Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676
Autonoma DE
AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER
Autonoma DE Stabilitet Fasporträtt
AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen
y F ( y )
(ekv2)
(eller y ( x ) F ( y ( x )) )
En sådan DE, som saknar oberoende variabel i explicit form kallas autonom DE. Exempelvis y 3 y 3 y 2 sin( y ) är en autonom DE, medan y x 2 y är inte autonom.
DEFINITION 1. Lösningar till F ( y ) 0 kallas kritiska punkter till autonoma DE y F ( y ) . Det är uppenbart att varje lösning till F ( y ) 0 (om sådana finns) ger en (konstant) lösning till DE y F ( y ) (eftersom derivatan av konstantfunktion=0, så att både vänster- och högerledet blir 0). När vi ritar riktningsfältet till en autonom DE y F ( y ) använder vi den uppenbara egenskapen att ( y konstant) ( y konstant). Men andra ord; isokliner till en autonom DE är horisontella linjer y k (där y F ( k )) .
Speciellt viktigt är att analisera tecken av F ( y ) (som visar område där lösningar är växande/avtagande ). Detta kan åskådligt göras genom att med pilar på en vertikalaxel ange område där lösningar växer/ avtar. En sådan figur kallas ett endimensionellt fasporträtt. -------------------------------------------------Translation (förflyttning) av en lösning parallell med x-axeln är också en lösning.
Om y f ( x ) är en lösning till då är uppenbart y f ( x a ) också en lösning till autonoma DE y F ( y ) . (Om y f ( x ) uppfyller y F ( y ) då y f ( x a ) också uppfyller samma ekvation.) Om y f ( x ) är lösning till begynnelsevärdesproblem y F ( y ) , y (0) y0 då är
y f ( x a ) lösningen till y F ( y ) , y ( a ) y0 Grafen till y f ( x a ) får vi genom att translatera (förflytta) parallell med x-axeln grafen till y f ( x ) .
Sida 1 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676
Autonoma DE
y f ( x a) y f (x )
============================================================ STABILITET:
I praktiska tillämpningar bestämmer man begynnelsevärden genom mätningar. Därför innehåller begynnelsevärden avrundningsfel, mätfel och dyl. Begreppet stabilitet är kopplad till problemet hur mycket felet i begynnelsevärdena påverkar lösningen till DE. DEFINITION 2. Låt y1 vara en kritisk punkt till DE y F ( y ) , alltså F ( y1 ) 0 , där y(t) ,
t t0 är den obekanta funktionen. i) Vi säger att y1 är en stabil kritisk punkt, om för varje 0 existerar 0 så att för varje lösning y (t ) som för t t0 satisfierar | y (t0 ) y1 | , gäller | y (t ) y1 |
för t t0
ii) Vi säger att en stabil kritisk punkt y1 är asymptotiskt stabil om det existerar 0 så att
| y (t0 ) y1 | lim y (t ) y1 . t
Tolkning av definitionen: Ett mindre fel ( ) i startvärden påverkar inte mycket själva lösningen. Om vi, istället i y1 , felaktigt startar i y0 y (t0 ) där | y (t0 ) y1 | blir felet . Samma gäller om vi betraktar differensen mellan två lösningar nära en stabil kritiskpunkt y1 : Anta att det korrekta startvärdet är y2 y (t0 ) och tillhörande (korrekta) lösningen är y f 2 (t ) men att vi ( på grund av mätfel) startar i y0 y (t0 ) som ger felaktiga lösningen
y f 0 (t ) . Anta vidare att både y0 och y2 ligger nära den stabila kritiska punkten y1 (dvs anta att | y0 y1 | och | y2 y1 | ) . Då är differensen mellan lösningarna | f 2 (t ) f 0 (t ) || f 2 (t ) y1 | | y1 f 0 (t ) | 2 . Med andra ord, mindre fel i startvärdena påverkar inte lösningen.
Sida 2 av 8
Armin Ha alilovic: EXTRA A ÖVNINGAR , SF1676
Auto onoma DE
otisk stabil om pilar fråån bådasido or av den 1. En krritisk punkt y1 till DE y F ( y ) äär asympto konstannta lösningenn y y1 pek kar mot dennna lösning g. Punkt y = –1 i Fig.1.. (som visaar riktninggsfältet för DE D y y 2 1 ) är en asymptotisk k stabil pun nkt. Om starrt punkten ligger l tillräcklligt nära enn stabil kritissk punkt y= y1 då gällerr lim ( y ( x )) y1 . En aasymptotisk stabil x
kritisk ppunkt kallass också attrraktor. DEFINIITION 3. En kritisk pu unkt är instaabil om den n inte är stab bil. 3a) Om pilar från bodasidor b av v den konstaanta lösning gen y y1 pekar bort ffrån denna lösning l kallas ppunkten y1 repeller. r Pu unkt y = 1 i Fig. 1. är en repeller. 3b. En kkritisk punkkt y1 är semiistabil om ppilar från en n sida pekarr mot linjenn y y1 och h från den anddra sidan bort från linjen y y1 . Notera aatt både reppeller och seemistabil puunkt är insta abila punkter. -------------------------------------------------------------------------------------------Nedansttående figurr visar riktn ningsfältet, kkritiska pun nkter y=–1 och o y=1 ochh några lösningsskurvor. Krritiska punktten y=–1 ärr atraktor (een stabil pun nkt). Kritiskka punkten y=1 är en repelller (en insttabil punkt)).
-------------------------------------------------------------------------------------------FASPO ORTRÄTT Enklast sätt att besttämma stabilitet för kriitiska punktter till auton noma ekvatiionen y F ( y ) är portätt. Faasporträtt till ekvationen y F ( y ) är en figur som med hjäälp av ekvattionens fasp innehålller y-axeln, kritiska pu unkter och ppilar som viisar om lösn ningar växerr ( y 0) elller avtar ( y 0) i intervalleet. Exempeel 1. Bestäm m kritiska punkter p och rita fasportträtt till följande autonooma DE 2 y y 4 . Lösningg: Kritisk ka punkter: y 0 y 2 4 0 gger två kritisska punkter y 2 ochh y 2 . Sida 3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676
Autonoma DE
Tecken av y dvs tecken av y 2 4 :
y 2 4 0 för y ( ,2) ( 2, ) , y 2 4 0 för y ( 2,2) ,
Ekvationens fasporträtt ritar vi med hjälp av kritiska punkter och teckenanalys för y dvs för y 2 4 . y y 2 4
Anmärkning: För att spara plats, kan fasporträtt ritas horisontellt. ============================================================== ÖVNINGAR: Uppgift 1. Bestäm om följande DE är autonoma
a) y x 2 y 2
b) y y 3 y 2
d) y ( x ) ( y ( x ))3 x
c) y ( x ) ( y ( x ))5 y ( x )
e) y (t ) 3 y (t )
f) z(t ) t 2 t z(t )
Svar: a) nej b) ja c) ja (Skriv DE som y y 5 y , då ser man att DE är av typen y F ( y ) .)
d) nej
e) ja f) nej
Uppgift 2. Vi betraktar följande autonoma DE y y 2 2 y .
Sida 4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676
Autonoma DE
a) Bestäm kritiska punkter . Visa att konstanta funktioner y=0 (för alla x) och y=2 (för alla x) är lösningar till DE. b) Bestäm områden där riktningskoefficient y y 2 2 y är positiv/negativ. c) Rita ett fasporträtt till DE och klassificera kritiska punkter. d) Rita ett riktningsfält till DE y y 2 2 y . Skissera också den lösning som går genom punkten (0,0) och den lösning som går genom punkten (0,2). e) Skissera lösningar (5 st.) som går genom punkterna (0, –1), (0, 0), (0, 1),(0, 2) och (0, 2.2). f) Kan en annan lösning skära de konstanta lösningar y=0 och y=2 ?
Lösning: a) Kritiska punkter är lösningar till y 2 2 y 0 . Detta ger två kritiska punkter y 0 och y=2.
Kritiska punkter (betraktade som konstanta funktioner) är alltid lösningar till sin DE som är enkelt att kontrollera: y 0 (för alla x) ger y 0 . VL= y 0 , HL= 02 2 0 0 . Alltså VL=HL V.S.V. På samma sätt ser vi att funktionen y 2 (för alla x) är en lösning till DE. b) Först y 0 y 2 2 y 0 som ger två lösningar y=0 och y=2. Alltså lutning är 0 längs de horisontella linjerna y=0 och y=2.
Teckentabell för y
y y–2 y
Alltså,
dvs för y 2 2 y y ( y 2) :
– – + y 0 om 0 y 2 ;
0 0 – 0
+ – –
2 + 0 0
y 0 om y 0 eller om 2 y .
c) Notera att y y 2 2 y är en autonom DE. Längs linjerna y=k har vi konstanta riktningskoefficienter y F ( k ) k 2 2k . Alltså är y=k isokliner till DE. Vi väljer några värden på k t.ex k= –2, –1, 0,1,2,3,4 och beräknar motsvarande y F ( k ) k 2 2k : y 2 ger y F ( 2) ( 2) 2 2( 2) 8 . Längs linjen y 2 ritar vi några korta tangentstycken med lutningen 6 (se nedanstående figur). På liknande sätt får vi y 1 ger y F ( 1) ( 1) 2 2( 1) 3 , y 0 ger y F (0) (0) 2 2(0) 0 , (som vi konstaterade i a-delen) y 1 ger y 1 , Sida 5 av 8
+ + +
Armin Ha alilovic: EXTRA A ÖVNINGAR , SF1676
Auto onoma DE
y 2 gger y 0 , y 3 gger y 3 , y 4 gger y 8 , c) Fasporträ ätt till
y y 2 2 y y-axeln
2
0
Instabil punkt (repelller)
Stabil punkt (attrakttor )
Fig2.
d)
e) e
o F ( y ) 2 y 2 är kontinuerlig k ga funktioneer i hela R2-planet, f) Efterssom F ( y ) y 2 2 y och enligt exxistens-och entydighetssatsen går exakt en lösningskurvaa genom vaarje punkt i planet. p Därmedd kan ingen lösningskurrva skära elller tangera de konstanttalösningar.. Den ”gruv va ” data grafik i fig 2 e) visa ar felaktigtt att några kkurvor har gemensamm g ma punkter. K Korrekt tolk kning är ngskurvor. att y=0 och y= 2 ärr horisontellla asymptotter för lösnin
Uppgiftt 3. Vi betraaktar följan nde autonom ma DE y ( y 3)( y 2) 2 . a) Besttäm kritiska punkter . b) Rita ett fasportrrätt till DE och klassifiicera kritisk ka punkter.
Lösningg:
Sida 6 av 8
Armin Ha alilovic: EXTRA A ÖVNINGAR , SF1676
Auto onoma DE
a) Kritisska punkterr är lösningaar till ( y 3)( y 2) 2 . Detta D ger tv vå kritiska ppunkter y 2 och y=3. b) Förstt bestämmerr vi tecken för f y dvs fför uttryckeet ( y 3)( y 2) 2 med hjälp av en n teckentaabell: ( y 2) ( y 3) y
2
+
2 0
– –
– 0
Med hjäälp av deriv vatans tecken n ritar vi fa sporträtt y ( y 3)( y 2) 2
Fasporträ ätt till
y-axeln
3
2
Instabil punk kt (repeller)
semistabil punkt
Fig3.
Uppgiftt 4. (ten 166 dec2016 i kursen k SF1 633)
Lösningg:
Notera aatt faslinjen n är ritad horisontellt.
Sida 7 av 8
+
3 +
+
– –
0 0
+ +
Armin Ha alilovic: EXTRA A ÖVNINGAR , SF1676
Uppgiftt 5. KS 20116, kurs SF1633
Lösningg:
Sida 8 av 8
Auto onoma DE
