Affidabilità e Sicurezza delle Costruzioni Meccaniche Calcolo dello stato tensionale in sezioni 1 di diversa geometria
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Esercizio 1-1 Data una sezione rettangolare 60x100 mm soggetta ad uno sforzo normale N =- 60000 N calcolare la tensione normale sulla sezione. Soluzione: La formula da utilizzare è σzz = N/S, dove l’area S della sezione risulta essere S = 60 x 100 = 6000 mm2 . Si ricava quindi: σ zz =
N − 60000 = = −10 MPa S 6000
N N = 1 MPa N.B. 1 Nm = 1000 Nmm; 1 2 = 1 Pa; 1 m mm2 Esercizio 1-2 Calcolare la tensione normale in una sezione circolare di diametro Ø 60 mm soggetta ad uno sforzo normale N = 50000 N. Soluzione: L’area della sezione circolare vale: S=
πD 2 π ⋅ 60 2 = ≅ 2827mm 2 4 4
Da cui risulta una tensione normale:
σ zz =
N 50000 = ≅ 18 MPa S 2827
Si noti che i valori delle tensioni espressi in MPa vengono usualmente arrotondati all’unità, in quanto non ha senso fisico una precisione maggiore.
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Esercizio 1-3 y
100 x
60
Data la sezione rettangolare in figura soggetta ad un momento flettente Mx= 12000 Nm: a) Calcolare le tensioni minima e massima. b) Calcolare la tensione nel punto di coordinate (20,30). c) Tracciare l’andamento delle sollecitazioni lungo la sezione. Soluzione: domanda a) Si utilizzano le formule:
σ zz max =
Mx Wf
σ zz min = −
Mx Wf
Il modulo di resistenza a flessione Wf vale: Wf =
bh 2 60 ⋅ 100 2 = = 10 5 mm 3 6 6
da cui σ zz max
M x 12 ⋅ 10 6 Mx 12 ⋅ 10 6 = = = 120 MPa σ zz min = − =− = −120 MPa Wf Wf 10 5 10 5
domanda b) Si utilizza la formula σ zz =
Mx y . Il momento d’inerzia rispetto all’asse x vale: J xx J xx =
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bh 3 60 ⋅ 100 3 = = 5 ⋅ 10 6 mm 4 12 12 Pagina 2 di 12 Teresa Berruti
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da cui, per il punto p(20,30) si ottiene: σ zz =
Mx 12 ⋅ 10 6 y= 30 = 72MPa J xx 5 ⋅ 10 6
Si noti che in tutti i punti che distano 30 mm dall’asse x vi è una tensione normale che vale 72 MPa. domanda c) y
σ zz
Mx
z x L’andamento nella sezione è triangolare lungo l’asse y e la tensione e costante per valori di y costanti. Esercizio 1-4 Si ripeta l’esercizio 3 (domande a e b) considerando la sola presenza di un momento flettente My = 12000 Nm. Soluzione: domanda a) x y
σ zz
My
z
σ zz = −
Si utilizzano le formule:
σ zz max =
My Wf
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σ zz min = −
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My Wf
My J yy
x
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Il modulo di resistenza a flessione Wf in questo caso vale: Wf =
bh 2 100 ⋅ 60 2 = = 6 ⋅ 10 4 mm 3 6 6
dove con h si intende l’altezza della sezione e con b la sua larghezza rispetto al momento applicato. σmax
y
σmin
100 x
60
Le tensioni massima e minima valgono quindi: σ zz max =
M x 12 ⋅ 10 6 = = 200MPa Wf 6 ⋅ 10 4
σ zz min = −
Mx 12 ⋅ 10 6 =− = −200MPa Wf 6 ⋅ 10 4
In questo caso la tensione massima è nel lato delle x negative, mentre la tensione minima è nel lato delle x positive (a causa del verso positivo preso per il momento My). domanda b) Si utilizza la formula σ zz = −
My J yy
x ; il segno – è legato al verso del sistema di assi scelto:
applicando sulla sezione un momento My positivo le fibre tese (σzz positivo) sono dalla parte delle x negative. Il momento d’inerzia rispetto all’asse y vale: J yy =
bh 3 100 ⋅ 60 3 = = 1.8 ⋅ 10 6 mm 4 12 12
dove con h si intende l’altezza della sezione e con b la sua larghezza rispetto al momento applicato. Per il punto p(20,30) si ottiene: © Politecnico di Torino Data ultima revisione 12/10/00
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σ zz = −
Affidabilità e Sicurezza delle Costruzioni Meccaniche Calcolo dello stato tensionale in sezioni 1 di diversa geometria My J yy
x=−
12 ⋅ 10 6 20 = −133MPa 1.8 ⋅ 10 6
In tutti i punti che distano 20 mm dall’asse y vi è una tensione normale che vale -133 MPa. Esercizio 1-5 Una sezione circolare di diametro Ø 60 mm è soggetta ad un momento flettente M = 10000 Nm. Calcolare le tensioni minima e massima. Soluzione: Il modulo di resistenza a flessione della sezione vale: πD 3 π ⋅ 60 3 Wf = = ≅ 21206mm 3 32 32 e le tensioni massime e minime:
σ zz max =
Mx 10 7 = ≅ 472MPa 21206 Wf
σ zz min = −
Mx 10 7 =− ≅ −472MPa 21206 Wf
Queste tensioni si riscontrano agli estremi del diametro ortogonale a quello attorno al quale agisce il momento flettente. Esercizio 1-6 Data la sezione rettangolare in figura calcolare le tensioni normali nei quattro spigoli dovute alla presenza contemporanea dei momenti flettenti Mx = 10000 Nm, My = -4000 Nm e di uno sforzo normale N = 64 kN. y A
B
80 x
D
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40
C
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Soluzione: x
σ zz
y
My
z
σ zz = −
y
σ zz
J yy
x
Mx
z σ zz =
x y
My
Mx y J xx
σ zz N z
x
σ zz =
N S
y A
B
y
80 x
D
40
C
x
Nei quattro punti di interesse, A (-20,40), B(20,40), C(20,-40), D(-20,-40) si applica la formula: σ zz =
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My N Mx + y− x A J xx J yy
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dove A = 80 x 40 = 3200 mm2 è l’area della sezione, Jxx e Jyy sono i momenti d’inerzia della sezione e valgono:
J xx
bh 3 40 ⋅ 80 3 = = = 1.706.667mm 4 12 12
J yy
hb 3 80 ⋅ 40 3 = = = 426.667mm 4 12 12
risulta quindi:
A
−4 ⋅ 106 64000 1 ⋅ 107 σ= + (40) − (−20) 3200 1706667 426667
= (20 + 234 − 188)
= 67 MPa
B
64000 1 ⋅ 107 −4 ⋅ 106 σ= + (40) − (20) 3200 1706667 426667
= (20 + 234 + 188)
= 442 MPa
C
64000 1 ⋅ 107 −4 ⋅ 106 σ= + (−40) − (20) 3200 1706667 426667
= (20 − 234 + 188)
= −27 MPa
D
64000 1 ⋅ 107 −4 ⋅ 106 σ= + (−40) − (−20) 3200 1706667 426667
= (20 − 234 − 188)
= −402 MPa
Esercizio 1-7 Data una sezione circolare di diametro ∅ 50 mm soggetta ai momenti flettenti Mx = -5000 Nm e My = 3000 Nm. Calcolare la tensione massima e minima nella sezione. Soluzione: Poiché siamo in presenza di una sezione circolare conviene calcolare il momento flettente complessivo agente sulla sezione: M = M x2 + M y2 =
(− 5000)2 + 3000 2
= 5831 Nm
Per ottenere le tensioni massima e minima il momento complessivo deve essere diviso per il modulo di resistenza a flessione: 32 ⋅ M 32 ⋅ 5.831 ⋅ 10 6 M = = = 475 MPa ; σ min = −σ max = −475 MPa Wf πD 3 π ⋅ D3 © Politecnico di Torino Pagina 7 di 12 Teresa Berruti Data ultima revisione 12/10/00 σ max =
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Esercizio 1-8 Sia data la sezione quadrata cava di figura soggetta a un momento flettente M orientatao secondo un asse a 45° rispetto agli assi x e y. Si individui lo spigolo più sollecitato e si calcoli in quel punto la tensione σz. a = 100 mm
y M
M = 1000 kN m
45°
4a
x
2a
Soluzione: A
a = 100 mm
y M
M = 1000 kN m
45°
4a
x
2a
Il momento M si può scomporre in due momenti Mx e My: M x = M y = M ⋅ cos 45° = M J xx = J yy σ zz
( 4a )4 (2a )4 = −
2 2
= 20a 4
12 12 My M = x y− x J xx J yy
Il punto più sollecitato è il punto A (-2a,2a) © Politecnico di Torino Data ultima revisione 12/10/00
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σ zz max = M
2 1 2 (2a + 2a ) = M 2 3 = 1000 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 = 141 MPa 2 J yy 10 ⋅ a 10 ⋅ 100 3
Essendo la sezione a doppia simmetria (Jxx=Jyy) si poteva evitare di scomporre il momento M e scrivere direttamente: σ zz =
M J xx
s max con smax massima distanza dal centro
σ zz =
M 20 ⋅ a 4
2a 2 =
M 10 ⋅ a 3
2 = 141 MPa
Esercizio 1-9 Data una sezione circolare piena di diametro 70 mm soggetta a un momento torcente Mz = 5000 Nm calcolare: a) il valore della tensione tangenziale massima; b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm; Soluzione: domanda a) Il modulo di resistenza a torsione per la sezione è: Wt =
πD 3 π ⋅ 70 3 = = 67348 mm 3 16 16
La tensione tangenziale massima sarà dunque pari a: τ max =
M z 5000000 = = 74 MPa Wt 67348
Questa tensione agisce su tutti i punti esterni della sezione in direzione tangenziale alla circonferenza. domanda b) Il momento d’inerzia della sezione vale: πD 4 π ⋅ 70 4 Jp = = = 2.357.176 mm 4 32 32 © Politecnico di Torino Data ultima revisione 12/10/00
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La tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm (r = 22.5 mm) vale: M 5.000.000 22.5 = 58 MPa τr = z r = Jp 2.357.176 Anche questa tensione agisce in tutti i punti che distano dal centro 22.5 mm (il raggio della circonferenza considerata) in direzione tangenziale alla circonferenza stessa (cioè ortogonalmente al raggio). Esercizio 1-10 Data una sezione circolare cava con diametro esterno D = 70 mm e diametro interno d=50 mm soggetta a un momento torcente Mz = 5000 Nm calcolare: a) il valore della tensione tangenziale massima; b) il valore della tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm; Soluzione: domanda a) Il modulo di resistenza a torsione per la sezione è: Wt =
(
) (
)
π D4 − d 4 π 70 4 − 50 4 = = 49817 mm 3 16 D 16 ⋅ 70
La tensione tangenziale massima sarà dunque pari a: τ max =
M z 5000000 = ≅ 100 MPa Wt 49817
Questa tensione agisce su tutti i punti esterni della sezione in direzione tangenziale alla circonferenza esterna. domanda b) Il momento d’inerzia della sezione vale: Jp =
(
) (
)
π D4 − d 4 π 70 4 − 50 4 = = 1743584 mm 4 32 32
La tensione tangenziale sulla circonferenza di diametro 55 mm (r = 22.5 mm) vale: τr =
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Mz 5.000.000 r= 22.5 ≅ 79 MPa Jp 1.743.585
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Anche questa tensione agisce in tutti i punti che distano dal centro 22.5 mm (il raggio della circonferenza considerata) in direzione tangenziale alla circonferenza stessa (cioè ortogonalmente al raggio). Esercizio 1-11 Sia data una barra a sezione circolare piena di diametro D = 40 mm, realizzata in 39NiCrMo3. Come sistema di riferimento si assumano gli assi x e y giacenti nel piano della sezione retta della barra e l’asse z coincidente con l’asse della barra. La barra è sollecitata da uno sforzo normale N = 3⋅104 N, da un momento flettente Mx = 500 Nm, da un momento flettente My = 450 Nm e da un momento torcente Mz = 850 Nm costanti lungo l’asse. Si individui il punto più sollecitato e si calcolino le tensioni in tale punto. Soluzione: La barra è soggetta a uno sforzo normale N, a due momenti flettenti, che si compongono vettorialmente nel momento flettente totale: M f = M x 2 + M y 2 = 673 Nm
e a un momento torcente Mz. Lo sforzo normale N agisce lungo l’asse z e genera, nella generica sezione trasversale, una tensione normale con distribuzione costante pari a: σ zz = σ n =
N = 24 MPa A
con A =
πD 2 4
il momento flettente totale Mf agisce intorno ad un asse angolato rispetto agli assi x e y della sezione trasversale e genera, nella generica sezione trasversale, una tensione normale con distribuzione “a farfalla” (cioè simmetrica e variabile linearmente lungo l’asse della sezione), massima sulla periferia della barra e pari a: σ zz = σ f =
Mf Wf
= 107 MPa
con W f =
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πD 3 32
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il momento torcente Mz agisce intorno all’asse z e genera, nella generica sezione trasversale, una tensione tangenziale con distribuzione “a farfalla” (cioè simmetrica e variabile linearmente lungo l’asse della sezione), massima sulla periferia della barra : τ zx = τ zy = τ =
Mz = 68 MPa Wt
con Wt =
πD 3 . 16
τ
τ σ
Mf
σ=σn+σf
Mt Ν
Su un cubetto elementare in un punto appartenente alla periferia della barra si tracciano le tensioni applicate. La tensione normale in direzione z è la somma delle tensioni dovute allo sforzo normale e alla flessione: σ=σn+σf=24+107=131 Mpa Si noti che nel punto diametralmente opposto la tensione di flessione è negativa (-107 MPa) e quindi la tensione risultante vale: σ=σn+σf=24-107=-83 MPa Il punto più sollecitato è quindi quello in trazione. Sulla faccia colorata in grigio non agisce alcuna tensione tangenziale.
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