Capitolo 8 – Principi di elettromeccanica Sezione 8.1: Elettricità e Magnetismo Problema 8.1 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in fig. P8.1. Trovare: a) Densità di flusso nel nucleo. b) Diagrammare le linee di flusso magnetico e indicarne la direzione. c) Indicare i poli Nord e Sud del magnete Ipotesi: Nessuna. Analisi:
b) visto dall’alto
c)
vedi sopra
Problema 8.2 Soluzione: Quantità note: Come in fig P8.2. Trovare: Se c’è una forza risultante sulla singola spira. Se sì, in che direzione? Perché? Ipotesi: Nessuna. Analisi: Sì, la forza risultante sulla singola spira è diretta verso il basso. Se le spire sono pensate come elettromagneti, c’è un polo nord che dalla spira più in basso attrae un polo sud dalla spira superiore.
Problema 8.3 Soluzione: Quantità note: Un LVDT è connesso ad un carico resistivo RL. Trovare: Le eq. LVDT
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Ipotesi: Nessuna. Analisi: Assumi che entrambi gli avvolgimenti secondary hanno resistenza RS e induttanza LS, se MS è l’accoppiamento mutuo. Abbiamo:
Quindi la funzione di trasferimento è:
Problema 8.4 Soluzione: Quantità note: Equazione del box su LVDT e risultati del problema 8.3. Trovare: Risposta in frequenza di LVDT e range di frequenze per le quali il dispositivo avrà massima sensitività per un’assegnata eccitazione. Ipotesi: Nessuna. Analisi: Abbiamo
Dove
Allora,
Per determinare la massima sensitività della tensione di uscita rispetto all’eccitazione potremmo calcolare la derivata di
rispetto ad s, imporre e risolvere per s. imponendo , questa procedura fornirà la frequenza di eccitazione per la quale la sensitività dell’uscita è massima. Può, comunque, essere più utile
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calcolare la risposta in frequenza sensitività è accettabile.
numericamente, per visualizzare il range di frequenze per il quale la
Problema 8.5 Soluzione: Quantità note:
a. b.
Trovare: a) Energia, co-energia e induttanza incrementale. b) Tensioni sui terminali dell’induttore. Ipotesi: Nessuna. Analisi:
a) Per La corrente è:
L’energia è:
La co-energia è: L’induttanza incrementale è
b) Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell’induttore più quella generata dall’induttanza:
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È importante osservare che questa è le tensione terminale dell’induttore solo per valori di flusso nell’intorno di
Problema 8.6 Soluzione: Quantità note:
Trovare: a) Energia, co-energia e induttanza incrementale. b) Tensioni sui terminali dell’induttore. Ipotesi: Nessuna. Analisi:
a) Per La corrente è:
L’energia è:
La co-energia è: L’induttanza incrementale è
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b) Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell’induttore più quella generata dall’induttanza:
È importante osservare che questa è le tensione terminale dell’induttore solo per valori di flusso nell’intorno di
Problema 8.7 Soluzione: Quantità note: Diagramma della caratteristica mostrato in Fig P 8.7. Trovare: a) Energia e induttanza incrementale per b) Tensioni sui terminali dell’induttore quando Ipotesi: Nessuna. Analisi:
a) Il diagramma è mostrato sotto:
Wm è l’area alla sinistra della curva come mostrato
L’induttanza incrementale è:
b) Per
e
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Per
Problema 8.8 Soluzione: Quantità note: Struttura della figura 8.12.
Trovare: Riluttanza della struttura Ipotesi: Ciascuna gamba è lunga 0.1 m. Percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura. Analisi: Calcolo del percorso medio: usando l’assunzione che il percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura, e poiché la struttura è quadrata, il percorso medio è determinato usando la seguente figura:
Calcolo della riluttanza
Sezione 8.2: Circuiti Magnetici Problema 8.9 Soluzione: Quantità note:
Trovare: a) Riluttanza del circuito magnetico b) Forza magnetizzante in unità SI
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Ipotesi: Nessuna Analisi:
Problema 8.10 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Fig. P8.10 Trovare: a) Valori di riluttanza e circuito magnetico quando b) Induttanza del dispositivo c) Nuovo valore di induttanza quando un traferro di 0.1 mm è tagliato nella gamba d) Valore limite dell’induttanza quando il traferro è aumentato in lunghezza. Ipotesi: Trascura flussi dispersi ed effetti di bordo. Analisi:
Il circuito è mostrato sotto
c) Abbiamo
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d) Man mano che il traferro aumenta, serie; quindi
aumenterà e come caso estremo il circuito è fatto di
e
in
Problema 8.11 Soluzione: Quantità note: Trovare: Flusso e densità di flusso in ciascuna delle gambe del circuito magnetico Ipotesi: Trascura flussi dispersi e gli effetti di bordo. Assumi trascurabile la riluttanza del nucleo magnetico. Analisi: Calcola la riluttanza in ciascun traferro
Assumi che la riluttanza del materiale possa essere trascurata quando confrontata con la riluttanza dei traferri; il circuito analogo è mostrato in basso
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Problema 8.12 Soluzione: Quantità note:
Trovare: Corrente necessaria per stabilire il flusso. Ipotesi: Nessuna Analisi: La riluttanza per ciascun materiale è calcolata come segue
La totale riluttanza della struttura è somma delle riluttanze di ciascun materiale Dalla Tabella 8.1 Ferro di fusione: Acciaio di fusione:
Ferro di fusione:
Accaio di fusione: Nota che l’acciaio di fusione è meno permeabile del ferro di fusione Riluttanza totale
Da
possiamo calcolare
Problema 8.13 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Figura 8.13. Trovare: Flusso magnetico Ipotesi: Nessuna
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Analisi:
Problema 8.14 Soluzione: Quantità note: Il materiale è un foglio di acciaio. Trovare: a) Corrente richiesta per stabilire il flusso. b) Confrontare la caduta di fmm sul traferro con quella sul resto del circuito magnetico e discutere i risultati usando il valore di
per ciascun materiale.
Ipotesi: Nessuna Analysis: a) Assumi che il materiale sia acciaio di fusione.
b)
Nota:
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Problema 8.15 Soluzione: Quantità note: Il materiale è un foglio di acciaio Trovare: Valore di I necessario per stabilire il flusso. Ipotesi: Nessuna Analisi:
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Problema 8.16 Soluzione: Quantità note: Attuatore di fig. P 8.16,
, il traferro è fissato.
Trovare: a) la corrente nell’avvolgimento b) l’energia immagazzinata nei traferri c) l’energia immagazzinata nell’acciaio. Ipotesi: Nessuna. Analisi: a) Il circuito equivalente è:
Dalla Tabella 8.1, la permeabilità relativa del foglio di acciaio è 4000.
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b)
c)
Problema 8.17 Soluzione: Quantità note:
Trovare: a) corrente necessaria a produrre b) corrente necessaria a produrre
nella gamba centrale nella gamba centrale
Ipotesi: Nessuna. Analisi: calcoliamo:
Con
Da a)
abbiamo
b) Poiché la corrente è direttamente proporzionale a B, la corrente sarà duplicata.
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Sezione 8.4: Trasformatori Problema 8.18 Soluzione: Quantità note: Trovare: a) costruisci il circuito magnetico equivalente e trova la riluttanza associata con ciascuna parte del circuito b) Auto- e mutua-induttanza per la coppia di avvolgimenti. Ipotesi: Nessuna. Analisi: a) Il circuito analogo è indicato sotto:
Le reattanze individuali sono:
b) Le reattanze possono essere calcolate come segue:
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Problema 8.19 Soluzione: Quantità note: riportato al primario è
Carico resistivo da
Trovare: a) Rapporto spire b) Tensione di ingresso, corrente, potenza ed efficienza quando il trasformatore eroga 12 W ad un carico a frequenza di da Ipotesi: Perdite nel nucleo trascurabili Analisi: Circuito equivalente
a) Da b)
abbiamo
Da
abbiamo:
efficienza
Problema 8.20 Soluzione: Quantità note: Un trasformatore
ha 50 spire sul lato di bassa tensione.
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Trovare: a) Numero di spire sul lato di alta tensione b) Rapporto spire quando è usato come trasformatore abbassatore c) Rapporto spire quando è usato come trasformatore elevatore Ipotesi: Nessuna Analisi:
a) Il primario ha b) per il trasformatore abbassatore c) per il trasformatore elevatore
Problema 8.21 Soluzione: Quantità note: Il lato alta-tensione del trasformatore ha 750 spire e quello di bassa 50 spire. Il lato di alta è connesso ad una tensione nominale di 120V. Un carico di 40 A è connesso al lato di bassa. Trovare: a) Rapporto spire b) Tensione sul secondario c) Resistenza del carico Ipotesi: Nessuna caduta di tensione sulle impedenze interne del trasformatore Analisi:
Problema 8.22 Soluzione: Quantità note: Trasformatore usato per accoppiare un altoparlante da
con una linea audio di
.
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Trovare: a) Rapporto spire del trasformatore b) Tensione al primario e al secondario quando viene fornita una potenza audio di 10W all’altoparlante Ipotesi: l’altoparlante è un carico resistivo e il trasformatore ideale. Analisi: a) abbiamo
Da b)
Da
abbiamo
c)
Problema 8.23 Soluzione: Quantità note: Trasformatore abbassatore. I lati alta e bassa tensione hanno 800 e 1000 spire, rispettivamente. Una tensione di 240 V in AC è applicata al lato di alta. L’impedenza del lato di bassa è Trovare: a) b) c) d)
.
Tensione e corrente al secondario Corrente al primario Impedenza di ingresso al primario dal rapporto di tensione e corrente al primario Impedenza di ingresso al primario
Ipotesi: Nessuna. Analisi:
Abbiamo
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Problema 8.24 Soluzione: Quantità note: Trasformatore elevatore. Tutti gli altri sono quelli del problema 8.23. Trovare: Rapporto di trasformazione. Ipotesi: Nessuna. Analisi:
Problema 8.25 Soluzione: Quantità note: Trasformatore
. Ha una fem indotta di
Trovare: a)
Numero di spire del lato alta tensione
e del lato di bassa
b) Corrente nominale del lato di alta . c) Rapporto di trasformazione quando il dispositivo è usato come trasformatore elevatore. Ipotesi: è un trasformatore ideale. Analisi: a)
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Sezione 8.5: Trasduttori elettromeccanici (a) Trasduttori a ferro mobile Problema 8.26 Soluzione: Quantità note: Elettromagnete dell’esempio 8-9 (fig. 6.38) Trovare: a) Corrente richiesta per mantenere la barra in posizione b) Corrente per sollevare il magnete se la barra è inizialmente a 0.1m dall’elettromagnete Ipotesi: a) Il traferro diventa nullo e la riluttanza del ferro non può essere trascurata b) Trascura la riluttanza del ferro Analisi: a)
per calcolare la corrente abbiamo bisogno di determinare un’espressione per la forza nel traferro. Senza trascurare la riluttanza del ferro, possiamo scrivere l’espressione della riluttanza come segue:
Dove L è la totale lunghezza del percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro). Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo:
Quindi, l’intensità della forza nel traferri è data come:
Man mano che x tende a zero, possiamo calcolare la forza come:
E la corrente per mantenere tale forza è:
e che possiamo calcolare il valore di Assumendo che la totale lunghezza del percorso magnetico sia corrente b) poiché la barra è inizialmente distante 0.1m dalla struttura, la riluttanza dell’aria prevale sulla riluttanza della struttura. La riluttanza si calcola come:
Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo:
Quindi, l’intensità della forza nel traferri è:
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Infine, la corrente richiesta vale:
Nota che la corrente ottenuta nella parte a) è molto più piccola di quella richiesta per sollevare la barra dalla distanza iniziale di 0.1m. Note that the holding current from part a is significantly smaller than the current required to lift the bar from the initial distance of 0.1 m.
Problema 8.27 Soluzione: Quantità note: Trovare: a)
Energia immagazzinata nel campo magnetico per
b) La forza magnetica per Ipotesi: Nessuna Analisi: a)
Abbiamo La corrente è:
Il segno meno indica che la forza f è in direzione opposta a quella indicata in figura.
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Problema 8.28 Soluzione: Quantità note: Solenoide dell’esempio 8.10 (fig. 8.40) Trovare: Migliore combinazione dell’intensità di corrente e diametro del filo per ridurre il volume della bobina del solenoide. Questo volume minimo fornisce la resistenza minima possibile? Come cambia la potenza dissipata sulla bobina al cambiare del filo e della corrente? Ipotesi: Usa un cavo in rame per il solenoide. Analisi: Per valutare gli effetti del diametro del cavo e dell’intensità della corrente su volume, resistenza e potenza dissipata è necessario considerare le espressioni matematiche per ciascuna variabile. Volume: La lunghezza dell’avvolgimento è data dalla circonferenza Area dell’avvolgimento:
Dall’es. 8.10, la relazione tra corrente e numero di spire è: Quindi:
Resistenza: La resistenza del cavo è:
è la resistività del cavo, assunto essere di rame con dove dalle precedenti:
La potenza dissipata è data da:
È possibile ottenere una tabella per il diametro e la portata dei cavi legati a volume, resistenza e potenza dissipata
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All’aumentare del codice, diminuiscono sia il diametro che la portata del cavo, aumenta il numero di spire mentre decresce il volume dell’avvolgimento. In ogni caso, aumenta anche la resistenza. Quindi, il volume minimo non sarà quello con resistenza minima.
Problema 8.29 Soluzione: Quantità note: Solenoide dell’esempio 8.10 (fig. 8.40) Trovare: fmm, f, usando le eq. 8.46 e 8.30. Ipotesi: Riluttanza del ferro trascurabile come l’attrito. Analisi: Dall’es. 8.10
Calcola l’induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (equazione 8.30):
Calcola l’energia magnetica immagazzinata
Usiamo l’espressione 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
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Si ritrova il risultato dell’esempio 8.10 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Il calcolo per la fmm è identico all’esempio 8.10.
Problema 8.30 Soluzione: Quantità note: Solenoide dell’esempio 8.11 (fig 8.40) Trovare: Corrente e forza magnetica in funzione del tempo usando l’eq. 8.46 e 8.30 in derivazione. Ipotesi: La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l’attrito. L’induttanza del solenoide è approssimativamente costante ed è uguale al valor nella parte media (spostamento dello stantuffo uguale ad a / 2) Analisi: Dall’esempio 8.11:
Calcola l’induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (eq. 8.30)
Calcola l’energia magnetica accumulate:
Usa l’eq. 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
Con l’ipotesi che l’induttanza sia costante con x a / 2 :
Dall’esempio 8.11:
Si ritrova il risultato dell’esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Le curve sono indicate in basso.
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Problema 8.31 Soluzione: Quantità note: Solenoide dell’esempio 8.11 (fig 8.40).
Trovare: Crea un programma di simulazione che tiene conto del fatto che l’induttanza del solenoide non è costante, ma è funzione della posizione dello stantuffo. Confronta graficamente la risposta al gradino di corrente e forza del sistema con quella ottenuta nell’esempio 8.11. Ipotesi: La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l’attrito. Trascura lo smorzamento dello stantuffo. Analisi. Dall’esempio 8.11:
L’induttanza è funzione della posizione dello stantuffo
Equazione differenziale della corrente per il circuito mostrato in basso
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Per trovare l’eq. della forza, calcola l’energia magnetica accumulate in funzione della corrente:
Usa l’eq. 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
Si ritrova il risultato dell’esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza magnetica. Diagramma a blocchi in Simulink:
Confronto della risposta al gradino per induttanza costante e sistema ad induttanza variabile:
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Nota che la risposta più veloce del sistema con induttanza variabile è dovuta all’induttanza inizialmente più piccola. La più grande induttanza costante risulta in una risposta più lenta.
Problema 8.32 Soluzione: Quantità note: Relè dell’esempio 8.12 (fig 8.46) Trovare: Corrente di mantenimento necessaria per tener chiuso il relè. Ipotesi: Traferri diventa zero e la riluttanza del ferro non può essere trascurata. Analisi: Per calcolare la corrente abbiamo bisogno di determinare un’espressione per la forza nel traferro. Senza trascurare la riluttanza del ferro, possiamo scrivere l’espressione per la riluttanza come segue:
Dove L è la lunghezza pel percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro). Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nell’avvolgimento:
Quindi, l’intensità della forza nel traferro è data da:
Man mano che x si avvicina a zero, possiamo calcolare la forza come:
E la corrente necessaria per avere tale forza è: La lunghezza totale del percorso magnetico è:
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La corrente:
Problema 8.33 Soluzione: Quantità note: Circuito del relè di fig 8.33 Trovare: Minima tensione DC per cui il realizza il contatto quando lo switch elettrico è chiuso Ipotesi: Trascura la riluttanza del ferro. Analisi: Riluttanza del traferro:
Flusso magnetico
Forza magnetica
Forza che deve essere superata è la forza della molla Uguagliando le equazione delle due forze e determinando la corrente:
La tensione è determinata imponendo la legge di Ohm e x = L:
Problema 8.34 Soluzione: Quantità note: Rappresentazione semplificata del sensore di ruvidità della superficie mostrato in Fig. P8.34. Trovare: Determinare un’espressione per lo spostamento x in funzione dei vari parametri del circuito magnetico e della fem misurata.
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Ipotesi: Il flusso dove è una costante nota. Contatto senza attrito tra lo stantuffo e la struttura magnetica. Lo stantuffo può muoversi solo verticalmente. Analisi:
Problema 8.35 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Fig. P8.35. il traferro intorno allo stantuffo è uniforme e pari a 1 mm. Il diametro è d = 25 mm. La corrente di eccitazione è 7.5 A . N 200 . Trovare: Forza che agisce sullo stantuffo quando x 2mm. Ipotesi: Nessuna. Analsi: L’area trasversale A è:
Da qui possiamo calcolare la riluttanza variabile del traferro
E la forza risultante è:
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Problema 8.36 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Fig. P8.36. il sistema elettromeccanico a doppia eccitazione si muove orizzontalmente. LA sezione trasversale della sezione è Trovare: a) La riluttanza del circuito magnetico b) L’energia magnetica accumulata nel traferro c) La forza sulla parte mobile in funzione della posizione. Ipotesi: Resistenza, perdite magnetiche e attrito trascurabili. Permeabilità del nucleo molto grande. Analsi: a) La riluttanza del circuito magnetico è:
b) L’energia magnetica accumulata nel traferro
c) La forza sulla parte mobile in funzione della posizione.
Problema 8.37 Soluzione: Quantità note: Densità di flusso nel percorso dentro l’acciaio di fusione è 1.1T . il diametro dello stantuffo è 10 mm. Trovare: La forza tra le facce dei poli Ipotesi: Traferro trascurabile tra pareti e stantuffo. Poiché il percorso è in acciaio di fusione
(da tab. 8.1)
Analsi: Dall’Eq. 8.50
Il flusso è determinato dalla densità di flusso e dall’area
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Poiché lo stantuffo è cilindrico e il traferro tra stantuffo e avvolgimento è trascurabile, la riluttanza è calcolata come:
Dove x è lo spazio tra stantuffo parete posteriore del solenoide. La riluttanza del percorso nell’acciaio può essere trascurata a causa della bassa riluttanza della struttura. La derivata della riluttanza è:
L’area è l’area trasversale dello stantuffo:
Combinando tutte le equazioni in quella della forza:
Problema 8.38 Soluzione: Quantità note: Una forza di 10.000 N è richiesta per supportare il peso. L’area trasversale del nucleo magnetico è L’avvolgimento ha 1000 spire.
.
Trovare: La minima corrente che può tenere il peso senza lasciarlo cadere da x 1.0mm . Ipotesi: Riluttanza trascurabile per le parti in acciaio ed effetti di bordo trascurabili nei traferri. Analisi: La riluttanza variabile è data da:
La forza è legata alla riluttanza da:
Quindi
Problema 8.39 Soluzione: Quantità note: Il relè di controllo
è fatto di acciaio in fusione. La lunghezza media del circuito magnetico è 12cm . la sezione
trasversale media del circuito magnetico è di
. L’avvolgimento ha 250 spire e sopporta 50 mA.
Trovare: a) Densità di flusso B nel circuito magnetico del relè quando l’avvolgimento è energizzato. b) La forza F esercitata sull’armatura per chiuderlo quando l’avvolgimento è energizzato Ipotesi: Nessuna.
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Analisi: a.
dalla curva
.
b.
Problema 8.40 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Fig. P8.40 Trovare: Equazioni differenziali descriventi il sistema. Ipotesi: nessuna Analisi: L’equazione per il sistema elettrico è:
Dove
L’eq. per il sistema meccanico è:
dove Fm è la forza magnetica di spinta. Per calcolare questa forza usiamo la seguente equazione:
dove Wm è l’energia accumulate nel campo magnetico. Siano
e
la forza magnetica agente sulla struttura e la sua riluttanza, rispettivamente; quindi:
Le equazioni differenziali che governano il sistema sono:
Il sistema di equazioni potrebbe essere risolto con la simulazione numerica, essendo non lineare.
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Problema 8.41 Soluzione: Quantità note: Come mostrato in Fig. P8.41 il solenoide ha una sezione trasversale di . Trovare: a) Forza agente sullo stantuffo quando la distanza x = 2 cm e la corrente è 5 A. N 100turns . Permeabilità relativa del materiale magnetico e del manicotto non magnetico sono 2000 e 1. b) Individua una set di equazioni differenziali che descrivano il comportamento del solenoide. Ipotesi: Trascurabili effetti di bordo e dispersione. Analisi: a.
Il circuito è mostrato in basso
Poiché
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Per b. Subsistema elettrico
Subsistema meccanico
Riluttanza
Flusso
Forza magnetica
Induttanza
Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale. Subsistema elettrico
Subsistema meccanico
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Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari!
Problema 8.42 Soluzione: Quantità note: Relè mostrato in Fig. P8.42 Trovare: Equazioni differenziali (elettriche e meccaniche) per il relè. Ipotesi: L’induttanza è funzione di x. La riluttanza del ferro è trascurabile. Analisi: Subsistema elettrico
Subsistema meccanico
Possiamo calcolare la forza magnetica e l’induttanza in funzione di x Riluttanza
Flusso
Forza magnetica
Induttanza
Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale. Subsistema elettrico
Subsistema meccanico
Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari!
Problema 8.43 Soluzione: Quantità note: Lunghezza del filo = 20 cm; densità di flusso = 0.1T. La posizione del filo è
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Trovare: Fem indotta sulla lunghezza del filo in funzione del tempo. Ipotesi: Nessuna. Analisi: Da
abbiamo
Problema 8.44 Soluzione: Quantità note: ; lunghezza del secondo
; posizione del secondo filo
Trovare: Fem indotta definita dalla differenza nelle fem
e
.
Ipotesi: Nessuna. Analisi: Abbiamo
Problema 8.45 Soluzione: Quantità note: Trovare: Intensità e direzione della forza indotta sulla barra conduttrice. Ipotesi: Nessuna Analisi: La forza sarà a sinistra se la corrente fluisce verso l’alto.
Problema 8.46 Soluzione: Quantità note: Trovare: Intensità e direzione della tensione indotta sul filo Ipotesi: Nessuna
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.
Analisi:
Problema 8.47 Soluzione: Quantità note: Scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47. sua massa, m; dimensione del traferro, d; numero di spire dell’avvolgimento; costante della molla, k; resistenza dell’armatura, R, e induttanza, L. Trovare: a) Riluttanza della struttura e densità di flusso B b) Equazioni dinamiche dello scuotitore c) Funzione di trasferimento e risposta in frequenza della velocità dello scuotitore rispetto alla tensione di ingresso, Vs. Ipotesi: Riluttanza del ferro trascurabile come gli effetti di bordo. Nessuno smorzamento nel sistema. Analisi: a. Riluttanza della struttura
Calcola la densità di flusso
b.
Subsistema elettrico, usando la LKT
Subsistema meccanico
c. Trasformata di Laplace
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Problema 8.48 Soluzione: Quantità note: Lo scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47 è usato per realizzare un test di vibrazione di un connettore elettrico.
Il test consiste nel muovere il connettore a frequenza Trovare: L’ampiezza della tensione sinusoidale
richiesta per generare un’accelerazione di 5 g (49 m/s) in condizioni stabilite.
Ipotesi: Il connettore ha massa trascurabile rispetto alla piattaforma. Analisi: Applicando la LKT al circuito dell’avvolgimento:
Applicando la seconda legge di Newton
Per ottenere la risposta in frequenza, applichiamo la trasformata di Laplace alle due equazioni
Possiamo scrivere le equazioni in forma matriciale, riordinarle e risolvere con Cramer, per ottenere U(s) in funzione di V(s)
con soluzione
Per ottenere la risposta in accelerazione, moltiplichiamo il numeratore per s2
Il modulo di questo numero complesso, valutato a
è
Quindi, per ottenere la desiderata accelerazione di 49 m/s, è necessaria un’ampiezza di tensione di _________________
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Problema 8.49 Soluzione: Quantità note: Come descritto nell’esempio 8.13 Trovare: Determinare e fare lo schema della risposta in frequenza dell’altoparlante nei due seguenti casi. Descrivere qualitativamente come la risposta in frequenza dell’altoparlante cambia man mano che la costante k della molla aumenta e diminuisce. Trova il limite della risposta in frequenza e il tipo di altoparlante man mano che k và a zero.
Ipotesi: Nessuna Analisi: a. Per
, la funzione di trasferimento è
La risposta in frequenza è indicata in basso.
Questa risposta corrisponderebbe ad un altoparlante nelle frequenza medie. b. Per
la funzione di trasferimento è:
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La risposta in frequenza è indicata in basso.
Questa risposta corrisponderebbe ad un “tweteer”. c. Per
, la funzione di trasferimento è
La risposta in frequenza è indicata in basso.
In questo caso, l’altoparlante si comporta da “woofer”, enfatizzando le basse frequenze. In pratica, k non può essere mai zero, cosicché la risposta reale di un woofer modifica quella di uno speaker nelle frequenze medie, spostando in avanti le frequenze più basse.
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Problema 8.50 Soluzione: Quantità note: Altoparlante dell’esempio 8.13. (Fig 8.52)
Trovare: Modifica i parametri dell’altoparlante (massa, smorzamento, e molla) in modo da ottenere un altoparlante con una risposta centrata a 400Hz. Dimostra che il tuo progetto raggiunge gli obiettivi posti, usando i diagrammi della risposta in frequenza. Ipotesi: Nessuna. Analisi: Dall’esempio 8.13, la funzione di trasferimento del sistema è:
La risposta in frequenza è:
dove: Usando Matlab, è facile variare i parametri meccanici uno per uno al fine di verificare l’effetto di ciascun parametro sulla risposta in frequenza del sistema. Massa: aumentando la massa diminuisce la frequenza centrata della risposta in frequenza. Smorzamento: aumentando lo smorzamento diminuisce ancora la frequenza centrata, ma si allarga anche la larghezza di banda della risposta. Costante della molla: diminuendo la costante diminuisce anche la frequenza centrata. Ci sono molte possibili combinazioni di parametri meccanici che potrebbero essere sostituite per generare la risposta desiderata. Un possibile set di parametri è: La risposta in frequenza per questo sistema è data in basso, con risposta centrata sui 400 Hz.
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