TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
1 / 17
HT1 2016
3 / 17
Inneh˚ all f¨orel¨asning 6
TSIU61: Reglerteknik F¨orel¨asning 6
Sammanfattning av f¨ orel¨asning 5 Formalisering av stabilitet och bodediagram
— Stabilitet — Specifikationer med frekvensbeskrivning
Specifikationer i frekvensplanet Samband mellan bodediagram och stegsvar
Gustaf Hendeby
[email protected]
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
Sammanfattning av f¨orel¨asning 5 (1/4)
2 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
Sammanfattning fr˚ an f¨orel¨asning 5 (2/4) Bodediagram
”Sinus in, sinus ut” F¨oruts¨atter att G(s) ¨ar stabilt, alla poler har negativ realdel. u(t) = sin(ω0 t)
efter transienter
=⇒
y(t) = |G iω0 t)| sin iω0 t + arg G(iω0 )
G(iω) kallas frekvensfunktion (frekvenssvar) Ett bodediagram best˚ ar av tv˚ a figurer som var f¨or sig visar
amplitudkurvan och faskurvan som funktion av ω 1. |G(iω)| Amplitudkurva (beloppskurva) log-log-skala (ofta i dB). 2. arg G(iω) Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala.
1. Seriekoppling av system ¨ar enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir r¨ata linjer.
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
4 / 17
Sammanfattning fr˚ an f¨orel¨asning 5 (3/4)
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
Sammanfattning fr˚ an f¨orel¨asning 5 (3/4)
Bodediagram f¨ or
Bodediagram f¨ or 1 G(s) = s+p
G(s) =
1 s+p
|G(iω)|: Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i dB)
Lutningen ges i dB-skalan av 20 dB per 10 rad/s, eller ”20 dB per dekad”. Dekad = 10-potens
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
4 / 17
Gustaf Hendeby
HT1 2016
Sammanfattning fr˚ an f¨orel¨asning 5 (3/4) Bodediagram f¨ or 1 G(s) = 2 s + 2ζs + 1 Den asymptotiska approximationen ¨ar d˚ alig n¨ara resonanstoppen.
arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala
4 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
5 / 17
Sammanfattning fr˚ an f¨orel¨asning 5 (4/4) Bodediagram f¨ or allm¨ anna system Allm¨an rationell ¨overf¨oringsfunktion: G(s) =
K(1 + sp (1 +
s )(1 + z1 s )(1 + p1
Amplitudkurva:
log |G(iω)| = log K − p log |ω| + log 1 +
s ) . . . (1 + z2 s ) . . . (1 + p2
s ) zm s ) pn
+ · · · + log 1 + ziω m − log 1 + piω1 − · · · − log 1 +
iω z1
iω pn
Faskurva:
arg G(iω) = −p90◦ + arctan
ω z1
+ · · · + arctan
ω zm
− arctan
ω p1
− · · · − arctan
ω pn
Tumregel Brytpunk i t¨aljaren =⇒ Asymp. Ampl. kurvans lutning ¨okar med 1. Brytpunk i n¨amnaren =⇒ Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med 1.
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
7 / 17
HT1 2016
9 / 17
Stabilitet och bodediagram: intuition (1/2) Tankeexperiment
Stabilitet F¨or frekvensen ω0 g¨aller att: |Go (iω0 )| = 1 arg Go (iω0 ) = −180◦ Omkopplaren i l¨aga A (station¨art tillst˚ and): y(t) = |Go (iω0 )| sin ω0 t + arg Go (iω0 ) = sin(ω0 t − π) = − sin(ω0 t)
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
Stabilitet och bodediagram: intuition (2/2)
8 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
Stabilitet och bodediagram Sj¨ alvsv¨ angning (stabilitetsgr¨ ans)
Tankeexperiment
|G(iω0 )| = 0 arg G(iω0 ) = −180◦
I punkten B ¨ ar signalen −y(t) = sin(ω0 t) Momentan f¨ or¨andring fr˚ an A till B medf¨or nu att systemet
uppr¨atth˚ aller en sj¨avsv¨angning Tv˚ a fall:
Fall 1, |Go (iω0 )| < 1: Fall 2, |Go (iω0 )| > 1:
Sv¨angningens amplitud avtar. Sv¨angningens amplitud o¨kar.
Stabil
Instabil
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
N˚ agra anv¨andbara begrepp
10 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
11 / 17
Stabilitet f¨or det slutna systemet
1
Am |Go |
arg Go ϕm
Stabilitetsregler −180◦
Hj¨alpmedel f¨or att analysera stabilitet hos det slutna systemet s˚ a h¨ar l˚ angt: Slutna systemets poler ligger alla i VHP (negativ realdel)
ωc
ωp
ω [rad/s]
Bodediagrammet f¨ or det ¨oppna systemet (amplitud- och
fasmarginal)
Sk¨arfrekvens, ωc : |G(iωc )| = 1 Fasmarginal, ϕm : ϕm = arg Go (iωC ) − (−180◦ ) Amplitudmarginal, Am : Am =
1 Go (iωp )
Fas-sk¨arfrekvens, ωp : arg Go (iωp ) = −180◦
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
Specifikationer f¨or det sluta systemet Y (s) = Gc (s)R(s) =
Specifikationer i frekvensplanet
Go (s) R(s) 1 + Go (s)
13 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
Samband mellan bodediagram och stegsvar Go (s) =
s a
1 +1
HT1 2016
14 / 17
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
15 / 17
Fundera p˚ a till n¨asta f¨orel¨asning
dvs en brytpunkt i s = a Vi vill ha en regulator som uppfyller:
Snabbare: ωc,d = 5 rad/s Mer d¨ ampad: minst
ϕm = 50◦ Station¨ ara felet d˚ a
insignalen ¨ar ett steg: max 5 % Fundera i termer av P, I och D p˚ a hur ni mha bodediagrammet skulle l¨osa detta.
TSIU61 F¨ orel¨ asning 6
Gustaf Hendeby
HT1 2016
N˚ agra begrepp som f˚ ar summera f¨orel¨asning 6 Kretsf¨orst¨arkning: Annat namn f¨or det o¨ppna systemet (F (s)G(s)) Sk¨arfrekvens, ωc : |Go (iωc )| = 1 Fasmarginal, ϕm : ϕm = arg Go (iω0 ) − (−180◦ )
Sammanfattning
Amplitudmarginal, Am : Am =
1 |Go (iωp )|
Fas-sk¨arfrekvens, ϕp : arg Go (iωp ) = −180◦ Bandbredd: Anger det ω-v¨arde f¨or vilket f¨orst¨arkningen sjunkit under 3 dB Resonanstopp: En f¨orst¨arkningstopp i n¨arheten av en viss frekvens Resonansfrekvens: Den frekvens kring vilken det finns en resonanstopp
17 / 17
