9 Metodo della trasformata di Laplace per l’analisi delle linee di trasmissione Introduzione Nei paragrafi precedenti sono state illustrate le tecniche di analisi per esaminare il comportamento di circuiti contenenti linee di trasmissione quando i segnali hanno una dipendenza temporale arbitraria. E’ stato evidenziato come la soluzione del problema pu`o presentare alcune difficolt`a gi`a per i casi in cui le impedenze del generatore e del carico sono semplici resistori e che ulteriori complicazioni insorgono nel momento in cui si considerano carichi induttivi o capacitivi. Un metodo molto efficiente per risolvere in modo sistematico problemi anche complessi `e quello che fa uso della trasformata di Laplace. Si tratta di un procedimento che presenta numerosi vantaggi in quanto trasforma equazioni integro-differenziali in equazioni algebriche ed equazioni differenziali alle derivate parziali in equazioni differenziali alle derivate totali. La tecnica della trasformata di Laplace applicata alle equazioni caratteristiche di una linea di trasmissione consente infatti di trasformare il problema definito nel dominio spazio-temporale, spesso di difficile soluzione, in un problema, pi` u semplice da risolvere, definito in un nuovo dominio in cui compare la variabile spaziale z e la variabile complessa s. Dalla soluzione del problema nel dominio trasformato `e possibile quindi ricavare la soluzione del problema iniziale, in cui compare la dipendenza temporale, utilizzando l’operazione di antitrasformazione: infatti, si pu`o dimostrare che la trasformata di Laplace `e un’operazione lineare e biunivoca.
9.1 Linea di trasmissione come sistema lineare tempo-invariante Si consideri il circuito costituito da un generatore e un carico collegati per mezzo di una linea di trasmissione, come mostrato in Figura 8.3. Si supponga inoltre che il carico e il generatore abbiano rispettivamente impedenze ZL e Zg . Il problema da risolvere consiste nel ricavare la tensione vL e la corrente iL sul carico nota la tensione a vuoto e(t) del generatore. Nel linguaggio della teoria dei sistemi il sistema `e lineare e tempo-invariante (LTI) in quando i parametri della linea di trasmissione e l’impedenza ZL sono indipendenti dalle tensioni e correnti del circuito e non dipendono dal tempo. In queste ipotesi, la relazione che lega la tensione nella sezione z = l alla tensione del generatore e(t) `e esprimibile nel
188
9.2. Trasformata di Laplace
189
dominio del tempo per mezzo dell’integrale di convoluzione: ∫ ∞ h(t − τ )e(τ )dτ vL (t) =
(9.1)
−∞
e nel dominio trasformato come: VL (s) = G(s)E(s)
(9.2)
dove h(t) `e la risposta all’impulso, G(s) `e la funzione di trasferimento, VL (s) e E(s) sono rispettivamente la trasformata di Laplace di vL (t) e e(t). Gi`a da un’analisi grossolana delle (9.1) e (9.2) `e chiaro come il problema nel dominio trasformato sia semplificato rispetto a quello nel dominio del tempo: l’integrale di convoluzione `e infatti trasformato in una operazione di moltiplicazione. E’ quindi evidente, che per risolvere il problema nel dominio trasformato `e necessario conoscere sia come si applica la trasformata di Laplace sia come si ricava la funzione di trasferimento. Inoltre `e necessario anche capire come si effettua l’operazione di antitrasformazione.
9.2 Trasformata di Laplace Si consideri una funzione f (t) continua a tratti definita almeno per ogni istante di tempo t ≥ 0 e un numero complesso s. Si dice integrale di Laplace l’integrale improprio ∫ ∞ f (t)e−st dt 0
Esso `e un integrale generalizzato la cui convergenza dipende dalla funzione f e dal parametro complesso s. L’insieme D dei numeri complessi s per cui l’integrale improprio esiste finito costituisce il dominio di una nuova funzione F (s), detta trasformata di Laplace della funzione f (t) e indicata anche con il simbolo L[f (t)], definita dalla relazione: ∫ ∞ △ L[f (t)](s) = F (s) = f (t)e−st dt s∈D (9.3) 0
Il dominio D della F (s) dipende dalla funzione f (t) e quando D non `e vuoto, la funzione f (t) si dice trasformabile secondo Laplace.In definitiva diremo che una funzione f (t) `e trasformabile secondo Laplace se esiste almeno un valore di s tale che il corrispondente integrale di Laplace converge. Si osservi che nella definizione di integrale di Laplace `e stato sottointeso che la funzione f (t) `e uguale a zero per ogni t < 0. Non sempre `e agevole determinare con esattezza il dominio della trasformata di Laplace di una funzione f (t) visto che `e necessario studiare la convergenza di opportuni integrali generalizzati. Esiste comunque un criterio, basato sullo studio dell’ordine di crescita, per stabilire se una determinata funzione `e traformabile secondo Laplace. Una funzione f (t) `e a crescita esponenziale se esistono due costanti M e α per cui vale la relazione: |f (t)| ≤ M eαt ∀t ≥ 0 (9.4)
Ing. Luciano Mescia
9.2. Trasformata di Laplace
190
L’estremo inferiore, α0 , di α per cui vale la (9.4) `e detto ordine di crescita della funzione f (t). Pertanto se f (t) `e di ordine esponenziale con ordine di crescita α0 `e possibile scrivere la relazione: lim f (t)e−αt = 0
t→+∞
∀α > α0
(9.5)
In tale contesto `e possibile dimostrare una condizione suffiente di trasformabilit`a in cui si afferma che una funzione generalmente continua di ordine esponenziale α0 `e trasformabile secondo Laplace.
9.2.1 Propriet` a della trasformata di Laplace La trasformata di Laplace gode di alcune propriet`a molto utili per la semplificazione dei calcoli derivanti dall’applicazione della definizione (??). In particolare, per le funzioni generalmente continue e di ordine esponenziale α0 `e possibile dimostrare la validit`a delle seguenti realzioni: L [af1 (t) + bf2 (t)] (s) = aF1 (s) + bF2 (s);
(9.6)
lim F (s) = 0;
(9.7)
lim f (t) = lim sF (s);
(9.8)
s→+∞
s→+∞
t→0+
1 F (s/a) a L [f (t − t0 )] (s) = e−t0 s F (s) dF (s) L [tf (t)] (s) = − ds [ at ] L e f (t) (s) = F (s − a) L [f (at)] (s) =
(9.9) (9.10) (9.11) (9.12)
Altre due importanti propriet`a molto utili per semplificare le equazioni integro-differenziali riguardano la trasformata della derivata e dell’integrale. Trasformata della derivata. Si consideri una funzione continua f (t) trasformabile secondo Laplace e si valuti la traformata della sua derivata, f ′ (t) = df (t)/dt, utilizzando la definizione (9.3): ∫ ∞ [ ] L f ′ (t) (s) = [f (t)]′ e−st dt 0 ∫ ∞ −st ∞ = f (t)e |0 + s f (t)e−st dt 0
=
lim f (t)e−st − f (0) + sF (s)
t→+∞
= sF (s) − f (0)
(9.13)
La (9.13) `e stata ottenuta usando la regola di integrazione per parti e la relazione (9.5). Inoltre, estendendo il risultato alle derivate di ordine superiore, la (9.13) pu`o essere
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9.2. Trasformata di Laplace
191
applicata ripetutamente per calcolare la trasformata di Laplace delle derivate di ordine pi` u alto. Per la derivata seconda si ha ad esempio: [ ] [ ] L f ′′ (t) (s) = sL f ′ (t) (s) − f ′ (0) = s2 F (s) − sf (0) − f ′ (0)
(9.14)
Si osserva quindi che l’operazione di derivazione nel dominio del tempo corrisponde ad una moltiplicazione per la variabile complessa s nel dominio trasformato. Questa propriet`a `e molto importante perch`e, come vedremo in seguito, semplificher`a la risoluzione delle equazioni dei telegrafisti. Trasformata dell’integrale. Considerando una funzione continua f (t) trasformabile secondo Laplace, si valuti la traformata del suo integrale calcolato tra gli estremi 0 e t, utilizzando la definizione (9.3). In particolare se g(t) `e una funzione tale che [ ] L g ′ (t) (s) = sL [g(t)] (s) − g(0) = sL [g(t)] (s) = F (s) [∫
ovvero L
]
t
f (t)dt (s) = 0
F (s) s
(9.15)
Si osserva quindi che l’operazione di integrazione corrisponde ad una divisione per la variabile complessa s nel dominio trasformato. Teorema del valore iniziale e del valore finale. Considerando una funzione continua f (t) nell’intervallo 0 ≤ t ≤ t0 , di ordine esponenziale per t > t0 e tale che la sua derivata prima f ′ (t) sia generalmente continua in 0 ≤ t ≤ t0 , si pu`o dimostrare la validit`a dei seguenti teoremi: lim f (t) = lim sF (s)
teorema del valore iniziale
(9.16a)
lim f (t) = lim sF (s)
teorema del valore finale
(9.16b)
t→0+
t→+∞
s→+∞ s→0
9.2.2 Trasformata di Laplace di funzioni elementari In questa sezione saranno calcolate le trasformate di Laplace di funzioni elementari, che consentiranno di calcolare le trasformate di Laplace di funzioni pi` u complesse. Come primo esempio si consideri la funzione a gradino U (t) definita come: { 0 se t < 0 U (t) = 1 se t ≥ 0 e usiamo la (9.3) per calcolare la sua trasformata di Laplace. Si ha ∫ ∞ ∫ ∞ −st U (t)e dt = e−st dt 0
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0
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 192 e l’integrale improprio al secondo membro esiste finito e vale 1/s solo se s > 0. Pertanto si avr`a: 1 L [U (t)] (s) = s>0 (9.17) s Inoltre utilizzando la (8.10) si ha: L [U (t − t0 )] (s) =
e−t0 s s
s>0
(9.18)
Per la trasformata di Laplace della funzione esponenziale f (t) = eat , con a parametro reale, si ha: ∫ ∞ ∫ ∞ at −st e e dt = e(a−s)t dt 0
0
dove l’integrale improprio `e converggente solo se s > a. Quindi si ha: [ ] 1 L eat (s) = s>a s−a
(9.19)
Per la funzione f (t) = t `e facile mostrare, usando la tecnica di integrazione per parti, che vale la relazione: 1 L [t] (s) = 2 s>0 (9.20) s Infine se f (t) `e una funzione periodica di periodo T > 0, cio´e f (t + T ) = f (t) per ogni t, e indicando con fT (t) la funzione troncata a t { f (t) se 0 ≤ t ≤ T fT (t) = 0 altrimenti `e possibile dimostrare che la Trasformata di Laplace del segnale periodico `e legata al segnale troncato per mezzo della relazione: L [f (t)] (s) =
L [fT (t)] (s) 1 − e−sT
(9.21)
9.3 Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione A questo punto si hanno a disposizione tutti gli strumenti matematici per applicare la tecnica della trasformata di Laplace ai circuiti contenenti linee di trasmissione. La tensione v(z, t) e la corrente i(z, t), una volta fissata la coordinata z, possono essere modellate per mezzo di funzioni causali continue a tratti e limitate. Funzioni con tali caratteristiche hanno crescita esponenziale con ordine di crescita minore o uguale a zero e di conseguenza `e possibile applicare senza alcuna limitazione la trasformata di Laplace ed ottenere: ∫ ∞ V (z, s) = v(z, t)e−st dt (9.22) ∫0 ∞ I(z, s) = i(z, t)e−st dt (9.23) 0
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9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 193 dove V (z, s) e I(z, s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace della tensione e corrente lungo la linea. Interpretando i segnali elettrici come funzioni temporali definite per istanti positivi, si vede dalle (9.22) e (9.23) che la variabile s ha le dimensioni di una frequenza, dato che per calcolare l’esponenziale `e necessario che il prodotto st sia adimensionale. Di conseguenza si pu`o pensare alla trasformata di Lalace come a uno strumento che consente la rappresentazione del segnale nello spazio della frequenza. Per una linea di trasmissione senza perdite l’equazione dei telegrafisti per la tensione `e: ∂ 2 v(z, t) ∂ 2 v(z, t) = LC 2 ∂z ∂t2 da cui applicando ad ambo i membri l’operazione della trasformata di Laplace e utilizzando la propriet`a (9.14) della trasformata della derivata si ottiene: ∂ 2 V (z, s) = s2 LCV (z, s) − sLCv(z, 0) − LCv ′ (z, 0) ∂z 2 ovvero
∂ 2 V (z, s) − Γ2 (s)V (z, s) = F (0) (9.24) ∂z 2 dove si `e posto Γ2 (s) = s2 LC e F (0) = −sLCv(z, 0) − LCv ′ (z, 0). Nell’ipotesi che il generatore applica la sua tensione per istanti di tempo successivi a quello iniziale di osservazione t = 0 si ha che il sistema `e eccitato dalla sola condizione al contorno in z = 0 (linea scarica) e pertanto v(z, 0) = i(z, 0) = 0. In queste ipotesi l’equazione differenziale (9.24) assume la forma semplificata: ∂ 2 V (z, s) − Γ2 (s)V (z, s) = 0 ∂z 2
(9.25)
la cui soluzione generale `e: V (z, s) = V + (s) e−s
√
LC z
√
+ V − (s) es
LC z
(9.26)
Per calcolare la relazione nel dominio del tempo `e suffiente utilizzare la propriet`a (9.10) ed ottenere in definitiva: √ √ v(z, t) = a1 (t − z LC) + a2 (t + z LC) ( ) ( ) z z + − = v t− +v t+ (9.27) vf vf √ dove vf = 1/ LC. Applicando le stesse considerazioni all’equazione dei telegrafisti per la corrente e considerando che la tensione e la corrente sulla linea di trasmissione sono correlate tra loro si ha: ] √ √ 1 [ + I(z, s) = V (s) e−s LC z − V − (s) es LC z (9.28) Zc da cui `e immediato ottenere per mezzo dell’operazione di antitrasformazione l’equazione (8.15). Si osservi come per mezzo della trasformata di Laplace `e stata ottenuta una soluzione in termini di onda incidente e riflessa che `e formalmente identica a quella ricavata risolvendo l’equazione differenziale (8.12) alle derivate parziali.
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9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 194
9.3.1 Condizioni al contorno Per ricavare nel dominio della variabile s la relazione generale che lega la tensione in una generica sezione z = L alla tensione erogata dal generatore `e necessario applicare le opportune condizioni al contorno nel dominio trasformato. Per la condizione in z = 0 si ha: L v(0, t) = e(t) − Rg i(0, t) → V (0, s) = E(s) − Rg I(0, s) (9.29) mentre per la condizione in z = l `e indispensabile considerare che l’impedenza di carico comprende in generale elementi circuitali resistivi e reattivi. Di conseguenza, la condizione al contorno cercata `e in generale una equazione differenziale del tipo. ( ) ( ) d d v(l, t) = Q i(l, t) (9.30) P dt dt dove P e Q sono due polinomi formali nell’operatore d/dt. Inoltre la (9.29) deve essere completata con le opportune condizioni iniziali relative ai componenti reattivi presenti nella rete d’uscita. Essendo la (9.29) un’equazione differenziale, quando si applica la trasformata di Laplace si otterr`a per l’impedenza equivalente, Zeq (s) vista alla sezione z = l una relazione esprimibile come il rapporto tra due polinomi nella variabile s Zeq (s) =
Q(s) V (l, s) = I(l, s) P (s)
(9.31)
In particolare, per ottenere la relazione generale vedremo che sar`a sufficiente capire come si trasformano le equazioni terminali ai capi di un condenzatore, un induttore e un resistore. Condensatore ideale. L’equazione differenziale che lega la tensione vc (t) e la corrente ic (t) ai capi di un condensatore di capacit`a C `e: dvc (t) 1 = ic (t) dt C
(9.32)
da cui utilizzando la (9.13) si ha: 1 Ic (s) C Ic (s) vc (0) Vc (s) = + sC s Ic (s) = sCVc (s) − Cvc (0)
sVc (s) − vc (0) =
(9.33) (9.34)
Nel caso particolare in cui il condensatore `e inizialmente scarico vc (0) = 0 le equazioni (9.33) e (9.34) assumono la forma semplificata: Vc (s) = Z(s)Ic (s)
(9.35)
Pertanto, si osserva che nel dominio trasformato l’equazione che lega la tensione Vc e la corrente Ic ai capi di un condensatore `e fondamentalmente identica alla legge di
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9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 195
vc ( t )
Ic ( s)
Ic ( s)
ic ( t )
C
L
Vc ( s )
1 sC
Cvc ( 0 )
1 sC
Vc ( s )
vc ( 0 )
+
s
(a)
(b)
Figura 9.1: (a) Rappresentazione di Norton e (b) di Thevenin del condensatore ideale nel dominio di Laplace
Ohm per un elemento circuitale avente una impedenza Z(s) = 1/sC. In Figura 9.1(a) `e rappresentato il circuito equivalente di Norton nel dominio trasformato del condensatore con capacit`a C, mentre in 9.1(b) `e rappresentato il circuito equivalente di Thevenin nel dominio trasformato. Induttore ideale. L’equazione differenziale che lega la tensione vL (t) e la corrente iL (t) ai capi di un induttore avente induttanza L `e: vL (t) = L
diL (t) dt
(9.36)
da cui utilizzando la (9.13) si ha: VL (s) = sLIL (s) − LiL (0) VL (s) iL (0) IL (s) = + sL s
(9.37) (9.38)
Nel caso particolare in cui l’induttore `e inizialmente scarico iL (0) = 0 l’equazione (9.37) assume la forma semplificata: VL (s) = Z(s)IL (s) (9.39) Si osserva perci`o che anche in questo caso la legge che lega la corrente e la tensione ai capi di un induttore, nel dominio trasformato, `e formalmente uguale alla legge di Ohm per l’elemento circuitale avente impedenza Z(s) = sL. In Figura 9.2(a) `e rappresentato il circuito equivalente di Thevenin nel dominio trasformato dell’induttore ideale con induttanza L e in Figura 9.2(b) il circuito equivalente di Norton. Si osservi che nel caso generale `e necessario introdurre dei generatori indipendenti di tensione e di corrente per tener conto delle condizioni iniziali dei carichi reattivi. Quando per`o si ipotizza che tali elementi siano inizialmente scarichi, `e possibile semplificare il relativo circuito equivalente andando o a cortocircuitare il generatore di tensione o ad aprire il generatore di corrente.
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9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 196 Il ( s )
il ( t )
Il ( s )
sL vl ( t )
L
L
Vl ( s )
Vl ( s )
sL
il ( 0 ) s
Lil ( 0 )
+ (a)
(b)
Figura 9.2: (a) Rappresentazione di Thevenin e (b) di Norton dell’ induttore ideale nel dominio di Laplace.
In definitiva si osserva che nel dominio trasformato anche la condizione al contorno in z = l `e notevolmente semplificata. Infatti, visto che nel dominio trasformato vale la legge di Ohm per la tensione V (l, s) e la corrente I(l, s) nella sezione terminale in cui `e applicato il carico, si avr`a che la generica rete di carico pu`o essere sostituita, in base al teorema di Thevenin, da un circuito equivalente costituito da una impedenza equivalente collegata in serie a un generatore di tensione equivalente. In particolare, nel caso in cui gli elementi reattivi sono inizialmente scarichi e sono assenti generatori indipendenti di tensione e corrente, la rete di carico sar`a equivalente all’impedenza vista ai morsetti terminali, ottenuta usando le usuali regole di combinazione per le impedenze. Volendo fare un esempio pratico si consideri la rete di carico mostrata in Figura 9.3(a), ipotizzando che sia l’induttore sia il condensatore sono inizialmente scarichi. In tale condizione l’equazione differenziale che lega la tensione e la corrente ai suoi terminali `e: 1 dv(t) d2 v(t) v(t) di(t) = +C (9.40) + dt R dt dt2 L che nel dominio trasformato diventa ( ) s 1 sI(s) = + s2 C + V (s) R L sRL V (s) = Zeq (s) = (9.41) 2 I(s) RLCs + sL + R Lo stesso risultato pu`o essere ricavato anche andando a considerare il circuito trasformato mostrato in Figura 9.3(b) e calcolando l’impedenza equivalente Zeq (s) vista ai terminali A–A’ ( )−1 1 1 Zeq (s) = + + sC R sL sRL = (9.42) 2 RLCs + sL + R Si osservi che seguendo quest’ultima procedura di calcolo `e possibile ottenere la condizione al contorno cercata in maniera pi` u immediata ed intuitiva visto che anzicch´e ricavare
Ing. Luciano Mescia
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione I ( s)
i (t )
v(t)
C
L
L
R
197
A
V (s)
1 sC
sL
R
A’ (a)
(b)
Figura 9.3: (a) circuito nel dominio del tempo e (b) circuito equivalente nel dominio trasformato di una rete di carico del tipo RLC parallelo.
l’equazione differenziale del tipo (9.30) `e sufficiente utilizzare la ben nota legge di Ohm.
9.4 Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione La funzione di trasferimento G(z, s) di una linea di trasmissione si ricava dai risultati ottenuti nei paragrafi precedenti. Infatti, considerando le condizioni al contorno ai terminali del generatore e del carico si ottiene: V (0, s) = E(s) − Rg I(0, s)
(9.43a)
V (l, s) = Zeq (l, s)I(l, s)
(9.43b)
le quali diventano per mezzo delle (9.26) e (9.28): V++V− =E− V + e−Γl + V − eΓl =
Zeq Zc
) Rg ( + V −V− Zc ( ) V + e−Γl − V − eΓl
Dividendo ambo i membri della (9.44b) per V + si ha: e−Γl +
V − Γl Zeq −Γl Zeq V − Γl e = e − e V+ Zc Zc V +
e per mezzo di semplici operazioni algebriche si ottiene: ) ( ) ( Zeq V − Γl Zeq e = − 1 e−Γl 1+ Zc V + Zc ( ) ( ) Zeq V − Zeq 1+ = − 1 e−2Γl Zc V + Zc
Ing. Luciano Mescia
(9.44a) (9.44b)
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
198
da cui `e possibile ricavare l’espressione che lega l’ampiezza dell’onda riflessa V − a quella dell’onda incidente V + Zeq − Zc −2Γl V− = e + V Zeq + Zc = ΓL e−2Γl Dalla (9.45) si ottiene
(9.45)
V − = V + ΓL e−2Γl
e sostituendo quanto ottenuto nella (9.43a) si ha ( ) ) Rg + ( V + 1 + ΓL e−2Γl = E − V 1 − ΓL e−2Γl Z ( c ) Rg Rg + −2Γl −2Γl E=V 1 + ΓL e + − ΓL e Zc Zc ( ) Zc + R g Zc − Rg E =V+ + ΓL e−2Γl Zc Zc ( ) Rg − Zc −2Γl + Zc + Rg 1− ΓL e E=V Zc Rg + Zc ) Zc + Rg ( E =V+ 1 − Γg ΓL e−2Γl Zc da cui si ottiene in definitiva Zc 1 E Zc + Rg 1 − Γg ΓL e−2Γl 1 − Γg 1 E = 2 1 − Γg ΓL e−2Γl
V+ =
(9.46)
Sostituendo la (9.45) nella (9.26) e utilizzando la (9.46) si ricava V (z, s) = V + e−Γz + V + ΓL eΓz e−2Γl ( ) = V + e−Γz + ΓL eΓz e−2Γl =
1 − Γg e−Γz + ΓL e−2Γl eΓz E(s) 2 1 − Γg ΓL e−2Γl
(9.47)
Riferendosi all’equazione della corrente sulla linea (9.28) e seguendo un procedimento analogo si pu`o ricavare: V + −Γz V + e − ΓL eΓz e−2Γl Zc Zc ) V + ( −Γz = e − ΓL eΓz e−2Γl Zc 1 − Γg e−Γz − ΓL e−2Γl eΓz = E(s) 2Zc 1 − Γg ΓL e−2Γl
I(z, s) =
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(9.48)
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
199
Le equazioni (9.47) e (9.48) rappresentano le soluzioni generali della tensione e corrente presenti su una linea di trasmissione. Di conseguenza, la funzione di trasferimento della linea di trasmissione `e: G(z, s) =
1 − Γg e−Γz + ΓL e−2Γl eΓz V (z, s) = E(s) 2 1 − Γg ΓL e−2Γl
(9.49)
Nota la funzione di trasferimento della linea di trasmissione G(z, s) `e possibile ricavare la tensione sulla linea v(z, t) e la corrente i(z, t) per mezzo dell’operazione detta antitrasformata di Laplace che consente di passare dal dominio della variabile complessa s al dominio del tempo t. In particolare dalla (??) si ottiene V (z, s) = G(z, s)E(s) da cui si ricava v(z, t) = L−1 [V (z, s)](t) = L−1 [G(z, s)E(s)](t) t ≥ 0 (9.50) Nell’ipotesi che esista l’antitrasformata di Laplace di G(z, s) e E(s) `e utilizzando la propriet`a che lega l’antitrasformata con il prodotto di convoluzione `e possibile calcolare v(z, t) per mezzo della relazione ∫ t −1 v(z, t) = L [G(z, s)E(s)](t) = G(z, u)E(t − u)du = G ∗ E (9.51) 0
Esiste inoltre un metodo diretto per calcolare l’antitrasformata di Laplace che utilizza il calcolo complesso. In particolare, se esiste un numero reale γ tale che tutte le singolarit`a di V (z, s) sono contenute nel semispazio a sinistara (o a destra) della retta s = γ, e l’integrale complesso ∫ γ+j∞
V (z, s)est ds γ−j∞
`e finito per ogni t ≥ 0 allora V(z,s) `e antitrasformabile e vale la relazione ∫ γ+j∞ 1 −1 V (z, s)est ds L [V (z, s)](t) = 2πj γ−j∞ ∫ γ+j∞ 1 − Γg (s) e−sz/vf − ΓL (s)e−s(2τ −z/vf ) st 1 = E(s) e ds (9.52) 2πj γ−j∞ 2 1 − Γg (s)ΓL (s)e−2sτ Il calcolo dell’integrale di antitrasformazione pu`o essere effettuato sul circuito C ottenuto intersecando la retta verticale s = γ con la circonferenza centrata nell’origine e di raggio R (vedi figura 9.4). Applicando il teorema dei residui si ha ∫ b(R) ∫ ∑ [ ] 1 1 st s0 t V (z, s)e ds = Res V (z, s0 )e − V (z, s)est ds 2πj a(R) 2πj Γ(R) s 0
dove s0 `e il polo racchiuso nel circuito. Facendo infine tendere R → +∞ il segmento [a(R), b(R)] approssima tutta la retta s = γ e quindi si ottiene ∫ ∑ [ ] 1 −1 s0 t V (z, s)est ds (9.53) L [V (z, s)](t) = Res V (z, s0 )e − lim R→+∞ 2πj Γ(R) s 0
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9.5. Collegamenti reali
200
Γ(R)
b(R)
γ
-γ
a(R)
Figura 9.4: Circuito di integrazione per il calcolo dell’integrale di antitrasformazione
Nel caso generale in cui sia Γg che ΓL sono funzioni non nulle della variabile complessa s il calcolo della (9.53) pu`o risutare complicato in quanto il limite che appare al secondo membro pu`o essere diverso da zero. In queste situazioni la soluzione non `e in forma chiusa e pu`o essere ricavata solo tramite l’uso di opportuni metodi numerici. Notevoli semplificazioni di calcolo si hanno quando il generatore `e adattato alla linea di trasmissione. Infatti, essendo Γg (s) = 0 la funzione di trasferimento della linea di trasmissione diventa: ] 1 [ −sz/vf e + ΓL e−s(2τ −z/vf ) (9.54) G(s, z) = 2 e l’integrale di antitrasformazione (9.52) assume la forma semplificata: v(z, t) =
1 2πj
∫
γ+j∞
γ−j∞
] E(s) [ −sz/vf e + ΓL e−s(2τ −z/vf ) est ds 2
(9.55)
9.5 Collegamenti reali Nei reali problemi di interconnessione molto spesso la linea `e chiusa su carichi la cui impedenza dipende dalla frequenza. In questi casi si ha una distorsione dei segnali in quanto gli echi multipli hanno forma diversa tra loro e dal segnale incidente. Ulteriori distorsioni durante la propagazione sia sul segnale incidente sul carico sia sugli echi multipli sono introdotte dalla non idealit`a della linea di trasmissione. Inoltre, molto spesso accade che dispersioni molto pi` u violente possono essere generate da carichi non lineari connessi alla linea di trasmissisone. Tali fenomeni possono essere studiati solo tramite l’ausilio di sofisticate tecniche numeriche. Infine, nel caso dei circuiti stampati o nelle linee di trasmissione multiconduttore, la presenza di molte linee di trasissione sulla stessa piastra costituisce una ulteriore causa di distorsione del segnale che si manifesta con fenomeni di diafonia.
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
201 Z c ,τ
e(t)
+ -
RL
CL
(a)
Rg
e(t)
+ -
Z c ,τ
RL
CL
(b) Figura 9.5: Rappresentazione schematica di un circuito logico
9.5.1 Applicazioni digitali Generalmente nei circuiti digitali i fili di interconnessione possono essere modellizzati con piccole capacit`a in parallelo quando la loro lunghezza, l, soddisfa la relazione l < tr vf
(9.56)
dove tr `e il tempo di salita dell’impulso e vf `e la velocit`a di fase. Recentemente, il continuo incremento della velocit`a di trasmissione e di elaborazione dell’informazione ha indotto la necessit`a di modellizzare l’interconnessione con una linea di trasmissione. Infatti, la forte riduzione del tempo di salita `e tale che la (9.56) non pu`o essere pi` u verificata. In questi casi, se τ = l/vf `e il ritardo per unita di lunghezza e Zc `e l’impedenza caratteristica, la capacit`a equivalente dell’interconnessione `e fornita dalla relazione C = τ /Zc , mentre l’induttanza serie `e L = τ Zc . Questo significa che le linee a bassa e alta impedenza sono caratterizzate rispettivante da una elevata capacit`a e una elevata indutttanza. Un tipico esempio di circuito per applicazioni digitali 1 `e quello di una linea di trasmissione che alimenta una porta logica, come mostrato in figura 9.5. In particolare, nella rappresentazione circuitale si `e fatta l’ipotesi, molto spesso verificata, che la porta NOR collegata all’uscita della linea di trasmissione non carica il carico e quindi la maggior parte della corrente della linea attraversa il carico RL . Di conseguenza, l’impedenza di carico del generatore Rg assume valori molto bassi (5 ÷ 7 Ω). L’analisi al transitorio pu`o essere effettuata considerando il circuito della figura 9.5(b). In particolare, per evitare 1
Tale applicazione introduce problemi di distorsione causati da carichi con impedenza dipendente dalla frequenza
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
202
l’insorgere di riflessioni multiple causate dal disadattamento tra la resistenza del generatore e l’impedenza carattteristica della linea di trasmissione si collega in serie a Rg un altro resistore R in modo tale che Rg + R = Zc . In queste ipotesi si ha Γg = 0 e perci`o `e possibile utilizzare la (9.54). Usando la tecnica della trasformata di Laplace si ha: ZL = RL ∥ da cui
1 RL = sC 1 + sRL C
) RL − Zc − s Z c τc RL − Zc (1 + sRL C) a1 − s ZL − Zc Z c τc ) = = ΓL = =( RL + Zc ZL + Zc RL + Zc (1 + sRL C) a2 + s + s Z c τc Z c τc (
dove τc = RL C RL − Zc a1 = Zc τc RL + Zc a2 = Zc τc
Di conseguenza dalla (??) si ottiene: V (z, s) = G(z, s)E(s) =
E(s) −sz/vf E(s) a1 − s −s(2τ −z/vf ) e e + 2 2 a2 + s
Segnale d’ingresso a gradino. Nel caso in cui il segnale d’ingresso ha la forma di un gradino e(t) = E0 U (t) si ha E(s) = E0 /s e quindi V (z, s) = G(z, s)E(s) =
E0 −sz/vf E0 a1 − s −s(2τ −z/vf ) e e + 2s 2s a2 + s
Usando la tecnica dello sviluppo in fratti semplici si pu`o scrivere: F (s) =
1 a1 − s A1 A2 = + s a2 + s s s + a2
dove A1 = lim sF (s) = s→0
a1 a2
A2 = lim (a2 + s)F (s) = − s→−a2
Ing. Luciano Mescia
a1 + a2 a2
(9.57)
9.5. Collegamenti reali
203
Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nell’equazione (4.40) si ottiene in definitiva V (z, s) = F1 (z, s) + F2 (z, s) dove E0 −sz/vf e 2s [ ] E0 a1 a1 + a2 −s(2τ −z/vf ) e F2 (z, s) = − 2a2 s s + a2
F1 (z, s) =
(9.58a) (9.58b)
Considerando la (9.19) e la (9.20), dall’operazione di antitraformazione delle (9.58a)– (9.58b) si ottiene: f1 (z, t) =
f2 (z, t) =
E0 U (t − z/vf ) 2 2RL E0 RL − Zc − 2 RL + Zc RL + Zc
RL + Zc e RL Zc C
(
−
t−
) 2l − z ( ) 2l − z vf U t − vf
da cui ponendo RL − Zc a1 = a2 RL + Zc Zc RL Zeq = RL + Zc 1 Zc RL C τeq = Zeq C = = a2 RL + Zc E0 Ei = 2 Γ=
la tensione sulla linea di trasmissione `e data dalla relazione: ) ( 2l − z 1 ( ) − t− 2l − z τ v eq f v(z, t) = Ei U (t − z/vf ) + Ei Γ − (1 + Γ)e U t − vf
(9.59)
= vi (z, t) + vr (z, t) mentre la corrente `e fornita dalla relazione: i(z, t) =
vi (z, t) − vr (z, t) Zc
1 Ei Ei τ = U (t − z/vf ) − Γ − (1 + Γ)e eq Zc Zc −
Ing. Luciano Mescia
( t−
) 2l − z ( ) 2l − z vf U t − vf
(9.60)
9.5. Collegamenti reali
204
Dalle (9.59)–(9.60) si osserva che la tensione e la corrente sulla linea di trasmissione dipendono sia dal tipo di linea utilizzata sia dal carico. In particolare, osservando che Zeq `e la resistenza in parallelo alla capacit`a C e τeq `e la costante di tempo del gruppo u Zeq − C, si pu`o concludere che il fronte di salita del segnale elettrico sulla linea `e pi` 2 arrotondato di quello del segnale incidente . I segnali di tensione e di corrente nelle sezioni terminali z = 0 e z = l assumono gli andamenti: ( ) 1 2l ( ) − t− 2l τ v eq f v(0, t) = Ei U (t) + Ei Γ − (1 + Γ)e U t − vf
1 Ei Ei τ i(0, t) = U (t) − Γ − (1 + Γ)e eq Zc Zc −
( t−
) 2l ( ) vf U t − 2l vf
1 − v(l, t) = Ei U (t − l/vf ) + Ei Γ − (1 + Γ)e τeq
) l ( ) t− vf U t − l vf
(
1 − Ei Ei τ U (t − l/vf ) − i(l, t) = Γ − (1 + Γ)e eq Zc Zc
) l ( ) t− vf U t − l vf
(
da cui si osserva che una volta trascorso il transitorio t → ∞ le tensioni e correnti e le correnti ai terminali assumono i valori stazionari: 2E1 RL RL = E0 RL + Zc RL + Zc Ei 2Zc E0 Ei (1 − Γ) = = = i(0, ∞) = Zc Zc RL + Zc RL + Zc ∞ = v(l, ∞) = v0
v0∞ = v(0, ∞) = Ei (1 + Γ) = i∞ 0 vl∞
∞ i∞ l = i(l, ∞) = i0
Dalle relazioni ottenute si osserva che in regime stazionario la corrente e la tensione alle due estremit`a della linea coincidono e sono uguali a quelle che si ottengono applicando la legge di Ohm al circuito di figura 9.5(b), nelle ipotesi che il passaggio di segnale dal generatore al carico sia istantaneo e che il condensatore sia assimilabile ad un circuito aperto 3 . In figura 9.6(a) e 9.6(b) `e rappresentata rispettivamente l’evoluzione temporale della tensione e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω 2 3
Infatti il carico si comporta come un filtro passa basso. Questa ipotesi ha un immediato riscontro fisico visto che in condizione di regime stazionario il condensatore ha avuto tutto il tempo per caricarsi
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
205
0.6
20
Tensione d’ingresso v(0,t) [V]
ZL=50 Ω 0.4 ZL=30 Ω 0.3 0.2 0.1
Corrente d’ingresso i(0,t) [mA]
ZL=70 Ω
0.5
18 16 14 ZL=30 Ω 12 ZL=50 Ω 10 ZL=70 Ω
0
8 0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (a)
5
6
0
7
1
2
3 4 Tempo t [ns] (b)
5
6
7
Figura 9.6: Evoluzione temporale della tensione e corrente all’ingresso della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
20
0.6 ZL=70 Ω
16
ZL=50 Ω
Corrente d’uscita i(l,t) [V]
Tensione d’uscita v(l,t) [V]
0.5 0.4 ZL=30 Ω
0.3 0.2 0.1
ZL=30 Ω 12
ZL=50 Ω
8
ZL=70 Ω
4
0
0 0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (a)
5
6
7
0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (b)
5
6
7
Figura 9.7: Evoluzione temporale della tensione e corrente all’uscita della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
206
(curva tratteggiata). In figura 9.7(a) e 9.7(b) `e invece rappresentata rispettivamente l’evoluzione temporale della tensione e della corrente nella sezione z = l per gli stessi valori dell’impedenza di carico. E’ stato ipotizzato che il ritardo introdotto dalla linea di trasmissione, l’impedenza caratteristica, la capacit`a di carico e la tensione del generatore sono rispettivamente uguali a τ = 2.5 ns, Zc = 50 Ω, C = 15 pF, E0 = 1 V. Da quanto ottenuto si osserva che nell’istante di tempo t = τ la tensione in z = l `e nulla. Infatti, essendo la capacit`a inizialmente scarica in tale istante il condensatore pu`o essere assimilato ad un corto circuito e pertanto la tensione ai suoi capi `e nulla (vedi 9.7(a)). Di conseguenza, essendo in tale istante ΓL = −1, l’onda riflessa generata ha ampiezza uguale a quella dell’onda incidente ma con segno opposto. Pertanto, quando tale onda arriva in ingresso all’istante t = 2τ , si combina con il segnale d’ingresso alla linea in modo tale che la tensione risultante `e nulla (vedi 9.6(a)). Per t > τ , in z = l e t > 2τ , in z = 0 gli andamentoi della tensione e corrente sono quelli tipipci del processo di carica del condensatore. In condizione di regime stazionario, t ≫ τ , il condensatore `e assimilabile a un circuito aperto, in quanto completamente carico, la linea di trasmissione a un semplice “filo di collegamento”, e di conseguenza le tensioni all’ingresso e all’uscita della linea coincidono. Esse si ricavano utilizzando la regola del partitore di tensione applicata al circuito a paramentri concentrati costituito dal generatore e dalle due resistenze Rg e RL collegate in serie. Segnale d’ingresso a rampa Nel caso in cui il segnale d’ingresso ha la forma di una rampa e(t) = E0 tU (t) si ha E(s) = E0 /s2 e quindi E0 a1 − s −s(2τ −z/vf ) E0 −sz/vf e + 2 e 2 2s 2s a2 + s Usando la tecnica dello sviluppo in fratti semplici si pu`o scrivere: V (z, s) = G(z, s)E(s) =
F (s) =
(9.61)
1 a1 − s A1 A2 A3 = + 2 + 2 s a2 + s s s s + a2
dove ] d [ 2 a1 + a2 s F (s) = − s→0 ds a22 a1 A2 = lim s2 F (s) = s→0 a2 a1 + a2 A3 = lim (a2 + s) F (s) = s→−a2 a22 A1 = lim
Sostituendo nella (9.61) si ottiene V (z, s) = F1 (z, s) + F2 (z, s) dove E0 −sz/vf e 2s2 [ ] E0 1+Γ Γ 1 1 + Γ −s(2τ −z/vf ) F2 (z, s) = − + + e 2a2 s τeq s2 s + a2 F1 (z, s) =
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(9.62a) (9.62b)
9.5. Collegamenti reali
207
Antitrasformando si ricava ) ( ) ( z z U t− f1 (z, t) = Ei t − vf vf ( ) 1 2l − z ( ) ) ( − t− Γ 2l − z 2l − z τ v f f2 (z, t) = −Ei τeq (1 + Γ) 1 − e eq t− U t− − τeq vf vf da cui la tensione `e data dalla relazione: ( ) ( ) z z v(z, t) = Ei t − U t− + vf vf ( ) 1 2l − z ( ( ) ) − t− 2l − z 2l − z τ v eq f + Ei Γ t − − τeq (1 + Γ) 1 − e U t− vf vf (9.63) = vi (z, t) + vr (z, t) mentre la corrente da: ( ) ( ) Ei z z i(z, t) = t− U t− + Zc vf vf ) ( 1 2l − z ( ( ) ) − t− 2l − z 2l − z Ei τ v eq f Γ t− − − τeq (1 + Γ) 1 − e U t− Zc vf vf (9.64) vi (z, t) vr (z, t) − Zc Zc Alle sezioni terminali z = 0 e z = l si ha invece: =
t − 2τ v(0, t) = Ei tU (t) + Ei Γ (t − 2τ ) − τeq (1 + Γ) 1 − e τeq U (t − 2τ ) −
(9.65a)
t − 2τ Ei Ei i(0, t) = tU (t) − Γ (t − 2τ ) − τeq (1 + Γ) 1 − e τeq U (t − 2τ ) (9.65b) Zc Zc
−
t−τ v(l, t) = Ei (1 + Γ) t − τ − τeq 1 − e τeq U (t − τ ) −
(9.66a)
t−τ Ei i(l, t) = (t − τ ) (1 − Γ) + τeq (1 + Γ) 1 − e τeq U (t − τ ) Zc −
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(9.66b)
9.5. Collegamenti reali
208 80
ZL=30 Ω ZL=50 Ω ZL=70 Ω
3
Corrente d’ingresso i(0,t) [mA]
Tensione d’ingresso v(0,t) [V]
4
2
1
0
ZL=30 Ω ZL=50 Ω ZL=70 Ω
60
40
20
0 0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (a)
5
6
7
0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (b)
5
6
7
Figura 9.8: Evoluzione temporale della (a) tensione e (b) corrente all’ingresso della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
In figura 9.8(a) e 9.8(b) `e rappresentato l’andamento in funzione del tempo della tensione e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata). E’ stato ipotizzato che il ritardo introdotto dalla linea di trasmissione, l’impedenza caratteristica, la capacit`a di carico sono rispettivamente uguali a τ = 2.5 ns, Zc = 50 Ω, C = 15 pF. La tensione del generatore segue l’andamento e(t) = 109 tU (t). Si osserva che all’istante t = 5 ns l’onda riflessa proveniente dal carico si combina con il segnale d’ingresso e distorce l’andamento della rampa. L’entit`a della distorsione dipende sia da quanto `e disadattato il carico rispetto alla linea di trasmissione sia dal valore della capacit`a C. La distorsione continua a sussistere anche quando RL = Zc perch´e il condensatore non pu`o seguire istantaneamente le variazioni della tensione ai suoi capi. In condizione di regime stazionario, t ≫ τ , dalle (9.65a)–(9.65b) si ha che la tensione e la corrente in z = 0 sono fornite dalle relazioni: v(0, t) = Ei (1 + Γ)(t − τeq ) Ei (1 + Γ)(t − τeq ) i(0, t) = Zc cio´e tendono alla rampa ritardata di τ e con pendenza RL /(RL + Zc ). In figura 9.9(a) e 9.9(b) `e rappresentato l’andamento in funzione del tempo della tensione e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata). In uscita la distorsione compare all’istante t = 2.5 ns e dipende sempre dal disadattamento in uscita e dal valore di C. In condizione di regime, dalle (9.66a)–(9.66b),
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9.5. Collegamenti reali
209
3
70 60 ZL=30 Ω ZL=50 Ω ZL=70 Ω
2
Corrente d’uscita i(l,t) [mA]
Tensione d’uscita v(l,t) [V]
2.5
1.5 1 0.5
ZL=30 Ω ZL=50 Ω ZL=70 Ω
50 40 30 20 10 0
0 0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (a)
5
6
7
0
1
2
3 4 Tempo t [ns] (b)
5
6
7
Figura 9.9: Evoluzione temporale della (a) tensione e (b) corrente all’uscita della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
la tensione e la corrente in z = l sono: v(l, t) = Ei (1 + Γ)(t − τeq ) Ei i(l, t) = (1 + Γ)(t − τeq ) Zc e cio´e uguali a quelle d’ingresso. Tale risultato pu`o essere interpretato osservando che a regime la linea di trasmissione `e come se non esistesse e quindi l’ingresso `e come se fosse collegato direttamente con l’uscita.
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