Campi Elettromagnetici e Circuiti I Potenza in regime sinusoidale

Facoltà di Ingegneria Università degli studi di Pavia

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica

Campi Elettromagnetici e Circuiti I Potenza in regime sinusoidale

Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

Prof. Luca Perregrini

Potenza in regime sinusoidale, pag. 1

Sommario • • • • • • • • •

Potenza istantanea in regime sinusoidale Potenza media Massimo trasferimento di potenza Valori efficaci Relazione tra potenza media e valori efficaci Potenza apparente e fattore di potenza Potenza complessa Conservazione della potenza complessa Rifasamento

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 2

Potenza istantanea in regime sinusoidale i generatore sinusoidale

+ v –

rete lineare passiva

v(t )  V cos (t   v )

i (t )  I cos (t   i )

La potenza istantanea è:

p (t )  v(t )  i (t )  V  I cos (t   v )cos (t   i ) 1 1  V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i ) 2 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 3

Potenza istantanea in regime sinusoidale 1 1 p (t )  V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i ) 2 2 p 1 V I 2 1 V  I cos ( v   i ) 2

0

T/2

T

t

La potenza istantanea è periodica con periodo T/2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 4

Potenza istantanea in regime sinusoidale 1 1 p (t )  V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i ) 2 2 p 1 V I 2 1 V  I cos ( v   i ) 2

T/2

0

p > 0 potenza assorbita Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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T

t

p < 0 potenza erogata Potenza in regime sinusoidale, pag. 5

Potenza media Ogni qualvolta si osserva un fenomeno periodico per un tempo di gran lunga superiore al periodo (ad esempio l’assorbimento della luce da parte dell’occhio umano, l’energia assorbita da un utente, il riscaldamento a microonde, ecc.) non è rilevante il valore che la potenza assume istante per istante, ma piuttosto il valore medio della potenza nel tempo:

1 P T Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16



T

0

p(t ) dt

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 6

Potenza media 1 P T



T

0

poiché

1 1   V  I cos ( v   i )  V  I cos (2t   v   i ) dt 2 2  1 T

1 T

T



0



T

0

1 1 V  I cos ( v   i ) dt  V  I cos ( v   i ) 2 2

1 V  I cos (2t   v   i ) dt  0 2

si ha

1 P  V  I cos ( v   i ) 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 7

Potenza media Considerando i fasori di tensione (V = Vv) e corrente (I = Ii) si ha:

1 1 * V  I  V  I ( v   i ) 2 2 1  V  I cos ( v   i )  j sin ( v   i )  2 da cui

1 1 * P  Re V  I  V  I cos ( v   i ) 2 2



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

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Potenza media Se v = i (tensione e corrente in fase  carico resistivo) si ha:

1 1 1 1 2 2 P  V  I cos ( v   i )  V  I  R  I  R | I | 2 2 2 2 Se v – i = ± 90 (tensione e corrente in quadratura  carico reattivo) si ha:

1 P  V  I cos ( v   i )  0 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 9

Potenza media assorbita da un carico I VTh

ZTh

+ –

+ V –

ZTh = RTh + j XTh ZL ZL = RL + j XL

La potenza media assorbita dal carico ZL è: 1 1 1 RL * * 2 P  Re V  I  Re Z L  I  I  ReZ L | I |  | I |2 2 2 2 2









RL VTh  2 Z Th  Z L Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

2

| VTh |2 RL / 2  ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 10

Massimo trasferimento di potenza media Per quale valore di ZL si ha il massimo trasferimento di potenza media? | VTh |2 RL / 2 P ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2 P | VTh |2 RL ( X Th  X L )  X L ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2







2

0



P | VTh |2 ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L )  2 RL ( RTh  RL )  0 2 RL 2 ( RTh  RL ) 2  ( X Th  X L ) 2





RL = RTh Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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XL = –XTh Potenza in regime sinusoidale, pag. 11

Massimo trasferimento di potenza media In regime sinusoidale, il massimo trasferimento di potenza media si ha quando RL = RTh, XL = –XTh  ZL = Z*Th e la potenza media fornita al carico è Pmax

| VTh |2  8 RTh

Quando ZL = Z*Th si dice che il carico è adattato al generatore Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Massimo trasferimento di potenza media

La potenza fornita al carico adattato (ZL = Z*Th) prende anche il nome di potenza disponibile Pd  Pmax

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| VTh |  8 RTh

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2

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Potenza media erogata ad un carico ZL ZTh = RTh + j XTh

VTh

+ –

ZL = RL + j XL

Tenendo conto dell’espressione della potenza disponibile, si ottiene: P

4 RTh RL Z Th  Z L

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2

Pd 

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4GTh GL YTh  YL

2

Pd

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Valori efficaci Il valore efficace di una corrente (tensione) periodica è la corrente (tensione) costante in grado di fornire ad un resistore la stessa potenza della corrente (tensione) periodica I cos (t+i)

Ieff +

+ V cos (t+v)

R

–

– Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

Veff

R

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 15

Valore efficace della corrente Si ha:

1 T 1 T 2 P   R  i (t ) dt   R  I 2 cos 2 (t   i ) dt T 0 T 0 1 T 1 2 1  cos(2t  2 i )   RI dt  R  I 2 T 0 2 2

ma anche:

2 P  R  I eff

e quindi:

I eff Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

I  2

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Valore efficace della tensione Si ha:

1 P T



T

0

2

v (t ) 1 dt  R T



T

0

2

V 2 cos (t   v ) dt R

2

2

1 V 1  cos(2t  2 v ) 1V   dt  T 0 R 2 2 R T

ma anche:

2 eff

V P R

e quindi:

Veff Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

V  2

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Potenza media e valori efficaci

1 P  V  I cos( v   i ) 2

V I   cos( v   i ) 2 2  Veff  I eff cos( v   i )

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 18

Potenza apparente e fattore di potenza P  Veff  I eff cos( v   i )  S cos( v   i ) S = Veff·Ieff è detta potenza apparente e si misura in VA (voltampere) pf = P/S = cos(v–i) è il fattore di potenza

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Fasori efficaci Definendo i fasori efficaci:

Veff

V   Veff  v 2

I eff

I   I eff  i 2

si ha:

V Veff Veff Z   ( v   i ) I I eff I eff Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 20

Fattore di potenza Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento tra la tensione e la corrente e coincide con il coseno dell’argomento dell’impedenza: V V v V Z   ( v   i ) I I i I

• carico resistivo  v–i = 0  pf = 1 La potenza media coincide con la potenza apparente

• carico reattivo  v–i = ±90°  pf = 0 La potenza media è nulla Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 21

Potenza complessa La potenza complessa è: 1 1 * S  V  I  V  I cos ( v   i )  j sin ( v   i )  2 2  Veff  I *eff  Veff  I eff cos ( v   i )  j sin ( v   i )  I

Poiché V = Z·I e Veff = Z·Ieff si ha: 2 2 1 1 | V | | V | eff S  Z | I |2  Z | I eff |2   * * 2 2 Z Z

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+ V –

Z

Potenza in regime sinusoidale, pag. 22

Potenza complessa Poiché Z = R +j X si ha: 2

S  ( R  jX ) | I eff |  P  jQ

Vale anche: S  Veff  I eff cos ( v   i )  j sin ( v   i ) 

e quindi: P  Veff  I eff cos ( v   i ) Q  Veff  I eff sin ( v   i ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

potenza reale o attiva potenza reattiva

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 23

Potenza complessa P = Veff·Ieff cos(v–i) è la potenza media fornita al carico. Questa è l’unica potenza utile ed è anche la potenza che il carico realmente dissipa. Si misura in watt (W). Q = Veff·Ieff sin(v–i) misura lo scambio di energia fra il generatore e la parte reattiva del carico. Si misura in volt-ampere reattivi (VAR). Q = 0 per carichi resistivi Q < 0 per carichi capacitivi (v < i) Q > 0 per carichi induttivi (v > i) Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 24

Potenza complessa: riassunto 1 S  V  I *  P  jQ  Veff  I eff ( v   i ) 2 2

S | S | Veff  I eff  P  Q

2

potenza complessa potenza apparente

P  Re{S}  S cos ( v   i )

potenza reale o attiva

Q  Im{S}  S sin ( v   i )

potenza reattiva

P  cos ( v   i ) S

fattore di potenza

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Potenza in regime sinusoidale, pag. 25

Potenza complessa: riassunto

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Triangolo delle potenze Im

Im

S

Z

Q

v–i P

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X

v–i R

Re

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Re

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Triangolo delle potenze Im

Im

S

Q

v–i P

P v–i

Re

S Carico induttivo Q > 0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2015/16

Re

Q

Carico capacitivo Q < 0 Prof. Luca Perregrini

Potenza in regime sinusoidale, pag. 28

Conservazione della potenza complessa In un circuito, la potenza complessa, la potenza reale e la potenza reattiva si conservano Se il circuito include N elementi, con la convenzione degli utilizzatori si ha: N

S

N n

0

n 1

N

P

n

Q

0

n

n 1

0

n 1

In generale, la legge di conservazione non vale per le N N potenze apparenti:

 S  | S n

n 1

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n

|0

n 1

Potenza in regime sinusoidale, pag. 29

Rifasamento Molti carichi domestici e industriali sono di tipo induttivo. Essi hanno quindi un fattore di potenza pf > 0.

+ IL R

Im

1

V

IL

S1

Q1

1 P

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V

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L

c a r i c o

i n d u t t i v o

– Re Potenza in regime sinusoidale, pag. 30

Rifasamento Trasferire la potenza P+jQ implica una corrente I lungo i fili di collegamento più intensa che non nel caso della sola potenza P.

I

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S  P  jQ

Potenza in regime sinusoidale, pag. 31

Rifasamento Maggiore è |I| e maggiore è la potenza persa a causa della resistenza dei fili: Pdissipata=Rfilo |I|2/2

I

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S  P  jQ

Potenza in regime sinusoidale, pag. 32

Rifasamento Maggiore è |I| e maggiore è la potenza persa a causa della resistenza dei fili: Pdissipata=Rfilo |I|2/2 Situazione ottima: Q=0

I

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pf=1

S  P  jQ

Potenza in regime sinusoidale, pag. 33

Rifasamento I

Il fattore di potenza può essere massimizzato introducendo una capacità in parallelo al carico. Im IC

QC

1 2 I IL

V

S1 S2

IC

1 2 P

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+ IL R

IC

V

C

Q1

L

Q2

– Re Potenza in regime sinusoidale, pag. 34

Rifasamento Per il carico induttivo originale si ha: P = S1cos1

Q1 = S1sin1 = P tg1

Per aumentare il fattore di potenza da cos1 a cos2 senza alterare la potenza reale (P = S2cos2) si deve avere Q2 = S2sin2 = P tg2

Im

da cui

QC

QC = Q1 – Q2 = P (tg1 – tg2) Ricordando che QC =

V2

eff/XC =

CV2

eff

QC P( tg1  tg 2 ) C  2 Veff Veff2

si ottiene

S1 S2

1 2 P

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Q1 Q2 Re

Potenza in regime sinusoidale, pag. 35

Rifasamento Il rifasamento riduce l’ampiezza della corrente in ingresso al carico (|I| < |IL|) a parità di potenza reale assorbita. IC

1 2 I IL

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V

I + IL R

IC

V

C L

IC

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Rifasamento Quadro di rifasamento

Condensatori di rifasamento

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Rifasamento

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