali: m(La) > m(Ce) , m(Cs) > m(Xe) , Invece, risultano energeticamente possibili i decadimenti fra nuclei iniziali e ﬁnali pari-pari: Xe → Ba + 2β − + X , (15.1) Ce → Ba + 2β + + X ,

(15.2)

con emissione di 2 elettroni o 2 positroni e di un’entit` a X, che verr` a precisata nel seguito. Le reazioni (15.1) e (15.2) sono esempi di reazioni che vanno sotto il nome di doppio decadimento β (o decadimento ββ) e che sono riassunte dalla reazione (15.3) (A, Z) → (A, Z ± 2) + 2e∓ + X . Nel seguito verr` a presa in considerazione solo l’emissione di 2e− , che `e prevalente rispetto alla 2e+ . Si fa rilevare che i nuclei di Xe e Ce sono ordinariamente considerati stabili in quanto non sono soggetti al decadimento β singolo (o semplicemente decadimento β) e l’eventuale decadimento ββ ha una probabilit` a di veriﬁcarsi molto piccola (ovvero la vita media `e molto lunga). Il nucleo di Ba, situato nel minimo della valle di stabilit` a, `e invece stabile a tutti gli eﬀetti. Le condizioni energetiche che rendono possibile e osservabile la reazione (15.3) sono: Qβ = m(A, Z) − m(A, Z ± 1) − me = TA + Tβ + EX ∼ = Tβ + Eν < 0 , (15.4) Qββ = m(A, Z)−m(A, Z±2)−2me = TA +Tββ +EX ∼ = Tββ +EX > 0 , (15.5) dove m = massa, TA = energia cinetica del nucleo ﬁnale, Tβ = energia cinetica di un singolo elettrone, Eν = energia totale del neutrino o dell’antineutrino, Tββ = energia cinetica totale della coppia ββ ed EX = energia totale di X. La (15.4) esclude la possibilit`a del decadimento singolo. Si d`a anche il caso che un nucleo pari-pari abbia massa maggiore del nucleo dispari-dispari contiguo, ma che il decadimento β sia fortemente soppresso perch´e, per esempio, comporta una grande variazione del momento angolare o perch´e l’energia liberata `e molto piccola. E’ il caso del 48 20 Ca che non decade 48 in 48 Sc e potrebbe decadere ββ in T i (vedi ﬁg. 15.2). Il doppio decadimento 21 22 β `e sempre possibile in linea di principio, ma la sua osservabilit` a `e limitata dalla concorrenza del decadimento singolo, che `e molto pi` u probabile. I nuclei che soddisfano alle (15.4) sono una quarantina, in prevalenza con emissione di 2e− . Alcuni sono elencati in tab. 15.1, dove sono riportati anche i relativi valori di Qββ . Si ricorda che i nuclei pari-pari nello stato fondamentale hanno valori di spin e parit` a J P = 0+ .

15.1 Introduzione

403

Fig. 15.2. Transizione 48 Ca → 48 Sc: esempio di decadimento β possibile energeticamente, ma impedito dalla grande variazione di J(= 6). [14]

L’emissione di due elettroni pu`o essere dovuta alla trasformazione simultanea di due neutroni del nucleo secondo la reazione (vedere ﬁg. 15.3a) n → p + β − + ν¯ .

(15.6)

In questo caso l’entit`a X nella (15.3) `e costituita da una coppia di antineutrini: ν. (A, Z) → (A, Z + 1) + β − + ν¯ → (A, Z + 2) + 2β − + 2¯

(15.7)

Secondo un’altra ipotesi introdotta nel par. 14.3 del cap. 14, lo stato ﬁnale `e raggiunto ancora in due passi ma, invece che con due atti di emissione di neutrini, con l’emissione e l’assorbimento di un unico neutrino, che manifesta le caratteristiche dell’antineutrino convenzionale all’atto dell’emissione e quelle del neutrino convenzionale all’atto dell’assorbimento (ﬁg. 15.3b). Tale neutrino appare quindi come la sovrapposizione dello stato di neutrino e di antineutrino convenzionali, caratteristica del neutrino di Majorana introdotto nel cap. 14. L’entit` a X nella (15.4) `e assente e il decadimento `e descritto dalla reazione: (A, Z) → (A, Z + 1) + β − + νM → (A, Z + 2) + 2β −

(15.8)

404

15 Doppio decadimento β

Tabella 15.1. Esempi di isotopi suscettibili di decadimento ββ. Qββ `e deﬁnito dall’eq. (15.5). P `e l’abbondanza naturale dell’isotopo genitore.[13]

Qββ (keV )

P%

β−β− 46 20 Ca26

→ 46 22 T i24

987 ± 4

0.0035

48 20 Ca28

→

48 22 T i26

4271 ± 4

0.18

2039.6 ± 0.9

7.8

130 ± 9

49.8

2995 ± 6

9.2

76 32 Ge44

→

76 34 Se42

80 34 Se46

→

80 36 Kr44

82 34 Se48

→ 82 36 Kr46

98 42 M o56 100 42 M o58 128 52 T e76 130 52 T e78

→

98 44 Ru54

112 ± 7

24.1

→

100 44 Ru56

3034 ± 6

9.6

→

128 54 Xe74

868 ± 4

31.7

→

130 54 Xe76

2533 ± 4

34.5

134 54 Xe80

→

134 56 Ba78

847 ± 10

10.4

136 54 Xe82

→ 136 56 Ba80

2479 ± 8

8.9

142 58 Ce84

→

142 60 N d82

1417.6 ± 2.5

11.1

+

+

β β 78 36 Kr42 96 44 Ru52 106 48 Cd58 124 54 Xe70

→ 78 34 Se44

833 ± 8

0.356

→

96 42 M o54

677 ± 8

5.5

→

106 46 P d60

734 ± 8

1.25

→

124 52 T e72

821.6 ± 2.4

0.096

Caratteristica saliente di questa reazione, che la rende di particolare interesse, `e la non conservazione del numero leptonico che cambia di Δ = 2. Questo processo implica la presenza di termini destrogiri nell’hamiltoniana dell’interazione debole (cap. 14).

15.2 Spettri energetici e vita media Le caratteristiche energetiche dei due decadimenti con e senza emissione di neutrini sono molto diverse e, in linea di principio, consentono di distinguere sperimentalmente i due processi. Nel decadimento ν (A, Z) → (A, Z + 2) + 2e− + 2¯

15.2 Spettri energetici e vita media

405

Fig. 15.3. Schema di decadimento 2νββ (a) e 0νββ (b)

si pu`o considerare lo stato ﬁnale costituito da tre entit` a, invece che da cinque: il nucleo residuo, la coppia di elettroni e la coppia di antineutrini (vedi ﬁg. 15.4a). In quest’ottica la distribuzione dell’energia totale della coppia di elettroni ha un andamento a campana simile a quello dell’energia dell’elettrone nel decadimento β singolo (vedi ﬁg. 15.5) con valore massimo Eββ < M1 − M2 .

(15.9)

Analogamente, nel decadimento (A, Z) → (A, Z + 2) + 2e− possiamo considerare lo stato ﬁnale costituito da due entit` a, il nucleo residuo e la coppia di elettroni (vedere ﬁg. 15.4b). In questo caso l’energia totale della coppia di elettroni Eββ = E1 − E2 = M1 − M2 − T2 `e pressoch´e costante e la sua distribuzione `e assimilabile a una delta di Dirac (vedi ﬁg. 15.5). Infatti, l’energia cinetica T2 varia fra 0 e il valore massimo 2

T2max =

2

(M1 − M2 − me ) − m2e ∼ (M1 − M2 ) << M1 − M2 = 2 (M1 − me )) 2M 1

ottenuto sostituendo nell’eq. (7.17) del cap. 7 l’antineutrino con un elettrone. Con riferimento al decadimento del Ge (vedi tab. 15.1), l’energia cinetica massima del nucleo ﬁnale `e dell’ordine di T2max ∼ =

(20 M eV )2 = 2.8 KeV << 20 M eV , 2 × 76 × 938 M eV

ossia `e praticamente trascurabile. Pertanto risulta con buona approssimazine Eββ = E1 − E2 = M1 − M2 .

(15.10)

Ci si aspetta che l’energia degli elettroni presi singolarmente sia distribuita diversamente a seconda del termine dell’hamiltoniana d’interazione eﬃcace nel decadimento.

406

15 Doppio decadimento β

Fig. 15.4. (a) Cinematica del decadimento 2νββ e (b) del decadimento 0νββ.

Fig. 15.5. Distribuzione energetica della coppia di elettroni nel doppio decadimento beta con emissione di due neutrini (curva a campana) e senza emissione di neutrini (linea verticale).

Per la misura della vita media τ (o del tempo di dimezzamento) si pu`o sfruttare il fatto che la durata di qualsiasi misura `e sicuramente molto pi` u a iniziale nota breve della vita media stessa (∼ 1020 anni). Se n0 `e la quantit` del campione da studiare, la quantit` a di sostanza residua al tempo t τ `e t − τt ∼ n0 1 − n(t) = n0 e . (15.11) τ L’attivit` a corrispondente (numero di decadimenti per unit` a di tempo) `e −

n0 dn = . dt τ

(15.12)

Quindi, se si osservano Δn decadimenti nell’intervallo di tempo Δt, risulta n0 Δn = Δt τ da cui si ricava τ .

(15.13)

15.3 Esperimenti

407

15.3 Esperimenti I metodi sperimentali per la misura del decadimento ββ si distinguono in diretti e indiretti. Nei metodi indiretti (quali quelli radiochimici) non vengono studiati i singoli decadimenti ma si misura l’entit` a dei nuclei prodotti dai decadimenti su tempi lunghi. Invece nei metodi diretti vengono misurate le caratteristiche energetiche e cinematiche degli elettroni emessi nei singoli decadimenti. In alcuni esperimenti la sorgente radioattiva `e distinta dal rivelatore e vengono misurate la traiettoria e l’energia dei singoli elettroni. In altri la sorgente radioattiva fa parte del sistema di rivelatori e viene misurata l’energia totale trasportata dagli elettroni (metodo calorimetrico); quest’ultimo `e particolarmente eﬃcace per ottenere un limite superiore per la probabilit` a del decadimento 0νββ. 15.3.1 Metodo geochimico Esso si basa sulla misura mediante un metodo di spettroscopia di massa della quantit` a di atomi dell’isotopo (A, Z + 2) in una roccia di minerale contenente atomi del nucleo (A, Z) suscettibile di decadimento ββ. In considerazione della piccola attivit`a ββ, per un accumulo rilevabile di isotopo (A, Z +2) occorre che l’et` a della roccia sia il pi` u grande possibile (possibilmente confrontabile con l’et` a della terra). E’ anche conveniente che l’energia liberata nel decadimento sia “grande”. Circostanza favorevole alla corretta misura della quantit` a di (A, Z + 2) `e che l’atomo ﬁglio sia un gas nobile: in quanto inerte, esso non reagisce chimicamente con altri componenti del minerale e, in quanto gas, `e facilmente asportabile. Punto debole di questo metodo `e che l’accumulo di gas rari potrebbe essere dovuto in parte a processi diversi dal decadimento ββ e che parte del gas prodotto dal decadimento potrebbe essere sfuggito dal minerale. Le condizioni favorevoli sopra menzionate sono ben soddisfatte dal minerale Bi2 T e3 nel quale nuclei di 130 T e si trasformano in 130 Xe (T1/2 = 2.7 · 1021 a) e dal minerale Cu4−x Se2 , nel quale nuclei di 82 Se si trasformano in 82 Kr (T1/2 = 1.1·1020 a). In entrambi i casi l’energia liberata `e circa 3 M eV (vedere ﬁg. 15.6). Questo metodo consente di veriﬁcare l’esistenza del decadimento ββ (provato dalla presenza di nuclei (A, Z + 2)), ma non consente di stabilire se esso avvenga con o senza emissione di neutrini, in quanto non viene eﬀettuata la misura dell’energia degli elettroni. La vita media τββ del decadimento `e ricavabile dalle relazioni −

t

Nt (A, Z) = N0 (A, Z) e τββ , − t Nt (A, Z + 2) = N0 (A, Z) 1 − e τββ ,

408

15 Doppio decadimento β

Fig. 15.6. Schema dei livelli energetici dei nuclei coinvolti nella transizione ββ 130 130 52 T e →54 Xe. [1]

dove Nt (A, Z) e Nt (A, Z + 2) sono le quantit` a attuali dei nuclei padre e ﬁglio a originaria di nucleo padre e si (quantit` a misurate), N0 (A, Z) `e la quantit` suppone nota l’et` a t della roccia. Una variazione del metodo geochimico `e utilizzabile quando l’isotopo ﬁglio del decadimento ββ `e radioattivo. Se il ﬁglio ha un tempo di dimezzamento dell’ordine di 10 − 100 anni e non ha altro progenitore di vita molto lunga, allora esso `e raro in natura eccetto che come prodotto del decadimento ββ. La sua radioattivit` a permette di rivelarlo anche se presente in quantit` a molto piccole, ottenibili in un tempo di accumulo di alcuni anni. Un esempio `e il decadimento ββ 238 U →238 P u in cui il nucleo ﬁglio decade α con T1/2 = 88 a. In pratica, una quantit` a determinata di nucleo genitore viene isolata e tenuta sotto controllo in laboratorio per la durata dell’esperimento, cos`ı che la misura non `e aﬀetta da incertezze sull’et`a del campione e da variazioni accidentali della quantit` a di nucleo ﬁglio. Sfortunatamente, la radioattivit` a artiﬁcialmente indotta dalle esplosioni nucleari pu` o vaniﬁcare le misure su campioni che non siano stati isolati dall’ambiente prima degli anni ’40. 15.3.2 Metodi diretti Con i metodi diretti vengono studiate le caratteristiche energetiche degli elettroni emessi dal materiale candidato per il decadimento ββ. In linea di principio questi metodi consentono di distinguere tra decadimenti con e senza neutrini, essendo diverse le distribuzioni energetiche delle coppie di elettroni nei due casi. Poich´e il decadimento ββ ha probabilit` a molto piccola, punto cruciale del metodo `e l’individuazione dei rari eventi ββ fra eventi spuri molto pi` u frequenti (radiazione di fondo). Per chiarire il tipo di informazioni ottenibili e le diﬃcolt` a sperimentali da superare, diamo qualche dettaglio dell’esperimento di Elliott, Hahn e Moe (1987), che per la prima volta permise di osservare gli elettroni del decadimento 2νββ. L’esperimento era basato sull’uso di un rivelatore detto “camera

15.3 Esperimenti

409

a proiezione temporale” costituito da un recipiente a forma di parallelepipedo (vedi ﬁg. 15.7(a)) riempito di una miscela di gas con prevalenza di elio; su due facce opposte erano disposti due reticoli di ﬁli sensibili. Fra l’elettrodo e ciascuno dei due piani di ﬁli era applicato un campo elettrico. Un campione di Se arricchito dell’isotopo con A = 82 al 97% (cono tro il 9% dell’abbondanza naturale) era depositato sull’elettrodo. Il 82 Se pu` decadere in 82 Kr secondo lo schema di ﬁg. 15.7(b).

(a) Vista schematica della “camera a proiezione temporale”. Il campo magnetico aveva un’intensit` a di 700 Gauss, la miscela del rivelatore era composta da He (92.5%) e da da C3 H8 . [15]

(b) Schema del decadimento β − β − Fig. 15.7.

34 Se

→36 Kr.

410

15 Doppio decadimento β

Il dispositivo era immerso in un campo magnetico parallelo al campo elettrico. Il tutto era racchiuso in un involucro di piombo che lo proteggeva dalla radioattivit` a ambientale, ma non dalla radiazione cosmica. Quest’ultima veniva segnalata da un rivelatore di “veto” che circondava l’involucro. In una seconda fase della misura, al ﬁne di ridurre la radiazione cosmica, l’apparato fu collocato in una galleria sotterranea. In tale dispositivo la misura delle particelle avviene con le seguenti modalit` a. Un β − emesso dal selenio con velocit`a vβ ionizza atomi di elio disposti lungo la sua traiettoria. Gli elettroni di ionizzazione vengono trascinati con velocit`a di migrazione vm vβ dal campo elettrico verso l’uno o l’altro dei piani di ﬁli sensibili, i quali registrano il tempo di arrivo e la posizione d’impatto sul piano. Nota la velocit` a di migrazione degli elettroni di ionizzazione, la misura del tempo e del punto d’arrivo sui piani di ﬁli consente di ricostruire la traiettoria del β − . Se il β − `e emesso in una direzione obliqua rispetto al campo magnetico, la traiettoria `e elicoidale e dal raggio di curvatura `e possibile risalire al valore dell’impulso (vedere ﬁg. 15.8). L’apparato era sensibile a qualunque evento coinvolgente particelle cariche ed era molto eﬃcace nel riconoscere i decadimenti ββ dal fondo. Un decadimento ββ `e caratterizzato da due tracce simultanee con carica dello stesso segno emergenti dallo stesso punto del piano centrale. Esempi di eventi spu-

vm vβ tB − tA = AB /vβ zA = vm (tC − tA ) = vm (tC − tB ) + vm (tB − tA ) = vm (tC − tB ) +

vm vβ AB

∼ = vm (tC − tB )

Fig. 15.8. Ricostruzione delle coordinate x, y, z dei punti della traiettoria AB di una particella β di velocit` a vβ mediante la misura del tempo d’arrivo e della posizione d’impatto degli elettroni di ionizzazione sul piano di ﬁli sensibili. Il reticolo di ﬁli d` a le coordinate x, y; la coordinata z `e data da vm Δt, dove vm `e la velocit` a di migrazione.

ri di facile individuazione sono: l’emissione di un solo elettrone da parte del campione di selenio, la creazione di una coppia e+ e− da parte di un fotone

15.3 Esperimenti

411

interagente con il supporto del selenio, l’emissione di due elettroni da punti diversi del supporto, singoli elettroni che attraversano l’apparato. Esiste, per` o, un evento particolarmente subdolo che d` a origine a due elettroni simultanei emergenti dallo stesso punto; fortunatamente viene emessa anche una particella α, che consente di non confonderlo con un decadimento ββ. L’evento `e costituito dalla seguente successione di reazioni innescata da un elemento radioattivo spurio presente nel supporto del selenio: A1 → A∗2 + e− + ν¯

decadimento β con nucleo ﬁglio eccitato

A∗2

→ A2 + γ γ + atomo A2 → ek

diseccitazione con emissione di un elettrone atomico

A 2 → A3 + α

decadimento α

Esempio: A1 = 214 83 Bi

212 A2 = 214 84 P o → A3 = 82 P b + α (T1/2 = 164.3 μs) .

Fig. 15.9. Distribuzione dell’energia cinetica totale misurata della coppia di elettroni emessi nel decadimento del 82 Se. [8]

Il rapporto fra decadimenti ββ ed eventi di fondo era di circa 1 su 90 000. La frequenza dei decadimenti ββ era di circa uno ogni tre giorni. La durata dell’esperimento fu di circa 11 mesi. Lo spettro di energia ha l’andamento mostrato in ﬁg. 15.9. Il tempo di dimezzamento per il decadimento 2νββ del Se fu stimato dell’ordine di 1.1 · 1020 a (tramite la (15.13)). Fig. 15.10 mostra uno spettro dell’energia totale dei due elettroni ottenuto con il metodo calorimetrico nello studio della reazione 76 Ge →76 Se (vedi ﬁg. 15.11). La ﬁgura mostra la distribuzione dell’energia misurata, che coincide

412

15 Doppio decadimento β

Fig. 15.10. Distribuzione dell’energia cinetica totale della coppia di elettroni emessa 76 nel decadimento 76 32 Ge →34 Se ottenuta con il metodo calorimetrico. L’istogramma continuo riporta i dati grezzi (eventi spuri pi` u decadimenti). Sottratti gli eventi spuri, si ottiene l’istogramma relativo ai soli eventi 2νββ (istogramma di croci). L’inserto mostra la distribuzione grezza attorno a 2040 KeV , dove dovrebbe essere localizzato il picco degli eventi 0νββ. Non c’`e evidenza di eventi di questo ultimo tipo. [11]

Fig. 15.11. Schema di decadimento del

76

Ge. [14]

15.3 Esperimenti

413

praticamente con quella trasportata dalla coppia di elettroni, prima e dopo la sottrazione dei segnali spuri dovuti al fondo radioattivo. Particolarmente signiﬁcativa `e l’assenza di accumulo di segnali in corrispondenza dell’energia liberata nel decadimento senza neutrini. Se qualche evento di questo tipo si `e veriﬁcato, la sua frequenza non `e tale da distinguerlo dal fondo. Assumendo, tuttavia, che gli eventi di fondo entro un piccolo intervallo d’energia siano tutti dovuti a decadimenti 0νββ, si pu` o ricavare un limite superiore per la probabilit` a di tali eventi (o un limite inferiore per il tempo di dimezzamento del decadimento), come sar`a mostrato nel successivo paragrafo. L’apparato `e stato attivo per circa 8 mesi.

Fig. 15.12. Spettro energetico della coppia di elettroni nella regione dove `e atteso il picco del decadimento 0ν del 130 T e ottenuto con un rivelatore criogenico in 4105 ore di misura dal gruppo di Milano operante nel laboratorio del Gran Sasso. La regione energetica `e individuata da due picchi dovuti all’emissione γ di nuclei appartenenti al fondo radioattivo residuo. Lo spettro ` e consistente con l’ipotesi di assenza di doppio decadimento 0ν . [16]

Un altro esempio di misura dello stesso decadimento `e dato in ﬁg. 15.12. Recentemente un risultato positivo `e stato annunciato da una collaborazione russo-tedesca. Esso si basa sulla misura dello spettro energetico (mostrato in ﬁg. 15.13) degli elettroni emessi da un campione arricchito di 76 Ge. Lo spettro pu` o essere interpretato come dovuto a una distribuzione regolare di segnali prodotti dalla radiazione di fondo (al disotto della linea tratteggiata) sulla quale si appoggia una distribuzione discreta costituita dai vari picchi. A prima vista, sembra di dover attribuire l’andamento irregolare a ﬂuttuazioni statistiche, ma uno dei picchi cade proprio in corrispondenza dell’energia attesa per il doppio decadimento beta senza neutrini e gli altri sono in corrispondenza dell’energia di raggi gamma emessi da nuclei eccitati di 214 Bi, elemento facente parte della famiglia radioattiva dell’ 238 U , che `e una sorgen-

414

15 Doppio decadimento β

te del fondo strumentale. Sulla base di queste osservazioni e di una soﬁsticata analisi statistica dei dati gli autori ritengono che l’istogramma in ﬁgura costituisca l’evidenza del doppio decadimento beta senza emissione di neutri.

Fig. 15.13. Spettro della coppia di elettroni nella regione energetica dove `e atteso il picco del decadimento 0ν 76 Ge (2039.006 keV ). [19]

E’ stato stimato un tempo di dimezzamento dell’ordine di 1025 a e un limite superiore per la massa dell’antineutrino dell’ordine di 0.6 eV . La correttezza di questa analisi `e stata per`o contestata da altri autori, cos`ı che la conclusione tratta dai primi appare almeno prematura e necessita di conferma (o di una smentita) da altri esperimenti. 15.3.3 Sommario di risultati sperimentali Fino ad oggi sono stati eﬀettuati pi` u di cento esperimenti sul doppio decadimento beta, una quarantina sono attualmente in corso ed altri sono in via di progettazione. Mentre il decadimento “tradizionale” 2νββ ha ottenuto una ben consolidata evidenza sperimentale, l’esistenza del decadimento “innovativo” 0νββ `e ancora incerta. Tuttavia, anche a causa delle incertezze sperimentali, non `e possibile escludere a priori l’eventualit` a del decadimento senza neutrini, ed `e possibile dare un limite inferiore al suo tempo di dimezzamento procedendo, per esempio, nel seguente modo. Il campione in esame abbia no nuclei iniziali e sia Δn il numero di decadimenti osservati con energia in un intervallo ΔE attorno al valore Eo atteso per il decadimento senza neutrini (vedi ﬁg. 15.12). Se il fondo fosse assente e, di conseguenza, Δn riguardasse solo veri decadimenti ββ, la (15.13) fornirebbe la vita media:

15.3 Esperimenti

τ∼ =

415

no Δt Δndecadimenti

Tabella 15.2. Decadimento ββ. Alcuni fra i pi` u recenti valori sperimentali del tempo di dimezzamento; l’errore ` e pi` u piccolo dell’ultima cifra riportata. [26] Isotopo 2νββ

182 116 100 76

0νββ

Sc

9.6 · 10−2

Arnold 05

Cd

0.03

Danevich 03

Mo Ge

82

7.7 · 10

Arnold 04 Klapdor 01

Te

> 1800

Arnaboldi 05

Mo

> 460

Arnold 05

Se

> 100

Arnold 05

> 1200

Bernabei 02

136 76

−3

1.5

130 100

T1/2 (anni) × 1021 Riferimenti

Xe

Ge

11900

+29900 −5000

Klapdor 04

Nei casi concreti Δn include anche segnali di fondo radioattivo, spesso molto pi` u numerosi di quelli veri, ossia Δn = Δndecadimenti + Δnf ondo cos`ı che la quantit` a misurata no no no τ∼ Δt < Δt = τm Δt = = Δn Δndecadimenti + Δnf ondo Δndecadimenti rappresenta non la vita media ma un suo limite inferiore. E’ evidente l’importanza di abbattere il pi` u possibile la radiazione di fondo. In ogni caso l’entit` a del fondo residuo pu` o essere stimata misurando il numero di eventi a sinistra e a destra dell’intervallo ΔE precedentemente considerato. Il valore pi` u elevato misurato del limite inferiore `e dell’ordine di 1024 anni. Recenti valori del tempo di dimezzamento per il decadimento 2νββ e l’evoluzione nel tempo dei valori del limite inferiore del tempo di dimezzamento per il decadimento 0νββ di alcuni nuclei sono mostrati in tab. 15.2. Si noti che nel caso del decadimento β singolo la stragrande maggioranza dei nuclei ha tempi di dimezzamento molto pi` u brevi (< 105 a).

416

15 Doppio decadimento β

15.3.4 Massa del neutrino Gli esperimenti sulle oscillazioni di neutrino indicano che il neutrino ha massa diversa da zero, ma non sono in grado di fornirne il valore. Questo potrebbe essere fornito dallo studio del doppio decadimento beta senza emissione di neutrini come illustrato nel par. 14.3 del cap. 14. Un elevato limite inferiore per T1/2 implica un piccolo limite superiore per la probabilit` a di decadimento per unit` a di tempo e quindi per i valori dei parametri mν , λ e η che caratterizzano l’hamiltoniana introdotta nel cap. 14 per tenere conto dell’esistenza di eventuali neutrini massivi e della violazione della conservazione del numero leptonico (eq. (14.27) del cap. 14). In eﬀetti, dall’analisi dei dati sperimentali si sono ottenuti per i limiti superiori i seguenti ordini di grandezza (vedi [25]): mν < 3 eV , η < (1.5 − 8) · 10−8 , λ < (2.3 − 9) · 10−6 . Il valore di circa 3 eV per il limite superiore della massa `e in accordo con quello ricavato dall’analisi dello spettro β del trizio (vedi cap. 8). Occorre, comunque, cautela con questi numeri sia per quanto detto a proposito delle misure dello spettro β, sia per il fatto che i risultati delle analisi del doppio decadimento β sono alquanto dipendenti dalle ipotesi adottate.

Bibliograﬁa

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16 Oscillazioni di neutrino

16.1 Introduzione Nel par 14.4 del cap. 14 sono stati illustrati i fondamenti teorico-fenomenologici delle oscillazioni di neutrino. In questo capitolo verranno descritti gli aspetti sperimentali, limitatamente ai casi in cui sono coinvolte sorgenti di neutrini o antineutrini elettronici con cenni ai neutrini atmosferici. Ricordiamo che, sulla base delle considerazioni del cap. 14, l’osservazione delle oscillazioni indica che i neutrini hanno massa. Richiamiamo alcune considerazioni di carattere generale mantenendo l’ipotesi sempliﬁcativa che ci siano solo due sapori di neutrino (par. 14.4.2 del cap. 14) che indichiamo con a e b. 16.1.1 Condizioni di osservabilit` a Data una sorgente di neutrini di sapore a, la probabilit` a di osservare neutrini dello stesso sapore all’istante t `e (eq. (14.48) del cap. 14): 1 E2 − E1 2 2 t , (16.1) Pa (t) = 1 − sen 2θ sen 2 dove E1 ed E2 sono le energie di neutrini massivi liberi descritti dall’equazione di Dirac. La probabilit` a di osservare neutrini di sapore b prodotti dall’oscillazione di sapore `e 1 E2 − E1 2 2 t . (16.2) Pb (t) = sen 2θ sen 2 Il fenomeno delle oscillazioni esiste ed `e osservabile se sin2 2θ = 0 e il termine in E2 − E1 ne determina l’andamento oscillante nel tempo. a Poich´e la massa dei neutrini liberi ν1 e ν2 `e supposta piccola, la loro velocit` `e prossima a c e la loro energia a pc, cos`ı che l’espressione dell’energia pu` o essere approssimata nel modo seguente:

420

16 Oscillazioni di neutrino

E=

$

p2 c2

+

m2 c4

m2 c4 1 m2 c4 = pc 1 + 2 2 ∼ pc 1 + p c 2 p2 c2

(16.3)

da cui, posto Δm2 ≡ m22 c4 − m21 c4 , segue 1 1 2 4 1 E2 − E 1 ∼ m2 c − m21 c4 = Δm2 ∼ Δm2 . = 2pc 2pc 2E

(16.4)

Posto L = ct ,

(16.5)

dove L `e la distanza dalla sorgente all’istante t, deﬁniamo come lunghezza di oscillazione la quantit` a Losc =

2pc2 ∼ 2Ec . = Δm2 Δm2

(16.6)

Essendo c = 197.3 · 10−15 M eV m, se si esprime L in m, E in M eV e mc2 in eV , si ha E(M eV ) (106 )2 = Losc ∼ = 2 × 197.3 · 10−15 M eV m Δm2 (eV )2 E(M eV ) = 0.3946 m. Δm2 (eV )2

(16.7)

Per le (16.4), (16.5) e (16.7), le (16.1) e (16.2) divengono Pa (L) = 1 − sen2 2θ sen2 Pb (L) = sen2 2θ sen2

Δm2 L L, = 1 − sen2 2θ sen2 1.27 2Losc E

(16.8)

Δm2 L L. = sen2 2θ sen2 1.27 2Losc E

(16.9)

Pa (L) `e una funzione oscillante di L con minimi per L/Losc = (2k + 1)π, a cui corrispondono massimi di Pb (L), e massimi uguali a 1 per L/Losc = 2kπ, a cui corrispondono minimi uguali a zero di Pb (L). Nei punti di minimo di Pa (L) si ha la massima evidenza delle oscillazioni, nei punti di massimo non si ha evidenza. Molto schematicamente, ai ﬁni dell’osservazione delle oscillazioni di neutrino si richiede (vedi ﬁg. 16.1): 1. una sorgente di neutrini di sapore a. La sorgente potrebbe essere un reattore nucleare (sorgente di antineutrini elettronici prodotti dal decadimento dei neutroni) o il sole (sorgente di neutrini elettronici tramite le reazioni della catena pp o del ciclo CN O). 2. un percorso libero di lunghezza L;

16.1 Introduzione

421

3. un bersaglio in cui i neutrini di sapore a e/o b possano essere assorbiti o diﬀusi e un sistema di rivelatori per identiﬁcare le reazioni. L’eﬀettiva osservazione delle oscillazioni `e condizionata dalle caratteristiche intrinseche dei neutrini (energia E, diﬀerenza di massa Δm2 e angolo di miscelamento θ) e da condizioni sperimentali (distanza L fra sorgente e rivelatore, dimensioni del rivelatore, conoscenza dello spettro energetico della sorgente di neutrini, ecc.).

Fig. 16.1. Schema di esperimento sulle oscillazioni di antineutrino. L’esempio considera una sorgente di antineutrini elettronici prodotti dal decadimento di neutroni presso un reattore e un rivelatore con bersaglio di deuterio. La prima reazione ` e possibile solo con neutrini elettronici, la seconda con neutrini di qualunque sapore, indicato con x (vedere par. 16.2.2).

Consideriamo, per semplicit`a, fasci monocromatici e di sezione puntiforme e indichiamo con la lunghezza del rivelatore. Sono notevoli i seguenti casi: a) Losc . In queste condizioni in si veriﬁcano pi` u massimi e minimi (vedi ﬁg. 16.2a) ed `e possibile osservare un eﬀetto medio di oscillazione. Infatti, per /Losc 1 il valor medio sull’intervallo del seno al quadrato che compare nelle (16.8) e (16.9) `e 2Losc /2Losc 1

21

sen2 x dx =

0 sen 2 Losc d =

0 /2Losc = 12 , = 2L osc x2 − sen2x 4 0 x = /2Losc . Quindi il valore medio di Pa e Pb `e 1 (16.10) Pa = 1 − sen2 2θ , 2 1 (16.11) Pb = sen2 2θ . 2 Eﬀetti medi sono osservati per Losc “piccola”, ossia per Δm2 molto “grande” e/o E molto “piccola”.

422

16 Oscillazioni di neutrino

Fig. 16.2. Varie condizioni per l’osservazione delle oscillazioni di neutrini monoenergetici dipendenti dalla lunghezza di oscillazione, dalla posizione e dalla lunghezza del rivelatore. a) Osservazione di un eﬀetto medio; b) osservazione di un minimo (massima evidenza delle oscillazioni); c) massimo di oscillazione (nessuna evidenza delle oscillazioni).

b) Losc e minimo di oscillazione localizzato nel rivelatore; il valore minimo si veriﬁca per L /2Losc = kπ/2 con k dispari: Pa (L) = 1 − sin2 2θ .

(16.12)

L’osservazione delle oscillazioni `e ottimale. La posizione del primo minimo `e in L = Losc (vedi ﬁg. 16.2b). Nel caso di piccoli valori di Δm2 (o grandi valori di E), l’osservazione del primo minimo richiede grandi valori di L; per Δm2 grande ed E piccolo occorre L piccolo. c) Losc e massimo di oscillazione (L/2Losc = kπ) localizzato nel rivelatore. In queste condizioni Pa (L) ∼ 1 e le oscillazioni non sono osservabili (ﬁg. 16.2c). Se il fascio non `e monocromatico, in pratica `e osservabile solo l’eﬀetto medio delle oscillazioni (ﬁg. 16.3). Due “laboratori” tipici per l’osservazione di Δm2 grandi e piccoli, rispettivamente, sono la sala di un reattore nucleare e il sistema terra-sole. Nel caso di neutrini solari E < 20 M eV e L ≈ 1.5 · 1011 m , cos`ı che sulla terra le

16.1 Introduzione

423

Fig. 16.3. Oscillazioni in un fascio non monocromatico. Il rivelatore in a) pu` o osservare un eﬀetto massimo, in b) un eﬀetto medio (questa ` e la situazione normale a distanze grandi).

oscillazione sono osservabili se 20 M eV ≈ 1.6 · 10−10 eV 2 . 1.5 · 1011 m Nel caso degli antineutrini da reattore E < 10; per L ≈ 100 m, come nei primi esperimenti, le oscillazioni sono osservabili se Δm2 < π × 0.39 ×

Δm2 < π × 0.39 ×

10 M eV ≈ 0.12 eV 2 . 100 m

L’intervallo di variabilit` a di Δm2 esplorabile in vari tipi di condizioni sperimentali `e riportato in ﬁg. 16.4.

Fig. 16.4. Campo di variabilit` a del rapporto L/E e di Δm2 per diﬀerenti condizioni sperimentali. [7]

In generale i neutrini hanno un’energia distribuita tra un valore minimo e uno massimo secondo una funzione Φν (E), che supponiamo normalizzata in

424

16 Oscillazioni di neutrino

modo tale che

Φν (E)dE = 1 .

(16.13)

Per una sorgente di soli neutrini a, la frequenza delle reazioni nel rivelatore a distanza L, per un’energia dei neutrini compresa fra E e E + dE, `e data approssimativamente dall’espressione Ra (E) dE = kρΦa (E)σa (E)Pa (E, L)dE ,

(16.14)

dove σa `e la sezione d’urto per le reazioni indotte dai neutrini di sapore a, a di ρ `e la densit`a di superﬁcie dei nuclei bersaglio e Pa (E, L) `e la probabilit` sopravvivenza a distanza L dei neutrini a; k `e un fattore che tiene conto di caratteristiche dell’apparato. La frequenza relativa a tutto lo spettro d’energia `e (16.15) Ra = Ra (E) dE . Per un intervallo ﬁnito ΔE suﬃcientemente piccolo, la (16.14) pu`o essere approssimata come Ra (E) ΔE ∼ = kρΦa (E)σa (E)Pa (E, L)ΔE .

(16.16)

Analogamente, per la frequenza delle reazioni indotte dai neutrini b poniamo: Rb (E) dE = kρΦa (E)σb (E)Pb (E, L)dE = = kρΦa (E)σb (E)(1 − Pa (E, L))dE , Rb = Rb (E) dE , Rb (E) ΔE ∼ = kρΦa (E)σb (E)Pb (E, L)ΔE .

(16.17)

(16.18) (16.19)

Le (16.16) e le (16.19) sono le relazioni fondamentali per lo studio delle oscillazioni. Al primo membro compaiono le quantit` a misurabili e al secondo membro le quantit` a incognite sen2 2θ e Δm2 . L’applicazione di queste relazioni implica la conoscenza accurata di Φa (E), σa (E) e σb (E), conoscenza ottenuta con esperimenti ad hoc o con considerazioni teoriche di ﬁsica nucleare. Tuttavia `e possibile, anche se meno vantaggioso, prescindere dalla conoscenza a priori di queste quantit` a, come vedremo nei par. 16.1.2 e 16.2.1. Per mettere in evidenza con immediatezza la condizione di osservabilit` a delle oscillazioni, diciamo che si osservano oscillazioni se il valore misurato di Ra (E)ΔE diviso per il valore calcolato in assenza di oscillazioni `e minore di 1, ossia, per la (16.16), Ramis (E)ΔE < 1. (16.20) kρσa Φa ΔE

16.1 Introduzione

425

16.1.2 Esperimenti ideali Per ricavare i valori di sen2 2θ e Δm2 , le (16.16) e le (16.19) possono essere utilizzate in vari modi. Illustriamo due esempi relativi a situazioni alquanto ideali, che ci consentono di descrivere le caratteristiche di massima di diagrammi tipici nel piano Δm2 − sen2 2θ con i quali vengono abitualmente presentati i risultati degli esperimenti sulle oscillazioni di neutrino. i) Avendo a disposizione un fascio di neutrini ideale (cio`e di sezione puntiforme) di sapore a, supponiamo, come primo esempio, di misurare alla stessa distanza L sia le interazioni dei neutrini a che dei neutrini b. Per un’energia E e un intervallo ΔE, per cui si possano utilizzare le relazioni (16.16) e (16.19), consideriamo il rapporto Φa (E) (1 − Pa (E, L)) σb (E) ΔE σb (1 − Pa (E, L)) Rb (E)ΔE = = Ra (E)ΔE Φa (E) Pa (E, L) σa (E) ΔE σa Pa (E, L) (16.21) dal quale ricaviamo anche

r=

(1 − Pa (E, L)) =

1

σa σb r + σσab r

.

(16.22)

La relazione (16.21) presenta il vantaggio, rispetto alle (16.16) e (16.19) prese separatamente, che eﬀetti dipendenti da una cattiva conoscenza del ﬂusso iniziale dei neutrini o di altri parametri strumentali quali l’eﬃcienza k, vengono minimizzati o eliminati. La (16.21), in base alle (16.8) e (16.9), `e un’unica relazione fra due incognite, sen2 2θ e Δm2 . Pertanto, per ogni valore di r si hanno inﬁnite soluzioni individuate dai punti appartenenti a a una linea del piano Δm2 − sen2 2θ. In linea di principio, l’ambiguit` pu` o essere ridotta o eliminata eﬀettuando misure a diﬀerenti distanze fra sorgente e rivelatore o tenendo conto dei risultati della stessa misura per diﬀerenti valori di E o in diﬀerenti intervalli ΔE. L’intersezione comune alle linee relative ai diﬀerenti risultati su r identiﬁca la soluzione. In realt` a, la determinazione dei valori di sen2 2θ e Δm2 `e ostacolata dagli errori di misura, casuali e sistematici, e dalle incertezze sulle grandezze quali il ﬂusso dei neutrini e le sezioni d’urto. In pratica gli esperimenti consentono solo di determinare regioni di variabilit` a per Δm2 e sen2 2θ. In ﬁg. 16.5 `e riportato l’esempio relativo a un esperimento ideale consistente in due misure di r per due valori di L nell’ipotesi che le oscillazioni esistano e siano caratterizzate dai valori Δm2 = 0.1 eV 2 e sen2 2θ = 0.2. Per ragioni di semplicit` a si `e posto σa = σb . Essendo noti a priori i valori di tutte le quantit` a a secondo membro della (16.21), sono stati calcolati i valori di r per i due valori di L. Una volta noti i due valori di r, si sono tracciate nel piano Δm2 − sen2 2θ le corrispondenti linee deﬁnite dalla stessa relazione (16.21). Con una sola misura si ha un inﬁnito numero di soluzioni (oltre a quella vera data dal punto A in ﬁg. 16.5); con due misure le soluzioni si riducono a tre, individuate dalle tre intersezioni A, B e

426

16 Oscillazioni di neutrino

C delle due linee; l’ambiguit` a `e drasticamente ridotta, ma non eliminata, perch´e rimangono ancora due soluzioni di troppo. Per comprendere qualitativamente l’andamento, per esempio, della linea continua di ﬁg. 16.5, poniamo nella (16.22) σa = σb e sostituiamo a Pa l’espressione data dalla (16.8); se si assume r 1, come `e ragionevole, si ottiene r ∼ (16.23) sen2 2θ sen2 1.27 (L/E)Δm2 = = r. 1+r a) Per Δm2 molto piccolo, la (16.23) pu` o essere approssimata dalla relazione 2 L 2 2 ∼ sen 2θ 1.27 Δm = r, E ovvero $ 2 r 1 E 2 Δm = = cos t. . (16.24) 1.27L sen2 2Θ sen2 2Θ Δm2 cresce monotonamente al decrescere di sen2 2θ (tratto E −C della curva continua in ﬁg. 16.5). b) Al crescere di Δm2 , sen2 1.27 (L/E)Δm2 cresce tendendo a 1 (e sen2 2θ decresce ﬁno al valore minimo sen2 2θ ∼ = r, punto B di ﬁg. 16.5) e poi ha un andamento oscillante. c) Per Δm2 suﬃcientemente grande, possiamo approssimare la quantit` a sen2 1.27 (L/E)Δm2 con il suo valor medio su molte oscillazioni, che `e uguale a 1/2 ed `e quindi indipendente da Δm2 . La (16.23) assume la forma sen2 2θ ∼ = 2r , che rappresenta una retta verticale. E’ evidente che la linea `e tanto pi` u a sinistra quanto pi` u piccolo `e r. Finora si `e assunto che le oscillazioni esistano e siano osservabili, ossia che r sia misurabile e diverso da zero con errore trascurabile. Nella realt` a, r `e aﬀetto da un errore sperimentale ±σ. Se le oscillazioni non esistono o sono molto deboli, il valore di r risulter` a essere compatibile con zero e, tenuto conto dell’errore, la (16.23) va sostituita pi` u realisticamente con la disuguaglianza: sen2 2θ sen2 1.27 (L/E)Δm2 ≤ r + σ .

(16.25)

Ci` o signiﬁca che, per ogni punto A appartenente alla linea deﬁnita dal segno di uguaglianza nella (16.25), sono ﬁsicamente accettabili tutti valori di Δm2 al di sotto di A e tutti i valori di sen2 2θ a sinistra di A. La linea ha il signiﬁcato di conﬁne fra la regione dei valori ﬁsicamente accettabili e di

16.1 Introduzione

427

Fig. 16.5. Esperimento ideale di comparsa. Si assume che le oscillazioni esistano e siano caratterizzate dai valori sen2 2θ = 0.2 e Δm2 = 0.1 eV. Per semplicit` a si assume che il prodotto del ﬂusso di neutrini per la sezione d’urto sia costante e che σa = σb nell’intervallo 100 < E < 1000 M eV . La linea continua rappresenta il luogo dei punti soddisfacenti all’eq. (16.22) per una distanza sorgenterivelatore L = 2000 m. La linea tratteggiata si riferisce a una distanza L = 200 m. Il punto A individua la situazione ﬁsica ipotizzata; i punti appartenenti a ciascuna linea rappresentano le soluzioni matematiche in accordo con eq. (16.23) per i due esperimenti considerati separatamente; le soluzioni matematiche si riducono ai punti A, B e C combinando i due esperimenti. [4]

428

16 Oscillazioni di neutrino

quelli non accettabili delle incognite sen2 2θ e Δm2 . La regione ﬁsicamente accettabile `e l’area a sinistra della linea continua di ﬁg. 16.5. Se, invece, le oscillazioni esistono (con r incompatibile con zero), possiamo considerare come valori accettabili di sen2 2θ e Δm2 quelli individuati dai punti compresi fra le linee deﬁnite dalle disuguaglianze r − σ ≤ sen2 2θ sen2 1.27 (L/E)Δm2 ≤ r + σ .

(16.26)

ii) Come secondo esempio, supponiamo di eﬀettuare due misure ideali relative all’interazione di neutrini di sapore a alle distanze L1 e L2 .

Fig. 16.6. Esperimento ideale di scomparsa. La linea ` e il luogo dei punti deﬁnito dall’ eq. (16.27) per L1 = 100 m e L2 = 1000 m. I valori dei parametri d’oscillazione (individuati dal punto A) e le condizioni per spettro energetico e sezione d’urto sono come per ﬁg. 16.5. [4]

Procedendo come nell’esempio precedente, consideriamo il rapporto r=

Φa (E) σa (E) Pa (E, L1 ) ΔE Pa (E, L1 ) Ra (E, L1 ) ΔE = = = Ra (E, L2 ) ΔE Φa (E) σa (E) Pa (E, L2 ) ΔE Pa (E, L2 )

16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari

=

1 − sen2 2θ sen2 1.27 LE1 Δm2 1 − sen2 2θ sen2 1.27 LE2 Δm2

,

429

(16.27)

da cui

L1 L2 sen 2θ sen 1.27 Δm2 − r sen2 1.27 Δm2 E E 2

2

= 1−r.

(16.28)

Anche questa relazione, per una dato valore di r, individua una linea nel piano Δm2 − sen2 2θ. Un esempio numerico dell’andamento del luogo dei punti nel piano Δm2 − sin2 2θ `e dato in ﬁg. 16.6. L’andamento qualitativo `e spiegabile come nel caso i). La diﬀerenza sta nell’andamento per Δm2 molto grande, per il quale si ha sen2 1.27

L 1 Δm2 → E 2

e, per la (16.28), sen2 2θ → 1. Conseguentemente la linea verticale di ﬁg. 16.6 per Δm2 grande `e tracciata in corrispondenza di sin2 2θ = 1. L’eﬀetto degli errori sperimentali `e simile a quello discusso nel caso precedente. Gli esperimenti possono essere classiﬁcati in due categorie: esperimenti di comparsa e di scomparsa. Supponendo di avere un fascio iniziale di neutrini di sapore a, nei primi si cerca la presenza di neutrini di sapore b; nei secondi si cerca la riduzione del ﬂusso di neutrini a in funzione della distanza dalla sorgente. Il metodo di comparsa pu` o essere molto sensibile a piccoli angoli di miscelamento poich´e in linea di principio `e suﬃciente l’osservazione di un piccolo numero di neutrini b per aﬀermare che si veriﬁcano oscillazioni. Il metodo di scomparsa `e meno sensibile ai piccoli angoli di miscelamento perch´e l’osservazione di piccole variazioni di neutrini di tipo a `e limitata dalle varie incertezze sperimentali statistiche e sistematiche. In ogni caso, solo questo metodo consente di osservare oscillazioni in qualunque tipo di neutrini.

16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari 16.2.1 L’esperimento di G¨ osgen In un reattore nucleare la ﬁssione dei nuclei di 235 U , 238 U , 239 P u e 241 P u (e di altri nuclei di minore rilevanza) d` a origine a nuclei con eccesso neutronico che, decadendo β − , costituiscono una sorgente di antineutrini elettronici. Il ﬂusso totale di neutrini `e una mescolanza dei ﬂussi generati dalle quattro famiglie di nuclei prese separatamente:

Ni Φi (E) M eV −1 s−1 , (16.29) Φ (E) = i

430

16 Oscillazioni di neutrino

dove Ni `e la frazione di ﬁssioni del nucleo capostipite i. Il ﬂusso Φi (E) pu` o essere ricavato dalla misura dello spettro energetico dei β − emessi da un campione costituito originariamente dall’elemento i. In ﬁg. 16.7 sono mostrati gli spettri dei neutrini relativi ai due nuclei che pi` u contribuiscono al ﬂusso, l’235 U 239 P u. Il ﬂusso si estende al di sotto di 8 − 9 M eV .1 e il Per il reattore utilizzato nell’esperimento di G¨ osgen (Svizzera) descritto pi` u avanti i valori di Ni sono N (235 U ) ∼ 58%, N (239 P u) ∼ 30%, N (238 U ) ∼ 7% e N (241 P u) ∼ 5%.

Fig. 16.7. Spettri energetici sperimentali dei neutrini originati dai prodotti della ﬁssione di 235 U e 239 P u. [7]

Le reazioni utilizzate per rivelare gli antineutrini sono ν¯e p → ne+

Esoglia = 1.8M eV ,

ν¯e d → nne+

Esoglia = 4.0M eV ,

np¯ νe

Esoglia = 2.3M eV .

ν¯e d →

Dedichiamo qualche attenzione alla prima utilizzata in vari esperimenti, fra cui quello di G¨ osgen. Per identiﬁcare la reazione di assorbimento di ν¯e si utilizzano i seguenti processi: 1

Presso i reattori nucleari `e possibile eﬀettuare solo esperimenti di “scomparsa”. Infatti, per eﬀettuare un esperimento di “comparsa” occorrebbe rivelare, per esempio, la presenza di antineutrini ν¯μ prodotti dall’oscillazione ν¯e → ν¯μ tramite la reazione ν¯μ + X → μ+ + X. Ma antineutrini con E < 10 M eV hanno energia troppo bassa per produrre i leptoni μ la cui massa `e 105.6 M eV .

16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari

431

+3 He → 3 H + p + 76 keV ↑ ν¯e + p → n + e+ ↓ +e− → 2γ L’energia dell’antineutrino `e direttamente correlata con l’energia del positrone: E ν + m p = Ee + m n + T n ∼ = Ee + m n , (16.30) Eν ∼ = Ee + 1.3 M eV . Lo schema delle misure `e come segue. Gli antineutrini interagiscono con i protoni di un materiale scintillatore che funge sia da bersaglio che da rivelatore dei γ emessi dall’annichilazione di e+ su elettroni dello stesso mezzo (vedi ﬁg. 16.8). Il neutrone viene catturato da un nucleo di 3 He che appartiene al gas

Fig. 16.8. (a) Schema di dispositivo per la misura della reazione ν¯e + p → e+ + n (b) Il rivelatore consiste di 30 celle di scintillatore liquido per la rivelazione di e+ combinate con cinque rivelatori costituiti da camere a ﬁli riempite di 3 He per la rivelazione di neutroni. [1]

di riempimento di una camera a ﬁli. Nel caso dell’esperimento di G¨ osgen l’apparato era tale da fornire la posizione del vertice degli eventi primario e secondario. Furono eﬀettuate misure a tre distanze diﬀerenti fra rivelatore e nocciolo del reattore: 37.9, 45.9 e 64.7 m. Particolare cura fu dedicata sia alla

432

16 Oscillazioni di neutrino

riduzione del fondo con opportuni accorgimenti sia alla determinazione del fondo residuo e alla sua sottrazione. I risultati sperimentali sono stati analizzati in diﬀerenti modi, che descriviamo negli aspetti essenziali. i) In ﬁg. 16.9 sono mostrati gli spettri dei positroni misurati alle tre distanze. Essi sono confrontati con spettri calcolati con la (16.14) nell’ipotesi di assenza di oscillazioni (Pa = 1) utilizzando lo spettro dei neutrini misurato (eq. (16.29)) e la sezione d’urto (vedi eq. (7.116) del cap. 7) σ (Eν¯ ) = 2.37 · 10−44 ×

( )1/2 1 2 [Eν¯ − 1.29] [ Eν¯ − 1.29] − 0.26 cm2 . βν¯ (16.31)

La distribuzione energetica dei positroni `e correlata a quella dei neutrini dalla relazione (16.30). L’accordo fra dati e calcoli indica che le oscillazioni sono assenti o molto deboli. In tab. 16.1 sono riportati i valori del rapporto Rasper /Rateor , con Ra deﬁnito dalla (16.15). Con riferimento a ﬁg. 16.9a, osserviamo che Rateor misura l’area sottesa dalla linea teorica continua e Rasper quella sottesa dalla distribuzione sperimentale. Come si vede, i rapporti sono compatibili con 1 e ci` o indica assenza di oscillazioni. Tabella 16.1. Confronto fra le misure di oscillazione di antinetrino elettronico a varie distanze e stime teoriche nell’ipotesi di assenza di oscillazione. (G¨ osgen) L 38 m

Rasper /Rateor 1.018 ± 0.065

Rasper (i) /Rasper (L = 38 m) −−

46 m

1.045 ± 0.065

1.027 ± 0.034

65 m

0.975 ± 0.072

0.958 ± 0.053

ii) In ﬁg. 16.10 sono riportati due diagrammi nel piano Δm2 −sen2 2θ ottenuti utilizzando in diverso modo le informazioni sperimentali. Incominciamo a descrivere l’analisi che ha condotto al diagramma di ﬁg. 16.10a. In questa analisi non vengono utilizzati n´e lo spettro dei neutrini di eq. (16.29), n´e la sezione d’urto (16.31). Spettro e sezione d’urto sono considerate quantit` a incognite da determinare in base all’analisi dei dati, cos`ı come i parametri caratteristici delle oscillazioni Δm2 e sen2 2θ. A questo ﬁne viene introdotta una funzione che rappresenta il prodotto (ﬂusso × sezione d’urto); essa viene espressa mediante una somma di esponenziali:

q eAq E (16.32) Φa (E) σa (E) = q

16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari

433

Fig. 16.9. Spettro energetico dei positroni misurato nell’esperimento di G¨ osgen per tre diﬀerenti distanze tra reattore e rivelatore. Le linee continue rappresentano l’andamento calcolato ignorando le oscillazioni e utilizzando per il ﬂusso dei neutrini e per la sezione d’urto di assorbimento informazioni indipendenti dall’esperimento. Le linee tratteggiate sono calcolate usando l’andamento del prodotto (ﬂusso × sezione d’urto) ricavato dall’analisi dell’esperimento.[1]

434

16 Oscillazioni di neutrino

con Aq parametri da determinare (in pratica bastano tre addendi, q = 1, 2, 3). Si considerano intervalli di energia ΔE centrati attorno ai valori Ek e si costruisce la seguente espressione della variabile statistica χ2 : % &2

Rjsper. (Ek ) − Nj Rjcalc. (Ek ) 2 = (16.33) χ = σjk j k

=

j

dove

k

Rjsper.

%

&2 Rjsper. (Ek ) − Nj Rjcalc. Ek , Aq , Lj , sen2 2θ, Δm2 , σjk

`e il valore misurato della frequenza delle interazioni degli

Fig. 16.10. Esperimento di G¨ osgen. I diagrammi mettono in evidenza la regione del piano per la quale i valori di sen2 2θ e Δm2 non sono ﬁsicamente accettabili: la regione `e quella a destra delle linee. Figura a) `e il risultato di un’analisi che tiene conto solo delle misure eﬀettuate a tre distanze diﬀerenti; ﬁgura b) tiene conto anche dello spettro misurato dei neutrini incidenti e della sezione d’urto nota. L’utilizzo di un maggior numero di informazioni porta a una soluzione pi` u restrittiva. Le curve continue e tratteggiate si riferiscono a diﬀerenti livelli di conﬁdenza. [1]

antineutrini elettronici di energia Ek alla distanza Lj ; Rjcalc. `e la corri-

16.2 Esperimenti di oscillazione presso reattori nucleari

435

spondente quantit` a calcolata tramite la (16.16) e la (16.32), σjk `e l’errore di misura e Nj `e il peso relativo della misura alla distanza Lj . La soluzione del problema `e data dai valori delle incognite Aq , Nj , sen2 2θ o si veriﬁca per e Δm2 per i quali χ2 ha il valore minimo. Ci` sen2 2θ = 0.10 ,

Δm2 = 0.87 eV 2 .

Tuttavia, a causa degli errori sperimentali, sono statisticamente accettabili anche valori che si discostano dai precedenti. Per valutare l’estensione della regione di valori accettabili, `e stato studiato l’andamento della variabile statistica 1 2 χ Δm2 , sen2 2θ − χ2min λ Δm2 , sen2 2θ = 2 che misura lo scostamento da χ2min . Come risultato si `e ottenuto che i punti che cadono nella regione a sinistra della linea continua di ﬁg. 16.10a sono soluzioni accettabili con la probabilit` a (o con il livello di conﬁdenza) del 90%. Rileviamo che l’andamento della funzione (16.32), con i valori dei coeﬃcienti Aq corrispondenti a χ2min , `e compatibile con la funzione data dal prodotto di eq. (16.29) con eq. (16.31). Ci` o `e messo in evidenza dall’andamento della linea tratteggiata di ﬁg. 16.9, calcolata utilizzando la (16.32), molto simile a quello della linea continua gi` a descritta. iii) L’analisi basata sul procedimento di minimizzazione di χ2 `e stata ripetuta assumendo noti il ﬂusso dei neutrini e la sezione d’urto conformemente alla (16.29) e alla (16.31). Il χ2 minimo `e stato ottenuto per sen2 2θ = 0.057 ,

Δm2 = 0.88 eV 2 .

e la regione di valori accettabili col livello di conﬁdenza del 90% `e quella a sinistra della linea continua di ﬁg. 16.10b. Va rilevato che la regione di valori accettabili `e meno estesa che in ﬁg. 16.10a. Ci`o `e dovuto al fatto che in questa seconda analisi si utilizza un maggior numero di informazioni a priori o, equivalentemente, si impongono maggiori restrizioni alla variabilit` a delle incognite. Dalla ﬁgura si evince che, per Δm2 suﬃcientemente grande, sen2 2θ tende al valore 0.21 indipendente da Δm2 e che per a delle oscillazioni) Δm2 < 0.019 eV 2 . sen2 2θ = 1 (massima intensit` Sia dall’analisi ii) che dall’analisi iii) risulta che la soluzione Δm2 = 0, sen2 2θ = 0 (assenza di oscillazione) `e del tutto accettabile. Tenuto conto anche dell’analisi i), l’esperimento descritto non consente di aﬀermare l’esistenza delle oscillazioni. Risultati negativi (o positivi ma in modo non convincente) sono stati ottenuti in vari altri esperimenti eﬀettuati con distanza L fra reattore e rivelatore di neutrini ﬁno a 1 km (vedi ﬁg. 16.11). Inﬁne, un risultato inequivocabilmente positivo `e stato ottenuto dall’esperimento KamLAND nel corso del 2002 con L dell’ordine di 180 Km.

436

16 Oscillazioni di neutrino

16.2.2 L’esperimento KamLAND Poich´e lo spettro energetico degli antineutrini `e circa lo stesso per tutti i reattori, per la (16.8) la distanza L `e eﬀettivamente il parametro discriminante fra questo esperimento e i precedenti.

Fig. 16.11. Rapporto fra il ﬂusso di antineutrini osservato e quello atteso nell’ipotesi di assenza di oscillazione in vari esperimenti condotti presso reattori nucleari con diﬀerenti distanze fra reattore e rivelatore di antineutrini. [11]

KamLAND `e un esperimento eﬀettuato in Giappone mediante un apparato installato nel sito utilizzato anche per gli esperimenti Kamiokande e Superkamiokande (vedi cap. 13) e costituito da un grande volume di scintillatore liquido circondato da un elevato numero di fotomoltiplicatori (ﬁg. 16.12). L’apparato risulta naturalmente esposto al ﬂusso dei neutrini provenienti da tutti i reattori in funzione in Giappone; il 79% del ﬂusso proviene da 26 reattori dislocati a una distanza variabile da 138 a 214 km dal rivelatore; la distanza media `e di circa 180 km. Gli antineutrini sono rivelati mediante la successione di reazioni ν¯e + p → n + e+ , e+ + e− → 2γ(0.5 M eV ) , n + p → d + γ(2.22 M eV )

Δτ = 200 μs ,

dove l’ultima avviene con un certo ritardo rispetto alla seconda. Contribuiscono alla prima reazione i neutrini con energia superiore a 1.8 M eV . L’analisi dei dati, eﬀettuata in modo simile a quella dell’esperimento di G¨ osgen, ha portato ai risultati illustrati nelle ﬁgure 16.13 e 16.14. Fig. 16.13 mostra lo

16.3 I neutrini solari

437

spettro energetico degli antineutrini stimato nell’ipotesi di assenza di oscillazioni e quello misurato: il secondo ha senza dubbio un’intensit` a inferiore al primo e costituisce l’evidenza della scomparsa di antineutrini elettronici. Il rapporto tra le intensit` a dei due ﬂussi `e 0.611 ± 0.085 ± .0.041 (vedi in ﬁg. 16.11): la probabilit` a che esso sia compatibile con 1 `e inferiore allo 0.05%.

Fig. 16.12. Apparato sperimentale di KamLAND. [11]

Fig. 16.14 mostra il risultato della ricerca dei valori dei parametri d’oscillazione Δm2 e sen2 2θ. La regione ﬁsicamente accettabile `e, in prima approssimazione, quella compresa fra le due linee con estremi in AB e CD, con luogo di massima probabilit` a individuato dal punto E di coordinate Δm2 ≈ 5.5 · 10−5 eV 2 e sen2 2θ ≈ 1.

16.3 I neutrini solari Lo studio dei neutrini solari nel cap. 13 `e stato condotto con l’intenzione primaria di veriﬁcare la validit` a dei modelli solari fondati sui processi di fusione nucleare e del decadimento β. Tuttavia, esso `e pertinente anche al fenomeno delle oscillazioni, come si `e gi`a rilevato nei par. 13.4 e 13.5. Infatti, nel cap. 13 `e stato messo in evidenza che il ﬂusso dei neutrini solari misurato in vari esperimenti `e sistematicamente inferiore al valore previsto dai modelli solari. La diﬀerenza non `e attribuibile a carenze degli esperimenti o dei modelli, ma a propriet` a intrinseche dei neutrini, in virt` u delle quali il numero di neutrini solari (vedi tab. 13.5 del cap. 13) `e consistente con il valore di 0.611 osservato

438

16 Oscillazioni di neutrino

` naturale ritenere che la causa del deﬁcit per gli antineutrini in KamLAND. E dei neutrini solari sia il fenomeno delle oscillazioni. Un’analisi dei dati solari condotta con criteri simili a quelli illustrati nel −5 e per sen2 2θ un par. 16.2.1 fornisce per Δm2 il valore otimale 6.5+4.4 −2.3 · 10 2 valore “grande” (≈ 0.85); l’errore inferiore su Δm permette di escludere con puona probabilit` a il valore 0. Un’analisi relativa ai dati solari unitamente a −5 eV 2 , quelli di KamLAND fornisce per Δm2 il valore ottimale 8.0+0.6 −0.4 · 10 che ha lo stesso ordine di grandezza del precedente ma esclude con pi` u elevata probabilit` a il valore 0 [13]. Per quanto riguarda l’ordine di grandezza di 10−5 , ` utile anche ricordare che il esso `e consistente con le indicazioni di ﬁg. 16.4. E valore Δm2 caratteristico delle oscillazioni di stranezza `e dell’ordine di 10−6 (par. 14.4.1 del cap. 14).

Fig. 16.13. In alto: spettro energetico degli antineutrini stimato trascurando eventuali oscillazioni. Nella stima del ﬂusso si `e tenuto conto, oltre che degli antineutrini da reattore, anche di antineutrini di origine terrestre. In basso: confronto fra lo spettro atteso e quello misurato. [11]

Dunque, gli esperimenti sui neutrini solari permettono non solo di veriﬁcare la validit` a dei modelli solari, ma anche di mettere in evidenza, alla luce del fenomeno delle oscillazioni, che i neutrini (gli antineutrini) hanno massa il cui valore deve essere inferiore a circa 2 eV , come indicato dalle misure sullo spettro energetico degli elettroni emessi dal trizio (cap. 8). Va sottolineato, inﬁne, che il deﬁcit di neutrini rilevato nei diversi esperimenti, sia esso da attribuire alle oscillazioni o ad altre cause, costituisce una violazione della conservazione del numero leptonico.

16.4 I neutrini atmosferici

439

Fig. 16.14. La regione ﬁsicamente accettabile per i parametri d’oscillazione ` e quella compresa fra le linee AB e CD. [11]

16.4 I neutrini atmosferici L’ipotesi dell’esistenza delle oscillazioni di neutrino `e confortata anche da alcuni esperimenti (ma non tutti) rivolti allo studio dei cosiddetti neutrini atmosferici, neutrini di origine diversa dalle reazioni di fusione sul sole. Essi sono prodotti dal decadimento dei mesoni π e dei leptoni μ, i primi prodotti dall’interazione dei protoni della radiazione cosmica con gli atomi dell’atmosfera terrestre e i secondi dal decadimento dei mesoni (cap. 2): p + A → π± + X , π ± → μ± + νμ (¯ νμ ) , ±

±

μ →e

+ νe (¯ νe ) + ν¯μ (νμ ) .

(16.34) (16.35)

Questi neutrini hanno energie molto pi` u elevate (oltre 100 M eV ) di quelle dei neutrini prodotti nelle reazioni sul sole (< 20 M eV ) e provengono in modo isotropo da tutte le direzioni dello spazio, mentre i neutrini solari provengono lungo la direzione Sole-Terra. Fra gli esperimenti dedicati alla studio dei neutrini atmosferici ﬁgura anche l’esperimento Super-Kamyokande gi` a descritto, che ha ottenuto i risultati statisticamente pi` u ricchi. In questo esperimento i neutrini sono rivelati mediante reazioni con un sola particella carica nello stato ﬁnale quali νe ) + e− → νe (¯ νe ) + e− , νe (¯

(16.36)

νμ + p → μ+ + n .

(16.37)

Muoni ed elettroni sono riconosciuti sulla base dell’energia rilasciata per eﬀetto Cerenkov e dell’estensione del cono di luce associato.

440

16 Oscillazioni di neutrino

Poich´e i neutrini e gli antineutrini muonici sono emessi in entrambe le reazioni in successione (16.34) e (16.35) e quelli elettronici nella sola reazione (16.35), ci si aspetta che i ﬂussi di neutrini muonici ed elettronici da esse prodotti (ﬂussi primari) siano nel rapporto Φ(νμ + ν¯μ ) ≈2 Φ(νe + ν¯e )

(16.38)

Tuttavia, se esiste il fenomeno delle oscillazioni di sapore, nel tragitto fra i punti di produzione dei neutrini (ossia nei punti dove avvengono i decadimenti (16.34) e (16.35)) e il bersaglio dell’apparato di rivelazione possono avvenire le seguenti trasformazioni νe −→ νμ (16.39) νμ ←→ ντ che possono alterare il valore del rapporto (16.38). I ﬂussi dei neutrini elettronici e di quelli muonici (Φe e Φμ ) sono ricavabili in due modi: (a) dallo studio del ﬂusso dei π e dei μ e delle reazioni (16.34) e (16.35) e (b) dallo studio delle reazioni (16.36) e (16.37) mediante le relazioni Ne ∝ Φe σe , Nμ ∝ Φμ σμ ,

(16.40)

dove N indica il numero di interazioni di elettroni e muoni misurate e σ la loro sezione d’urto, che si assume essere nota. Se non c’`e il fenomeno delle oscillazioni, ci si aspetta che, per interazioni di neutrini elettronici e muonici rispettivamente, i valori ottenuti nei due modi siano uguali; altrimenti possono essere diversi. In pratica, per ovviare a errori sistematici di varia origine su cui sorvoliamo, invece del rapporto (16.38), si preferisce studiare il rapporto R=

(Nμ /Ne )sperimentale (Nμ /Ne )montecarlo

(16.41)

dove al denominatore compare il numero di eventi calcolato sulla base dei ﬂussi determinati nel modo (a). In assenza di oscillazioni (o di altri fenomeni che alterino i ﬂussi originari), R deve essere uguale a 1. In realt`a, nell’esperimento Super-Kamyokande risulta R = 0.61 ± 0.03 ± 0.05 in accordo con altri tre esperimenti con statistica elevata. Si ha, pertanto, una signiﬁcativa deviazione da 1, che pu` o essere interpretata come una manifestazione di oscillazione. Altri due esperimenti con statistica pi` u povera trovano, invece, R ∼ 1. In questi esperimenti l’energia dei neutrini `e dell’ordine di 1 GeV . Pi` u approfondite analisi di questi esperimenti sembrano indicare una diminuzione del ﬂusso di neutrini muonici.

Bibliograﬁa

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Commiato Al termine di queste lezioni che ci hanno condotto ai conﬁni delle nostre conoscenze, piace all’autore invitare il lettore, che ha indagato la natura con l’occhio del ﬁsico, a riﬂettere sul cammino percorso e a scrutare oltre l’incerto conﬁne tra il noto e l’ignoto con l’occhio dell’investigatore dell’animo umano: Volevo esplorare il contorno di un’isola e ho scoperto la vastit` a dell’oceano. L. Wittgenstein Ma sedendo e mirando, interminabili spazi di l` a da quella, e sovrumani silenzi, e profondissima qu¨ıete io nel pensier mi ﬁngo; ove per poco il cor non si spaura. ... Cos`ı tra questa immensit` a s’annega il pensier mio: e il naufragar m’`e dolce in questo mare. da L’inﬁnito di Giacomo Leopardi Quando contemplo il cielo, opera delle tue mani. la luna e le stelle che vi hai collocato.... che cosa `e l’uomo, perch´e ti ricordi di lui.. ? Eppure Tu l’hai fatto poco meno di un dio, l’hai coronato di gloria e maest` a, gli hai dato il dominio sull’opera delle tue mani, a lui hai sottomesso ogni cosa. O Signore, quanto grande `e il tuo nome su tutta la terra! dal Salmo 8

17 Appendice

17.1 Formule cinematiche 17.1.1 Formule relativistiche 1

Notazioni: m = massa (a riposo) p = impulso β = v/c

γ=

E = energia totale T = energia cinetica M = mc2 P = pc

1 E = M 1 − β2

γ−1=

T M

E =M +T =

T =E−M =

√

M

P2 + M2 =

1 − β2

√

= Mγ

⎛$ P2 + M2 − M = M ⎝

1+

P M

2

⎞

%

− 1⎠ = M

1

1 − β2

& −1

= M (γ − 1) P =

1

√

E2 − M 2 =

√

β

T 2 + 2M T = M

1−

β2

= βE = M βγ = M

γ2 − 1

Per approfondimenti sugli argomenti di questo paragrafo vedere, per esmpio, A. Michalowicz, Cinematique des R´ eactions Nucl´eaires, Dunod, Paris (1964)

446

17 Appendice

P P =√ β= = 2 E P + M2 Se M = 0

M2 1− 2 = E

√

T 2 + 2M T = E

γ2 − 1 γ

β=1 E=T =P

17.1.2 Principi di conservazione i) Collisione fra una particella 1 di energia cinetica T1 e una particella 2 di energia cinetica T2 con produzione di n particelle: 1 + 2 → 3 + 4 + .... + n Considereremo solo il caso in cui le velocit`a di 1 e 2 sono collineari. a) Conservazione dell’energia: E1 + E2 = E3 + E4 + .... + En (M1 + M2 )+(T1 + T2 ) = (M3 + M4 + .... + Mn )+(T3 + T4 + .... + Tn ) Q = (M1 + M2 )−(M3 + M4 + .... + Mn ) = (T3 + T4 + .... + Tn )−(T1 + T2 ) Q = Miniziale − Mf inale = Tf inale − Tiniziale Q > 0 reazione esotermica M1 + M2 > M3 + M4 + .... + Mn T1 + T2 < T3 + T4 + .... + Tn Q < 0 reazione endotermica T1 + T2 > T3 + T4 + .... + Tn M1 + M2 < M3 + M4 + .... + Mn Q = 0 reazione elastica M1 + M2 = M3 + M4 + .... + Mn T1 + T2 = T3 + T4 + .... + Tn b) Conservazione dell’impulso: P 1 + P 2 = P 3 + P 4 + .... + P n ii) Una particolare reazione esotermica `e il decadimento di una particella in n particelle: 1 → 3 + 4 + .... + n. Q = M1 − (M3 + M4 + .... + Mn ) = (T3 + T4 + .... + Tn ) − T1 > 0

17.1 Formule cinematiche

447

17.1.3 Sistemi di riferimento del laboratorio (L) e del centro di massa (CM ) Reazione: 1+2→3+4 Notazioni: v, β, γ, P , T , E = quantit` a cinematiche di una particella nel L V = velocit`a del CM nel L B = V /c √ Γ = 1/ 1 − B 2 ¯ γ¯ , P¯ , T¯, E ¯ = corrispondenti quantit` v¯, β, a nel CM V¯ = 0 i) L’energia cinetica totale nel L `e data dalla somma di due contributi: uno associato al moto relativo delle particelle 1 e 2 nel sistema di riferimento in cui il loro centro di massa (CM ) `e in quiete (V¯ = 0) e l’altro associato al moto del CM rispetto al L. L’energia eﬃcace nella collisione `e l’energia nel CM . Le particelle 1 e 2 sono caratterizzate nel sistema di riferimento del CM dalla condizione (vedi ﬁg. 17.1):

Fig. 17.1.

¯ 2 = −P ¯1 P ii) Formule di trasformazione delle coordinate da L a CM :

448

17 Appendice

a) Caso non relativistico (trasformazioni di Galileo): t¯ = t

x ¯=x+Vt

y¯ = y

z¯ = z

v¯x = vx + V

v¯y = vy

v¯z = vz

b) Caso relativistico (trasformazioni di Lorentz): x−Vt x ¯= √ 1 − B2 v¯x =

vx − V vx 1−B c

y¯ = y

z¯ = z

√ v¯y = vy

1 − B2 vx 1−B c

x t−B c t¯ = √ 1 − B2

√ v¯z = vz

1 − B2 vx 1−B c

Le formule inverse si ottengono scambiando x con x ¯, vx con v¯x , ecc. e sostituendo V con −V . T2 = 0 , iii) Reazione 1 + 2 → 3 + 4 + ..... + n T1 = 0, B=

P1 + P2 P1 + P2 V = = c E1 + E2 Et

a) Particella 2 in quiete: P2 = 0

B=

b) Limite non relativistico: T1 M1 B=

P1 E1 + M2 T2 M 2

P1 + P2 M1 β1 + M2 β2 = M1 + M2 M1 + M2

iv) La quantit` a E 2 − P 2 `e un invariante relativistico, quindi ¯ 2 − P¯ 2 E2 − P 2 = E 2 2 ¯1 +P ¯2 2 = ¯1 + E ¯2 2 − P (E1 + E2 ) − (P 1 + P 2 ) = E 2 2 ¯3 +P ¯4 2 ¯3 + E ¯4 2 − P = (E3 + E4 ) − (P 3 + P 4 ) = E

17.1 Formule cinematiche

449

17.1.4 Relazioni fra le quantit` a cinematiche di una particella nei sistemi del L e del CM L β=

CM

¯+B β¯ + B P¯ /E = ¯ ¯ ¯ 1 + B P /E 1 + βB ¯ γ = γ¯ Γ 1 + βB

β−B P/E − B = β¯ = ¯ 1 − βB 1 − BP/E ¯ γ¯ = γ¯ Γ 1 − βB

¯ + P¯ B E = EΓ ¯ 1 + βB ¯ P = M βΓ = P¯ Γ

¯ = EΓ − P B E

B 1+ ¯ β

=

β ¯ ¯ = Γ P¯ + EB = P¯ ¯ 1 + βB β Γ =√

P¯ = M βΓ (1 − βB) = P Γ = Γ (P − EP ) = P

1 1 − B2

B2Γ 2 = Γ 2 − 1 Limite non relativistico : β → 0, γ → 1, B → 0, Γ → 1

B 1− β

β¯ (1 − βB) β

=

450

17 Appendice

17.1.5 Relazioni fra le quantit` a cinematiche nel√sistema del L e del CM (formule non relativistiche, T M , P = 2M T ) Reazione: 1+2→3+4

T2 = 0

Caso generale

Urto Elastico M1 = M3 M 2 = M4

Urto Elastico M 1 = M2 = = M3 = M 4

V

M1 v1 M1 + M2

←

v1 2

v¯1

M2 v1 M1 + M2

←

v1 2

v¯2

M1 v1 M1 + M2

←

v1 2

←

T1 4

„ T¯1

M2 M 1 + M2

«2 T1

T¯

M 1 M2 T1 (M1 + M2 )2

←

T1 4

T¯t = T¯1 + T¯2

M2 T1 M1 + M2

←

T1 2

v¯3

c

v¯4

c »

P¯3 = P¯4

"

` ´ #1/2 2M4 T¯t + Q M3 (M3 + M4 )

M2 v1 M1 + M2

v1 2

"

` ´ #1/2 2M3 T¯t + Q M4 (M3 + M4 )

M1 v1 M1 + M2

v1 2

M2 P1 M 1 + M2

P1 2

2M3 M4 (T¯t + Q) M 3 + M4

–1/2

T¯3

M4 (T¯t + Q) M 3 + M4

M22 T1 (M1 + M2 )2

T1 4

T¯4

M3 (T¯t + Q) M 3 + M4

M1 M2 T1 (M1 + M2 )2

T1 4

17.1 Formule cinematiche

451

17.1.6 Relazioni fra le quantit` a cinematiche nel sistema del L e del √ CM (formule relativistiche, P = 2M T + T 2 ) Reazione: 1+2→3+4

T2 = 0

Caso generale

Urto Elastico M1 = M3 M 2 = M4

B

P1 E 1 + M2

P1 E 1 + M2

β¯1

M2 P1 M12 + E1 M2

←

B

β¯2

P1 E 1 + M1

←

B

¯t E

Et Γ

¯3 E

¯t2 + M32 − M42 E = ¯t ` 2E ´ 2 2 2 Et + Γ M3 − M42 = 2Γ Et

M2 BΓ β¯3

¯4 E

¯t2 + M42 − M32 E = ¯t ` 2E ´ Et2 + Γ 2 M42 − M32 = 2Γ Et

M2 Γ

β¯3

M2 B s „ « M1 M2 2 1 + B2 −1 2 M1

β¯4

B

P¯3 = P¯4

M2 BΓ

Urto Elastico M1 = M2 = = M3 = M4 = M p

T1 / (2M + T1 )

r

M 2 + M T1 2

E¯3

B

B r

M T1 2

452

17 Appendice

17.1.7 Energia di soglia Se una reazione `e endotermica (Q < 0), essa pu`o veriﬁcarsi solo se l’energia cinetica T1 `e superiore a un valore minimo Ts , detto energia di soglia. Tale valore corrisponde alle condizioni v¯3 = v¯4 = .... = 0 v3 = v4 = .... = V i) Reazione: 1 + 2 = 3 + 4 + .... + n, T2 = 0: Ts =

−Q [−Q + 2 (M1 + M2 )] 2M2

¯ts = M3 + M4 + .... = M1 + M2 + Q Ets /Γ = E B=

Ps M1 + M2 + Ts

Energia della particella ﬁnale k-esima nel L in corrispondenza di T1 = Ts : Tks = Mk

Ts + Q . M1 + M2 − Q

ii) Reazione: 1 + 2 = 3 + 4 + .... + n, T2 = 0, p1 e p2 antiparalleli. L’energia di soglia `e data dalla soluzione della seguente equazione: 2

4Ts2 M22 − 4Ts [2M1 M2 T2 + aE2 ] + (2M1 T2 − a) = 0 a = −2Q (M1 + M2 ) + Q2 Tks = Mk B=

Ts + T2 + Q M1 + M2 − Q Ps − P2 Es + E2

17.1 Formule cinematiche

453

17.1.8 Decadimenti i) Decadimento in quiete: 1 → 3 + 4 T1 = 0 (i sistemi del L e del CM coincidono): B = 0Γ = 1 ¯ t = M1 Et = E 2 2 2 ¯3 = M1 + M3 − M4 E3 = E 2M1

(M1 − M3 )2 − M42 T3 = T¯3 = 2M1 ii) Decadimento in volo: 1 → 3 + 4 B = β1

T1 = 0 ¯ t = M1 Γ = γ1 E

2 2 2 ¯3 = M1 + M3 − M4 E 2M1 2 2 2 ¯4 = M1 + M4 − M3 E 2M1

iii) Le relazioni in i) e ii) si applicano anche alle interazioni di due particelle entrambe in quiete o entrambe in volo con la stessa velocit` a nel L. In questi casi M1 `e uguale alla somma delle masse delle due particelle.

454

17 Appendice

17.2 Tabelle

Tabella 17.1. Costanti fondamentali nelle unit` a usuali Costante

Simbolo Equazione

Valore

Velocit` a della luce

c

299 792 458 m s−1

Costante di Planck

h

6.626 075 5(40) × 10−34 J s

Costante di Planck

= h/2π

1.054 572 66(63) × 10−34 J s = 6.582 122 0(20) × 10−22 M eV s

Valore della carica dell’elettrone

e e

1.602 177 33(49) × 10−19 C 4.803 206 8(15) × 10−10 esu

Costante di conversione

c

197.327 053(59) M eV f m

Massa dell’elettrone

me

0.510 999 06(15) M eV /c2 = 9.109 389 7(54) × 10−31 kg

Massa del protone

mp

938.272 31(28) M eV /c2 = 1.672 623 1(19) × 10−27 kg = 1.007 276 470(12)u = 1836.152 701(37)me

Massa del neutrone

mn

939.56 563(28) M eV /c2

Permittivit` a nel vuoto

0

Permeabilit` a nel vuoto

μ0

Costante di struttura ﬁne

α = e2 /4π0 c

1/137.035 989 5(61)

Lunghezza d’onda Compton dell’elettrone

− λ = /me c = re α−1

3.861 593 23(35) × 10−13 m

Magnetone di Bohr

μB = e/2me

5.788 382 63(52) × 10−11 M eV T −1

Magnetone nucleare

μN = e/2mp

3.152 451 66(28) × 10−14 M eV T −1

Costante di gravitazione universale

GN

6.672 59(85) × 10−11 m3 kg −1 s−2 = 6.707 11(86) × 10−39 c(GeV /c2 )−2

Accelerazione di gravit` a a livello del mare

g

9.806 65 ms−2

Numero di Avogadro

NA

6.022 136 7(36) × 1023 mol−1

Costante di Boltzman

k

1.380 658 × 10−23 JK −1 = 8.617 385(73) × 10−5 eV K −1

1 in = 0.0254 m 1˚ A = 10−10 m 1 f m = 10−15 m 1 anno = 3.155 × 107 s

1 barn = 10−28 m2 1 dina = 10−5 newton (N ) 1 erg = 10−7 joule (J)

1 caloria = 4.1840 J 0o C = 273.15 K 1 atm. = 1.013 25 × 105 N/m2

1 gauss (G) = 10−4 tesla (T ) 1 eV /c2 = 1.782 662 70(54) × 10−36 kg

= 0 μ0 = 1/c2

8.854 187 817... × 10−12 F m−1 4π × 10−7 N A−2 = 12.566 370 614... × 10−7 N A−2

1 eV = 1.602 177 33(49) × 10−19 J 2.997 924 58 × 109 esu = 1 coulomb (C)

17.2 Tabelle

455

Tabella 17.2. Elenco degli elementi in ordine alfabetico Nome

Simb.

Z

M(u)

Nome

Simb.

Z

M(u)

Afnio Alluminio Americio Antimonio Argento Argon Arsenico Astato Attinio Azoto Bario Berchelio Berillio Bismuto Boro Bromo Cadmio Calcio Californio Carbonio Cerio Cesio Cloro Cobalto Cripto Cromo Curio Darmstadtio Disprosio Einsteinio Elio Erbio Europio Fermio Ferro Fluoro Fosforo Francio Gadolinio Gallio Germanio Hahnio # Hassio Idrogeno Indio Iodio Iridio Itterbio Ittrio Lantanio Lawrenzio Litio Lutezio Magnesio Manganese Meitnerio

Ha Al Am Sb Ag A(Ar) As At Ac N Ba Bk Be Bi B Br Cd Ca Cf C Ce Cs Cl Co Kr Cr Cm Ds Dy Es He Er Eu Fm Fe F P Fr Gd Ga Ge Ha Hs H In I Ir Yb Y La Lr Li Lu Mg Mn Mt

72 13 95 51 47 18 33 85 89 7 56 97 4 83 5 35 48 20 98 6 58 55 17 27 36 24 96 110 66 99 2 68 63 100 26 9 15 87 64 31 32 105 108 1 49 53 77 70 39 57 103 3 71 12 25 109

178.49 26.98 243.06∗ 121.76 107.87 39.95 74.92 209.99∗ 227.03∗ 14.01 137.33 247.07∗ 9.01 208.98 10.81 79.90 112.41 40.08 251.08∗ 12.01 140.11 132.90 35.45 58.93 83.80 52.00 247.07∗ 273∗ 162.50 252.08∗ 4.00 167.26 151.9 257.09∗ 55.85 19.00 30.97 223.02∗ 157.25 69.72 72.59 262.11∗ 265.13∗ 1.008 114.82 126.90 192.22 173.04 88.90 138.91 262.11∗ 6.94 174.97 24.31 54.94 266.14∗

Mendeleevio Mercurio Molibdeno Neodimio Neon Nettunio Nichelio Nielsbohrio Niobio Nobelio Olmio Oro Osmio Ossigeno Palladio Piombo Platino Plutonio Polonio Potassio Praseodimio Promezio Protattinio Radio Radon Rame Renio Rodio Rubidio Rutenio Rutherfordio Samario Scandio Seaborghio Selenio Silicio Sodio Stagno Stronzio Tallio Tantalio Tecnezio Tellurio Terbio Titanio Torio Tulio Tungsteno Uranio Vanadio Xenon Zinco Zirconio Zolfo

Md Hg Mo Nd Ne Np Ni Ns Nb No Ho Au Os O Pd Pb Pt Pu Po K Pr Pm Pa Ra Rn Cu Re Rh Rb Ru Rf Sm Sc Sg Se Si Na Sn Sr Tl Ta Tc Te Tr Ti Th Tm W U V Xe Zn Zr S

101 80 42 60 10 93 28 107 41 102 67 79 76 8 46 82 78 94 84 19 59 61 91 88 86 29 75 45 37 44 104 62 21 106 34 14 11 50 38 81 73 43 52 65 22 90 69 74 92 23 54 30 40 16

258.10∗ 200.59 95.94 144.24 20.18 237.05∗ 58.69 262.12∗ 92.91 259.10∗ 164.93 196.97 190.23 16.00 106.42 207.2 195.08 244.0∗ 208.98 39.10 140.91 144.91 231.03 226.02∗ 222.02∗ 63.55 186.21 102.90 85.47 101.07 261.11 150.36 44.96 263.12 78.96 28.03 22.99 118.71 87.62 204.38 180.95 97.91∗ 127.60 158.92 47.90 232.04∗ 168.93 183.85 238.03 50.94 131.29 65.39 91.22 32.07

Altre denominazioni Bohrio #Dubnio

Bh Dn

107 105

* Massa del radioisotopo a vita media pi` u lunga

Gli elementi di recente scoperta con Z = 112, 114 e 116 non sono stati ancora denominati.

456

17 Appendice

Tabella 17.3. Massa atomica, massa nucleare, energia di legame, eccesso di massa. Normalmente per massa di un nucleo si intende la massa dell’atomo relativo. La massa pu` o essere ottenuta da apposite tabelle, oppure pu` o essere ricavata da tabelle che riportano l’energia di legame o da tabelle che riportano l’eccesso di massa. M (Z, N )c2 = massa nucleare di un nucleo con Z protoni e N neutroni M (Z, N ) c2 = ZMp c2 + N Mn c2 − B (Z, N ) B(Z, N ) = energia di legame del nucleo (dell’ordine di A · 7 M eV ) Ma (Z, N )c2 = massa atomica (massa del nucleo pi` u massa degli elettroni legati) Ma (Z, N ) c2 = M (Z, N ) c2 + Zme c2 − BZe me c2 = massa dell’elettrone BZe = energia di legame totale di Z elettroni (dell’ordine di Z · 10 eV ) Be = energia di legame dell’elettrone nell’atomo di H ≈ 13 eV ZBe − BZe ∼ =0 uma = unit` a di massa atomica = 1/12 della massa dell’atomo di Ma (12 C) = 12 uma → 12 · 931.49432(28) M eV (Mp )uma = 1.007276470(12) (Mn )uma = 1.008664904(14) Δ(Z, N )uma = eccesso di massa = Ma (Z, N )uma − A

12

C → 931.49432(28) M eV

ˆ ˜ Δ (Z, N )M eV = ˆMa (Z, N )uma − A × 931.49... M eV = ˜ = Ma (Z, N ) c2 M eV − A × 931.49... M eV Ma (Z, N ) c2 = M (Z, N ) c2 + Zme c2 − BZe ∼ = M (Z, N ) c2 + Zme c2 2 Ma (Z, N ) c = Δ (Z, N )M eV + A × 931.49... M eV 2 B (Z, N ) = ZM N Mn c2 − M´(Z, N ) c2 = ˆ ` pc + ˜ 2 = Z MH c − me c2 + Be + N Mn c2 − Ma (Z, N ) c2 − Zme + BZe = 2 2 2 ∼ = ZMH c + N Mn c − Ma (Z, N )c = ZΔ (H) + N Δ (n) − Δ (Z, N ) Δ (H) = 7.2890 M eV

Δ (n) = 8.0713 M eV

Indice

14

C, 16, 40, 42, 56, 78–87, 203, 228

abbondanza di nuclei sul sole, 313, 326, 329, 339, 346 abbondanza di radionuclidi nel corpo umano, 57 sulla terra, 28, 34, 71, 80 abbondanza isotopica, 27, 33, 57, 350, 355, 404, 409 accettanza angolare, 221, 233 anisotropia γ, 251 annichilazione elettrone-positrone, 169, 206, 275, 315, 334, 431 annichilazione protone-antiprotone, 390 antenna per onde gravitazionali, 335, 339 antineutrino, 2, 34, 157, 163, 166, 216, 218, 256, 260, 291, 300, 334, 348, 380, 393, 396 assorbimento di, 35, 167–169, 202, 205 destrogiro, 260, 299, 380 levogiro, 299, 380 sterile, 380, 393, 396 terrestre, 34 antineutrone, 261, 266, 383 antiparticelle, 157, 215, 260, 271, 289, 299, 379, 381, 397 antiprotone, 38, 261, 390 asimmetria destra-sinistra, 257, 265, 267 attivit` a, 8–16, 21, 27–29, 33, 35, 42, 50, 56–58, 60, 63, 65, 66, 69, 71,

80, 81, 85, 86, 141, 208, 209, 366, 406–408 per unit` a di massa, 9, 27 Bahcall e Pinsonneault, 348 barriera centrifuga, 130, 147, 149 coulombiana, 120, 140, 315, 320, 372 repulsiva, 124 becquerel, 50 calibrazione della radiodatazione, 84, 86 calore terrestre, 32 camera a proiezione temporale, 409 campi di multipolo, 99 elettrico di ordine L, M , 101, 102 magnetico di ordine L, M , 101, 102 regole di selezione, 103, 105, 108 sorgenti dei, 97, 99, 100, 105–107, 109 campo elettromagnetico, 94, 105, 187, 188 sorgenti del, 98, 99 campo magnetico negli apparati, 108, 166, 209, 211, 220, 230, 248, 253, 255, 409 per una carica in moto in campo elettrico, 268 solare, 37, 82 terrestre, 37, 41, 82 cattura elettronica, 26, 157, 162, 164, 172, 204, 222, 254, 300, 315, 351, 355, 359 Chernobyl, 25, 43, 61 chiralit` a, 282

458

Indice

commutazione di H e J, 293 di H e h, 294 regole di, 293 coniugazione di carica C, 261, 263, 265, 291 conservazione dell’energia, 114, 122, 131, 163, 167, 172, 215, 233, 239, 261, 383, 386, 446 conservazione dell’impulso, 49, 91, 117, 168, 170, 172, 240, 274, 446 conservazione della parit` a, 103, 158, 187, 205, 239, 243, 245, 247, 248, 250, 252, 303, 416 controvariante, 277, 278, 296 conversione elettronica interna, 203 convoluzione, 222, 224, 234 coppia e+ e− , 47, 204, 262, 274, 410 correlazioni angolari, 258, 259, 299, 303, 304 corrente leptonica, 305, 384, 385 corrente nucleare, 305, 386 costante d’interazione debole, 183, 186, 187, 299 costante di decadimento, 6, 9, 14, 16, 19, 27, 94, 128, 129, 131, 132, 141, 173, 182, 186, 204, 207, 210 costante di struttura ﬁne, 193, 388 covariante, 277, 296 Cowan e Reines, 168 Cox, 248 CP, 215, 260, 264, 291, 380, 381, 390, 393, 396 curie, 50 danno biologico, 25, 48, 52–56 DARI, 62 datazione dei coralli, 77 dell’Universo, 341 della terra, 77 delle rocce, 69 delle sostanze organiche, 80 decadimenti esotici, 4, 137, 140, 150 decadimenti favoriti, 119, 131, 132, 177, 183, 185, 303 decadimenti in competizione, 9, 30, 91, 92, 140, 141, 143, 186, 204, 205

decadimenti radioattivi, 1, 3–7, 17, 31, 69, 114, 129, 182 decadimento β, 145 β + , 2, 157, 163 β − , 2, 157, 163 β − ritardato, 143 γ, 3, 91, 92 decadimento α, 1, 114, 115, 118–120, 125, 128, 131, 132 decadimento del neutrone, 168, 175, 186, 201, 207, 209, 211, 216, 300 decadimento del protone, 260, 261, 300, 303 delta di Dirac, 16, 175, 188, 190, 235, 302, 405 dendrocronologia, 82–87 densit` a degli stati ﬁnali, 94, 173, 174, 178, 198, 202, 301, 318, 319, 386 densit` a di corrente J , 96, 102, 106, 241, 272–274, 285 densit` a di energia, 191 densit` a di hamiltoniana, 302, 304, 319, 384, 386 densit` a di magnetizzazione, 106 densit` a di probabilit` a, 122, 175, 178, 272–274, 285, 292 negativa, 273, 274 densit` a di probabilit` a di transizione, 173, 177, 178, 386 deposito attivo, 58 diagrammi di Feynman, 197, 274, 300 dipolo elettrico oscillante, 102 magnetico oscillante, 102 dipolo elettrico, 97 distribuzione dell’impulso dei β, 158, 178–180, 182, 203, 206, 221 distribuzione energetica dei β, 157, 216–219, 222–224, 234, 312, 405, 411, 412 distribuzione energetica di Maxwell, 321, 323 doppio decadimento β, 1, 4, 162, 216, 386, 401, 402, 406, 414, 416 con emissione di neutrini, 383, 385, 386, 404, 406, 407, 412 misura del metodo diretto, 408

Indice metodo geochimico, 407 senza emissione di neutrini, 379, 383, 385, 386, 397, 404, 406, 407, 413, 414 dose alta, 59 assorbita, 52, 57 di soglia, 55 eﬃcace, 53 equivalente, 52, 57 media, 59, 61 piccola, 25, 64 eccesso di neutroni, 2, 119, 137, 138, 148, 161, 162, 165, 330 protoni, 137, 138, 161, 162, 165 eccitazione di atomi e molecole, 44, 203, 204, 219, 223, 234 eﬀetti biologici delle radiazioni acuti, 54 beneﬁci, 25, 55, 63 deterministici, 54 genetici, 48 permanenti, 48 reversibili, 48 ritardati, 54 stocastici, 55 eﬀetto Cerenkov, 335, 362, 369, 439 Compton, 46, 47 fotoelettrico, 46, 47 tunnel, 113, 122, 314, 321 eﬃcienza dell’apparato, 366, 368, 425 elemento di matrice di transizione, 173, 174, 301, 386, 387 elemento di matrice nucleare, 180, 183, 184, 388 elettroni Auger, 204, 356, 359, 360 elettroni polarizzati, 258 elicit` a, 243, 247, 248, 260, 261, 263, 271, 278, 281, 292, 299 degli elettroni, 248, 257, 258 del neutrino, 253, 255, 256, 261 del positrone, 258 dell’antineutrino, 256, 260 emissione di deutoni, 143 neutroni, 4, 138, 148

459

neutroni β−ritardati, 149 nuclei leggeri con A > 4, 4, 137, 139, 140 protoni, 4, 138, 141, 142, 145 protoni β−ritardati, 142, 145 energia d’interazione nucleone-nucleone, 197 energia dei γ, 91 energia della radiazione elettromagnetica, 107 energia di legame, 2, 32, 49, 123, 124, 142, 150, 163, 172, 193, 197, 219, 233, 456 energia di legame per nucleone, 114, 117, 123, 142, 150, 160, 166, 327, 328 energia di soglia, 41, 349, 350, 359, 367, 452 energia liberata, 113, 130, 402 nel decadimento α, 113–118, 120, 121, 127, 129, 130, 140, 154 nel decadimento β, 157, 163, 164, 167, 168, 170, 172–174, 183–185, 197, 233, 402 nel decadimento ββ, 407, 412 energia negativa, 273, 279, 282, 290, 292 energia solare ipotesi chimica, 312 gravitazionale, 313 termonucleare, 312, 314, 315, 324, 347, 348 equazione aggiunta, 284 di Dirac, 187, 275 di Klein-Gordon, 273 di Schr¨ odinger, 122, 177, 193, 239, 244, 265, 271 equazioni di Maxwell, 94, 95, 98, 99 equilibrio radioattivo ideale, 11 secolare, 12, 15, 17, 27, 31, 35, 70, 77 esposizione, 50, 52 et` a dell’Universo, 339 et` a della terra, 26, 27, 75 eventi di fondo, 21, 26, 81, 139, 168, 209, 222, 224, 225, 255, 352–356, 358, 359, 361, 363, 369, 408, 410–413, 415, 432

460

Indice

evoluzione delle stelle, 325, 334, 335 famiglie del torio, 56, 73, 120, 137, 339 dell’attinio, 117, 120, 455 dell’uranio, 56, 71, 137, 339, 341, 455 radioattive, 9, 14, 26, 42, 58, 70, 115, 120, 137, 413 fattore di peso wr , 53 di rischio, 55 fattore astroﬁsico, 346, 371, 374, 375 fattore di attenuazione dei γ, 47 fattore di Gamow, 128, 375 fermioni, 168, 172, 260–262, 271, 278, 379 ﬁssione, 4, 28, 42, 72, 154, 429, 430 ﬂusso di antineutrini, 168, 355, 420, 429, 436, 437 ﬂusso di neutrini da supernova, 336 solari, 313, 316, 345, 351, 359, 360, 368, 370, 373, 427, 429 ﬂuttuazioni statistiche, 6, 17, 21, 46, 413 formazione dei nuclei con A ≤ 56, 327 formazione dei nuclei pesanti, 330, 332 formula di Bethe-Bloch, 45 fotoni virtuali, 192 funzione di Kurie, 179, 217, 218, 225, 228, 234 di Yukawa, 189 funzione d’onda antisimmetrica, 318 fusione, 138, 312, 314, 325–330, 346, 439 Gallex, 360 gas nobile, 356, 407 gas perfetto, 311 grandezze dispari, 95–99, 102, 241, 243, 245–247 grandezze pari, 96, 98, 102, 241, 243, 245–247 gray, 52, 57 Hamiltoniana, 94, 190, 201, 239, 245, 247, 319, 395 di Dirac, 277, 278, 280, 289 V+A, 305, 384, 388 V-A, 299, 301–305, 380, 384, 388

immagine speculare, 96, 102, 104, 241–244, 247, 252, 253, 261, 268 incertezza statistica sulla costante di decadimento, 19 sulla datazione, 85 intensit` a delle interazioni, 192, 196 interazione assiale, 175, 187, 318 coulombiana, 165, 176, 181, 189, 190, 201, 216, 217, 372, 386 debole, 165, 167, 169, 173, 175, 178, 184, 185, 187, 190, 192, 195–197, 207, 260, 264, 301, 303, 311, 316, 325, 346, 390, 404 di Fermi, 182, 186, 216, 259, 299, 304 di Gamow-Teller, 183, 259, 299, 304, 319 elettromagnetica, 187, 192, 196, 197 forte, 120, 131, 165, 181, 187, 189, 190, 193, 194, 196, 316, 320, 321, 371, 390 vettoriale, 175 invarianti relativistici, 285–287, 296, 301, 448 invarianza relativistica dell’equazione di Dirac, 294 rispetto a CP, 215, 260, 264 inversione del tempo, 275, 288, 303 inversione delle coordinate spaziali, 95, 96, 102, 158, 240–244, 247, 286, 287, 290, 292, 301 ionizzazione, 16, 44–46, 48, 50, 81, 167, 168, 203, 223, 224, 410 isobari, 2, 3, 28, 119, 120, 128, 137, 143, 157, 159, 161, 162, 181, 330, 331, 401 isola di stabilit` a, 150, 152 isospin, 93, 113, 131, 146, 147, 181–183, 195, 216, 318 isotoni, 159 isotopi, 27–29, 31, 33, 56–58, 72–75, 115, 117, 119, 121, 128, 143, 151, 152, 159, 162, 404 isotropia dello spazio, 240 Kamiokande, 360, 362 Kamiokande II, 336 KamLAND, 436

Indice Klein-Gordon, 191 legge del decadimento radioattivo diﬀerenziale, 5 esponenziale, 5 leggi di conservazione, 239, 261, 272 leptoni, 43, 196, 260, 261, 300–303, 379, 389, 393, 396, 397, 430, 439 Libby, 79 livelli eccitati degli atomi, 27, 206, 220, 233, 234, 331, 352 dei nuclei, 3, 27, 92, 105, 114, 117–119, 131, 142, 143, 145, 158, 172, 182, 203, 249, 254, 328, 331, 352 luminosit` a del sole, 312–314, 316, 323, 324, 346, 348, 359 di uno spettrometro, 221, 228 lunghezza d’onda Compton di una particella, 191, 195, 274, 275 massa atomica e nucleare, 32, 114, 144, 161, 165, 197, 198, 234, 456 del neutrino, 170, 171, 180, 201, 215–220, 223–228, 233, 300, 334, 336, 338, 339, 366, 381, 386, 388, 396, 414, 416 eﬃcace, 164, 166 matrice identit´ a, 276 matrici α e β, 276, 278, 279, 293 matrici γ, 276–278, 288, 304 matrici di spin di Pauli, 265, 276, 278, 280, 281, 293, 306 mesoni, 37, 195–197 π, 37, 43, 192, 197, 247, 383, 439 K neutri, 383, 390, 392, 394 metodi di radiodatazione del 14 C, 78 del piombo, 73 del potassion-argon, 73 del rubidio-stronzio, 74 delle rette isocrone, 74 modelli solari, 313, 315, 345, 346, 366, 369, 370, 373, 379 momento angolare, 96, 113, 117, 118, 131, 133, 146–148, 168, 180, 183,

461

184, 242, 254, 258, 261, 267, 278, 293, 318, 402 conservazione del, 93, 103, 131, 147, 168, 183, 240, 254, 258, 261 orbitale, 93, 96, 99, 100, 103, 104, 109, 125, 127, 130, 131, 147, 176, 177, 180, 183, 184, 193, 240, 241, 243, 246, 247, 265, 268, 319 momento di dipolo elettrico, 262, 382 momento magnetico, 106, 109, 209, 232, 242, 262, 264–266, 268, 381–383 moto relativo, 127, 131, 138, 176, 178, 193, 246, 318–321, 375, 447 muoni, 38, 40, 41, 354, 355, 380, 439, 440 neutrini atmosferici, 439 solari, 315, 348 problema dei, 366 neutrino μ, 38, 368, 396 τ , 368, 396 destrogiro, 262, 305, 380 di Dirac, 380, 384 di Dirac massivo, 371, 380, 385, 393, 397 di Majorana, 381, 384, 397, 403 di Majorana massivo, 382, 384 ﬁsico, 380 sterile, 369, 380, 396 terrestre, 56 neutrone libero, 164, 198, 207, 216 neutroni β−ritardati, 150 nuclei artiﬁciali, 25, 42, 61, 137 dispari-dispari, 161, 172 esotici, 137, 138 fertili, 28, 32 ﬁgli, 9, 27, 31, 74, 114, 119, 145, 206, 351, 408, 411 ﬁssili, 28, 32 genitori, 9, 70, 114, 119, 351, 387, 404, 408 instabili, 1, 2, 7, 9, 13, 25, 37, 42, 50, 71, 120, 137, 162, 206, 332, 339 isolati, 218, 234, 372 naturali cosmogenici, 25, 39, 41, 42 naturali primordiali, 26, 27, 69

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Indice

pari-dispari, 160 pari-pari, 119, 121, 127, 130, 131, 160, 181, 327, 383, 401, 402 polarizzati, 108, 248, 264, 266, 303 primordiali, 25 speculari, 181, 216 stabili, 1, 2, 137, 138, 159–161, 164, 165, 326, 327 sul sole, 326, 331, 339 superpesanti, 2, 137, 150, 152, 153 nuclei ﬁgli, 147, 388 nucleosintesi, 25, 37, 325, 328 del carbonio, 328 del deutone, 316, 318–320, 325 dell’elio, 312, 314, 326 numeri magici di neutroni e protoni, 2, 115, 117, 150, 159, 160, 330, 333 numero barionico, 261–264, 383 di Avogadro, 9, 16, 28, 33, 57, 350 numero leptonico, 260–262, 264, 300, 366, 379–381, 383–386, 393, 396, 397, 404, 438 conservazione del, 261, 264, 300, 386, 393, 396, 398, 404, 438 numero magico di neutroni e protoni, 330 omogeneit` a dello spazio, 240 operatore hermitiano, 289 unitario, 303 operatore di inversione del tempo, 288 proiezione di elicit` a, 282, 304, 384, 385 oscillazioni di neutrino, 359, 369, 371, 379, 390, 393, 395, 397, 416, 419, 426–430, 432, 433, 435, 437–440 condizioni per l’osservazione, 422 esperimenti di comparsa, 429 esperimenti di scomparsa, 429 esperimenti presso reattori nucleari, 429, 436 esperimento di G¨ osgen, 429 lunghezza di oscillazione, 420, 422

sapore, 366, 367, 369–371, 379, 393, 395–398, 419–421, 424, 425, 428, 429, 439 stranezza, 383, 390, 391, 393 parametri solari, 313 parit` a, 93, 95, 183, 239, 240, 287 intrinseca, 97, 102, 185, 245, 247 orbitale, 97–102, 245 totale, 93, 97, 102, 104, 108, 246, 247 percorso delle particelle ionizzanti, 44–48, 118 plasma solare, 311, 315, 372 polarizzazione, 187, 248, 250, 255, 257, 268, 303 positroni, 4, 36, 38, 39, 145, 157, 179, 180, 201, 204, 206, 253, 258, 264, 265, 274, 285, 335, 336, 402, 432, 433 potenziale centrifugo, 127, 130 potenziale coulombiano schermato, 218, 374, 375 potere frenante, 43–46 pp1, 315, 316, 324, 345, 348 principi di invarianza, 239, 240, 299 principio di indeterminazione, 192, 386, 387 principio di Pauli, 165, 166 probabilit` a di danno biologico, 55 probabilit` a di decadimento, 1, 6, 17, 18, 29–31, 33, 39, 93, 109, 115, 118, 128, 130, 173, 178, 182, 200, 203, 219, 300, 318, 386, 397, 402, 407, 408, 416 probabilit` a di transizione per unit` a di tempo, 1, 6, 115, 173, 182, 200, 208, 300, 316, 318, 320, 386, 388, 389, 406, 416 problema dei neutrini solari, 369 processi r, 330 processi s, 330 processi termonucleari, 311 produzione del deuterio, 316, 317, 319, 323, 345 produzione di coppie e+ e− , 47, 204, 205, 410 protone libero, 142, 164 pseudoscalari, 243, 247, 268, 278, 286, 301, 302, 304, 305

Indice rad, 52 radiazione di multipolo elettrico, 93, 102 di multipolo magnetico, 93, 102 solare, 312 radiazioni ambientali naturali, 25 radioattivit` a del corpo umano, 56 radon, 27, 30, 58–62, 455 raggi cosmici, 25, 36, 38–40, 50, 61, 79, 82, 353 raggio d’azione, 159, 175, 176, 178, 187, 189–192, 196, 216, 300, 302, 319 reattori nucleari, 28, 42, 63, 168, 348, 355, 420, 422, 429, 430, 436 reazioni di assorbimento, 35, 167, 348, 351 rem, 53 riﬂessione speculare, 241, 242, 268 risoluzione, 222–225, 232–235 rivelazione degli antineutrini, 34, 169 dei neutrini, 348 di eventi rari, 353, 374, 408 roentgen, 52 SAGE, 360 sapore, 366, 367, 369–371, 379, 380, 393, 395–398, 419–421, 424, 425, 428, 429, 440 scalari, 188, 195, 243, 244, 268, 276, 286, 296, 301–305 sezione d’urto ν + p → e+ + n, 200 sievert, 53, 56 SNO - Sudbury Neutrino Observatory, 369 sole, 35, 169, 311–317, 321, 323–327, 329, 331, 333, 334, 339–341, 345–348, 352, 362–368, 370, 372–376, 420, 422, 439 sorgenti dei campi, 187 debole, 195, 196 elettrico, 192, 196 forte, 193, 194, 196 spettro energetico delle particelle α, 118 spettrometro, 158, 166, 167, 219, 221–224, 227, 234, 235 a trappola magnetica, 228, 233 spettroscopia di massa, 81, 351, 407

463

spin, 93, 96, 103, 107, 131, 133, 147, 168, 172, 181–184, 186, 187, 191, 195, 216, 243, 246–251, 253–258, 262, 265, 266, 268, 271, 273, 280, 281, 290, 292, 293, 318, 383, 387, 402 spin-orbita, 265 spinore, 279, 281, 283 spinore aggiunto, 284, 287 statistica, 17, 19, 85, 222, 225, 413, 434, 435, 440 stella CS22892-052, 340 stella CS31082-001, 340 stranezza, 383, 390, 391, 393 Super-Kamiokande, 336 supernova, 16, 334–337, 341 tempo di dimezzamento, 1, 7, 26, 29, 58, 65, 71, 79, 113, 115, 121, 141, 142, 147, 151, 152, 157, 158, 182, 216, 305, 329, 351, 355, 356, 359, 361, 366, 390, 406, 408, 411, 414, 415 teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, 94, 173, 387 di Dirac, 271, 292 elettrodebole, 380 Vettoriale-Assiale V + A, 305, 384 V − A, 187, 299, 305, 383, 384, 388 transizioni assiali, 185 di Fermi, 175, 182, 183, 185, 186, 258, 259 di Gamow-Teller, 175, 183, 185–187, 216, 258–260, 299, 304, 319, 387, 388 favorite, 119, 177, 183, 185, 303 vettoriali, 185, 187 virtuali, 192, 274, 386–388 trasformazioni di Lorentz, 285–287, 295, 301, 448 trasparenza della barriera coulombiana, 125–128, 139, 140, 143, 147, 320–324, 371, 372, 375 U. Goldhaber, L. Grodzins e A. W. Sunyar, 253

464

Indice

uranio, 28, 35, 56, 58, 71, 73, 75, 77, 85, 137, 151, 331, 339–341 arricchito, 29 impoverito, 29 variabile statistica χ2 , 434 varianza, 18 vettori assiali, 241, 243, 286, 301 polari, 241, 243 vita media, 7–9, 14, 16, 17, 26, 28, 30, 36, 39, 70, 71, 77, 78, 86, 113, 115, 119, 129, 130, 132, 139, 140, 142,

149, 154, 162, 167, 173, 182, 184, 185, 207, 211, 212, 254, 255, 339, 351, 352, 358, 386, 388–390, 392, 397, 402, 404, 406, 407, 414, 415 del muone, 39 del neutrone, 207, 212 ridotta, 185 Wu, Ambler, Hayward, Hoppes e Hudson, 248, 250 Yukawa, 189, 190

Finito di stampare nel mese di aprile 2008

Collana di Fisica e Astronomia

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