3
Procent
Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna: •
förstå och utföra de tre olika typerna av procentberäkningar – räkna ut delen – räkna ut hur många procent något är – räkna ut det hela
• använda procentberäkningar i olika praktiska sammanhang t.ex. vid ränteberäkningar och vid jämförelser
K 3
• skilja på procent och procentenheter • räkna med promille
Ingressen Ingressen tar upp räntebegreppet, lån och börs. Här ges tillfälle att diskutera procent i aktuella vardagssammanhang. Säkert känner alla till att man måste betala ränta när man lånar pengar, eller köper något på avbetalning. Det är troligen också bekant att man får ränta om man har pengar på banken, men att den räntan idag är mycket låg. Eleverna bör få klart för sig att räntefria lån inte är utan extra kostnad. Det kan bidra till att göra dem uppmärksamma på att vara kritiska till lockande erbjudanden. Börsen på bilden heter Nasdaq och är den teknikdominerade börsen i USA. Den andra USA-börsen heter Dow Jones.
Grunddel Procentbegreppet innehåller tre delar, att räkna ut delen, att räkna ut det hela och att räkna ut hur många procent. Presentera detta för eleverna så att de blir medvetna om kopplingen mellan de olika delarna. Enklast görs detta genom att visa på tre olika frågeställningar. T ex: Delen: Det hela: Hur många procent?:
Hur mycket är 12 % av 200 kr? Hur mycket är det hela om 12 % är 24 kr? Hur många procent är 24 kr av 200 kr?
Återkom sedan till dessa frågeställningar under arbetet med kapitlet och resonera kring olika sätt att räkna dessa. Det är viktigt att eleverna blir medvetna om att det finns olika sätt att räkna och att olika metoder är olika bra beroende på vilka tal som ingår. T ex att det går bra att använda huvudräkning om man ska räkna ut hur många procent 3 av 20 är, medan det är bra att använda en miniräknare om man ska räkna ut 3 av 17. Arbetsblad 3:1 kan vara en bra inledning för att repetera övergångarna mellan olika sätt att ange delar. Sidorna 76–77. Grunddelen inleds med ränteberäkningar för att eleverna ska få möta procentberäkningar med att räkna ut delen i ett nytt sammanhang. Det är viktigt att eleverna får klart för sig att s.k. räntefria lån oftast är dyra lån. 38
P ro c e n t
Sidorna 78–79. Här införs begreppet förändringsfaktor för första gången. De elever som under år 7 och år 8 har arbetat på röd kurs på procentkapitlet har dock mött detta sätt att räkna procent tidigare utan att ordet förändringsfaktor nämndes. För att förstå och använda förändringsfaktorn måste eleverna vara säkra på att skriva om från procentform till decimalform. Övningar på detta finns på Abetsblad 3:2. I Lärarhandledning år 8 är Arbetsblad 4:1 en lämplig övning för de elever som behöver mer övning. Arbetsblad 3:3 ger mer övning på att räkna med förändringsfaktor. Även Aktiespelet, Arbetsblad 3:4, är ett mer lekfullt sätt att träna procentuell förändring. Sidorna 80–81. En metod för att räkna ut det hela presenteras för första gången här i år 9-boken. Metoden att först räkna ut hur mycket 1% är och sedan multiplicera med 100 fungerar alltid. Naturligtvis är det bra om eleverna även lär sig metoder som är lättare med huvudräkning, men de fungerar endast på vissa procentsatser. På blå kurs koncentrerar vi oss på metoden att gå över 1%. Arbetsblad 3:5 ger fler övningar. Sidorna 82–83. Att räkna ut hur många procent brukar vara den absolut svåraste delen av procentberäkningar. Svårigheten ligger i att förstå vad det är man ska jämföra med, vad som är det hela. Uppgifterna 37-43 är övningar där eleverna måste tänka på vad det är man jämför med, vad är det hela, vad är det som man ska dela med. I lärarhandledningen år 8 kan Abetsblad 4:3 och 4:4 användas för mer övning. På Arbetsblad 3:6 och 3:7 finns fler övningar.
K 3
Sidorna 84–85. Att skilja mellan procentenheter och procent brukar vara svårt men är en viktig kunskap. Speciellt i valtider brukar det bollas friskt med begreppen. För att tydliggöra skillnaden i begreppen är det bra att ta ytterlighetsfall. Om ett parti ökar från 5 % till 10 % av väljarkårens röster har partiet ökat med 5 procentenheter. Partiets röster har dock ökat med 100 %. Skillnaden ligger i att man jämför med olika saker. Övningar finns på Arbetsblad 3:8.
Facit till Diagnosen 1 a) 0,06
b) 0,2
c) 0,005
2 a) 21 kr
b) 720 kr
c) 6 kr
d) 1,74
Arbetsblad 3:2 s 88–89
3 90 bilder
s 88–89
4 2 056 kr
s 88–89
5 a) 1,05
b) 0,92
s 79
6 a) 41 %
b) 60 %
s 92–93
7 a) 72 %
b) 70 %
s 92–93
8 64 % 9 a) 700 kg
s 92–93 b) 2 000 kg
s 91
10 850 kr
s 91
11 a) 13 procentenheter
b) 65 %
s 84
12 a) 60 ‰
c) 7 ‰
s 85
b) 8 ‰
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
P ro c e n t
39
Facit till kluringar
•
Naturliga tal De tre talen är 4, 5 och 7
•
Engelsk kluring Fyra i rad. Tolv mynt kan placeras på ett bord så att sex räta linjer kan dras, där alla linjer dras genom mittpunkten på fyra av mynten. Hur?
•
Pojkar och flickor Stol
A
B
C
D
E
Flicka/pojke
F
P
F
F
P
Det är en pojke som sitter på stol E
Blå kurs Sidorna 88–89. Blå kurs inleds med att räkna ut delen via 1%. Det är en metod som alltid fungerar och som eleverna mött tidigare. För att komma vidare till mer effektiva räknemetoder är det dock bra om eleverna kan skriva procentsatsen i decimalform och använda den för att räkna ut delen. Det är ju grunden till att räkna med förändringsfaktor. På sidan 89 tar vi steget till att använda decimalformen. Det är en avvägning om man ska tvinga en elev att överge en metod som fungerar för att gå vidare till en metod som kanske känns mer obegriplig. Vi tycker att eleven har rättighet att bli presenterade olika metoder och att de blir medvetna om att vissa metoder är bättre än andra, men att eleven ändå sedan får välja metod att räkna med.
K 3
Sidan 91. Den metod att räkna ut det hela är att gå över 1%. Vi blandar inte in huvudräkningsmetoder här. Självklart kan uppgifterna 26–28 räknas med huvudräkningsmetoder av de elever som klarar av det. Sidorna 92–93. Se kommentarerna till sidorna 82–83 på grunddelen.
Röd kurs Avsnitten bör läsas i bokens ordning. Sidorna 94–95. Här utökas användningen av förändringsfaktorn med flera ändringar i rad, först höjning sedan sänkning eller tvärtom. Beräkningar av ”ränta på ränta” dvs. flera lika förändringar i rad. Sidan 96. Här får eleverna lära sig en direktmetod för att räkna ut den procentuella förändringen. Betona att man ska dela med det gamla (ursprungliga) värdet. Många elever tycker att direktmetoden är ett snabbt och bra sätt att ta reda på den procentuella förändringen. Sidan 97. Här får eleverna lära sig att ta hjälp av en ekvation för att ta reda på värdet från början. Mer träning finns på Arbetsblad 3:9. OBS! I bokens Första upplaga, 1:a och 2:a tryckningen är det fel i rutan. 664 kr ska vara 644 kr. Sidorna 98–99. Kapitlet avslutas med blandade uppgifter. OBS! I bokens Första upplaga, 1:a och 2:a tryckningen är det fel i facit. 26 b) ska vara under år 2011.
40
P ro c e n t
Utmaning A 1 a) 1 035 kr 2 a) 295 kr
b) 535 kr b) 35 kr
c) 323 kr c) 0 %
d) 295 kr, 35 kr, 12,84 %
3 Aviavgift 12 · 35 = 420 kr Uppläggningsavgift 295 kr Tillsammans 715 kr
B 1 a) 3 · 1 035 kr = 3 105 kr + uppläggningsavgift 295 kr. Tillsammans 3 400 kr b) 6 · 535 kr = 3 210 kr + uppläggningsavgift 295 kr Tillsammans 3 505 kr c) 24 · 179 kr = 4 296 kr + uppläggningsavgift 295 kr Tillsammans 4 591 kr
2 a) 13,3 %
b) 16,8 %
c) 53 %
K 3
3 Nej inte alltid det beror på vad du lånar 4 T.ex. 8 400 kr på 12 månader.
Arbetsblad Förteckning över arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken. Namn
Sid
Nivå
3:1
Bråkform – decimalform – procentform
blå–grön
3:2
Procentform-Decimalform-Förändringsfaktor
78–79, 89–90
blå–grön
3:3
Nya värdet direkt
78–79
grön
3:4
Aktiespelet
78–79
blå–grön
3:5
Räkna ut det hela
80–81, 91
blå–grön
3:6
Hur många procent
82–83, 92–93
blå–grön
3:7
Höjning och sänkning
82–83, 92–93
blå–grön
3:8
Procentenheter – procent – promille
84–85
grön
3:9
Räkna procent med ekvationer
96–97
röd
P ro c e n t
41
Arbetsblad 3:1
Bråkform – decimalform – procentform 1
Fyll i tabellen Bild
Bråkform 1 2
Decimalform 0,5
Procentform 50%
1 4
K 3
20%
0,3
75%
2
Fyll i tabellen Uttryck en av fem
Bråkform
Decimalform
Procentform
1 5
var tionde
två av fyra
var tredje
sju av hundra
en av tjugo
42
P ro c e n t
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 3:2
Procentform – Decimalform – Förändringsfaktor 1
Skriv i decimalform 2%
2
3
= _________
= _________
26,5 % = _________
12 % = _________
105 % = _________
265 % = _________
4,5 % = _________
160 % = _________
500 % = _________
0,03 = ________
0,67
= ________
1,06
= ________
0,3
= ________
1,3
= ________
2,6
= ________
3
= ________
0,005 = ________
Skriv som procent
0,456 = ________
_________
75 %
_________
100 % _________
3,5 % _________
95 %
_________
200 % _________
25 % _________
105 % _________
150 % _________
Vilken blir förändringsfaktorn om priset minskar med 5%
_________
25 % _________
5
K 3
Vilken blir förändringsfaktorn om priset ökar med 5%
4
95 %
6,5 % _________
50 %
_________
40 %
95 %
_________
_________
Vad har hänt med priset om förändringsfaktorn är a) 0,85
Priset har ___________________ med __________ %
b) 1,05
Priset har ___________________ med __________ %
c) 0,955
Priset har ___________________ med __________ %
d) 2,3
Priset har ___________________ med __________ %
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
P ro c e n t
43
Arbetsblad 3:3
Nya värdet direkt 1
Fyll i tabellen Pris (kr)
Rabatt i procent
Du får betala i procent
Nytt pris direkt
350 kr
15 %
100 % – 15 % = 85 %
0,85 . 350 kr =
800 kr
35 %
3 200 kr
60 %
1 970 kr
78 %
K 3 2
3
Fyll i tabellen Pris (kr)
Höjning i procent
Du får betala i procent
Nytt pris direkt
300 kr
5%
100 % + 5 % = 105 %
1,05 . 300 kr =
1 500 kr
25 %
360 kr
40 %
1 350 kr
12 %
2 500 kr
90 %
80 kr
120 %
Axel köper en jacka som kostar 2 150 kr. Han får 12 % rabatt. a) Hur många procent får Axel betala? _________________________ b) Hur mycket fick Axel betala för jackan? ________________________
4
Värdet på Eriks lägenhet som han köpt för 125 000 kr ökade i värde med 7 %. Hur mycket är den värd nu? ___________________________________________________________________________
44
P ro c e n t
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Birgitta Rydbeck/Megapix
Arbetsblad 3:4
Aktiespelet Till spelet behövs en tärning, papper, penna och räknare. Antalet deltagare: Två eller flera.
Varje spelare har från början en aktie värd 100 kr. Värdet på aktien kan öka eller minska, precis som i verkligheten. Men här skall tärningen och ditt eget chanstagande få avgöra aktiens värdeutveckling. • Det tal som tärningen visar avgör den procentuella förändringen. Om talet är jämt innebär det en höjning, om talet är udda blir det en sänkning. • Om du inte är nöjd med det första ”utfallet” får du en andra chans. Den kan dock bli sämre och då måste den gälla.
K 3
Spelare A kastar tärningen. Den visar 4. Aktiens värde ökar med 4 % och det nya värdet blir 1,04·100 kr = 104 kr. Spelare B kastar tärningen. Den visar 2. Värdet på B:s aktie skulle alltså öka med 2 %. B är inte nöjd och utnyttjar sin andra chans. Då visar tärningen 5. B måste välja detta och hans aktie minskar i värde med 5 %. Det nya värdet blir 0,95 · 100 = 95 kr. Spelare A kastar på nytt. Tärningen visar nu 3, värdet på A:s aktie minskar med 3 %. Det nya värdet blir 0,97 · 104 kr = 100,88 kr. Sedan blir det B:s tur att kasta. För efterhand in de nya värdena i en tabell. Avrunda hela tiden till 2 decimaler. Spela t.ex. 10 omgångar. Spelet blir mer intressant om man använder en tiosidig eller tjugosidig tärning.
Om-
Aktieägare A
Aktieägare B
gång
Utgångsvärde kr
Nytt värde
Utgångsvärde kr
Nytt värde
1
100,00
1,04 · 100 = 104,00
100,00
0,95 · 100 = 95,00
2
104,00
0,97 · 104 = 100,88
95,00
3
100,88
4 5 6 7 8 9 10
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
P ro c e n t
45
Arbetsblad 3:5
Räkna ut det hela, 100 % 1
K 3
2
3
Se s 81 i Matte Direkt år 9
Hur mycket är det hela, om 10 % är
50 % är
25 % är
20 % är
25 kr _______
25 kr _______
25 kr _______
25 kr _______
4,5 kr _______
4,5 kr _______
4,5 kr _______
4,5 kr _______
500 kr _______
500 kr _______
500 kr _______
500 kr _______
Hur mycket är det hela om 6 % är
Se s 80 i Matte Direkt år 9
24 kr ________
120 kr ________
30 kr ________
Hur mycket är det hela om 15 % är 30 kr ________
450 kr ________
4,5 kr ________
4
60 % av eleverna i en skola hade valt franska. Hur många elever fanns det på skolan om 90 elever läste franska? ________________
5
Maria ”tjänade” 48 kr när hon köpte en klänning på rea. Ordinarie pris var sänkt med 12 %. a) Vad kostade klänningen före rean? _________________ b) Hur mycket fick Maria betala? ______________
6
18 personer, eller 6 %, av dem som anmält sig till en orienteringstävling kom inte till start. Hur många var anmälda? __________________
7
Resultatet av undersökning om vilken melodi som är bästa visas i rutan. 360 röstade på melodin ”FRAMÅT”. a) Hur många deltog i undersökningen? ______________________ b) Hur många röstade på ””SOLOCHVÅR”? __________________ FRAMÅT SOL OCH VÅR STADSVISAN
46
P ro c e n t
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 3:6
Hur många procent? Räkna med huvudräkning
1
Hur många procent av figuren är skuggad?
______________
______________
______________
______________
K 3 ______________
2
3
______________
______________
______________
Hur många procent är 3 av 5 __________
4 av 20 __________
3 av 10 __________
6 av 50 __________
5 av 25 __________
3 av 30 __________
12 av 60 __________
15 av 75 __________
27 av 45 __________
Hur många procent är a) 15 minuter jämfört med 60 minuter? ______________________ b) 20 kg jämfört med 50 kg? ______________________ c) 35 kr jämfört med 500 kr? ______________________ d) 300 kr jämfört med 200 kr? ______________________ e) 18 minuter jämfört med 1 timme? ______________________
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
P ro c e n t
47
Arbetsblad 3:7
Höjning och sänkning 1
K 3
2
3
48
Hur stor är ökningen i procent? Fyll i tabellen. Gammalt pris
Nytt pris
Ökning i kronor
Ökning i procent
100 kr
126 kr
126 kr – 100 kr = 26 kr
50 kr
78 kr
200 kr
250 kr
500 kr
600 kr
200 kr
400 kr
500 kr
1 200 kr
26 = 0,26 = 26 % 100
Hur stor är sänkningen i procent? Fyll i tabellen. Gammalt pris
Nytt pris
100 kr
58 kr
200 kr
188 kr
250 kr
150 kr
150 kr
90 kr
25 kr
10 kr
12 kr
8 kr
Sänkning i kronor
Sänkning i procent
Ringa in rätt alternativ. Hur stor är ökningen? a) 800 kr ökar till 1 000 kr
10 %
20 %
25 %
b) 18 kg ökar till 24 kg
18 %
25 %
33 %
c) 1 200 kr ökar till 1 320 kr
5%
10 %
12 %
d) 60 kg ökat till 150 kg
90 %
150 %
250 %
e) 35 st ökar till 140 st
200 %
300 %
400 %
P ro c e n t
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 3:8
Procentenheter – procent – promille 1
Fyll i tabellen Värdet ändras från
2
Ändring i procentenheter
till
5%
10 %
10 %
5%
1,5 %
3%
1,5 %
4,5%
12 %
15 %
25 %
6%
28 %
19 %
Ändring i procent
K 3
Valdeltagandet var ett år 68 %. Året därpå ökade det till 72 %. a) Med hur många procentenheter ökade valdeltagandet?______________________________ b) Med hur många procent ökade valdeltagandet? __________________________
3
Ett företag sålde ett år 72 % av sin produktion till utlandet. Året därpå sjönk utlandsförsäljningen till 67 % av produktionen. Med hur många procent sjönk utlandsförsäljningen? _______________________
4
Skriv som promille a) 0,003 = _________
b) 0,03 = _________ c) 0,3 = _________
promille = tusendel 1 1‰= = 0,001 1 000
Hur mycket är
5
a) 2 ‰ av 500 kg _______________
b) 3 ‰ av 1 miljon ____________
6
a) 0,5 ‰ av 400 000 ______________
b) 3,6 ‰ av 95 000 _____________
Hur många promille är
7
a) 1 % _________
b) 0,5 % _________
c) 2,8 % _________
8
a ) 10 % _________
b) 0,08 % _________
c) 0,0016 % _________
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
P ro c e n t
49
Arbetsblad 3:9 Räkna i ditt räknehäfte
Räkna procent med ekvationer
K 3
50
1
Amanda tjänar 12 % mer i år än förra året. Nu tjänar hon 6 075 kr/vecka. Hur mycket tjänade hon förra året? Anta att Amanda tjänade x kr förra året.
2
Värdet av Lisens aktier minskade 27 % från sitt högsta värde. Nu är det bara värt 13 550 kr. Hur mycket var Lisens aktier värda när de hade sitt högsta värde?
3
Hamid köpte en begagnad båt som han rustade upp. Han sålde den sedan för 13 700 kr. Hamid räknade ut att båtens värde ökat 24 % på affären. Vad köpte Hamid båten för?
4
Baby Joanna vägde på sin ettårsdag 7 200 g. Hon hade ökat sin vikt från födelsen med 125 %. Hur mycket vägde Joanna vid födelsen?
5
Albin fick två år i rad lönehöjning, först med 3 % och sedan med 2,8 %. Efter båda ökningarna tjänade Albin 19 800 kr. Vilken lön hade Albin två år tidigare?
6
Peso AB lyckades öka sin försäljning år 2000 med 12 %. Året därpå, 2001, minskade försäljningen med 8 %. År 2001 sålde företaget för 2,8 miljoner kr. Hur mycket sålde företaget för året före höjningen, dvs. år 1999?
7
Samuel såg värdet på sin insats i en aktiefond minska första året med 34 % och andra året med 48 %. Efter de två åren var värdet på hans aktiefond bara värt 8 580 kr. Hur mycket hade Samuel satt in på aktiefonden ?
8
Familjen Björk åker på skidsemester. De köper liftkort för 2 365 kr. De båda vuxna betalar fullt pris. Anna 11 år betalar 50 % och Jonas får betala 25 % av vuxenpriset. Hur mycket kostade liftkorten för de olika familjemedlemmarna?
P ro c e n t
© Matte Direkt år 9, Bonnier Utbildning och författarna
