A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Capitolo 2 CONDUZIONE Introduzione La conduzione è il meccanismo di trasferimento spontaneo di energia termica nei solidi o nei fluidi in quiete causato unicamente da differenze di temperatura nel mezzo. A livello microscopico il fenomeno viene interpretato come uno scambio di energia cinetica tra molecole poste in regioni a differente temperatura. Tale scambio può attribuirsi principalmente: a) agli urti elastici di molecole nei gas e nei liquidi, b) al moto degli elettroni liberi nei solidi metallici e c) alle vibrazioni degli aggregati molecolari nei solidi non conduttori. A livello macroscopico lo studio della trasmissione del calore per conduzione, basandosi sull’approccio della termodinamica del continuo, ha come principale obiettivo la determinazione spaziale della temperatura indotta da trasferimenti di energia termica. Si esamini un solido isotropo nel cui interno vi sia una distribuzione spaziale di temperatura e si definisca la grandezza vettoriale flusso termico, q& n [W/m2] come l'energia termica trasmessa nell'unità di tempo attraverso una superficie di area unitaria orientata lungo la direzione n normale a tale superficie e nel verso delle temperature decrescenti. Infatti, in base alla seconda legge della termodinamica, l’energia termica conduttiva fluisce spontaneamente da una superficie a potenziale (temperatura) maggiore verso un'altra a potenziale (temperatura) minore. Il flusso termico conduttivo non è una grandezza direttamente misurabile ma, come verrà esposto nel prosieguo del capitolo, è correlato alla temperatura, la quale è una grandezza direttamente misurabile. Pertanto, in un sistema di coordinate cartesiane, una volta calcolato il campo scalare T(x,y,z,θ), si può determinare il campo vettoriale q& (x,y,z,θ), poiché il gradiente della temperatura è legato al flusso termico conduttivo. Si consideri, nel campo spaziale di temperatura all’interno di un solido, due superfici isoterme che, in un generico istante, siano rispettivamente alla temperatura T ed alla temperatura T+dT, ed un generico punto P(x,y,z) posto su quest’ultima isoterma (cfr. Figura 2.1).
Fig. 2.1 Superfici isoterme e vettore flusso termico. La legge fondamentale della conduzione, denominata legge di Fourier dal nome dello scienziato che la formulò (il matematico francese Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830), afferma che il vettore flusso termico in P ha direzione normale (n) all’isoterma (T+dt) passante per tale punto, in particolare è orientato verso le isoterme a temperatura inferiore (da T+dt verso T) ed il suo modulo 1
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è proporzionale alla derivata della temperatura valutata nella direzione n normale alla superficie isoterma. In sintesi, q& n è proporzionale al gradiente della temperatura lungo la direzione ortogonale alle superfici isoterme. In termini scalari:
q& n = −λ
∂T ∂n
(2.1)
in cui il pedice n caratterizza la componente del vettore q& . Il segno meno che compare nella (2.1) è dovuto al fatto che, come detto in precedenza, il flusso termico ha verso opposto al gradiente di temperatura, infatti il gradiente è orientato nel verso delle temperature crescenti, mentre il flusso termico è diretto nel verso delle temperature decrescenti, in accordo con la seconda legge della termodinamica. Tabella 2.1 - Ordini di grandezza della conduttività per diversi stati di aggregazione. Stato di aggregazione Conduttività termica [Wm-1K-1] Aeriforme 10-2 - 10-1 Liquido 10-1 – 10 Solidi non metallici 1 – 10 Solidi metallici 10 - 102 La costante di proporzionalità λ è detta conduttività o conducibilità termica, ed è una proprietà fisica del materiale, che dunque dipende dallo stato termodinamico in cui esso si trova. Essa rappresenta il flusso termico che attraversa il materiale se questo è soggetto ad un gradiente unitario. Dalla relazione (2.1) è possibile ricavare che l’unità di misura della conduttività termica nel Sistema Internazionale (SI) è W m-1 K-1. Tab.2.2 - Valori orientativi della conduttività termica di alcuni materiali a temperatura ambiente. Materiale
Conduttività termica [Wm-1K-1]
Solidi metallici
Materiale
Conduttività termica [Wm-1K-1]
Solidi non metallici .
Monossodo di magnesio
4,0.102
3,9.102
Quarzo
2,0.102
Alluminio
2,0.102
Marmo
3,0.101
Cromo
9,0.101
Vetro pyrex
1,0.101
Nichel
9,0.101
Legno
1,0.10-1
Argento
4,2 10
Rame
2
Leghe metalliche
Gas .
2
Duralluminio (95% Al - 5% Cu)
1,6 10
Bronzo (95% Cu – 5% Al)
8,0.102
Liquidi Acqua
5,0.10-1
Idrogeno
2,0.10-2
Elio
1,0.10-2
Aria
2,0.10-2
Vapor d’acqua
2,0.10-2
In Tabella 2.1 sono riportati gli ordini di grandezza della conduttività termica per differenti stati di aggregazione della materia, mentre in Tabella 2.2 sono indicati gli ordini di grandezza della conduttività termica di alcuni materiali molti diffusi. Dall'esame delle tabelle 2.1 e 2.2 e delle tabelle 2.3, 2.4 e 2.5 si evince quanto segue: 2
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1) 2) 3)
le impurità chimiche nel reticolo cristallino riducono il valore della conduttività termica rispetto allo stesso materiale allo stato puro; i metalli puri hanno, pertanto, una conduttività maggiore di quella delle leghe metalliche; i materiali in fase solida hanno una conduttività maggiore di quando si trovano in fase liquida (il ghiaccio conduce meglio che l'acqua liquida); le sostanze in fase aeriforme sono molto meno conduttive delle corrispettive in fase liquida.
I materiali che presentano elevati valori di conduttività termica (in genere i metalli puri) vengono comunemente denominati conduttori, in quanto trasmettono, a parità di differenza di temperatura (causa), un flusso termico maggiore (effetto) rispetto agli altri materiali. Viceversa i materiali che presentano una bassa conduttività termica vengono denominati isolanti. Storicamente sembrerebbe che il primo materiale utilizzato come isolante sia stato il sughero; in seguito si riscontrò che la conduttività termica di un generico materiale diminuiva all’aumentare della sua porosità, ossia al crescere della frazione di volume occupata dall’aria, e che tale fenomeno si esaltava nel caso che i pori inglobati nella matrice solida non fossero comunicanti tra loro. Ciò è facilmente deducibile considerando che la conduttività termica dell’aria secca in fase gassosa, in condizioni di quiete, è molto minore rispetto a quella di qualsiasi matrice solida. Nel caso di materiali con pori interconnessi, detti anche a celle aperte, la diminuzione della conduttività termica è attenuata dall’innesco di fenomeni convettivi, i quali favoriscono lo scambio termico. Queste semplici costatazioni hanno orientato lo sviluppo della tecnologia di produzione degli isolanti verso materiali a celle chiuse contenenti aria secca, oppure in alternativa gas a bassa conduttività termica. È da osservare che la conduttività termica dipende dallo stato termodinamico del sistema, e dunque risulta funzione della pressione e della temperatura, dove in generale si può considerare trascurabile la dipendenza di λ con la pressione mentre l’influenza della temperatura dipende dal tipo di materiale, come si evince dalla Figura 2.2 e dall’esame delle tabelle 2.3, 2.4 e 2.5. Tuttavia, nelle applicazioni in cui le escursioni termiche non sono elevate, tale dipendenza può trascurarsi, adottando, per un determinato materiale, un opportuno valore medio. Va, inoltre, evidenziato che la conduttività termica è anche funzione della massa volumica (densità) del materiale; per tale motivo nella Norna UNI 7357-74 i valori di λ vengono riportati tenendo conto anche di questa dipendenza. La potenza termica trasmessa attraverso ad una superficie isoterma di area A è data:
∫
& = − q& ⋅ n dA Q n
(2.2)
A
nell’ipotesi di flusso costante sulla superficie A ed utilizzando la legge di Fourier (2.1), la (2.2) si modifica: & = −Aλ ∂T Q n ∂n
(2.3)
che nel Sistema Internazionale viene misurata in W (J s-1).
3
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Fig. 2.2 – Conduttività termica di diverse sostanze al variare della temperatura.
Equazioni per lo studio della conduzione Nel seguito della trattazione della trasmissione del calore per conduzione si farà riferimento a solidi omogenei ed isotropi, e cioè con proprietà termofisiche costanti in tutto lo spazio ed indipendenti dalla direzione considerata. In questa trattazione si affronteranno la formulazione e la soluzione di problemi di scambio termico per geometrie e per condizioni ai limiti molto semplici. Il metodo con cui si affrontano i problemi è comunque estendibile a casi più complicati, la cui soluzione può essere ottenuta utilizzando, ove necessario, le moderne tecniche numeriche. L’equazione generale che permette di studiare i problemi di scambio conduttivo viene ricavata dal principio di conservazione dell’energia (primo principio della termodinamica) su di un generico volume di controllo di solido o di fluido in quiete, la cui massa di controllo, essendo il mezzo non in movimento, rimane costante nel periodo di osservazione temporale. Con riferimento al volume di controllo rappresentato in Fig.2.3, il bilancio di energia termica per unità di tempo (potenza) può essere schematizzato come segue: 4
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Potenza termica entrante nel volume di controllo
+
Potenza termica generata nel volume di controllo
Potenza termica uscente dal volume di controllo
=
Variazione dell’energia nel volume di controllo nell’intervallo ∆θ
+
(2.4)
z
. qz+dz . qx
Ω
y
. qy+dy
. qy
. qz
Ω
ρc T θ . u . qx+dx
x
Fig. 2.3 - Volume di controllo per la derivazione dell’equazione generale della conduzione Si precisa che pur essendo la grandezza energia una grandezza conservativa che, quindi, non si genera né si distrugge, il termine relativo alla cosidetta “potenza termica generata”, che compare nella (2.4), include l’energia nell’unità di tempo ottenuta da tutti quei fenomeni (reazioni nucleari e chimiche, dissipazione per effetto Joule, etc) i cui processi di conversione non vengono per brevità inclusi nella trasmissione del calore, ma il cui effetto non può essere trascurato. In sintesi, l’energia per unità di tempo ottenuta da questi fenomeni viene inclusa nell’ambito di questo studio senza investigarne la genesi, ottenendo, in conclusione, un termine noto in ingresso riconducibile ad una “generazione”. Scelto un sistema di riferimento in coordinate cartesiane ortogonali (0,x,y,z), il campo di temperatura nel mezzo risulta funzione delle tre coordinate spaziali e del tempo θ, T=T(x,y,z,θ). Il vettore flusso termico q& viene analizzato come somma delle sue tre componenti lungo gli assi (qx, qy, qz) rispettivamente ortogonali alle superfici dydz, dxdz e dxdy. Quindi, il prodotto qx per l’area dydz rappresenta la potenza termica entrante nel volumetto dxdydz lungo la direzione x; analogamente qx+dx rappresenta la potenza termica uscente da dxdydz nella medesima direzione. Con riferimento alla Fig 2.3, i termini relativi al bilancio (2.4) possono singolarmente esplicitarsi come segue: -
la potenza termica entrante nel volume di controllo risulterà:
& = q dA = q dy dz ; Q x x x -
& = q dA = q dx dz ; Q y y y
& = q dA = q dx dy Q z z z
(2.5)
la potenza termica uscente dal volume di controllo risulta pari a:
& Q x+dx = qx+dxdydz ;
& Q y + dy = q y + dy dx dz ; 5
& Q z + dz = q z + dz dx dy
(2.6)
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-
le potenze termiche nette (differenza tra quelle entranti e quelle uscenti), sviluppata in serie di Taylor arrestata al 2° termine, risulteranno: ∂q (q x − q x + dx) dy dz = − x dx dydz ; ∂x ∂q y (q y − q y + dy)dx dz = − dy dxdz ; ∂ y ∂q (q z − q z + dz) dx dy = − z dz dxdy ; ∂z
-
(2.7)
& la potenza termica “generata” Q gen nel volume di controllo può essere espressa come: & Q gen = u& ′′′ ( dx dy dz )
(2.8)
dove u”’ è la potenza termica generata per unità di volume (W m-3); -
la variazione di energia del volume di controllo nell’unità di tempo (potenza termica & accumulata Q acc ) è pari: ∂E ∂U ∂T & Q = = ρc ( dx dy dz ) acc = ∂θ ∂θ ∂θ
(2.9)
dove, essendo il mezzo in quiete, l’energia cinetica e potenziale sono nulle e, quindi, l’energia E (J) del sistema presenta il solo contributo dell’energia interna U. Quest’ultima, nell’ipotesi di solido e fluido incomprimibile, può essere sviluppata in funzione della massa volumica ρ (kg m3 ), del calore specifico c (J kg-1 °C-1), della temperatura T e del volume dxdydz (m3). Inoltre, si è ipotizzato che il mezzo sia omogeneo anche nei confronti della massa volumica e del calore specifico e che tali proprietà non variassero nel tempo. Sostituendo le (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) e (2.9) nella (2.4), si ha: ∂q y ∂q z ∂q ∂T − x + + ( dx dy dz ) dxdydz + u '''dxdydz = ρc ∂ x ∂ y ∂ z ∂θ
(2.10)
Utilizzando la legge di Fourier (2.1), dividendo la (2.10) per il volume elementare dxdydz, si ottiene l'equazione: ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T + −λ −λ + −λ + u& ′′′ = ρc ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂θ
(2.11)
valida in ogni punto (volume elementare) del sistema considerato. Dividendo entrambi i membri della (2.11) per la conduttività termica λ, nell’ipotesi in cui questa è costante e indipendente dalla direzione considerata (mezzo omogeneo e isotropo), si ottiene l’espressione dell'equazione generale della conduzione in coordinate cartesiane:
6
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∂ 2T ∂x 2
+
∂ 2T ∂x 2
+
∂ 2T ∂x 2
+
u& ′′′ 1 ∂T = λ a ∂θ
(2.12)
dove a=λ/ρc è una proprietà del materiale detta diffusività termica, la cui unità di misura nel SI è m2 s-1. La diffusività termica rappresenta fisicamente il rapporto tra l’attitudine del materiale di trasmettere l'energia termica per conduzione rispetto alla sua capacità di accumulo. Ricordando che la divergenza del gradiente di una funzione scalare è pari al laplaciano secondo, l’equazione (2.12) può essere genericamente scritta come: ∇ 2T +
u& ′′′ 1 ∂T = λ a ∂θ
(2.13)
La soluzione dell’equazione (2.13) per essere univocamente determinata necessita di ulteriori informazioni circa l’interazione tra la superficie di controllo e l'ambiente circostante (condizioni al contorno), ed il campo di temperatura nel volume di controllo all'istante iniziale dell'osservazione del fenomeno conduttivo (condizione iniziale). Pertanto, una volta fissate in maniera opportuna le condizioni ai limiti (condizione iniziale e condizioni al contorno), si può dimostrare che la soluzione del problema è unica e fisicamente valida. Se la temperatura nel materiale non varia al variare del tempo (∂T/∂θ=0), allora il problema è detto in regime stazionario e l’equazione generale della conduzione viene denominata equazione di Poisson: ∇ 2T +
u& ′′′ =0 λ
(2.14)
Nell’ulteriore ipotesi di assenza della generazione interna, l’equazione della conduzione, in questo caso denominata equazione di Laplace, diventa:
∇ 2T = 0
(2.15)
Infine, nell’ipotesi di regime transitorio ed assenza di generazione, l’equazione della conduzione, denominata in questo caso equazione di Fourier, assume la forma: ∇ 2T =
1 ∂T a ∂θ
(2.16)
Inoltre, per alcune geometrie regolari, se due dimensioni (ad esempio y, z) sono preponderanti rispetto alla terza (x), nell’ipotesi che la generazione di energia termica uniforme nel mezzo e in presenza di uniformità delle condizioni al contorno (cfr paragrafi successivi), il problema conduttivo è riconducibile ad un sistema monodimensionale, e quindi la temperatura può ritenersi funzione solamente di una sola coordinata spaziale (x). Infine, in un sistema di riferimento cilindrico (r, φ, z), applicando l’espressione della divergenza del gradiente (laplaciano), l’equazione generale della conduzione (2.13) assume la forma: 1 ∂ ∂T ∂ 2T 1 ∂ 2T u& ′′′ 1 ∂T + + = r + r ∂r ∂r ∂z 2 r 2 ∂φ2 λ a ∂θ
(2.17)
Nel seguito, dopo aver elencato le varie tipologie di condizioni al contorno, vengono presentati alcuni semplici problemi conduttivi monodimensionali in regime stazionario in assenza di 7
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generazione di energia termica, ricorrenti nella pratica ingegneristica. Condizioni ai limiti (condizione iniziale e condizioni al contorno) La soluzione dell’equazione differenziale alle derivate parziali (2.13) per essere determinata univocamente necessita della conoscenza delle condizioni ai limiti, in particolare di una condizione iniziale (quindi riferita al tempo) e delle condizione sul contorno del volume di controllo considerato. Si ricorda che il numero di condizioni al contorno per ciascuna variabile indipendente è uguale al relativo ordine massimo di derivazione dell’equazione differenziale che governa il problema. Ne consegue che un problema tridimensionale di conduzione in regime transitorio necessita di 6 condizioni al contorno e di una condizione iniziale. condizione iniziale La condizione iniziale descrive una distribuzione nota della temperatura Tˆ in qualsiasi punto del mezzo all’istante che è considerato di inizio per il fenomeno. Essa viene formulata per un mezzo di dimensioni L1, L2 e L3, in un sistema di riferimento cartesiano, come:
T = Tˆ( x, y, z)
per θ=0 e per 0≤x≤ L1; 0≤y≤L2; 0≤z≤L3
(2.18)
la condizione iniziale più semplice è quella per la quale la distribuzione della temperatura nel mezzo Tˆ sia uniforme e pari ad un valore noto T1. Ne consegue: T = T1
per θ=0 e con 0≤x≤ L1; 0≤y≤L2; 0≤z≤L3
(2.19)
se T1=0, la condizione si dice omogenea. condizioni al contorno Le condizioni al contorno specificano la distribuzione della temperatura o del flusso termico sul contorno del mezzo in esame. Esse rappresentano le cause per cui si determina una distribuzione di temperatura nel mezzo conduttivo diversa da quella iniziale. Nella maggior parte dei casi queste cause sono connesse ad un trasferimento di energia sulla superficie del corpo dovute ad un altro meccanismo di scambio termico (convettivo e/o radiativo). In ogni caso, condizioni al contorno opportune possono essere sempre ricavate sulla base di bilanci di prima legge scritte per la superficie di controllo.
Fig. 2.4 – Condizioni al contorno 8
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Si prenda ad esempio una muratura (vista in sezione nella Figura 2.4) su cui incide un flusso radiativo solare uniforme (caso a) o un flusso convettivo che riscaldi la muratura (caso b, flusso conduttivo entrante) o in alternativa un flusso convettivo che raffreddi la muratura (caso c, flusso conduttivo uscente), questi ultimi due caratterizzati da una temperatura indisturbata del fluido T∞ uniforme e da una conduttanza convettiva hc anch’essa uniforme. Dove, con temperatura indisturbata del fluido si intende la temperatura del fluido ad una distanza dalla parete tale da non risentire più l’effetto della perturbazione termica indotta dallo scambio termico convettivo. Individuato un volume di controllo elementare di superficie dA a cavallo dell’interfaccia della parete ed assunto un sistema di riferimento cartesiano in cui l’asse x sia ortogonale alla superficie della parete, per il principio di conservazione dell’energia possiamo rispettivamente dedurre: & =Q & Q r k & =Q & Q r k
⇒
∫ q& r ⋅ dA = ∫ q& k ⋅ dA
⇒ q& r = q& k
caso a)
(2.20)
∫ q& c ⋅ dA = ∫ q& k ⋅ dA
⇒ q& c = q& k
caso b) e caso c)
(2.21)
A
⇒
A
A
A
dove q& r è il flusso termico radiativo incidente (entrante) sulla parete, q& c quello convettivo (entrante caso b e uscente caso c) e q& k è il flusso termico conduttivo che si propaga all’interno del mezzo determinando una variazione del campo di temperatura. Nell’ipotesi di flussi radiativi e convettivi uniformi sulla parete di intefaccia, utilizzando la legge di Fourier si ottiene: q& r = −λ
∂T ∂x P
caso a)
(2.22)
q& c = −λ
∂T ∂T ⇒ h c (T∞ − Tp ) = −λ ∂x P ∂x P
caso b)
(2.23)
q& c = −λ
∂T ∂T ⇒ h c (Tp − T∞ ) = −λ ∂x P ∂x P
caso c)
(2.24)
dove |p indica il gradiente calcolato sulla superficie d’interfaccia tra la parete e il fluido. Se si ipotizza che la conduttanza convettiva tenda ad infinito, per un valore finito di potenza termica trasmessa, la differenza di temperatura tra il fluido T∞ e la parete Tp deve tendere a zero. In tal caso si può assumere con buona approssimazione che la temperatura della parete Tp sia pari a T∞ (Tp= T∞), ne consegue che la condizione di flusso convettivo imposto degenera in una condizione al contorno di temperatura imposta. Nella terminologia adottata nella trasmissione del calore la condizione al contorno di temperatura imposta viene indicata come condizioni al contorno del primo tipo, la condizione al contorno di flusso imposto come condizioni al contorno del secondo tipo, la condizione al contorno di flusso convettivo imposto come condizioni al contorno del terzo tipo. Si sottolinea che le condizioni al contorno possono presentarsi non uniformi sulla superficie di contorno, in questi casi si avrà: Tp (x, y, z) = T(x, y, z)
condizione al contorno di 1° tipo
9
(2.25)
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q& r ( x , y, z ) = −λ
∂T( x , y, z ) ∂x P
h c (x, y, z) ⋅ (T∞ − Tp (x, y, z)) = −λ
∂T(x, y, z) ∂x P
condizione al contorno di 2° tipo
(2.26)
condizioni al contorno di 3° tipo
(2.27)
dove hc(x,y,z) è la conduttanza convettiva locale. Si vuole ora soffermarsi su di un particolare tipo di condizione al contorno di 2° tipo, in particolare quella in cui la superficie di contorno sia adiabatica. In questo caso nessun flusso termico attraversa questa superficie (superficie adiabatica), per cui la condizione al contorno sarà: λ
∂T(x, y, z) =0 ∂x
condizione al contorno di 2° tipo omogenea
(2.28)
Si esamini ora un solido omogeneo di forma parallelepipeda (cfr. Figura 2.5) di conduttività termica λ avente una temperatura iniziale Tp immerso in un fluido avente temperatura T∞, entrambi i mezzi hanno temperatura uniforme con T∞>Tp. Assunto un sistema di coordinate cartesiane con origine nel baricentro del parallelepipedo, supponendo uniforme anche la conduttanza convettiva hc, le condizioni al contorno si presentano uniformi su tutte le superfici del solido. Indipendentemente dal campo termico che si svilupperà nel mezzo al variare del tempo fino al raggiungimento delle condizioni di equilibrio, sulla base del concetto di simmetria geometrica e dell’uniformità delle condizioni al contorno, si può affermare che le temperature dei punti T(x,y,z) e T(-x,y,z) sono ∂T(x, y, z) =0 e uguali. Ne consegue che il flusso termico conduttivo tra questi due punti è nullo λ ∂x quindi, il piano avente equazione x=0 viene definito come piano di simmetria termico.
z -y
-x
x
y
-z
Fig. 2.5 – Piani di simmetria termici
10
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Analogamente anche i piani aventi equazioni y=0 e z=0 sono anch’essi piani di simmetria termica ed inoltre: T(x,y,z)=T(-x,y,z)=T(x,y,-z)=T(-x,y,-z)=T(-x,-y,z)=T(-x,-y,-z)=T(x,-y,z)=T(x,-y,-z) o più generalmente i campi delle otto zone di solido individuate dall’intersezione dei piani di simmetria termica sono uguali. In conclusione si può affermare che i piani di simmetria termica sono piani adiabatici e, quindi, caratterizzati da una condizione al contorno di 2° tipo con flusso termico nullo. Problemi di scambio termico conduttivo in regime stazionario La risoluzione analitica dell’equazione generale della conduzione per mezzi aventi geometria complessa e con condizioni al contorno non uniformi non è quasi mai possibile, in questi casi è possibile utilizzare tecniche di risoluzione numeriche (differenze, elementi e volumi finiti) che permettono di determinare con buona approssimazione il campo di temperatura. Nel seguito verranno esaminati alcuni semplici problemi di scambio termico conduttivo in regime stazionario, in assenza di generazione di energia interna e in regime monodimensionale in cui viceversa è possibile determinare analiticamente il campo di temperatura. Lastra piana indefinita Si consideri una parete piana schematizzata in Figura 2.6 di lunghezza L, altezza H e spessore s, (con L>>s e H>>s) , costituita da materiale omogeneo ed isotropo avente conduttività termica λ. Questo tipo di problema, molto comune nella pratica tecnica, è denominato lastra piana indefinita. Si ipotizzi che in condizioni di regime stazionario la temperatura delle interfaccie della parete rivolte verso l’esterno siano isoterme rispettivamente alla temperatura T1 e T2, con T1>T2. S z y
x
L
Fig. 2.6 – Lastra piana indefinita Il flusso termico è dunque diretto ortogonalmente alla parete nel verso delle temperature decrescenti. Assunto per il problema in oggetto un sistema di riferimento cartesiano, stante l’isotermia delle due superfici al contorno e considerando che due dimensioni sono preponderanti 11
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rispetto alla terza, trascurando la variazione del campo di temperatura presso gli spigoli (effetti di ∂T bordo) si può concludere che i gradienti di temperatura lungo l’asse y = 0 e lungo l’asse z ∂y ∂T = 0 possono essere considerati nulli. ∂z Il problema, quindi, si presenta in geometria monodimensionale, ne consegue che tutte le isoterme del campo di temperatura nel solido sono piani paralleli alle facce estreme della lastra (cfr. Fig. 2.7) e che, quindi, il vettore q& è orientato in ogni sezione normalmente a quest’ultime. La componente di tale flusso termico può essere valutato in base alla (2.1), che si particolarizza in questo caso come segue: q& x =
& Q x = −λ dT A( x ) dx
(2.29) T T1 T(x) T2 0
x
x
L
Fig. 2.7 – Sezione della lastra piana indefinita. La componente del flusso q& x è, dunque, determinato una volta noto l’andamento della temperatura nel mezzo, T(x). Quest’ultimo, a rigore, può essere ottenuto dalla soluzione analitica del problema rappresentato dall’equazione della conduzione (formulata in regime stazionario, assenza di generazione interna e geometria adimensionale) e dalle relative condizioni al contorno. In definitiva: d 2T(x) dx 2
=0
0≤x≤s
(2.30)
T ( x = 0 ) = T1
(2.31)
T ( x = s ) = T2
(2.32)
L’integrale generale della (2.30) è dato dalla relazione lineare: T(x) = c1x + c2
(2.33)
in cui le due costanti di integrazione, c1 e c2, possono essere ricavate imponendo che questa 12
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soluzione rispetti le condizioni al contorno (2.31) e (2.32): T1 = T(0) = c1 0 + c2
⇒
c2 = T1
(2.34)
T2 = T(s) = c1s + T1
⇒
T −T c1 = 2 1 s
(2.35)
Sostituendo le due costanti di integrazione qui ricavate nella (2.33) si ottiene il campo di temperatura all’interno della muratura: T −T T(x) = T1 − 1 2 x s
(2.36)
Dalla (2.29) e dalla (2.36) è facilmente ottenibile anche la potenza termica conduttiva trasmessa all’interno della muratura & = − Aλ ∂T(x) = A λ ( T − T ) Q x 1 2 ∂x s
(2.37)
La relazione (2.37), che ovviamente rappresenta nuovamente legge di Fourier, mostra che la potenza termica trasmessa per conduzione è direttamente proporzionale: - alla conduttività termica del materiale di cui è costituita la parete, λ.; - all'area della parete, A; - alla differenza tra le temperature delle superfici esterne, T1-T2; ed inversamente proporzionale: - allo spessore della parete, s. Nella (2.37) la grandezza λA/s viene denominata conduttanza conduttiva, nel Sistema Internazionale è misurata in W/K. Essa nel seguito verrà indicata con K: K=
λA s
[W K-1]
(2..38)
Il suo inverso R viene detta resistenza conduttiva, e nel SI viene espressa in K/W. R=
s λA
[K W-1]
(2.39)
Dividendo tali grandezze per l'area A della parete si ottengono la conduttanza conduttiva unitaria k e la resistenza conduttiva unitaria r, rispettivamente espresse da: k=
K λ = A s
[W m-2 K-1]
(2..40)
r=
R s = A λ
[m2 K W-1]
(2.41)
Geometria cilindrica In molte applicazioni pratiche, come ad esempio tubazioni, rivestimenti di isolante per cavi elettrici etc., si incontrano geometrie cilindriche come quelle descritte in questo paragrafo. In particolare, si 13
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
consideri una parete a geometria cilindrica (cilindro cavo come in Figura 2.8), di lunghezza L molto maggiore del raggio r, le cui superfici esterne siano isoterme ed a diversa temperatura uniforme T1 e T2, con T1>T2.
Fig.2.8 – Cilindro cavo in assenza di generazione Nelle ipotesi di regime stazionario, materiale omogeneo ed isotropo, conduttività termica indipendente dalla temperatura, in un sistema di riferimento in coordinate cilindriche, considerata l’uniformità delle condizioni al contorno, trascurando gli effetti di bordo il gradiente di temperatura ∂T = 0 . Inoltre, il campo di temperatura non dipende dalla coordinata φ, e lunzo l’asse z è nullo ∂z risulta quindi è monodimensionale, per le condizioni di simmetria termica e geometrica che caratterizzano il sistema. Le isoterme sono dunque dei cilindri coassiali alle superfici esterna ed interna e, quindi, il vettore flusso termico q& è orientato in ogni sezione normalmente all’asse z del cilindro, ovvero parallelamente al raggio r. In conclusione la formulazione del problema conduttivo è espressa dall’equazione generale della conduzione in coordinate cilindriche ottenuta semplificando la (2.17): 1 d ∂T(r) r =0 r dr ∂r
(2.42)
con le condizioni al contorno: T(r = r1 ) = T1
(2.43)
T(r = r2 ) = T2
(2.44)
Integrando una prima volta la (2.42) si ha: r
∂T(r) = c1 ∂r
(2.45)
Dalla (2.45) si rileva che al crescere di r il gradiente di T decresce. Ciò è deducibile anche 14
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
& considerando che per il principio di conservazione dell’energia Q(r) è costante, per cui:
dT(r) dT(r) & Q(r) = −λA(r) = −λ 2πrL = cos tan te dr dr
(2.46)
analoga alla (2.45). Integrando ancora la (2.45) si ottiene: T(r) = c1 ln(r) + c 2
(2.47)
imponendo che questo integrale generale verifichi le condizioni al contorno (2.43) e (2.44), è possibile ricavare le costanti di integrazione, c1 e c2, dal sistema di equazioni: T(r1 ) = T1 = c1 ln(r1 ) + c2
(2.48)
T(r2 ) = T2 = c1 ln(r2 ) + c2
(2.49)
in particolare, sottraendo membro a menbro le equazioni (2.48) e (2.49) e rammentando le proprietà dei logaritmi si ottiene: r T −T T1 − T2 = c1 [ ln(r1 ) − ln(r2 ) ] = c1 ln 1 ⇒ c1 = 1 2 r r2 ln 1 r2
(2.50)
sostituendo la (2.50) nella (2.48) si ottiene: T −T c2 = T1 − 1 2 ln(r1 ) r ln 1 r2
(2.51)
L’equazione che descrive il campo di temperatura T(r) si ottiene sostituendo le costanti d’integrazione (2.50) e (2.51) nella (2.47) ottenendo: T −T r T(r) = T1 − 1 2 ln( ) r r1 ln 1 r2
(2.52)
L’andamento, quindi, del campo di temperatura nel cilindro cavo è logaritmo (cfr. Fig. 2.9). Noto il campo di temperatura, l’equazione di Fourier (2.1) fornisce la potenza termica:
& = −λA(r) dT(r) Q dr
(2.53)
ancora una volta dalla (2.53) si deduce qualitativamente che, al crescere di r, poiché l’area della superficie isoterma A(r) cresce, decresce il gradiente di temperatura. Derivando la (2.52) e sostituendo nella (2.53) si ottiene:
15
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig.2.9 - Andamento della temperatura di un campo monodimensionale in geometria cilindrica con le superfici limiti a temperatura uniforme e costante. & = −λ 2πrL 1 T1 − T2 = λ 2πL 1 T1 − T2 = K(T − T ) = T1 − T2 Q 1 2 r r1 r r2 R ln ln r2 r1
(2.54)
avendo posto che: K=
2πLλ r ln 2 r1
(2.55)
r ln 2 r 1 R= = 1 K 2πLλ
(2.56)
Che rappresentano rispettivamente la conduttanza e la resistenza conduttive nel caso di simmetria cilindrica.
Analogia elettrica In entrambe le geometrie studiate nei paragrafi precedenti, come in altre applicazioni che verranno esaminate nel prosieguo, è stato ricavato il legame tra la potenza termica che attraversa il sistema monodimensionale e la differenza di temperatura che induce il flusso di energia termica. Questa espressione è del tutto analoga a quella relativa al flusso di corrente che attraversa una resistenza elettrica soggetta ad una differenza di potenziale ∆V. In fisica, due fenomeni sono analoghi se vengono descritti da leggi o equazioni simili, dove due 16
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
equazioni sono simili se possono essere convertite l’una nell’altra semplicemente scambiando le variabili in gioco ed i relativi coefficienti, senza alterare l’espressione che li lega. Dunque, nel caso specifico le due equazioni simili sono:
& = ( T2 − T1 ) Q R
≡
I=
( V2 − V1 ) R ele
in cui la seconda relazione lega il flusso di corrente I attraverso una resistenza elettrica, Rele, alla differenza di potenziale elettrico V. Per questo motivo, i problemi termici vengono spesso messi in analogia con problemi elettrici.
Fig. 2.10 – Esempi di analogia con resistenze elettriche. Come nel caso elettrico, anche in campo termico nella pratica si trovano diversi sistemi in cui le resistenze termiche vengono disposte in serie o parallelo. Questo tipo di strutture possono essere studiate analogamete al caso elettrico, e dunque non necessiterebbero di una rigorosa presentazione. Tuttavia, per completezza vengono introdotte nei prossimi paragrafi.
Dispositivi in serie Nella pratica tecnica è molto frequente il caso della trasmissione di calore per conduzione in una parete piana composta da più strati di materiali diversi, ciascuno omogeneo ed isotropo, caratterizzati, in generale, da spessori e conduttività termiche diverse. Con riferimento alla Fig.2.10, nell'ipotesi di regime stazionario, l'andamento delle temperature è costante nel tempo ed in assenza di generazione interna, per il primo principio della termodinamica, l’energia termica per unità di & che attraversa ogni superficie isoterma (parallela alle interacce esterne ed ortogonale allo tempo Q spessore della parete) è costante. Indicando con λ1, λ2 e λ3 le conduttività termiche dei materiali e con s1, s2 ed s3 gli spessori dei singoli strati della parete composta schematizzata in Fig.2.10, nell’ipotesi che le temperature T1 e T4 siano imposte sulle superfici di interfaccia e con T1>T4, si ha:
17
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig. 2.10 - Parete piana composta da più strati in serie: simmetrie piana e cilindrica.
& = A λ1 ( T − T ) Q 1 1 12 s1
⇒
T1 − T12 =
& = A λ2 ( T − T ) Q 2 12 23 s2
⇒
T12 − T23 =
& = A λ3 ( T − T ) Q 3 23 4 s3
⇒
T23 − T4 =
& Q 1 A λ1 s1 & Q 2 A λ2 s2 & Q 3 A λ3 s3
Sommando membro a membro le relazioni scritte sulla destra, tenendo presente che, come detto per il principio di conservazione dell’energia, la potenza termica che attraversa la parete, e quindi i & =Q & =Q & =Q & si ottiene: singoli strati, è costante Q 1 2 3
(
)
1 1 1 & T1 − T4 = Q + + A λ1 A λ 2 A λ3 s s2 s3 1
da cui risulta che la potenza che attraversa la parete costituita da più strati disposti in serie può essere espressa come:
& =A Q
T1 − T4 R1 + R 2 + R 3
(2.57)
Dalla (2.57) si deduce che, la resistenza conduttiva totale Rk della parete in serie è pari alla somma delle resistenze conduttive dei singoli strati. Più in generale:
18
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
& = A T1 − T4 Q Rk
(2.58)
dove, per una parete composta da n strati disposti in serie si ha: n
Rk =
∑ Ri
(2.59)
i =1
Essendo la superficie di scambio A uguale per tutti gli n strati e ricordando che la conduttanza conduttiva Kk è ovviamente l’inverso della resistenza conduttiva, si ottiene: -
resistenza unitaria conduttiva totale dell’intera parete: n
rk =
∑ ri
(2.60)
i =1
-
dove ri è la resistenza termica unitaria conduttiva del iesimo strato della parete conduttanza conduttiva totale dell’intera parete: Kk =
1
n
∑ Ri ∑ i =1
-
1
=
n
i =1
(2.61)
si λi A
conduttanza conduttiva unitaria totale dell’intera parete: kk =
1 n
=
1 n
∑ ri ∑ i =1
i =1
(2.62) si λi
Il concetto di resistenza e conduttanza termica può essere esteso anche allo scambio termico convettivo tra un fluido ed una parete. Infatti in questi casi la potenza termica scambiata tra una superficie piana ed il fluido è data da:
& = h A [ T(x) − T ] Q c ∞ & Q = h A [ T − T(x) ] c
∞
con
T(x)>T∞
con
T∞ > T(x)
(2.63)
dove T∞ è la temperatura indisturbata del fluido ipotizzata uniforme, T(x) è la temperatura uniforme dell’interfaccia della parete a contatto con il fluido (x=0 o x=L), hc è la conduttanza convettiva del fluido supposta anch’essa uniforme. Quindi, in analogia con le (2.38) e (2.39) la conduttanza Kc e la resistenza termica superficiale Rc risultano: Kc = hcA
(2.64)
19
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Rc =
1 hcA
(2.65)
mentre la resistenza unitaria convettiva risulta: rc =
1 hc
(2.67)
Conseguentemente la (2.59), la (2.60), la (2.61) e la (2.62) possono essere estese per analogia sommando alla resistenza conduttiva della struttura le due resistenze convettive hce e hci relative alle interfacce tra la parete ed il fluido (cfr. Figura 2.11): -
resistenza totale della parete: RT =
-
h ce A
1 + h ce
1
∑ R i + h ciA
(2.68)
i =1
n
1
∑ ri + hci
(2.69)
i =1
trasmittanza termica della parete KT =
1 1
+
1
=
n
h ce A -
+
resistenza totale unitaria della parete: rT =
-
n
1
∑ R i + hci A 1
i =1
1 h ce A
n
+
∑ i =1
(2.61)
si 1 + λi A h ci A
trasmittanza termica unitaria della parete kT =
1 1 + he
n
∑ i =1
1
= 1 ri + hi
1 + he
n
si 1 + λi h i i =1
∑
20
(2.62)
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig. 2.11 – Andamento della temperatura in un parete piana multistrato con scambi termici convettivi sulle superfici laterali Il concetto di resistenza e conduttanza termica convettiva può essere più in generale esteso anche allo scambio termico tra ambiente circostante e superficie introducendo anche lo scambio termico radiativo (cfr capitolo meccanismi combinati). Nel diagramma di Figura 2.11 dove sono stati riportati gli andamenti qualitativi delle temperature di un parete multistrato, gli andamenti in prossimità delle interfacce dove avvengono gli scambi termici superficiali sono stati tracciati con curve non lineari in quanto sia la conduttanza convettiva sia la conduttanza superficiale sono funzioni non lineari della temperatura (vedi capitoli successivi) ed inoltre la variazioni variazione di temperatura dovuta agli scambi termici radiativi e/o interessa soltanto uno strato di spessore limitato a ridosso dell’interfaccia della parete.
Fig. 2.12 - Parete di geometria cilindrica composta in serie Anche per scambi termici monodimensionali in geometria cilindrica è possibile conseguire con analoghe dimostrazioni gli stessi risultati. In particolare per un cilindro di lunghezza L molto maggiore del raggio esterno composto da più strati (cfr Fig. 2.12), riprendendo le espressioni (2.55) e (2.56) si ha: -
resistenza termica conduttiva totale: 21
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
ri +1 n ln ri Rk = Ri = 2πLλi i =1 i =1 n
∑
-
∑
(2.63)
conduttanza conduttiva totale Kk =
1
(2.64)
ri +1 n ln ri 2πLλi
∑ i =1
-
trasmittanza termica del cilindro KT =
1
(2.65)
ri +1 n ln ri 1 1 + + h se A e 2πLλi h se Ai i =1
∑
dove hse e hsi sono rispettivamente le conduttanze unitarie superficiali interne (Ai) ed esterne (Ae) del cilindro; -
resistenza totale del cilindro ri +1 n ln ri 1 1 + + RT = h se A e 2πLλi h se Ai i =1
∑
(2.66)
Esempio numerico Si calcolino la resistenza e la conduttanza termica unitaria e totale per una parete che ha un'area di 10 m2 ed è costituita dai seguenti strati: 1
Calcestruzzo cellulare s1 = 20 cm = 0,20 m ρ1 = 800 kg m-3 λ1 = 0,25 W m-1K-1
2
Lastra di acciaio inox s2 = 3,0 mm = 0,0030 m ρ2 = 8000 kg m-3 λ2 = 17 W m-1K-1
3
Muratura in mattoni pieni s3 = 12 cm = 0,12 m ρ3 = 1200 kg m-3 λ3 = 0,43 W m-1K-1 22
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Supponendo di voler aumentare del 50% la resistenza termica unitaria (o ridurre del 50% la conduttanza termica unitaria) della parete, utilizzando lastre di poliuretano espanso di massa volumica, ρis, pari a 40 kg m-3, e di conduttività termica, λis, pari a 0,032 W m-1K-1, si calcoli lo spessore dello strato isolante necessario. 1 3 2
s'
s"
s'''
Fig; 2.13 - Parete piana composta da più strati in serie. Dalla relazione (2.60) la resistenza termica conduttiva unitaria della parete risulta pari alla somma delle singole resistenze, ciascuna delle quali può essere calcolata considerando la (2.41): s s s 0, 20 0, 0030 0,12 m2K rk = r1 + r2 + r3 = 1 + 2 + 3 = + + = 1, 08 λ1 λ 2 λ3 0, 25 17 0, 43 W
La conduttanza conduttiva unitaria della parete risulta: kk =
1 W = 0,94 rk m2K
Per incrementare del 50% la resistenza unitaria di tale parete, indicando con rk* il nuovo valore della resistenza, deve risultare:
rk* = 1,5 ⋅ rk = rk + ris e quindi ris = 0,50 rk = 1, 08 ⋅ 0,50 = 0,54
m2K W
da cui è possibile ricavare lo spessore dello strato isolante che risulta sis = ris ⋅ λis = 0,54 ⋅ 0, 032 = 0, 0173 m
Esempio numerico Per lo stesso esempio svolto precedentemente si determino le temperature all’interfaccia dei vari strati, nell’ipotesi che: a) le temperature dell’aria esterna ed interna siano rispettivamente pari a 0°C 23
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
ed a 20°C, b) le conduttanze superficiali esterne ed interne siano rispettivamente pari a 12,0 ed 8,0 W m-2 K-1, c) lo strato di isolante sia posto in un caso sull’interfaccia esterna della parete e in un secondo caso sull’interfaccia interna. Dalla relazione (2.62) si può calcolare la trasmittanza termica unitaria della parete kT =
1 1 + he
4
si 1 + λi h i i =1
∑
=
1 1 1 + 1, 62 + 12, 0 8, 0
= 0,547
W m2K
per cui dalla la potenza termica totale trasferita dalla parete è pari: & = k A ( T − T ) = 0,547 ⋅10 ⋅ (20 − 0) = 109, 46 W Q T i e
per il principio di conservazione, la potenza termica trasmessa nei vari strati risulta costante. Ne consegue: caso a) – isolante posizionato sull’interfaccia calda (lato caldo) Ti-is =Ti -
Q 109,46 =20,0=19,09 °C hi A 8,0 ⋅10
Tis-1 =Ti-is -
T1-2 =Tis-1 -
T2-3 =T1-2 -
T3-4 =T2-3 -
T4-e =Ti -
Q 109,46 =19,09=13,18 °C 0, 032 ⋅10 λis A 0, 018 sis Q 109,46 =13,18=4,42 °C 0, 25 ⋅10 λ1A 0, 20 s1 Q 109,46 =4,42=4,42 °C 17, 0 ⋅10 λ2A 0, 003 s2 Q 109,46 =4,42=1,37 °C 0,12 ⋅10 λ 3A 0, 43 s3
Q 109,46 =1,37=0 °C heA 8,0 ⋅10
caso b) isolante posizionato sull’interfaccia esterna della parete (lato freddo) Ti-1 =Ti -
Q 109,46 =20=19,09 °C hi A 8,0 ⋅10
24
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
T1-2 =Ti-1 -
Q 152,0 =18,1=10,33 °C 0,25 ⋅10 λ1 ⋅ A 0,20 s1
T2-3 =T1-2 -
T3-4 =T2-3 -
T4-is =T3-4 -
T4-e =Ti -
Q 109,46 =10,33=10,33 °C 17, 0 ⋅10 λ2A 0, 003 s2 Q 109,46 =10,33=7,27 °C 0,12 ⋅10 λ 3A 0, 43 s3 Q 109,46 =7,27=1,37 °C 0, 032 ⋅10 λis A 0, 018 sis
Q 109,46 =1,37=0 °C heA 8,0 ⋅10
Da quanto sopra riportato è possibile dedurre alcune interessanti considerazioni: -
-
-
la conduttanza (resistenza) termica dei materiali metallici è molto elevata (bassa), per cui è possibile trascurare nel calcolo della trasmittanza della parete il loro contributo. Si noti, infatti, come in entrambi i casi esaminati la caduta di temperatura nello strato metallico è praticamente nulla; la caduta di temperatura tra l’interfaccia esterna e quella interna della parete è la medesima sia nel caso a) che nel caso b). Ciò è evidente se si considera che le resistenze termiche superficiali rimangono le stesse in entrambi i casi così come le temperature dell’aria esterna ed interna; malgrado la caduta complessiva di temperatura nella parete rimanga la stessa in entrambi i casi, profondamente diversi si presentano gli andamenti di temperatura. Infatti, nello strato di isolante avviene la maggiore caduta di temperatura conseguentemente la sua posizione fa sì che gli strati a monte si trovino a temperatura più elevata rispetto quelli di valle (cfr Fig. 2.14). Quindi, nel caso di isolante posizionato sull’interfaccia esterna della parete (caso b) tutti gli strati di posti a monte si trovano a temperatura più calda rispetto ad una analoga situazione con l’isolante posizionato sull’interfaccia interna (cfr Fig. 2.14).
25
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig. 2.14 Effetto della disposizione di isolante sul campo di temperatura in una parete composta
Resistenze in parallelo Una parete a strato singolo può essere costituita da materiali che, pur essendo omogenei ed isotropi, presentano differenti valori della conduttività termica. Nella Fig.2.14 è mostrata la sezione di una parete di questo tipo. La disposizione delle diverse zone, rispetto alle due superfici limiti, viene detta in parallelo. In tal caso, materiali diversi sono soggetti alla stessa differenza di temperatura, e ognuno di essi viene attraversato da differenti potenze termiche. La parete è attraversata da una potenza termica che è data dalla somma delle potenze relative ad ognuno dei materiali. Per ciascuno di questi materiali (con differente conduttività termica), la potenza termica che lo attraversa può essere calcolata utilizzando la (2.37): & = A1λ1 ( T − T ) Q 1 1 2 s & = A 2λ 2 ( T − T ) Q 2 1 2 s & = A3λ3 ( T − T ) Q 3 1 2 s3
dunque la potenza totale che attraversa la parete è la somma delle tre aliquote: & =Q & +Q & +Q & = A1λ1 + A 2λ 2 + A3λ3 ⋅ ( T − T ) Q 1 2 3 1 2 s s s
26
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig.2.14 - Parete con più strati in parallelo. Ovvero, nel caso di pareti disposte in parallelo la conduttanza totale è pari alla somma delle singole conduttanze: K k = K1 + K 2 + K 3
(2.67)
Dalla (2.67) risulta che la conduttanza termica conduttiva, per la parete costituita da più zone in parallelo, è pari alla somma delle conduttanze termiche conduttive dei singoli strati. Da queste ultime relazioni è possibile ricavare la conduttanza termica conduttiva unitaria della parete costituita da più zone in parallelo: k A + k A + k 3A 3 kk = 1 1 2 2 A1 + A 2 + A3
(2.68)
La (2.68) rappresenta la conduttanza termica unitaria della parete e corrisponde alla media pesata delle conduttanze unitarie delle differenti zone che la costituiscono. La resistenza termica della parete, nel caso della configurazione in parallelo, è pari all’inverso della somma degli inversi delle resistenze termiche delle singole zone. È importante notare che la trattazione fin qui svolta è fondata sulle ipotesi fatte, che i materiali siano omogenei ed isotropi; se cadono tali ipotesi, il calcolo delle conduttanze e delle resistenze termiche si complica. Dalla norma UNI 7357-74 possono ricavarsi i valori delle conduttanze unitarie per i materiali di frequente impiego nell’edilizia. Infine, sono frequenti i casi in cui la parete si presenta con una serie di strati in serie di cui, uno o più costituiti da materiali di diversa conduttività termica (strati in parallelo), come ad esempio il caso di Figura 2.15.
27
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Fig. 2.15 – Parete con elementi in serie e parallelo In paticolare la muratura è costituita da 3 strati in serie di cui il secondo presenta a sua volta due strati in parallelo indicati con i simboli 2.1 e 2.2. La trasmittanza termica della parete è data: 1 1 = 1 1 s s1 A 21 + A 22 1 1 + R1 + R 2 + R 3 + + + + 3 + heA h i A h e A λ1A λ 21A 21 λ 22 A 22 λ3A h i A + s2 s2 ottenuta considerando inizialmente i tre strati in serie (e quindi sommando le resistenze conduttive e le resistenze superficiali della parete, secondo la relazione (2.62)) e sostituendo successivamente alla resistenza conduttiva dello strato 2, costituita da due strati in parallelo, l’inverso della somma delle due conduttanze conduttive (vedi (2.68)). KT =
Esempio numerico Si calcolino la conduttanza e la resistenza termiche totali di una parete costituita da una lastra metallica di acciaio inossidabile e da due pannelli in cemento disposti come in Fig. 2.16.
0, 12
3 2 ,0
2 1 ,2
1 2 ,0
0
0
0
Fig. 2.16 - Simmetria piana disposta in parallelo. Pannelli di calcestruzzo in blocchi con cavità isolate di dimensioni: 0,12×2,0×3,0 m3; λ1=λ3=0,800 W m-1K-1. Lastra in acciaio inossidabile di massa volumica pari a 8000 kg m-3, avente dimensioni di 28
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
0,0030×1,20×3,00 m3, λ2=17 W m-1K-1. Volendo ridurre la conduttanza termica ad 1/200 di quella calcolata, si dica quale zona della parete è più conveniente isolare e, scelto il materiale, si calcoli lo spessore necessario. Le tre zone della parete sono in parallelo, inquanto tutte soggette alla stessa differenza di temperatura; la conduttanza termica conduttiva della parete è ricavabile dalla relazione (2.71); si ha quindi: A λ A λ A λ Kk = 1 1 + 2 2 + 3 3 = s2 s3 s1 0,800 ⋅ 6, 00 17 ⋅ 3, 60 0,800 ⋅ 6, 00 W + + = 40 + 2, 0 ⋅104 + 40 = 2, 0 ⋅104 0,12 0, 0030 0,12 K Volendo ridurre ad 1/200 tale valore si ha, indicando con K*k la conduttanza termica totale della parete isolata: K*k =
2, 0 ⋅104 W = 1, 0 ⋅102 200 K
Tenendo conto che la disposizione è in parallelo e che in tal caso la conduttanza termica totale risulta pari alla somma di quelle relative alle singole zone, è evidente che l’intervento per l’isolamento deve essere effettuato sulla parte termicamente più debole (meno isolante) della parete, e cioè sulla lastra in acciaio. Indicando con K1* la conduttanza di tale zona quando essa è stata isolata, si ha: K*k = 40 + K1* + 40 = 1, 0 ⋅102
W K
da cui si può ricavare la resistenza termica unitaria r1* = K1* ⋅ A1 = 0,18
m2K W
Tale valore della resistenza può essere ottenuto aggiungendo del materiale isolante in serie alla lastra di acciaio: s s m2K r1* = 1 + is = 0,18 λ1 λis W
per cui utilizzando come isolante del legno di quercia, avente conduttività pari a 0,22 W m-1K-1, lo spessore da utilizzare risulterebbe: r1* =
0, 0030 sis m2K + = 0,18 17 0, 22 W
⇒
sis =0,040 m
Mentre impiegando del polistirene, con massa volumica di 40 kg m-3 e di conduttività pari a 0,032 29
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
W m-1K-1, si ha: r1* =
s 0, 0030 m2K + is = 0,18 17 0, 032 W
⇒
sis =0,0056 m
Si noti che, a parità di isolamento realizzato, il polistirene richiede uno spessore minore rispetto al legno di quercia.
30
A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Tabella 2.3 – Proprietà termofisiche di solidi metallici
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A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Tabella 2.4 – proprietà termofisiche delle leghe metalliche
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Tabella 2.5 – Proprietà termofisiche di materiali
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A. Carotenuto & N. Massarotti – Fondamenti di trasmissione del calore – cap. 2 conduzione
Esercitazioni numeriche (tratti da Fondamenti di trasmissione del calore volume secondo di R.Mastrullo, P. Mazzei, V. Naso, R. Vanoli, Liguori editore) 1.
Dato un vetro singolo di spessore 4,0 mm, valutare la riduzione percentuale di flusso termico trasmesso rispetto ad una struttura costituita da due lastre di vetro singolo dello stesso spessore con interposta camera d’aria di 6,0 mm. Si assuma che le conduttanze superficiali interne ed esterne siano uniformi e rispettivamente pari a 14,0 e 8,5 W m-2 K-1. (soluzione: 56%)
2.
Una parete isolata è costituita da due strati di sughero, come mostrato nella figura. Si determini la resistenza termica unitaria della parete, nell’ipotesi che i pori siano riempiti di aria atmosferica e si confronti tale valore con quella di una analoga parete costituita solo da sughero. (soluzione: r1=0,52 K m2 W-1; r2=0,50 K m2 W-1)
3.
Uno strato di mattoni refrattari (λ=1,28 W m-1 K-1) dello spessore di 50 mm è collocato tra due piastre di acciaio (λ=53,7 W m-1 K-1) dello spessore di 6,3 mm. Le superfici dei mattoni adiacenti la piastra sono rugose ed il contatto solido-solido avviene solo sul 30% dell’area totale con una altezza delle asperità di 0,80 mm. Determinare la potenza termica dispersa da 1,0 m2 di superficie sapendo che le temperature esterne delle piastre sono rispettivamente di 93,0 °C e 427,0 °C. & = 7,8 ⋅103 W ) (soluzione: Q
4.
Si hanno a disposizione, per realizzare la coibentazione di un forno, due materiali: dei mattoni refrattari resistenti ad alte temperature e dei mattoni comuni impiegabili fino ad una temperatura massima di 850 °C. Dovendo realizzare una parete con spessore complessivo di 120 cm, determinare gli spessori di due materiali suddetti ai quali corrisponda la minima dispersione termica. La temperatura della faccia interna della parete composta è di 1200 °C; l’ambiente esterno è a 20 °C; la conduttanza unitaria superficiale è 10 W m-2 K-1. Per i mattoni comuni si assuma λ=0,692 W m-1 K-1 e per i refrattari λ=1,43 W m-1 K-1. (soluzione: s1=0,59 m, s2=0,61 m)
5.
La parete di un frigorifero è costituita da uno strato di lana di vetro dello spessore di 5,0 cm racchiuso tra due lamine di alluminio dello spessore di 0,80 mm (λ=204 W m-1 K-1). Le conduttanze superficiali interna ed esterna, supposte entrambe uniformi, sono rispettivamente pari a 10 W m-2 e 7,0 W m-2. Relativamente ad 1,0 m2 di parete si calcoli: a) la resitenza termica della parete e le resistenze termiche superficiali; b) la trasmittanza della parete; c) il flusso termico sapendo che le temperature dell’aria all’interno ed all’esterno del frigorifero sono rispettivamente pari a 1,0 °C e 32,0 °C. (soluzione: R=1,3 K W-1; U= 0,65 W m-2 K-1; q=21 W m2)
6.
Due piastre di superficie 20 x 20 cm2 ciascuna alle temperature di 170 °C e 150 °C sono separate da una barra di rame lunga 150 cm e di 25 mm di diametro che è saldata ad entrambe le piastre. Lo spazio tra due piastre è riempito con lana di vetro che isola anche la superficie laterale della barra. Determinare la potenza termica che va da una piastra all’altra. assumendo per il rame λ=379 W m-1 K-1. & = 2,5 W ) (soluzione: Q
7.
La parete di un forno è costituita da due strati: 1) 25,0 cm di argilla refrattaria; 2) 12,5 cm di 34
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mattoni isolanti di malta di gesso. La temperatura della superficie interna del forno è di 1650 °C; la temperatura dell’atmosfera circostante il forno è di 27 °C; la conduttanza superficiale unitaria esterna e di 10 W m-2 K-1; la conducibilità termica dei mattoni di gesso è di 0,485 W m-1 K-1 mentre quella dei mattoni refrattari è di 1,48 W m-1 K-1. Calcolare: a) il flusso termico disperso; b) la temperatura della superficie di separazione mattoni refrattari-mattoni isolanti; c) la temperatura della superficie esterna. Disegnare, inoltre, qualitativamente l’andamento delle temperature per il sistema in esame. 8.
Una soluzione, la cui temperatura di ebollizione è di 82 °C, bolle all’esterno di un tubo di acciaio (1,5 %C) di 2,5 cm di diametro e 0,30 cm di spessore. All’interno del tubo scorre vapor d’acqua saturo alla pressione di 4,02.105 Pa. Le conduttanze termiche unitarie lato vapor d’acqua e lato esterno della tubazione sono rispettivamente di 7500 e di 550 W m2 K. Si calcoli l’incremento percentuale di potenza termica scambiata che si ha con un tubo di rame e quella che si ha con un tubo di acciaio. & = 24% ) (soluzione: ∆Q
9.
Una portata massica di vapor d’acqua pari a 2,6.10-4 kg s-1 attraversa una condotta di acciaio inox da ¾ di pollice (26,7 mm di diametro esterno e 21 mm di diametro interno). La conduttanza convettiva interna è di 4800 W m-2 K. La presenza di incrostazioni sulla superficie interna comporta una resistenza termica aggiuntiva per unità di superficie della condotta di 0,20 m2 K W-1. Valutare la potenza termica dissipata per metro di condotta in ciascuna delle seguenti ipotesi: a) condotta nuda; b) condotta ricoperta da uno strato di amianto dello spessore di 50 mm. In ambedue i casi assumere per la superficie esterna una conduttanza unitaria di 10 W m-2 K-1 ed una temperatura ambiente di 18 °C. Valutare in entrambi i casi la potenza termica per metro lineare. & = 22, 0 W m-1; Q & = 17, 0 W m-1 ) (soluzione Q
10.
Una parete piana è costituita da due strati di mattoni da muratura con conducibilità termica di 0,658 W m-2 K aventi uno spessore di 6,0 cm e da uno strato di materiale isolante, interposto, di spessore 5,0 cm. Le superfici esterne sono, rispettivamente, alla temperatura di 22 °C e di 10 °C; sul lato freddo del materiale isolante si misura una temperatura di 12°C. Valutare: a) la resistenza termica conduttiva della parete composta; b) la potenza termica dispersa da 20 m2 di parete; c) la conducibilità termica del materiale isolante. & = 4, 4 ⋅102 W , λ=0,14 W m-1 K-1) (soluzione: 0,55 m2 K W-1, Q
11.
Un conduttore elettrico di 1,00 mm di raggio è isolato uniformemente in modo da formare un elemento a simmetria cilindrica di 1,50 mm di raggio. Il conduttore che è percorso da una corrente di 50 A, è posto in un ambiente alla temperatura di 20°C. Determinare il valore minimo della conduttanza superficiale esterna per il quale la temperatura all’interfaccia conduttore-isolante non superi il massimo valore consentito per l’isolante che è di 60 °C. Le caratteristiche del conduttore e dell’isolante, costanti per i valori di temperatura di esercizio, sono rispettivamente: a) resistenza elettrica del conduttore 3,50.10-3 Ω m-1; b) la conducibilità termica dell’isolante: 0,200 W m-1 K-1 . (soluzione: h=25 W m-2 K-1)
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